TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ Áp dụng lý thuyết về dãy số; cấp số cộng và cấp số nhân ta có thể giải được một số bài toán về tìm số hạng tổng quát của một dãy số. Ở đây ta chỉ xét một số bài toán đơn giản thuộc loại này. Bài toán 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau: 1; 2; 4; 7; 11 … Giải: Nếu kí hiệu các số hạng của dãy trên là: 1 2 3 ; ; ; n u u u u thì ta có: 2 1 3 2 4 3 1 1 1; 2; 3 1 1 2 3 1 n n n u u u u u u u u n u u n − − = − = − = − = − ⇒ − = + + + + − ( 1)/ 2 ( 1)/ 2 1 n n n u n n= − ⇒ = − + Một số bài toán tương tự: Tìm số hạng tổng quát của các dãy số sau: 1/ 1; 4; 10; 19; 31; … ; 2/ 1; 2; 6; 15; 31; … Bài toán 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy 1 * 1 1 ( ) : 3 2( ) n n n u u u u n N + =    = + ∈   Giải: Cách 1: Từ hệ thức truy hồi ta có dãy các hệ thức sau: 2 2 3 2 2 1 2 1 1 2 2 3 2 1 3 2;3 3 2.3;3 3 2.3 3 3 2.3 n n n n n n n n n u u u u u u u u − − − − − − − − = + = + = + = + 1 1 2 2 1 1 1 3 1 3 2(1 3 3 3 ) 3 2. 2.3 1 3 1 n n n n n n u u − − − − − − ⇒ = + + + + + = + = − − Cách 2: Đặt 1 1n n v u α + + = + sao cho 1 3 n n v v + = 1 1 3 2 3 3( ) 1 n n n n n v u u v u α α α α + + ⇒ = + = + + = = + ⇒ = . Vậy ( ) n v là một cấp số nhân có công bội q =3 và 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2.3 1 2.3 1 n n n n n n v u v v u v − − − = + = ⇒ = = ⇒ = − = − . Từ cách giải 2 ta có lời giải của bài toán tổng quát sau: Tìm số hạng tổng quát của dãy 1 1 ( ) : ( 0;1) n n n u a u u bu c b + =   = + ≠  Giải: Đặt 1 1n n v u α + + = + sao cho: 1 1 1 . . ( ) 1 n n n n n n n c v b v v u bu c b v b u b α α α α + + + = ⇒ = + = + + = = + ⇒ = − Như vậy ( ) n v là một cấp số nhân có DOÃN XUÂN HUY THPT ÂN THI HƯNG YÊN 1 1 1 1 1 1 . ( ). ( ). 1 1 1 1 n n n n n c c c c v u a v v q a b u a b b b b b α − − − = + = + ⇒ = = + ⇒ = + − − − − − Bài toán 3: Tìm số hạng tổng quát của dãy 1 * 1 2 ( ) : 2 1( ) n n n u u u u n n N + =    = + + ∈   Giải: Cho n chạy từ 1 đến n-1 ở hệ thức truy hồi rồi cộng các hệ thức lại ta được: [ ] 2 1 2 ( 1) ( 2) 3 2 1 ( 1) 1 ( 1) 2 n u u n n n n n n n= + − + − + + + + − = + + − = − − Bài toán 4: Tìm số hạng tổng quát của dãy 1 * 1 2 ( ) : 2 3 2( ) n n n u u u u n n N + =    = + + ∈   Giải: - Cách 1: Từ hệ thức truy hồi ta suy ra: 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1;2 2 2(3 4) 2 2 2 .5 n n n n n n n u u n u u n u u − − − − − − = + − = + − = + 1 1 2 2 n n n u u S S − ⇒ = + = + với 2 1 3 1 2(3 4) 2 (3 7) 5.2 n S n n n − = − + − + − + + 2 2 1 2 2 1 3 1 2 1 1 2 2(3 1) 2 (3 4) 8.2 5.2 3.2 3.2 3.2 5.2 3 1 6(1 2 2 ) 5.2 3 1 6(2 1) 5.2 3 1 8.2 3 5 4.2 3 5 5.2 3 5. n n n n n n n n n n n n S n n S n n n n n u n − − − − − − − − − ⇒ = − + − + + + ⇒ = + + + + − + = + + + + − + = − + − + = − − = − − ⇒ = − − Chú ý: trong lời giải trên ta đã tính tổng của tích các số hạng tương ứng của một cấp số cộng và một cấp số nhân. - Cách 2: Đặt n n v u an b= + + sao cho 1 2 n n v v − = 1 1 2 3 1 2( ( 1) ) 3; 5 n n n n v u an b u n an b u a n b a b − − ⇒ = + + = + − + + = + − + ⇒ = = Có 1 1 1 1 1 3.1 5 10 3 5 .2 10.2 5.2 n n n n n v u v u n v − − = + + = ⇒ = + + = = = 5.2 3 5 n n u n ⇒ = − − Bài toán 5: Tìm số hạng tổng quát của dãy 1 1 * 1 1 ( ) : 3 2 ( ) n n n n u u u u n N + + =    = + ∈   2 DOÃN XUÂN HUY THPT ÂN THI HƯNG YÊN Giải: - Cách 1: Theo giả thiết ta có: 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 3 2 ;3 3 2 .3; 3 3 2 .3 n n n n n n n n n u u u u u u − − − − − − − = + = + = + 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 3 3 2 (1 ) 3 4(3 2 ) 5.3 2 2 2 2 n n n n n n n n n n u u − − − − − − + − ⇒ = + + + + + = + − = − Chú ý: Trong lời giải trên ta đã tính tổng của tích các số hạng tương ứng của hai cấp số nhân. - Cách 2: Đặt .2 n n n v u k= + với 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 2 .2 3( .2 ) 2 2 3 2 2.2 .3 5.3 5.3 2 . n n n n n n n n n n n n n n n v v u k u k k k k u v v u − − − − − − − + = ⇒ + + = + ⇒ + = ⇒ = ⇒ + = = = ⇒ = − Bài toán 6: Tìm số hạng tổng quát của dãy 1 2 * 2 1 1; 5 ( ) : 5 6 ( ) n n n n u u u u u u n N + + = =    = − ∈   Giải: Từ giả thiết ta suy ra: 2 1 1 2 3( 2 ) n n n n u u u u + + + − = − . Đặt 1 2 1 2 n n n v u u + + + = − 1 3. n n v v + ⇒ = . Vậy ( ) n v là cấp số nhân có công bội q = 3 và 1 2 1 2 5 2.1 3v u u= − = − = 2 1 1 1 1 1 1 2 .3 3 2 3 n n n n n n n n v u u v u u − − − − − − ⇒ = − = = ⇒ = + . Đặt 1 .3 n n n x u k − = + sao cho: 1 1 1 2 1 1 1 1 2. .3 2. 3 .3 2. 2( .3 ) n n n n n n n n n n n x x x u k u k x u k − − − − − − − − = ⇒ = + = + + = = + 3 3. 2. 3k k k⇒ + = ⇒ = − . Do ( ) n x là cấp số nhân có công bội q = 2 và 0 1 1 1 1 1 .3 2 .2 2 .3 3 3 2 n n n n n n n n n n x u k x x u x k x − − = + = − ⇒ = = − ⇒ = − = + = − . Bây giờ ta giải bài toán tổng quát của bài toán trên: Tìm số hạng tổng quát của dãy 1 2 * 2 1 ; ( ) : (1)( ) n n n n u a u b u u cu du n N + + = =    = + ∈   trong đó a,b,c,d là các hằng số thực; a và b khác 0. Giải: Giả sử n n u r= với r là một số thực nào đó. Khi đó từ (1) ta suy ra: 2 1 . . 0 n n n r c r d r + + − − = 2 . 0(2)r c r d⇔ − − = . (2) được gọi là phương trình đặc trưng ( PTĐT ) của dãy ( ) n u . Có hai trường hợp: 1/ (2) có hai nghiệm phân biệt 1 r và 2 r . Khi đó ta có: 2 1 1 1 1 . . 0 n n n r c r d r + + − − = và 3 DOÃN XUÂN HUY THPT ÂN THI HƯNG YÊN 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 . . 0 ( . . ) .( . . ) .( . . ) 0 n n n n n n n n n r c r d r k r l r c k r l r d k r l r + + + + + + − − = ⇒ + − + − + = Điều đó chứng tỏ 1 2 . . n n n u k r l r= + thỏa mãn (1). Trong đó k và l là các hằng số thỏa mãn hệ phương trình sau: 1 2 2 2 1 2 . . . . k r l r a k r l r b + =    + =   . Do ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 0 r r D r r r r d r r r r = = − = − − ≠ nên hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất; điều đó cũng chứng tỏ dãy số đã cho được xác định một cách duy nhất. Áp dụng vào bài 6 ta có a = 1; b = 5; c = 5; d = -6 1 2 2; 3 1; 1r r k l⇒ = = ⇒ = − = 1 2 . . 2 3 n n n n n u k r l r ⇒ = + = − + Đối với dãy Fibônaxi ta có a = b = c = d = 1 nên PTĐT 2 1 0r r− − = có hai nghiệm: 1 2 1 5 1 5 & 2 2 r r + − = = . Từ đó ta có hệ phương trình: 1 5 1 5 . . 1(3) 2 2 3 5 3 5 . . 1(4) 2 2 k l k l  + − + =    + −  + =   Lấy (4) trừ (3) ta được: k+l = 0. Thay l = -k vào (3) ta được: 5. 1 1/ 5k k= ⇒ = . Vậy 1 1 5 1 5 2 2 5 n n n u       + −   = −  ÷  ÷         . 2/ (2) có nghiệm kép 2 1 2 1 2 . 2 4 c c r r d r r= = ⇒ − = = . Đặt 1 . n n n u r v= ; thay vào (1) ta được: 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 . . . . . 2. . . n n n n n n n n n n n n n n r v c r v d r v r v r v v v v v + + + + + + + + + + = + = − ⇒ − = − Vậy ( ) n v là một cấp số cộng nên . n v k n l= + với k và l là các số thỏa mãn hệ phương trình: 1 2 1 ( ). (2 ). k l r a k l r b + =    + =   Do 1 2 3 1 2 2 1 1 0 2. r r D r r r = = ≠ nên k và l được xác định một cách duy nhất; tức là có duy nhất dãy ( ) n u mà 1 ( . ) n n u k n l r= + thỏa mãn điều kiện của bài toán. Áp dụng: Tìm số hạng tổng quát của dãy 1 2 * 2 1 4; 20 ( ) : 4 4 ( ) n n n n u u u u u u n N + + = =    = − ∈   Ở đây ta có: a = 4; b = 20; c = 4; d = -4 nên PTĐT có nghiệm: 1 2 2r r= = . Giải hệ phương trình ta tìm được: k = 3 và l = -1. Vậy (3 1).2 n n u n = − 4 DOÃN XUÂN HUY THPT ÂN THI HƯNG YÊN // 5 . TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ Áp dụng lý thuyết về dãy số; cấp số cộng và cấp số nhân ta có thể giải được một số bài toán về tìm số hạng tổng quát của một dãy số. Ở đây ta chỉ xét một số. n= − ⇒ = − + Một số bài toán tương tự: Tìm số hạng tổng quát của các dãy số sau: 1/ 1; 4; 10; 19; 31; … ; 2/ 1; 2; 6; 15; 31; … Bài toán 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy 1 * 1 1 ( ) : 3. một số bài toán đơn giản thuộc loại này. Bài toán 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau: 1; 2; 4; 7; 11 … Giải: Nếu kí hiệu các số hạng của dãy trên là: 1 2 3 ; ; ; n u u u u thì ta có: 2