TÓM TẮT GIÁO KHOA ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH 1. Phương trình bậc 2: ax 2 +bx+c = 0 với x 1, x 2 là nghiệm thì  ax 2 + bx + c = a(x-x 1 )(x-x 2 );  với ∆=b 2 - 4ac (∆’=b’ 2 -ac với b’=b/2)         ∆±− = ∆±− = a b x a b x 2 '' 2 2,12,1  Nếu a+ b+ c=0 thì x 1 = 1; x 2 = c/a;  Nếu a – b+ c=0 thì x 1 = –1; x 2 = – c/a;  Định lý vi-et: S= x 1 + x 2 = – b/a; P = x 1 .x 2 = c/a 2. Tam thức bậc hai f(x)= ax 2 +bx+c  ∆<0 thì f(x) cùng dấu a     <∆ > ⇔> 0 0 0)( a xf     <∆ < ⇔< 0 0 0)( a xf 1 2 1 2 1 2 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x x a c x x S P x x S P ⊗ < < ⇔ < ∆ >   ⊗ < < ⇔ <   >  ∆ >   ⊗ < < ⇔ >   >  3. Phương trình bậc ba: ax 3 +bx 2 +cx+d = 0  Nếu a+b+c+d=0 thì x 1 =1; dùng Hoocner ta có: ax 3 + bx 2 + cx+ d = (x-1)(ax 2 + βx + γ) = 0 với β= a+b; γ= β+c  Nếu a- b+ c- d=0 thì x 1 = -1 BẤT ĐẲNG THỨC 1. Tính chất của bất đẳng thức: a. A > B và B > C ⇒ A > C b. A > B ⇔ A + C > B + C c. Nếu C > 0 thì A > B ⇔AC > BC d. Nếu C < 0 thì A > B ⇔ AC < BC 2. Các hệ quả: a. A B A C B D C D >  ⇒ + > +  >  Chú ý: Không được trừ hai bất đẳng thức cùng chiều b. A B 0 A.C B.D C D 0 > ≥  ⇒ >  > ≥  c. Với 1 1 A.B 0 ta có A>B A B > ⇔ < d. Với A, B ≥ 0, 2n 2n n N : A B A B ∗ ∈ > ⇔ > e. Với ∀A, B và 2n 1 2n 1 n N : A B A B ∗ + + ∈ > ⇔ > f. A > B ≥ 0 ⇔ A B > g. A > B ⇔ 3 3 A B > 3. Bất đẳng thức Cô si (Cauchy) cho hai số không âm: Cho a ≥ 0 và b ≥ 0, ta có: a b ab 2 + ≥ . Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b. 4. Bất đẳng thức Cô si cho ba số không âm: Cho ba số a 0 , b 0 , c 0 ≥ ≥ ≥ ta có : 3 a b c abc 3 + + ≥ . Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c. * Các chuyển dạng của bất đẳng thức Cô si : 1 1 (1) (a b) 4 , a,b 0 a b 1 1 4 1 1 1 1 hay hay a b a b a b 4 a b   + + ≥ ∀ >  ÷     + ≥ ≤ +  ÷ + +   Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b 1 1 1 (2) (a b c) 9 , a,b,c 0 a b c 1 1 1 9 1 1 1 1 1 hay hay a b c a b c a b c 9 a b c   + + + + ≥ ∀ >  ÷     + + ≥ ≤ + +  ÷ + + + +   Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c 5. Bất đẳng thức Bunhiacopski: a. Bất đẳng thức Bunhiacopski cho 4 số: Với 4 số thực bất kỳ a b c d    ÷   ta có: 2 2 2 2 2 (a b )(c d ) (ac bd)+ + ≥ + . Dấu “=” xảy ra ⇔ a b c d = b. Bất đẳng thức Bunhiacopski cho 6 số: Với 6 số thực bất kỳ a b c x y z    ÷   ta có: 2 2 2 2 2 2 2 (a b c )(x y z ) (ax by cz)+ + + + ≥ + + D ấu “=” xảy ra ⇔ a b c x y z = = c. Các chuyển dạng của bất đẳng thức Bunhiacopski Lý thuyết Giải Tích 12 1 (1) ( ) 2 2 2 a b a b , a,b R và x, y 0 x y x y + + ≥ ∀ ∈ > + (2) ( ) 2 2 2 2 a b c a b c , x y z x y z ( a,b,c R và x, y,z 0) + + + + ≥ + + ∀ ∈ > 7. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: Với hai số A, B tùy ý, ta có: a. A B A B + ≤ + . b. A B A B− ≤ − . Dấu “=” xảy ra ⇔ A.B ≥ 0. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC: a. Công thức cơ bản : 2 2 2 2 2 2 sin a cos a 1 tan a.cot a 1 sin a 1 tan a 1 tan a cosa cos a cosa 1 cot a 1 cot a sin a sin a + = = = = + = = + b. Công thức cộng:  cos(a+b)=cos a.cos b–sin a.sin b  cos(a-b)=cos a.cos b+sin a.sin b  sin(a+b)=sin a.cos b+cos a.sin b  sin(a-b)=sin a.cos b - cos a.sin b  tan(a+b) = tan tan 1 tan .tan a b a b + −  tan (a - b )= tan tan 1 tan .tan a b a b − +  cot ( a + b) = cot .cot 1 cot cot a b b a − +  cot ( a – b )= cot .cot 1 cot cot a b b b + − c. Công thức nhân đôi:  sin 2a = 2 sin a.cos a  cos 2a = cos 2 a - sin 2 a = 2 cos 2 a-1 = 1-2sin 2 a  tan 2a = 2 2tan 1 tan a a −  cot 2a = 2 cot 1 2cot a a − d. Công thức hạ bậc:  cos 2 a = 1 cos 2 2 a +  sin 2 a = 1 cos2 2 a −  tan 2 a = 1 cos 2 1 cos 2 a a − + e. Công thức biến đổi tổng thành tích:  cos a + cos b = 2 cos 2 a b + .cos 2 a b −  cos a–cos b = − 2sin 2 a b+ . sin 2 a b−  sin a + sin b=2 sin 2 a b + .cos 2 a b −  sin a – sin b = 2 cos 2 a b+ .sin 2 a b−  ( ) sin tan tan cos .cos a b a b a b ± ± =  ( ) sin cot cot sin .sin b a a b a b ± ± = sinx+cosx= 2 sin 4 x π   +  ÷   = 2 cos(x- 4 π ) sinx–cosx= 2 sin(x– 4 π )= – 2 cos 4 x π   +  ÷   f. Công thức biến đổi tích thành tổng ( ) ( ) 1 cos .cos cos cos 2 a b a b a b = + + −    ( ) ( ) 1 sin .sin cos cos 2 a b a b a b = − + − −    ( ) ( ) 1 cos .sin sin sin 2 a b a b a b = + − −    ( ) ( ) 1 sin .cos sin sin 2 a b a b a b = + + −    PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1. Phương trình LG cơ bản: * sin x sin x k2 x k2 * sin x m ( m 1) x arcsin m k2 x arcsin m k2 * sin u(x) sin v(x) u(x) v(x) k2 u(x) v(x) k2 * sin x 0 x k * sin x 1 x k2 2 * sin x 1 x k2 2 = α = α + π  ⇔  = π− α+ π  = ≤ = + π  ⇔  = π− + π  = = + π  ⇔  = π − + π  = ⇔ = π π = ⇔ = + π π = − ⇔ = − + π * cosx cos x k2 x k2 * cosx m ( m 1) x arccos m k2 x arccos m k2 * cosu(x) cos v(x) u(x) v(x) k2 u(x) v(x) k2 * cos x 0 x k 2 * cos x 1 x k2 * cos x 1 x k2 = α = α + π  ⇔  = −α + π  = ≤ = + π  ⇔  = − + π  = = + π  ⇔  = − + π  π = ⇔ = + π = ⇔ = π = − ⇔ = π+ π Lý thuyết Giải Tích 12 2 * tan x tan x k * tan x m x arctan m k * tan u(x) tan v(x) (1) ÐK : cos u(x) 0 (1) u(x) v(x) k = α ⇔ = α + π = ⇔ = + π = ≠ ⇔ = + π * cot x cot x k * cot x m x arccot m k * cot u(x) cot v(x) (1) ÐK : sin u(x) 0 (1) u(x) v(x) k = α ⇔ = α + π = ⇔ = + π = ≠ ⇔ = + π trong đó k ∈ Z 2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. asin 2 x+bsinx+c = 0 (đặt t= sinx, đk:–1≤t≤1) acos 2 x+bcosx+c = 0 (đặt t=cosx, đk:–1≤t≤1) atan 2 x+btanx+c = 0 (đặt t= tanx) acot 2 x+bcotx+c = 0 (đặt t= cotx) 3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: asinx + bcosx = c (1) với 2 2 a b 0 + > * Chia hai vế pt(1) cho 2 2 a b + ta được: 2 2 2 2 2 2 a b c sin x cos x a b a b a b + = + + + (2) * Ta xác định [0;2 ) α∈ π sao cho: 2 2 2 2 a b sin , cos a b a b α = α = + + Khi đó ta được phương trình: 2 2 2 2 c sin sin x cos cos x a b c cos(x ) (3) a b α + α = + ⇔ −α = + Điều kiện để pt(3) có nghiệm là 2 2 2 a b c + ≥ 4. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx: 2 2 a sin x bcos x c.sin x.cos x d 0 + + + = (1) * Với cosx = 0: ta kiểm tra x k , k Z 2 π = + π ∈ có phải là nghiệm của pt (1) không. * Với cosx ≠ 0: chia 2 vế pt (1) cho cos 2 x ta được pt: 2 2 a tan x b c tan x d(1 tan x) 0+ + + + = Lưu ý: Nếu cosx = 0 thì 2 sin x =1 5. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: a. Dạng của phương trình đối xứng: a(sinx+cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (1) b. Dạng tương tự: a(sinx – cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (2) PP: Giải (1): Đặt t sin x cos x 2 sin(x ) 4 π = + = + ⇒ 2 2 t 2 và t 1 2sin x.cos x − ≤ ≤ = + Giải (2): Đặt t = sin x cos x 2 sin(x ) 4 π − = − ⇒ 2 2 t 2 và t 1 2sin x.cos x − ≤ ≤ = − QUY TẮC ĐẾM – HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc A có thể được thực hiện theo một trong k phương án A 1 , A 2 , …, A k . Mỗi phương án A i (i = 1, 2, …, k) có n i cách thực hiện. Khi đó công việc A có thể được thực hiện bởi n 1 + n 2 +… + n k cách. 2. Quy tắc nhân: Giả sử thực hiện công việc A bao gồm k công đoạn A 1 , A 2 , …, A k . Mỗi công đoạn A i (i = 1, 2, …, k) có n i cách thực hiện. Khi đó công việc A có thể được thực hiện bởi n 1 . n 2 … n k cách. Lưu ý: * Khi thực hiện một công việc, có nhiều phương án, mỗi phương án ta đều thực hiện được xong công việc. Khi đó ta dùng quy tắc cộng (cộng tất cả số cách thực hiện của từng phương án) ta được số cách thực hiện công việc. * Khi thực hiện một công việc mà phải trải qua nhiều bước mới xong công việc thì ta dùng quy tắc nhân (nhân tất cả số cách thực hiện cho từng bước) ta được số cách thực hiện công việc. 3. Hoán vị. a) Cho một tập A gồm n phần tử (n ≥ 1). Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A. (Gọi tắt là một hoán vị của A hay một hoán vị của n phần tử) b) Số hoán vị của một tập hợp có n phần tử là: n P n! n(n 1)(n 2) 2.1= = − − 4. Chỉnh hợp. a) Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Khi lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của n). b) Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là: k n n! A n(n 1)(n 2) (n k 1) (n k)! = − − − + = − Lý thuyết Giải Tích 12 3 5. Tổ hợp. a) Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Mỗi tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của tập A (Gọi tắt là tổ hợp chập k của A) b) Số tổ hợp chập k của một tập hợp n phần tử là: k k n n A n! C k! k!(n k)! = = − Chú ý: n n n A P = Quy ước: 0 n 0! 1 ; A 1 = = 0 n ; C 1= Với quy ước này ta có: k n n! A (n k)! = − ; k n n! C (n k)!k! = − đúng với 0 k n ≤ ≤ Tính chất 1. k n k n n C C (0 k n) − = ≤ ≤ Tính chất 2. (hằng đẳng thức Pascal): k k k 1 n 1 n n C C C (1 k n) − + = + ≤ ≤ NHỊ THỨC NEWTON 1) Công thức nhị thức Newton: n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 k n k k n n n n n 1 n 1 n n n n (a b) C a C a b C a b C a b C ab C b (1) − − − − − + = + + + + + + + n n k n k k n k 0 (a b) C a b − = + = ∑ Nhận xét: - Trong công thức (1) có n + 1 số hạng. - Số hạng thứ k + 1 là k n k k n C a b − - Các hệ số của nhị thức có tính đối xứng theo tính chất k n k n n C C − = - Trong mỗi số hạng, tổng số mũ của a và b luôn bằng n. 2) Các dạng đặc biệt của nhị thức Newton: n 0 1 2 2 n n n n n n n 0 1 2 2 n n n n n n n n 0 n 1 n 1 2 n 2 n n n n n n n 0 1 2 n n n n n n 0 1 2 n n n n n n (1 x) C C x C x C x (1 x) C C x C x ( 1) C x (x 1) C x C x C x C 2 (1 1) C C C C 0 (1 1) C C C ( 1) C − − + = + + + + − = − + − + − + = + + + + = + = + + + + = − = − + − + − XÁC SUẤT Một số lưu ý: Cho hai tập hợp A, ký hiệu n(A) hoặc |A| là để chỉ số phần tử của tập A * Nếu A ∩ B = ∅ thì n(A∪B) = n(A) + n(B) * Nếu A ∩ B ≠ ∅ thì: n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B) 1. Phép thử và không gian mẫu. * Phép thử : là một thí nghiệm hay một hành động mà: - Kết quả của nó không thể dự đoán trước được. - Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của hành động đó. * Không gian mẫu: Tập hợp mọi kết quả của một phép thử T được gọi là KGM của T và kí hiệu là Ω . 2. Biến cố. - Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T. - Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra được gọi là một kết quả thuận lợi cho A. * Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử T, được mô tả bởi tập Ω. * Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử T, được mô tả bởi tập ∅ 3. Xác suất. * Xác suất của biến cố A là: = n( A) P( A) n( ) Ω * Chú ý: 0 ≤ P(A) ≤ 1 , P(Ω) = 1, P(∅) = 0 a. Biến cố hợp: Cho hai biến cố A và B. Biến cố: “A hoặc B xảy ra”, ký hiệu A∪B được gọi là hợp của hai biến cố A và B. Ta có: A ∪ B ⊂ Ω b. Biến cố xung khắc. - Cho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và B này được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra. Vậy: A∩B = ∅ c. Biến cố đối. - Cho A là một biến cố. Khi đó biến cố “không A”, kí hiệu là A , được gọi là biến cố đối của biến cố A. Ta nói A và A là hai biến cố đối nhau. - Ta có: 1 A A \ P( A ) P( A ) Ω Ω Ω = ⇒ = − Lưu ý: Nếu hai biến cố đối nhau thì xung khắc. d. Biến cố giao. - Cho hai biến cố A và B. Biến cố: “A và B cùng xảy ra” , kí hiệu A∩B (hay AB) được gọi là giao của hai biến cố A và B. e. Hai biến cố độc lập. * Hai biến cố được gọi là ĐỘC LẬP với nhau nếu việc xay ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng xác suất xảy ra của biến cố kia. Lý thuyết Giải Tích 12 4 * Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì: A và B ; B và A ; A và B cũng là hai biến cố độc lập. f. Quy tắc cộng xác suất hai biến cố xung khắc. Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì : P(A∪B) = P(A) + P(B). g. Quy tắc nhân xác suất hai biến cố độc lập : Nếu A và B là hai biến cố độc lập với nhau thì : P(A.B) = P(A).P(B) ĐẠO HÀM : 1. Qui Tắc: 1. (u ± v)’ = u’ ± v’ 2. (u.v)’ = u’v + v’u 3. 2 ' v u'vv'u v u − =       4. (ku)’ = ku’ (k:const) 2. Công thức: (x n )’ = nx n-1 (u n )’ = nu n-1 u’ ' 2 1 1 x x   = −  ÷   ' ' 2 1 u u u   = −  ÷   ' 1 ( x ) 2 x = ' ' u ( u) 2 u = (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’cosu (cosx)’ = - sinx (cosu)’ = - u’sinu (tanx)’ = xcos 1 2 (tanu)’ = ucos 'u 2 (cotx)’ = xsin 1 2 − (cotu)’ = usin 'u 2 − (e x )’ = e x (e u )’ = u’e u (a x )’ = a x .lna (a u )’ = u’a u .lna (lnx)’ = x 1 (lnu)’ = u 'u (log a x)’ = alnx 1 (log a u)’ = alnu 'u II. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM và BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ : 1. Phương trình tiếp tuyến: (pttt) @ Loại 1: Pttt tại M(x 0, y 0 ) ∈ (C) : y = f(x) Tính : y’= y’(x 0 )= pttt: y = f’(x 0 )(x-x 0 )+y 0 @ Loại 2: Pttt có hệ số góc k cho trước.  Gọi M(x o , y o ) là tiếp điểm.  Tính f’(x)  Giải phương trình f’(x o ) = k => x o , y o.  Viết pttt: y = k(x-x 0 ) + y 0 Chú ý : • pttt // y = ax+ b có hệ số góc k = a • pttt ⊥ y = ax+ b có hệ số góc k = -1/a. @ Loại 3: Pttt của đồ thị hàm số (C): y= f(x) biết tt qua M(x 0, y 0 )  Ptđt d qua M có hệ số góc k là: y = k(x-x 0 )+ y 0  Điều kiện tiếp xúc : Hệ pt    = +−= (2) (1) kxf yxxkxf )(' )()( 00 có nghiệm Giải hệ: thay (2) vào (1) Giải pt này tìm được x. Thay vào (2) ta được k thế vào pttt d ở trên. 2. Giao điểm của 2 đường: Cho y = f(x) (C 1 ) và y = g(x) (C 2 ) + Ptrình hoành độ giao điểm là: f(x) = g(x) . Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ) + Bài toán ứng dụng cho việc biện luận nghiệm f(x,m)=0 dựa vào đồ thị:  Biến đổi về dạng f(x)=g(m)  Đặt y = f(x) là đồ thị đã vẽ; y=g(m) là đt //Ox.  Từ đó biện luận số nghiệm pt dựa vào đồ thị.(chú ý đến giá trị CT và CĐ) + Để f(x) tiếp xúc g(x) ta có:    = = (x) ')(' )()( gxf xgxf có nghiệm. Giải hệ, tìm hoành độ tiếp điểm x o 3. Đơn điệu: Dạng 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến (tính đơn điệu hay sự biến thiên) của hàm số PP : Cho hàm số y = f(x) + Tìm TXĐ của hàm số + Tính y’ ( hay f’(x) ) và giải pt: y’ = 0 + Lập BBT + Kết luận Đặc biệt: f(x) = ax 2 + bx + c. Ta có +    ≤∆ > ⇔∈∀≥ 0 0 0)( a Rxxf +    ≤∆ < ⇔∈∀≤ 0 0 0)( a Rxxf Dạng 2: Tìm điều kiện của m để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước PP : + f(x) đồng biến trên D ⇔ f ’(x) ≥ 0 , ∀x ∈ D Lý thuyết Giải Tích 12 5 + f(x) nghịch biến trên D ⇔ f ’(x) ≤ 0 ,∀x ∈ D (chỉ xét trường hợp f(x) = 0 tại 1 số hữu hạn điểm trên miền D) Lưu ý: *** Hàm số y = ax 3 +bx 2 +cx+d - Để hs tăng trên R ' 0,y x R ⇔ ≥ ∀ ∈ ' 0 0 y a >  ⇔  ∆ ≤  - Để hs giảm trên R ' 0,y x R ⇔ ≤ ∀ ∈ ' 0 0 y a <  ⇔  ∆ ≤  ***Hàm số ax b y cx d + = + , D = R\{ d c − } - Hàm số đồng biến trên từng khoảng xđ ' 0,y x D ⇔ > ∀ ∈  ad – cb >0 - Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xđ ' 0,y x D ⇔ < ∀ ∈  ad – cb <0 4. Cực trị: Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số: Phương pháp: Sử dụng các quy tắc tìm CT : 1/ Quy tắc 1:  B1: Tìm tập xác định D  B2: Tính đạo hàm y' = f ‘(x)  B3: Tìm các điểm x i thoả mãn điều kiện: x i ∈ D và là nghiệm của y' hoặc làm cho y' khơng xác định.  B4: Lập bảng biến thiên của hàm số trên D và kết luận. 2/ Quy tắc 2:  B1: Tìm tập xác định D  B2: Tính đạo hàm y' = f ‘(x)  B3: Giải phương trình y' = 0 để tìm các nghiệm x i  B4: Tính đạo hàm cấp hai y'' = f ’’(x) ; tính f''(x i ) và nhận xét dấu : + Nếu f ’’(x 0 ) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x 0 và y CĐ = f(x 0 ) + Nếu f ’’(x 0 ) > 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x 0 và y CT = f(x 0 ) Dạng 2: Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x o  Tìm y’  ycbt → y’(x o ) = 0( 1)  giải (1) = > tìm m = m o  Thử lại: Cách 1: (Sử dụng BBT) Với m = m o , ta lập BBT, nhận xét cực trị từ đó kết luận Cách 2: (Sử dụng y”).Tìm y”, với m = m o , ta tính y’’(x o ). Nếu y’’(x o ) > 0 thì hs đạt cực tiểu Nếu y’’(x o ) < 0 thì hs đạt CĐ Từ đó kết luận (Chú ý: nếu y’’(x o ) = 0 thì thử lại bằng cách lập BBT) Dạng 3: Tìm m để hàm số có cực trị Một số hàm đặc biệt: Loại 1: hàm bậc 3 có 2 cực trị + Tìm D và y’ + ycbt ⇔ y’= 0 có 2 nghiệm và y’ đổi dấu khi qua nghiệm 0cbxax 2 =++⇔ có 2 nghiệm pb    ≠ >∆ ⇔ 0a 0 → giải, tìm m (Chú ý: nếu ycbt là tìm m để hàm số có cực trị thì xét thêm trường hợp a = 0) Loại 2: hàm bậc 4 có 3 cực trị + Tìm D và y’ + y’= 0 0))(( 2 0 =++−⇔ cbxaxxx    =++ = ⇔ 0 2 0 cbxax xx + ycbt ⇔ y’= 0 có 3 nghiệm và y’ đổi dấu khi qua nghiệm 0 2 =++⇔ cbxax có 2 n o pb khác x o      ≠ ≠ >∆ ⇔ 0)x(g 0a 0 0 → giải, tìm m Loại 3: Hàm số 2 ax bx c y x dx e dx e γ α β + + = = + + + + có 2 cực trị + Tập xác định D=R\ { } d e − + Tính y’= ( ) ( ) 2 2 2 . edx pnxmx edx d + ++ = + − γ α + Để hàm số có cực đại và cực tiểu  y / = 0 có hai nghiệm pb thuộc D  phương trình g(x)= mx 2 + nx + p = 0 có hai nghiệm phân biệt khác e d − ' 0 ( ) 0 y e g d ∆ >   ⇔  − ≠   5. GTLN, GTNN: Lý thuyết Giải Tích 12 6 a. Trên (a,b) • Tính y’ • Lập bảng biến thiên trên (a ; b ) • KL: ( ) ; max = CD a b y y , ( ) ; min CT a b y y= b. Trên [a;b] • Tính y’ • Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm ( ) 0 ;x a b ∈ • Tính y (x 0 ) , y(a) , y (b) Chọn số lớn nhất M ,KL: [ ] ; max a b y M = Chọn số nhỏ nhất m , KL: [ ] ; min a b y m = III. KHẢO SÁT HÀM SỐ: 1. Hàm bậc ba y = ax 3 +bx 2 +cx+d và Hàm trùng phương y = ax 4 +bx 2 +c: • Tập xác định: D = R • Đạo hàm : y’= . . . . . y’= 0 ⇔ x = ? lim ? x y →−∞ = lim ? x y →+∞ = • Bảng biến thiên: ⇒ Các khảng đồng biến , nghòch biến , điểm cực đại , điểm cực tiểu . • y’’ = . . . . . y’’= 0 ⇔ x = ? * Các vấn đề đặc biệt cho hàm bậc 3: '. ( )y y p x Ax B = + + . - Đường thẳng y = Ax + B là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị. - Đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt thì hai giá trị cực trị trái dấu. - Đồ thị cắt Ox tại 3 điểm pb cách đều nhau ⇔ ax 3 +bx 2 +cx+d=0 có 3 nghiệm lập thành csc ⇔ y’=0 có 2 nghiệm pb và điểm uốn I thuộc Ox. * Các vấn đề đặc biệt cho hàm trùng phương: - Đt nhận Oy làm trục đối xứng. - Hàm số có 3 (hoặc 1) cực trị trên D ⇔y’=0 có 3 n 0 pb (hoặc 1 n 0 ) - Đồ thị cắt Ox tại 4 điểm pb ⇔ ∆>0; P>0; S>0. - Đồ thị cắt Ox tại 4 điểm pb lập thành csc ⇔ ∆>0; P>0; S>0; t 2 = 9t 1 ( t = x 2 ) sử dụng đlý Vi-et. 2 . Hàm nhất biến ax b y cx d + = + • Tập xác định D=R\ { } c d − • Tính ( ) 2 ' dcx bcad y + − = • TCĐ c d x −= ( lim ( ) c x d y + →− = ± ∞ lim ( ) c x d y − →− = ± ∞ ) • TCN c a y = ( lim x a y c →±∞ = ) • Bảng biến thiên • Điểm đặc biệt (4điểm)- Tìm giao điểm với trục Ox, Oy • Đồ thị (nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng) 3. Hàm hữu tỷ ( nâng cao ): 2 ax bx c y x dx e dx e γ α β + + = = + + + + • Tập xác định D = R\ { } d e − • Tính y’= ( ) ( ) 2 2 2 . edx pnxmx edx d + ++ = + − γ α • y' = 0 tìm 2 cực trị (hoặc khơng có.) • TCĐ d e x −= ( lim ( ) e x d y + →− = ± ∞ , lim ( ) e x d y − →− = ± ∞ ) • TCX βα += xy • Bảng biến thiên • Điểm đặc biệt (4 điểm) • Đồ thị * Một số kết quả quan trọng: - Đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng - Nếu x i là cực trị thì giá trị cực trị là d bax y i i + = 2 . Suy ra phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị. - Đthị cắt Ox tại 2 điểm pb ⇔ ax 2 +bx+c=0 có 2 nghiệm pb e d ≠ − IV. HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT: 1. Cơng thức lũy thừa: Với a>0, b>0; m, n ∈ R ta có: a n a m =a n+m ; mn m n a a a − = ; ( 1 n a =a − n ; a 0 =1; a − 1 = a 1 ); (a n ) m =a nm ; (ab) n =a n b n ; n n n a a b b   =  ÷   ; n m n m aa = . Lý thuyết Giải Tích 12 7 2. Công thức logarit: log a b = c ⇔ a c = b (0< a≠1; b>0) Với 0< a≠1, 0<b≠1; x, x 1 , x 2 >0; α ∈R: log a (x 1 x 2 ) = log a x 1 +log a x 2 ; log a 2 1 x x = log a x 1 −log a x 2 ; xa x a = log ; log a x α = α log a x; xx a a log 1 log α α = ; (log a a x =x); log a x= a x b b log log ; (log a b= a b log 1 ) log b a.log a x=log b x; a log b x =x log b a . 3. Hàm số mũ và hàm số logarit  Hàm số mũ: y = a x 1/ Tập xác định: D = R 2/ Đạo hàm: ( ) ' ln . x x a a a = , và xx ee = )'( , Hàm hợp: uu aaua .ln'.)'( = uu eue '.)'( = 3/ Tính chất: a > 1: hsố tăng 0 < a < 1: hsố giảm  Hàm số lôgarit: y = log a x 1/ Tập xác định:D = (0; + ∞) 2/ Đạo hàm: ax x a ln. 1 )'(log = và x x 1 )'(ln = Hàm hợp: au u u a ln. ' )'(log = u u u ' )'(ln = 3/ Các tính chất: a > 1: hsố tăng 0 < a < 1: hsố giảm 4. Phương trình mũ – logarit: • Dạng cơ bản: a x = b ( a> 0 , 1a ≠ ) b ≤ 0 : pt vô nghiệm b>0 : log x a a b x b = ⇔ = • Một số phương pháp giải: 1, Đưa về cùng cơ số: a f(x) = a g(x) ⇔ f(x) = g(x) ( a>0, 1a ≠ ) 2, Đặt ẩn phụ:  2 . . 0 x x A a B a C + + = Đặt t = a x , đk t>0  2 2 . .( ) . 0 x x x A a B ab C b+ + = . Đặt t x a b   =  ÷   , đk t>0  . . 0 [( ) 1] x x x A a B b C ab+ + = = Đặt t = a x , đk t>0, 1 x b t = 3. Phương pháp logarit hóa. 4, Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số: Phương pháp này dựa vào tính đồng biến, nghịch biến và đồ thị của hàm số. • Dạng cơ bản: log a x b = (a> 0 , 1a ≠ ) Điều kiện : x > 0 log b a x b x a = ⇔ = • Một số phương pháp giải: Đưa về cùng cơ số: log a f(x) = log a g(x) ⇔ f(x) = g(x) ( điều kiện f(x) > 0 hay g(x) > 0) Các phương pháp còn lại như ptrình mũ 5. Bất PT mũ – logarit: • Dạng a x > b ( a> 0 , 1a ≠ ) b ≤ 0 : Bpt có tập nghiệm R b>0 :  log x a a b x b > ⇔ > , khi a>1  log x a a b x b > ⇔ < , khi 0 < a < 1 • Dạng log a x > b ( a> 0 , 1a ≠ , x>0 )  log b a x b x a > ⇔ > , khi a >1  log b a x b x a > ⇔ < , khi 0 < a < 1 Lưu ý: ▪ Nếu a > 1 thì:  ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x a a f x g x> ⇔ >  ( ) ( ) log ( ) log ( ) ( ) 0 a a f x g x f x g x g x ì > ï ï > Û í ï > ï î ▪ Nếu 0 < a < 1 thì:  a f(x) > a g(x) ⇔ f(x)<g(x).  ( ) ( ) log ( ) log ( ) ( ) 0 f x g x f x g x a a f x < > Û > ì ï ï í ï ï î V. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN: ΙΙΙ 1.Định nghĩa: F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số y=f(x) trên khoảng (a;b) Lý thuyết Giải Tích 12 8 ⇔ F ( ) ( ) xfx = / , ( ) bax ; ∈∀ • Nguyên hàm của hàm số sơ cấp: Cedxe/4 Cxlndx x 1 /3 Cx 1 1 dxx/2 Cxdx/1 xx 1 += += + +α = += ∫ ∫ ∫ ∫ +αα ∫ ∫ ∫ +−= += += Cxxdx Cxxdx C a a dxa x x cossin/7 sincos/6 ln /5 2 2 2 2 1 8 / (1 tan ) tan cos 1 9 / (1 cot ) cot sin dx x dx x C x dx x dx x C x = + = + = + =− + ∫ ∫ ∫ ∫ 10/ 2 2 1 ln , 0 2 dx x a C a x a a x a − = + > − + ∫ 11/ tan ln cosxdx x C = − + ∫ 12/ cot ln sinxdx x C = + ∫ • Nguyên hàm các hàm số thường gặp: 1 1 ( ) 1/ ( ) . ( 1) ax b ax b dx C a α α α + + + = + + ∫ 1 2 / ln dx ax b C ax b a = + + + ∫ 1 3/ ax b ax b e dx e C a + + = + ∫ 1 4 / cos( ) sin( )ax b dx ax b C a + = + + ∫ 1 5 / sin( ) cos( )ax b dx ax b C a − + = + + ∫ 2 1 6 / ( ) .( ) dx C ax b a ax b − = + + + ∫ 2 2 1 7 / (1 tan ( )) cos ( ) 1 tan( ) = + + + = + + ∫ ∫ dx ax b dx ax b ax b C a 2 2 1 8 / (1 cot ( )) sin ( ) 1 cot( ) = + + + = − + + ∫ ∫ dx ax b dx ax b ax b C a 2. Các phương pháp tính tích phân: Tích phân của tích, thương phải đưa về tích phân của một tổng hoặc hiệu bằng cách nhân phân phối hoặc chia đa thức. *******Phương pháp đổi biến số : ( ) [ ] ( ) ( ) ∫ ϕϕ= b a xdxxfA /  Đặt : t = ( ) xϕ ⇒ ( ) ( ) xdxdt . / ϕ=  Đổi cận: ( ) ( )    ϕ=⇒= ϕ=⇒= atax btbx  Do đó: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ϕ ϕ ϕ ϕ == b a b a tFdttfA . Các dạng đặc biệt cơ bản: 1. ∫ + = a xa dx I 0 22 • Đặt: x= a.tant       π 〈〈 π − 22 t 2 2 . .(1 tan ). cos a dx dt a t dt t => = = + • Đổi cận 2. dxxaJ a . 0 22 ∫ −= • Đặt sin 2 2 x a t t π π −   = ≤ ≤  ÷   ⇒ dx = a.cost dt • Đổi cận MỘT SỐ DẠNG ĐỔI BIẾN THƯỜNG GẶP: Dạng nguyên hàm cần tìm Cách đặt biến số ( ) sin cosf x xdx ∫ sin sint x t m x n = ∨ = + ( ) cos sinf x xdx ∫ cos cost x t m x n= ∨ = + ( ) 1 lnf x dx x ∫ ln lnt x t m x n = ∨ = + ( ) 2 1 tan cos f x dx x ∫ tan tant x t m x n = ∨ = + ( ) 2 1 cot sin f x dx x ∫ cot cott x t m x n = ∨ = + ( ) 1k k f x x dx − ∫ k k t x t mx m = ∨ = + ( ) x x f e e dx ∫ x x t e t me n = ∨ = + Lý thuyết Giải Tích 12 9 Chú ý : Nếu hàm số dưới dấu nguyên hàm có chứa dấu căn ( ) n thì thường ta đặt : n t = ****Phương pháp tính tích phân từng phần Loại 1: A= dx Cosx Sinx e xP b a x .).( ∫           ( Trong đó P(x) là hàm đa thức ) PP : • Đặt u = P(x) ⇒ du = P’(x).dx dv =             ∫ ∫ ∫ Cosx Sinx e x .dx ⇒ v = • Áp dụng công thức tích phân từng phần A = [ ] ∫ − b a b a duvvu Loại 2: B = ∫ + b a dxbaxLnxP ).().( PP: • Đặt u = Ln(ax+b) ⇒ dx bax a du . + = dv = P(x).dx ⇒ v = • Áp dụng công thức tích phân từng phần : B = [ ] ∫ − b a b a duvvu 3. Diện tích hình phẳng: a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) : y = f(x), trục Ox và hai đường x= a; x= b PP: • DTHP cần tìm là: dxxfS b a .)( ∫ = (a < b) • Hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox là nghiệm của phương trình: f(x) = 0  Nếu p.trình f(x) = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm không thuộc đoạn [ ] ba; thì: ∫ = b a dxxfS ).(  Nếu p.trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc đoạn [ ] ba; . Giả sử x = α , x = β thì dxxfdxxfdxxfS b a .)(.)(.)( ∫∫∫ β β α α ++= ∫ α = a dxxfS ).( + ∫ β α dxxf ).( + ∫ β b dxxf ).( b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y =f(x) và trục hoành: PP : HĐGĐ của (C) và trục hoành là nghiệm của phương trình: f(x) = 0    = = ⇔ bx ax ∫∫ == b a b a dxxfdxxfS ).(.)( c) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x) và hai đường x = a; x = b: PP: • DTHP cần tìm là: dxxgxfS b a .)()( ∫ −= • HĐGĐ của hai đường (C 1 ) và (C 2 ) là nghiệm của p.trình: f(x) – g(x) = 0 Lưu ý: + Dạng 2 và dạng 3 lập luận giống dạng 1. + Có thể dùng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng 4. Thể tích vật thể: a) Hình phẳng (H) giới hạn bởi: x= a; x = b; trục Ox và y = f(x) liên tục trên đoạn [ ] ba; . Khi (H) quay quanh trục Ox tạo ra vật thể có thể tích: [ ] dxxfV b a .)(. 2 ∫ π= b) Hình phẳng (H) giới hạn bởi: y = a; y = b; trục Oy và x = g(x) liên tục trên đoạn [ ] ba; . Khi (H) quay quanh trục Oy tạo ra vật thể có thể tích: [ ] dyygV b a .)(. 2 ∫ π= . Lý thuyết Giải Tích 12 10 [...]... trình bậc hai : a) ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ; a, b, c ∈ R ) Đặt ∆ = b 2 − 4ac Lý thuyết Giải Tích 12 2a  Định lý Viet : Nếu phương trình bậc hai az 2 + bz + c = 0 ( a, b, c ∈ £ , a ≠ 0 ) có hai nghiệm z1 , z2 thì : b c z1 + z2 = − và z1 z2 = a a z ≥ 0 với mọi z ∈ £ , z = 0 ⇔ z = 0 z = z ; zz ′ = z z′ ; −b ± i ∆ 11 TĨM TẮT GIÁO KHOA HÌNH HỌC I TỈ SỐ GĨC NHỌN TRONG TAM GIÁC VNG AB AC (ĐỐI chia HUYỀN)... z = a + bi là z = a − bi z = z ; z + z ' = z + z ' ; z z ' = z z ' ; nghiệm phức : x1,2 =  z′  z′  ÷= z z z′ z′ = ; z z z + z′ ≤ z + z′ z là số thực ⇔ z = z ; z là số ảo ⇔ z = − z  Định lý đảo của định lý Viet : Nếu hai số z1 , z2 có tổng z1 + z2 = S và z1 z2 = P thì z1 , z2 là nghiệm của phương trình : 2 Các phép tốn : a = c  a+ bi = c + di ⇔  b = d  (a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b +... cân (nửa hình vng): 1 a) S = a2 (2 cạnh góc vng bằng nhau) 2 b) Cạnh huyền bằng a 2 A 5 Nửa tam giác đều: a) Là tam giác vng có một góc bằng 30o hoặc 60o a 3 a2 3 b) BC = 2AB c) AC = d) S = 8 2 B 12 Lý thuyết Hình Học 12 60 o 30 o C 6 Tam giác cân: 1 a) S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) 2 b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực 7 Hình chữ nhật: S = ab (a,... trên mp ( α ) d ⊥ a; d ⊥ b  ⇒d ⊥ (α ) Tức là: a ∩ b a, b ⊂ α  (α) ⊥ (β)  b) (α) ∩ (β) = a ⇒ d ⊥ ( α ) a ⊥ d ⊂ (β)  c) Đt d vng góc với mp ( α ) thì d vng góc với mọi đt nằm trong mp ( α ) 13 Lý thuyết Hình Học 12 C 4 Góc ϕ giữa đt d và mp ( α ): d cắt ( α ) tại O và A∈ d  AH ⊥ (α) ˆ Nếu  thì góc giữa d và ( α ) là ϕ hay AOH = ϕ H ∈ (α )  5 Góc giữa 2 mp ( α ) và mp ( β ): (α) ∩ (β) = AB... r r r 1 VTCP: Vectơ u ≠ 0 được gọi là VTCP của đường thẳng (d) nếu và giá của u // hoặc trùng (d) r r NX: - Nếu u là một vectơ chỉ phương của đường thẳng (d) thì k u (k≠0) cũng là một VTCP của (d) 14 Lý thuyết Hình Học 12 - Một đường thẳng hồn tồn được xác định khi biết một điểm của đ.thẳng và một VTCP của nó r r r 2 VTPT: Ta gọi vectơ n là VTPT của đường thẳng (d) nếu n ≠ 0 và nó có giá vng góc với... By N + C) < 0 4 Điều kiện đường thẳng tiếp xúc đường tròn: Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R Điều kiện cần và đủ để đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) là d[I,( d )] = R PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN 15 Lý thuyết Hình Học 12 1 Phương trình đường tròn: a) Phương trình chính tắc: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có tâm I(a;b) và bán kính R Khi đó (C) có phương trình: (x − a) 2 + (y − b) 2 =... chuẩn của elip : a Phương trình các đường chuẩn ∆i ứng với các tiêu điểm Fi là : x ± = 0 e MF1 MF2 = = e (e < 1) Với M ∈ (E) ta có : d(M, ∆1 ) d(M, ∆ 2 ) MF1 = a + PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN 16 Lý thuyết Hình Học 12 x x A + x B + xC + X D  x G = 4  y + y B + yC + y D  ⇔ y G = A 4  z A + z B + zC + z D  zG = 4  I CƠNG THỨC VECTƠ: Trong khơng gian với hệ trục Oxyz cho r a = ( a1 ; a2 ;... chùm mp xác định bởi ( α 1 ) và ( α 2 ) là: λ ( A1 x + B1 y + C1z + D1 ) + µ ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0 với λ2 + µ 2 ≠ 0 5) CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP Vấn Đề 1: Viết phương trình mặt phẳng P.Pháp: 17 Lý thuyết Hình Học 12 • • r Tìm VTPT n = ( A; B; C ) và điểm đi qua M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) dạng: A( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 Vấn Đề 2: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B,... giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q)  A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ( P) ∆:   A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 (Q) P.Pháp: r  B1C1 C1 A1 A1 B1   ∆ có VTCP là : a =  B C ;C A ; AB   2 2 2 2 1 2 18 Lý thuyết Hình Học 12 Vấn Đề 2: Viết ptrình đường thẳng ∆ : P.Pháp: r • Cần biết VTCP a = ( a1 ; a 2 ; a 3 ) và điểm M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) ∈ ∆ • Viết ptrình tham số theo cơng thức (2) • Viết ptrình chính... đường ∆ 1 và ∆ 2 P.Pháp: • Thay toạ độ A vào phương trình ∆ 1 và ∆ 2 ⇒ A ∉ ∆1 , A ∉ ∆ 2 • • Gọi (P) là mp đi qua điểm A và chứa ∆ 1 Gọi (Q) là mp đi qua điểm A và chứa ∆ 2 • P.tr đường thẳng d:  19 Lý thuyết Hình Học 12 ( P ) : ( Q ) : Vấn Đề 10: Viết phương trình đường thẳng d ⊂ ( P ) cắt cả hai đường ∆ 1 và ∆ 2 P.Pháp: • Gọi A = ∆ 1 ∩ ( P ) • Gọi B = ∆ 2 ∩ ( P ) • Đường thẳng chính là đường thẳng . Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:       +± 2 sin 2 cos ϕϕ ir Lý thuyết Giải Tích 12 11 TÓM TẮT GIÁO KHOA HÌNH HỌC I. TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG 1. sin α = AB BC . ∆ =  Định lý Viet : Nếu phương trình bậc hai 2 0az bz c + + = ( , , , 0a b c a ∈ ≠ £ ) có hai nghiệm 1 2 ,z z thì : 1 2 b z z a + = − và 1 2 c z z a = .  Định lý đảo của định lý Viet. k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của n). b) Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là: k n n! A n(n 1)(n 2) (n k 1) (n k)! = − − − + = − Lý thuyết Giải Tích 12 3 5. Tổ