Châu Thanh Hải ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc. F Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây. 272 Tăng Bạt Hổ 054.3931305__054.3811471__0935961321 « Tuyển tập những bài toán hay và khó trong không gian Oxyz. (Giải vào chiều thứ 6 , thứ 7 tới đây và tuần sau để chuẩn bị cho ôn tập hình học Oxy, lưu ý làm theo nhiều cách) 1. Cho đường thẳng (d): !" " # $%& ' # (!& ) *+,- . / 0 123454678#9: Tìm giao điểm A của (d) và (P), Viết pt hình chiếu vuông góc của (d) lên mp (P). 2. Viết ptrình đt (d) qua ; . <*7<*< 0 và cắt cả 2 đt . = & 0 ->?- . = " 0 -với : . = & 0 1- B 3#<42C 5#C 6#D7C - E . = " 0 1- B 3#724C 5#D72C 6#C - :- 3. Viết ph trình đường thẳng . = 0 F.= & 01- B 3#DC 5#<7C 6#G4G - và cắt cả 2 đường thẳng . = " 0 ->?- . = ' 0 -có p trình: . = " 0 1 !& & # $%" H # (!" ' * . = ' 0 là giao tuyến của 2 mp . / 0 13754I67D#9* . J 0 12375764<#9: 4. Cho ; . 9*<*2 0 *K . 7<*2*7D 0 *L . 2*9*I 0 >?- . = 0 1 !& " # $ ' # (%& H : Tìm toạ độ điểm M thuộc (d) sao cho: a) M 2;N O O O O O O P 7DKN O O O O O O P 4ILN O O O O O O P M nhỏ nhất. b) N; " 4NK " 4NL " -nhỏ nhất. 5. Cho ; . <*<*9 0 *K . D*7<*I 0 ->? . = 0 1 %& & # $!& !& # (%" " : Tìm điểm M Q (d) sao cho: . N;4NK- 0 RST . 6. Cho ; . D*9*D 0 *K . I*72*7< 0 ->? . = 0 1 & # $ & # (!' !& : Tìm điểm M Q (d) sao cho: U N;7NK- U RV . . 7. Cho ; . 7D*G*7G 0 EK . G*7D*W 0 >?- mặt phẳng (P): 34546#9. Tìm toạ độ giao điểm M thuộc (P) sao cho: a) N; " 4NK " -nhỏ nhất. b)-N; " 42NK " -nhỏ nhất. c)-N; " 7D:NK " -lớn nhất. d) M N; O O O O O O P 42:NK O O O O O O P M XYZ : 8. Cho ; . 7<*D*72 0 EK . 7D*W*7<8 0 và mp . / 0 12375464<#9: Tìm M Q./0 sao cho 1- . N;4NK 0 RST . 9. Cho ; . D*<*9 0 EK . 7[*I*[ 0 và mp . / 0 12375464<#9: Tìm M Q./0 sao cho 1 U N;7NK U RV 10. Cho 2 đường thẳng \ & 1 !& & # $ & # (!" & *-\ " 1- & # $ & # (%' ' ->?-+,- . / 0 1375764<#9. Viết phương trình đường thẳng \F . / 0 *\-]ắC-\ & E]ắC-\ " ->?-\^\ " :-ĐS:-\1- & # $%& " # (!& !& . 11. Cho 2 đường thẳng \ & 1 !& & # $ & # (!" & *-\ " 1- & # $ & # (%' ' ->?-+,- . / 0 1375764<#9. Viết phương trình đường thẳng \F . / 0 *\-]ắC-\ & -Cạ_-;E]ắC-\ " -Cạ_-K->?-;K RST :- 12. Trong không gian Oxyz, = & 13# $ !" # ( !" *= " 1 " # $!' !& # (%" " . Viết phương trình đường thẳng song song với mp . / 0 13454I642#9 cắt = & tại M, cắt = " tại N sao cho N`# a 2 . 13. Cho mp (P): 234G5464<W#9 , đường thẳng . b 0 -là giao tuyến của 2 mp (R): D3754I672W#9* . J 0 1c34D5764W#9:-Gọi ;# . / 0 d . b 0 :-Viết ph trình đt . b & 0 e./0, . b & 0 đi qua A và . b & 0 ^ . b 0 . 14. Cho mp (P): 345764<#9E đường thẳng . b 0 1 !" & # $!& !& # (!& !' :-Gọi ;# . / 0 d . b 0 :-Viết phương trình đường thẳng . \ 0 nằm trong mặt phẳng (P) , . \ 0 ^ . b 0 ->?-= f ;* . \ 0 g #D a 2: PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Châu Thanh Hải ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc. F Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây. 272 Tăng Bạt Hổ 054.3931305__054.3811471__0935961321 15. Cho 2 đường thẳng . b & 0 13#24C*5#<7C*6#2CE . b " 0 1- h 342672#9-+, . / 0 57D#9 +, . J 0 - . Tìm ;Q . b & 0 EKQ . b " 0 sao cho ;K RST E-viết phương trình đường vuông góc chung của . b & 0 E . b " 0 : 16. Cho ; . 2*G*D 0 , K . <*9*< 0 : Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua B sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) là lớn nhất. ĐS:(P): < . 37< 0 4G . 579 0 42.67<0#9: 17. Cho ; . 2*G*D 0 -và đường thẳng . b 0 1 !& " # $ & # (!" " : Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (D) sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) là lớn nhất. 18. Cho đường thẳng . b 0 1 !& & # $%" " # ( !& E và mặt phẳng (Q):-34254267D#9. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (D) sao cho góc giữa mp (P) và mp (Q) là góc nhỏ nhất. 19. Cho 2 đường thẳng . b 0 1 !& & # $%" " # ( !& E . b i 0 1 %" " # $!& !& # ( " - và mặt phẳng (Q):-34254267D#9. Lập phương trình mp (P) chứa (D) sao cho góc giữa mp (P) và đt (D’) là góc lớn nhất. 20. Lập phương trình mặt phẳng song song và cách đều 2 đường thẳng . b & 0 E . b " 0 -với : . b & 0 13#<4C*5#<4 2C*6#<4DC:,C- . b " 0 13#7C*5#24C*6#<4C: 21. Cho 2 điểm ; . <*2*D 0 EK.<*9*<0 và mặt phẳng (P): 3725467W#9. Viết phương trình đường thẳng . b 0 - nằm trong (P) và mọi điểm trên (D) đều cách đều 2 điểm A và B. 22. Cho đường thẳng . b 0 1 %" !" # $!& ' # (!' & E- mặt cầu .j013 " 45 " 7834254I64W#9. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (D) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính lớn nhất. 23. Trong không gian Oxyz, = & 13# $ !" # ( !" *= " 1 " # $!' !& # (%" " . Viết phương trình đường thẳng song song với mặt phẳng . / 0 13454I642#9 cắt = & tại M, cắt = " tại N sao cho N`# a 2 . 24. Trong không gian Oxyz, = & 13#5#6*= " 1- B 3#<42C 5#C 6#<4C - . Viết phương trình đường thẳng song song với mặt phẳng . / 0 137546#9 cắt = & tại M, cắt = " tại N sao cho MN bé nhất. 25. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng . / 0 13757<#9: Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm ; . 2*<*7< 0 EK . 9*2*72 0 EL.<*D*90 và tiếp xúc với mặt phẳng (P). 26. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng . / & 0 137254267D#9* . / " 0 123457267I#9 và đường thẳng =1 %" !& # $ !" # (!H ' :-Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I Q.=0 và tiếp xúc với 2 mặt phẳng . / & 0 E . / " 0 : 27. Cho 2 mặt phẳng . / 0 134257264G#9* . J 0 134257267<D#9: Viết phương trình của mặt cầu (S) đi qua gốc tọa độ O, qua điểm ; . G*2*< 0 và tiếp xúc với cả 2 mặt phẳng (P) và (Q). 28. Cho \ABC vuông cân tại B. Tìm tọa độ B biết ; . G*D7< 0 EL . 2*D*7I 0 và B Q . / 0 1345767c#9. 29. Trong không gian Oxyz cho 3 điểm ; . 2*<*9 0 EK . 9*<*2 0 EL.9*9*<0 mặt phẳng . / 0 13457642#9: Trong các điểm M thuộc mặt phẳng . / 0 tìm điểm M sao cho N;#NK- và NL RST . PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Châu Thanh Hải ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc. F Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây. 272 Tăng Bạt Hổ 054.3931305__054.3811471__0935961321 30. Cho mặt phẳng (P): 23454264<#9EkC-\1 !& ) # $!" " # ( !l và điểm N . <*<*7< 0 . Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P) tại M và tiếp xúc với \: 31. Cho mp (P): . +7< 0 3454+67<#9: Tìm m để khoảng cách từ điểm ;.<*<*20 đến mp (P) lớn nhất. 32. Viết phương trình mặt phẳng đi qua 2 điểm ; . <*2*7< 0 EK . 2*D*72 0 E mặt cầu (S): 3 " 45 " 46 " 7237257 I67[#9 Tìm m để mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một giao tuyến có chu vi ( diện tích) nhỏ nhất. 33. Cho mặt phẳng (P): . +7< 0 3454+67<#9E mặt cầu (S): 3 " 45 " 46 " 7237257I67[#9 Tìm m để mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một giao tuyến có chu vi ( diện tích) nhỏ nhất. 34. Cho 2 đt \ & 1 & # $!& & # ( " * \ " 1 !& & # $ & # ( & :- Viết ptrình mp . m 0 chứa \ & và tạo với \ " một góc nhỏ nhất. 35. Viết phương trình đường thẳng \ đi qua ; . <*<*< 0 E vuông góc với đường thẳng \ i 1 n 3#C*5#<4C*6# <42C-: CQo0p và cách điểm K.2*9*<0 một khoảng cách lớn nhất. 36. Viết phương trình đường thẳng \ đi qua ; . <*<*< 0 E song song với mặt phẳng (P): 3454264[[[#9 và cách điểm K.2*9*<0 một khoảng cách lớn nhất. 37. Viết phương trình đường thẳng \ đi qua ; . <*<*< 0 E song song với mặt phẳng (P): 3454264[[[#9 và cách điểm K.2*9*<0 một khoảng cách nhỏ nhất. 38. Cho q . 9*9*9 0 , đường thẳng \1 !& & # $%& !" # ( & * . b i 0 1 " # $%& !" # (!& !& . Lập phương trình đường thẳng (D) qua O, vuông góc với \ và cách (D’) một khoảng lớn nhất. 39. Lập phương trình đường thẳng (D) đi qua ; . 9*7<*2 0 và cắt đường thẳng . b i 0 1 %& " # $ & # (!" !& - sao cho khoảng cách từ K . 2*<*< 0 đến đường thẳng (D) là lớn nhất, nhỏ nhất. 40. Lập phương trình đường thẳng (D) đi qua ; . 9*7<*2 0 và cắt đường thẳng . b i 0 1 %& " # $ & # (!" !& - sao cho khoảng cách giữa (D) và . \ 0 1 !) " # $ !" # ( & - là lớn nhất. - 41. Lập phương trình đường thẳng (D) đi qua ; . 7<*9*7< 0 và cắt đường thẳng . b i 0 1 !& " # $!" & # (%" !& - sao cho góc giữa (D) và . \ 0 1 !' !& # $!" " # (%' " là lớn nhất, nhỏ nhất. 42. Cho 3 điểm ; . 9*I*9 0 EK . 7<*2*72 0 EL . <*D*7I 0 -và mặt cầu . j 0 13 " 45 " 46 " 72342672#9. Tìm tọa độ điểm D thuộc (S) sao cho thể tích tứ diện ABCD lớn nhất, nhỏ nhất. 43. * Cho 2 điểm ; . <*<*I 0 EK . I*2*G 0 -, mặt cầu . j 0 1 . 372 0 " 4.57<0 " 4 . 672 0 " #< và mặt phẳng (P): 345467<#9. Tìm điểm M thuộc giao tuyến của mặt cầu (S) và mp (P) sao cho =C.;KL0 nhỏ nhất. 44. * Cho 2 điểm ; . I*<*2 0 EK . <*I*2 0 EL.<*<*G0-, mặt cầu . j 0 13 " 45 " 46 " 7237257I67D#9 và mp (P): 345467W#9. Tìm điểm NQ . j 0 d./0 sao cho N;4NK4NL- đạt giá trị nhỏ nhất. 45. Cho 2 điểm ; . <*<*< 0 EK . 2*<*9 0 ->?-đthẳng \1 & # $!& & # ( " . Viết ph trình mp (P) chứa \ sao cho tổng khoảng cách từ A, B đến (P) là lớn nhất . HyLink to:D:\Tailieutoan12\hinhhocgiaitichOxyz\đạilựckimcangchưỡng.pdf PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Châu Thanh Hải ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc. F Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây. 272 Tăng Bạt Hổ 054.3931305__054.3811471__0935961321 ¯: MỘT SỐ ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC THỨC THƯỜNG GẶP : - 1. BĐT Côsi: Cho r s Er t EuEr v wxE ta có:- r s %r t %y%r v v w z r s :r t :::r v v . Dấu “=” xảy ra khi r s #r t #y#r v : 2. BĐT Bunhiacopxki: . { s | s 4{ t | t 4y4{ v | v 0 t }f{ s t 4{ t t 4y4{ v t gf| s t 4| t t 4y4| v t g: Dấu “=” xảy ra khi { s | s # { t | t #y# { v | v : 3. BĐT hình học: ~ { s t 4{ t t 4y4{ v t 4 ~ | s t 4| t t 4y4| v t wz . { s 7| s 0 t 4 . { t 7| t 0 t 4y4 . { v 7| v 0 t . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi { s | s # { t | t #y# { v | v •9: 4. BĐT hình học: ~ { s t 4{ t t 4y4{ v t 4 ~ | s t 4| t t 4y4| v t wz . { s 4| s 0 t 4 . { t 4| t 0 t 4y4 . { v 4| v 0 t . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi { s | s # { t | t #y# { v | v 9: 5. Hệ quả: Cho r s Er t EuEr v wx1-áp dụng 2 lần Côsi ta có: . r s 4r t 4y4r v 0 ! s r s 4 s r t 4y4 s r v "wv t : 6. Hệ quả: BĐT Svacxơ: Cho { # Q$E| # Q$ % 1 - { s t | s 4 { t t | t 4y4 { v t | v w . { s %{ t %y%{ v 0 t | s %| t %y%| v :-Dấu “=” xảy ra % { s | s # { t | t #y# { v | v 7. BĐT hàm lõm: Cho { # Q$ % E&EvQ' ( 1 { s & %{ t & %y%{ v & v w! { s %{ t %y%{ v v " & : 8. CM bđt 7 cho trường hợp 2 số, 3 số: { v %| v %) v * w! {%|%) * " v . ( 0 -+?- { v %| v t w! {%| t " v -:- 9. BĐT Nesbit: Cho {E|E) 91 luc đó ta có: { |%) 4 | )%{ 4 ) {%| w * t : 10. Cho {E|Q$ % E- ta có bđt sau: { & %| & t : { v %| v t } { &,v %| &,v t . 11. -ệ /ả1- . {4|4) 0 t }*.{ t 4| t 4) t 0. -ệ /ả1- . { t 4| t 4) t 0 w{|4|)4){. 12. . {4|4) 0 t w* . {|4|)4){ 0 . 13. . {|4|)4){ 0 t w*{|) . {4|4) 0 : 14. { * 4| * # . {4| 0. { t 4| t 7{| 0 # . {4| 0 0 . {4| 0 t 7*{| 1 w . {4| 0 2 . {4| 0 t 7*! {%| t " t 3 # . {%| 0 * 4 -( xem 7) 15. 5rE6E7 wx ta luôn có r67 w . r4677 0. r4776 0. 6477r 0 : 16. BĐT Chebyshev: Với 2 dãy số thực đơn điệu cùng tăng hoặc cùng giảm { s :{ t EuE{ v và | s E| t EuE| v ta có: { s :| s 4{ t :| t 4y4{ v :| v w s v . { s 4{ t 4y4{ v 0. | s 4| t 4y4| v 0 Nếu 2 dãy { s :{ t EuE{ v và | s E| t EuE| v đơn điệu ngược chiều thì bất đẳng thức trên đổi chiều. 17. -ệ /ả1 Cho { s E{ t EuE{ v 9 ta có: z { s { t u{ v v w v s { s % s { t %y% s { v :- 18. BĐT Holder: Với dãy số dương { s E{ t EuE{ v E-ta có: . s4{ s 0. s4{ t 0 u . s4{ v 0 wfs4 z { s { t u{ v v g v 19. r * 46 * 47 * 7*r67 # . r4647 0. r t 46 t 47 t 7r67r7767 0 20. . r46 0. 647 0. 74r 0 # . r4647 0. r64r7467 0 7r67. 21. r67 #r46474t8 s s%r 4 s s%6 4 s s%7 #s* s . s%r 0 t 4 s . s%6 0 t w s s%r6 * a s494 a s79wt79 t E59Q0x*s1: 22. Bổ đề: s s%6 t 4 s s%7 t w t s%67 . ( 0 với-67 ws;- s z s%r t 4 s z s%6 t } t z s%r6 E-với-r6 }s:- 23. . {4|4) 0 * #{ * 4| * 4) * 4* 0 { t . |4) 0 4| t . )4{ 0 4) t . {4| 0 1 #{ * 4| * 4) * 4* . {4| 0. |4) 0. )4 { 0 w{ * 4| * 4) * 4t4{|): 24. . r46 0. 647 0. 74r 0 # . r4647 0. r646747r 0 7r67 25. . r46 0. 647 0. 74r 0 w : ; . r4647 0 .r646747r0: 26. Nếu {E|E) 9*{:|:) }s . {4|4)}* 0 -thì { | 4 | ) 4 ) { w{4|4). Thật vậy: { | 4 { | 4 | ) w* ~ { t |) * #* ~ { * {|) * w*{Eu: 27. BĐT Schur . {4|4) 0 * 4;{|) w4 . {4|4) 0. {|4|)4){ 0 . 28. . {4|4) 0 f { t 4| t 4) t g w* f { t |4| t )4) t { g : PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com . tổng khoảng cách từ A, B đến (P) là lớn nhất . HyLink to:D:Tailieutoan12hinhhocgiaitichOxyzđạilựckimcangchưỡng.pdf PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Châu. ; . G*D7< 0 EL . 2*D*7I 0 và B Q . / 0 1345767c#9. 29. Trong không gian Oxyz cho 3 điểm ; . 2*<*9 0 EK . 9*<*2 0 EL.9*9*<0 mặt phẳng . / 0 13457642#9: Trong các điểm M thuộc mặt phẳng . / 0 tìm. 25. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng . / 0 13757<#9: Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm ; . 2*<*7< 0 EK . 9*2*72 0 EL.<*D*90 và tiếp xúc với mặt phẳng (P). 26. Trong