Hướng dẫn giải Chuyên đề: HÀM SỐ Toán 9 ƠN THI TS10 /~~~~~~*0*~~~~~~ Biên soạn: Nguyễn Long Thạnh Bài 1. Với giá trị nào của m thì mỗi hàm số sau là hàm số bậc nhất. 1/ y = (1 – 4m + 4m 2 )x – 3 Hàm số trên là hàm số bậc nhất  1 – 4m + 4m 2 ≠ 0  m 2 1 ≠ 2/ y = 1)2(3 +−− xm Hàm số trên là hàm số bậc nhất  03 ≠−m  3 – m > 0  m < 3 3/ y = (1 – m 2 )x 2 + (m + 1)x – 3 Hàm số trên là hàm số bậc nhất     ≠+ =− 01 01 2 m m     −≠ ±= 1 1 m m => m = 1 4/ y = 4 2 5 − + − x m m Hàm số trên là hàm số bậc nhất  2 5 + − m m ≠ 0     ≠+ ≠− 02 05 m m     −≠+ ≠ 22 5 m m Bài 2. Tìm m để các hàm số bậc nhất trong mỗi trường hợp sau: 1/ y = ( ) 1512 +−− xm nghịch biến trên R. * Điều kiện 202 ≥⇔≥− mm * Hàm số trên là hàm số bậc nhất khi ( ) 12 −−m 0 ≠  ( ) 12 ≠−− m  12 ≠−m  12 ≠− m  3 ≠ m * Hàm số trên nghịch biến trên R  ( ) 12 −−m 0<  ( ) 12 <−m  3<m Vậy để hàm số đã cho nghịch biến trên R thì 3 > m > 2. 2/ y = ( ) 23 −− xm đồng biến trên R. * Điều kiện: m > 0 * Hàm số trên là hàm số bậc nhất khi 03 ≠− m  m≠3  m 9±≠ * Hàm số trên đồng biến trên R  9303 <⇔>⇔>− mmm Vậy để hàm số đã cho đồng biến trên R thì 0 < m < 9. 3/ y = 12)2( ++− mxm khi x = 2 thì y = 1. * Hàm số trên là hàm số bậc nhất khi 02 ≠− m  2≠m * Thay x = 2 ; y = 1 vào hàm số đã cho ta được: 1 = 122)2( ++− mm  0222112221122)2( =+−⇔=++−⇔=++− mmmmmm )22( 2 422 22 2 +−=⇔ − + =⇔ − =⇔ mmm Bài 3. Cho hàm số y = ( ) 3331 +− x . 1/ Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến trên R? Vì sao? Hàm số đã cho nghịch biến trên R vì a = ( ) 31− < 0 2/ Tình giá trị của y khi x = 1: Thay x = 1 vào hàm số đã cho ta được: y = ( ) 331.31 +− = 3331 +− = 321+ 3/ Tính giá trị của x khi y = 3: Thay y = 3 vào hàm số đã cho ta được: 3 = ( ) 3331 +− x  3 = ( ) 3331 +− x  x = 3 Bài 4. Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b. biết rằng đồ thị của nó là đường thẳng: 1/ Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2: * Vì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 nên x = 3, y = 0. Thay vào y = ax + b, ta được: 0 = 3a + b => a = 3 b− * Vì đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên b = 2. Thay vào a = 3 b− ta tìm được: a = 3 2− Vậy hàm số cần xác định là y = 3 2− x + 2 2/ Song song với đường thẳng y = 2 1 x và đi qua điểm B(1 ;2) : Vì y = ax + b song song đường thẳng y = 2 1 x nên :      ≠ = 0 2 1 b a Và đi qua điểm B(1 ;2) nên ta thay x = 1 ; y = 2 vào y = ax + b ta được : 2 = 2 1 .1 + b  b = 2 3 Vậy hàm số cần xác định là y = 2 1 x + 2 3 . Bài 5. Cho hàm số bậc nhất (d) : y = m 2 x + 4 (m ≠ 0) và (d’) : y = 25x + m – 1. Với giá trị nào của m thì đồ thị của hai hàm số (d) và (d’) là hai đường thẳng: 1/ Song song: (d) // (d’)     ≠− = 41 25 2 m m     ≠ ±= 5 5 m m => m = -5 2/ Trùng nhau: (d) ≡ (d’)     =− = 41 25 2 m m     = ±= 5 5 m m => m = 5 3/ Cắt nhau: (d) cắt (d’)  m 2 ≠ 25  m ≠ ± 5 Bài 6. Cho hàm số bậc nhất (d) y = (m – 2)x + 3m + 1. Tìm m để đồ thị của hàm số 1/ Song song với đường thẳng (d’) : y = 3x + 2 : (d) // (d)     ≠+ =− 213 32 m m       ≠ = 3 1 5 m m 2/ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3: Ta có b = 3 => 3m + 1 = 3 => m = 3 2 3/ Đi qua điểm A(-2; 2 1 ): Theo đề bài ta có x = -2; y = 2 1 , thay vào (d) ta được: 2 1 = (m – 2)(-2) + 3m + 1  4 – 2m + 3m + 1 = 2 1  m = 2 9 − . Bài 7. Với giá trị nào của m và n thì đồ thị của hai hàm bậc nhất (d): y = mx + n – 1 và (d’) y = (4 + n)x + 3 – n trùng nhau? (d) ≡ (d’)     −=− += nn nm 31 4     = = 2 6 n m Bài 8. Tìm hai số m và n, biết hai đường thẳng mx + 2y = -1 và my – nx = -5 cắt nhau tại M(3;-2) Vì 2 đường thẳng ấy cắt nhau tại M nên ta thay M(3;-2) lần lượt vào 2 đường thẳng ta được hệ phương trình:    −=−− −=− 532 143 nm m     = = 1 1 n m Bài 9. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(-2;-5) và B(1;4): Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b (d) đi qua hai điểm A(-2;-5) và B(1;4) nên ta thay lần lượt tọa độ hai điểm ấy vào (d) ta được hệ phương trình:    =+ −=+− 4 52 ba ba     −= −=+−− ba bb 4 5)4(2     = = 3 1 a b Vậy phương trình đường thẳng là: y = 3x + 1. Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng (d 1 ): y = 3x + 2; (d 2 ): y = x – 4; (d 3 ): y = 4x + 5m. Tìm giá trị của m để ba đường thẳng (d 1 ), (d 2 ), (d 3 ) đồng qui. Tọa độ điểm của (d 1 ) và (d 2 ) là nghiệm của hệ:    −= −= ⇔    += =++ ⇔    −= += 3 7 4 2)4(3 4 23 x y yx yy xy xy Thay x = -3; y = -7 vào (d 3 ) ta được: 4.(-3) + 5m = -7  m = 1. Vậy khi m = 1 thì 3 đường thẳng (d 1 ), (d 2 ), (d 3 ) đồng qui. Bài 11. Cho (P): y = x 2 và (d): y = -2x + 3. 1/ Vẽ (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ: * Bảng giá trị: x -2 -1 0 1 2 (P): y = x 2 4 1 0 1 4 …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… 2/ Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính: * Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d): x 2 = -2x + 3  x 2 + 2x – 3 = 0 (1) * Phương trình (1) có: a + b + c = 1 + 2 – 3 = 0. Do đó 2 nghiệm của phương trình là: x 1 = 1 và x 2 = -3 + Thay x 1 = 1 vào (P) ta tìm được y 1 = 1 => Tọa độ giao điểm thứ nhất là (1;1) + Thay x 2 = -3 vào (P) ta tìm được y 2 = 9 => Tọa độ giao điểm thứ hai là (-3;9) Vậy tọa độ các giao điểm của (P) và (d) là (1;1) và (-3;9). Bài 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho (P): y = 3 2 x và đường thẳng (d): y = 2x + m. Với giá trị nào để: 1/ (d) không cắt (P): * Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d): 3 2 x = 2x + m  3 2 x – 2x – m = 0  x 2 – 6x – 3m = 0 ∆’ = b’ 2 – ac = (-3) 2 – 1.(-3m) = 9 + 3m. (d) không cắt (P)  ∆’ < 0 => 9 + 3m < 0  m < –3. 2/ (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt:  ∆’ > 0 => 9 + 3m > 0 => m > –3. 3/ (d) tiếp xúc (P):  ∆’ = 0 => 9 + 3m = 0  m = -3 Bài 13. Cho (P): y = 2 2 x− và đường thẳng (d): y = mx + n (m ≠ 0). 1/ Xác định m và n để (d) đi qua điểm A(-1;4) và tiếp xúc (P). (d) đi qua A(-1;4) nên ta thay x = -1; y = 4 vào (d) ta được: -m + n = 4 Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d): 2 2 x− – mx – n = 0  x 2 + 2mx + 2n = 0 (*) Vì (d) tiếp xúc (P) nên ∆’ = 0 => (m) 2 – 1.2n = 0  m 2 – 2n = 0 Giải hệ phương trình:    =− =+− 02nm 4nm 2     =+− += 0m)2(4m m4n 2     =−− += 0 2m8m m4 n 2 (I) * Giải phương trình m 2 – 2m – 8 = 0 ta tìm được m 1 = 4; m 2 = -2 (I)     = += 4 m m4 n     = = 8 4 n m Hoặc (I)     = = 2- m 2 n x -1 1 (d): y = -2x + 3 5 1 2/ Tìm tọa độ tiếp điểm của (P) và (d) với các giá trị của m và n vừa tìm được ở câu 1: * Thay m = 4; n = 8 vào (*) ta được: x 2 + 2.4.x + 2.8 = 0  x 2 + 8x + 16 = 0 Giải phương trình bậc hai trên ta tìm được x = -4. Tiếp tục thay x = -4 vào (P) ta tìm được y = -8  Tọa độ tiếp điểm thứ nhất là (-4;-8). * Thay m = -2; n = 2 vào (*) ta được: x 2 – 4x + 4 = 0. Giải phương trình bậc hai trên ta tìm được x = 2. Tiếp tục thay x = 2 vào (P) ta được y = -2  Tọa độ tiếp điểm thứ hai là (2;-2). Vậy tọa độ các tiếp điểm của (P) và (d) với các giá trị m và n vừa tìm được ở câu 1 là (-4;-8) và (2;-2). Bài 14. Tìm hệ số a của hàm số (P) y = ax 2 (a ≠ 0), biết rằng đồ thị của nó cắt đường thẳng (d) y = -x + 2 tại điểm có hoành độ bằng 1. * Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d): ax 2 + x – 2 = 0 (**) (P) và (d) cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1 nên x = 1. Ta thay x = 1 vào (**) ta được: a 2 – 1 = 0  a = 1 Bài 15. Chứng minh các đường thẳng (d): y = 3mx – 1 – m luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Gọi x 0 , y 0 là điểm cố định mà đường thẳng (d): y = 3mx – 1 – m luôn đi qua. => y 0 = 3mx 0 – 1 – m với mọi m  3mx 0 – 1 – m – y 0 = 0 với mọi m  m(3x 0 – 1) = 0 và –(y 0 + 1) = 0 ∀ m => x 0 = 3 1 ; y 0 = –1. Bài 16. Cho hàm số (P): y = 2 1 x 2 1/ Vẽ đồ thị hàm số (P): ………………………………………………………………………………………………………………… . ………………………………………………………………………………………………………………… . ………………………………………………………………………………………………………………… . ………………………………………………………………………………………………………………… . ………………………………………………………………………………………………………………… . ………………………………………………………………………………………………………………… . ………………………………………………………………………………………………………………… . ………………………………………………………………………………………………………………… . ………………………………………………………………………………………………………………… . ………………………………………………………………………………………………………………… . 2/ Viết phương trình đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số (P) tại hai điểm có hoành độ bằng -2 và 3. ………………………………………………………………………………………………………………… . ………………………………………………………………………………………………………………… . ………………………………………………………………………………………………………………… . ………………………………………………………………………………………………………………… . x -4 -2 0 2 4 y = 2 1 x 2 8 2 0 2 8 ………………………………………………………………………………………………………………… . ………………………………………………………………………………………………………………… . ………………………………………………………………………………………………………………… . ………………………………………………………………………………………………………………… . ………………………………………………………………………………………………………………… . ………………………………………………………………………………………………………………… . Bài 17. 1/ Vẽ đồ thị hàm số y = 2x + 4 (d) ………………………………………………………………………………………………………………… . ………………………………………………………………………………………………………………… . ………………………………………………………………………………………………………………… . ………………………………………………………………………………………………………………… . ………………………………………………………………………………………………………………… . ………………………………………………………………………………………………………………… . ………………………………………………………………………………………………………………… . ………………………………………………………………………………………………………………… . 2/ Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) y = 6x 2 bằng phép tính: * Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d): 2x + 4 = 6x 2  6x 2 – 2x – 4 = 0 Giải phương trình bậc hai trên ta tìm được x 1 = 1 và x 2 = 3 2 − . + Thay x 1 = 1 vào (P) ta tìm được y 1 = 6 => Tọa độ giao điểm thứ nhất là (1;6) + Thay x 2 = 3 2 − vào (P) ta tìm được y 2 = 3 8 => Tọa độ giao điểm thứ hai là ( 3 2 − ; 3 8 ) Vậy tọa độ các tiếp điểm của (P) và (d) là (1;6) và ( 3 2 − ; 3 8 ). 3/ Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b (d’), biết rằng đồ thị song song với đường thẳng (d) và đi qua Q(3;4). Vì (d) // (d’) nên    ≠ = 4 2 b a Và đi qua Q(3;4) nên ta thay x = 3; y = 4 vào (d’) ta được: 3.2 + b = 4  b = -2. Vậy hàm số cần xác định là y = 2x – 2. Bài 18. 1/ Viết phương trình đường thẳng (e) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 5 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5. * Do đường thẳng (e) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 5 nên x = 5; y = 0. * Ta thay x = 5; y = 0 vào y = ax + b ta được: 5a + b = 0 * Do đường thẳng (e) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 nên b = 5. Ta thay vào 5a + b = 0 ta được: a = -1. x 0 1 y = 2x + 4 4 6 Vậy phương trình đường thẳng cần xác định là y = -x + 5. 2/ Tìm m và n để đường thẳng (f): y = (m + 1)x + n – 3 (m ≠ -1) song song với đường thẳng y = -2x + 4 (d). (f) // (d)     ≠ −= ⇔    ≠− −=+ 7 3 43 21 n m n m Bài 19. Cho (P): y = 2 1 x 2 và (d 1 ): y = 2mx – 1 – m (m ≠ 0). 1/ Với m = -2, vẽ (P) và (d 1 ) trên cùng mặt phẳng tọa độ: Thay m = -2 vào (d 1 ) ta được: y = -4x – 3. 2/ Tìm m để đường thẳng (d 1 ), (d 2 ): y = 2x – 1, (d 3 ): y = x đồng qui. Tọa độ giao điểm của (d 3 ) và (d 2 ) là nghiệm của hệ:    = = ⇔    −= = ⇔    −= = 1 1 1212 x y xx xy xy xy Thay x = 1; y = 1 vào (d 1 ) ta được: 1 = 2.m.1 – 1 – m  m = 2. Vậy khi m = 2 thì (d 1 ), (d 2 ), (d 3 0 đồng qui. Bài 20. 1/ Trên cùng hệ trục tọa độ Oxy, vẽ đồ thị các hàm số: y = 2 1 x 2 và y = 2x + 1. 2/ Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 2x + 1 và tiếp xúc với (P): y = 2 1 x 2 : ………………………………………………………………………………………………………………… . ………………………………………………………………………………………………………………… . ………………………………………………………………………………………………………………… . ………………………………………………………………………………………………………………… . ………………………………………………………………………………………………………………… . x -4 -2 0 2 4 y = 2 1 x 2 8 2 0 2 8 x -1 0 y = -4x – 3 1 -3 x -4 -2 0 2 4 y = 2 1 x 2 8 2 0 2 8 x 0 1 y = 2x + 1 1 3 . giải Chuyên đề: HÀM SỐ Toán 9 ƠN THI TS10 /~~~~~~*0*~~~~~~ Biên soạn: Nguyễn Long Thạnh Bài 1. Với giá trị nào của m thì mỗi hàm số sau là hàm số bậc nhất. 1/ y = (1 – 4m + 4m 2 )x – 3 Hàm số. > 0 * Hàm số trên là hàm số bậc nhất khi 03 ≠− m  m≠3  m 9 ≠ * Hàm số trên đồng biến trên R  93 03 <⇔>⇔>− mmm Vậy để hàm số đã cho đồng biến trên R thì 0 < m < 9. 3/ y. trên là hàm số bậc nhất  1 – 4m + 4m 2 ≠ 0  m 2 1 ≠ 2/ y = 1)2(3 +−− xm Hàm số trên là hàm số bậc nhất  03 ≠−m  3 – m > 0  m < 3 3/ y = (1 – m 2 )x 2 + (m + 1)x – 3 Hàm số trên