Đang tải... (xem toàn văn)
Cho hàm số y= (x) xác định trên đặt x k = x 0 + kh (k ) với x 0 , h, bất kỳ , cho trước. gọi y k = f(x k ) là giá trị của hàm số (x) tại x= xk, khi đó, hiruj số ∆yk := yk+1 yk (k ) được gọi là sai phân cấp 1 củ hàm số (x). Hiệu số ∆² yk := ∆yk+1 ∆yk = ∆(∆yk) (k ) được gọi là sai phân cấp 2 của hàm số (x).Tổng quát ∆i yk := ∆i1 yk+1 ∆i1 yk = ∆(∆i1 yk) (k ) được gọi là sai phân cấp i của hàm số (x) (i = 1,2,3,…n,..)
ƒx = x + khk∈ x ∈h∈ !"#y = f(x ) $"%& ƒ' ()*+ y k+, − y k k∈ -"#$& ./.,%ƒ!01)+2y k +y k+, − ∆y k ++y k k∈ -"#$&./.3%&ƒx!456"7)+y k +y k+, −+y k ++y k k ∈8 -"#$&./.%&ƒx,39 :!! !" ;&./<.=)(>>)?@A"%& y,y , ,y,….,y,… ;&./B"B"C &./#.$DE)FGH.! 4I$ ∀∈8∀αβ∈∀ƒx"x→&$)5( +αƒxJβ"xα+ƒxJβ+"x! ;&./.%&&IHn •$D&IH−K •LB" •MB"CN! 5"I&./O".P +ƒ k. " k ƒ k !+" k + " k+, +ƒ k ! Q"&./ +y = y − y , #$%"&'(")*+" RS T"U&./.k$D1I)FGI& &./.k. f(yR+R+2R!!!R+yC U&./.=)(>>)?@A"%&( ?'" & C y + a 1 yJ!!!J& k yƒ! 4"(& C & , !!!!&!ƒ=)VFWy , ,y $" &F! •S T"U -"#$. T"U&./)FG. k! •XF)ƒCU. T"U(?'" ay + ay + + ay = , -"#$. T"U&./)FG)P.k. •XF)ƒ≠CU( -"#$. T"U&./)FG 5")P! • 0 y FY&V -"#$"1%&. T" U&./)FG! • 0 yZ.[)D&Y&V9 -"#$ "1Q"7)%&9! •\D"18Y&V3 -"#$D"1"%& 3! ./0 12./ Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình dạng: u 1= α , au n+1 + bu n = f(n) n ∈ ¥ * (1), trong đó α , a ≠ 0, b ≠ 0 là các hằng số và f(n) là biểu thức của n cho trước. #$%3 4&"]. T"U&./)P T"I"! • ^]. T"U "a λ + b = 0>U λ ! • 4U"1%&. T"U&./)FG)P T" I"au n+1 + bu n = 0? ?'"u' = c λ n ( c là hằng số). • 4U"1"u %&. T"U5")P! • 4U"1Q"7)%&. T"U,u n = u* n + u' . 4$)56XF)f(n) = P m (n)$&IHm! _( XF) λ ≠ 1U&#u = Q(n)`"$&IHmn! XF) λ ≠ 1U&#u =nQ(n)"(Q m (n)`"$&IHm n! 7$)58Xa)f(n) = p. β n (p; β ≠ 0)!_( XF) λ ≠ β U&#x* n = d. β ? ∈ ¡ ! XF) λ β U&#x* n = d. n. β n ? ∈ ¡ ! 4$)59Xa)f(n) = α .sinnx + β .cosnx ( α + β ≠ 0; x ≠ k π ; k ∈ ¢ ). _(&#u* n = A.sinnx + B.cosnx với A; B ∈ ¡ $B" ! 4$)5:XF)f(n) = , ! m k k f n = ∑ _(&#"1"x* n %&,? ?'"x* n = , m nk k x ∗ = ∑ "( nk x ∗ T"I"$"1"%&. T"U&./,F.] $ k f n ! 12 ;Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai là phương trình dạng: u 1= α , 3 u β = , au n+1 + bu n+1 +cu n = f(n) n ∈ ¥ * (1), trong đó α , β &$ B" a ≠ 0, c ≠ 0 và f(n) là biểu thức của n cho trước. $%3 ^]. T"U)P T"I"! 4U"1"%&. T"U5")P! 4U"1Q"7)%&. T"U,? ?'" u n = u* n + u'n. ^]. T"U)P T"I" au n+1 + bu n+1 +cu n = 0. ^]. T"U "a 3 λ + b λ + c = 03>U λ ! 1< "&$=>?@"AB)3" CDE* Trường hơp 01: Nếu (2) có hai nghiệm phân biệt: λ = , λ , λ = 3 λ thì: u'n = A. λ + B λ trong đó A và B được xác định khi biết u 1 và u 2 . Trường hơp 02: Nếu (2) có hai nghiệm kép: λ = , λ = 3 λ thì: u'n = (A+Bn) λ , trong đó A và B được xác định khi biết u 1 và u 2 . Nếu: au n+1 + bu n+1 +cu n = f(n) với vế phải có dạng đặc biệt. f(n) = P k (n) là đa thức bậc k đối với n. Khi đó: Nếu phương trình đặc trưng (2) không có nghiệm λ = 1 thì ta chọn n x ∗ = Q k (n), trong đó Q k (n) là đa thức bậc k nào đó đối với n. Nếu (2) có nghiệm đơn λ = 1 thì ta chọn n x ∗ = nQ k (n), trong đó Q k (n) là đa thức bậc k nào đó đối với n. Nếu (2) có nghiệm kép λ = 1 thì ta chọn n x ∗ = n 2 Q k (n), trong đó Q k (n) là đa thức bậc k nào đó đối với n. *Trường hợp khi f(n) = P k (n). n β trong đó P k (n) là một đa thức bậc k đối với n. Khi đó: Nếu β không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng (2) thì ta chọn: n x ∗ = Q k (n), trong đó Q k (n) là đa thức bậc k nào đó đối với n với hệ số cần được xác định. Nếu β một nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (2) ta chọn n x ∗ = nQ k (n), trong đó Q k (n) là đa thức bậc k nào đó đối với n. Nếu β một nghiệm kép của phương trình đặc trưng (2) ta chọn n x ∗ = n 2 Q k (n), trong đó Q k (n) là đa thức bậc k nào đó đối với n. *Trường hợp 04: f(n) = , ! m k k f n = ∑ Khi đó ta chọn nghiệm riêng x* n của (2) dưới dạng: x* n = , m nk k x ∗ = ∑ trong đó nk x ∗ tương ứng là nghiệm riêng của phương trình sai phân (2) với vế phải là k f n và được tìm theo một trong các trường hợp trên. 12F Cho a, b, c, d, α β γ là các hằng số thuộc tập ¡ ; a ≠ 0 ; d ≠ 0 còn f(n) là một hàm số biến số n. Phương trình: , 3 9 9 3 , R R n n n n u u u au bu cu du f n α β γ + + + = = = + + + = được gọi là phương trình sai phấn tuyến tính cấp 03. $%3"'@?@&G [...]... đưa ra công cho phương trình tổng quát: NHẬN XÉT VỀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO Định nghĩa: Phương trình ay + ay + … + ay = f(n) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp cao: phương pháp: A Giải phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất tương ứng - Giải phương trình đặc trưng aλ + aλ + … + a.λ + a = 0 - Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần... i= 0 B Tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất Việc tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất cấp k làm tương tự như tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất cấp hai và cấp ba C Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp k Ngiệm tổng quát có dạng.. .Phương trình sai phân tuyến tính cấp 03 có nghiệm tổng quát dạng: ∧ ∗ un = un + un ∧ trong đó, un là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất, còn ∗ un là nghiệm riêng của phương trình đã cho ∧ Cách tìm un Xét phương trình đặc trưng: aλ 3 + bλ 2 + cλ + d = 0 (3) ∧ Nếu (3) có ba nghiệm thực phân biệt thì: un = C1 λ1n... tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp k Ngiệm tổng quát có dạng y= y'n + yn trong đó • yn là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính cấp k • • y' là nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng * yn là một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất ... λin i =1, i ≠ j i =1 • Nếu phương trình đặc trưng (2) có nghiệm phức đơn λ j = r (cosθ + i.sin θ ) Đặt λ j +1 = λ j thì λ j = r (cosθ − i.sin θ ) cũng là nghiệm của (2) Để thu được công thức nghiệm tổng quát, trong công thức (3) ta thay bộ phận c j λ jn + c j +1λ n+1 j bởi bộ phận tương ứng c j r n cos nθ + c j +1r n sin nθ • Nếu phương trình đặc trưng (2) có nghiệm... (3) có một nghiệm chung duy nhất: un 2 λn = (C1 + C2n+ C3n ) + C3 ∧ Kí hiệu: C1; C2; C3 là các hằng số mà sẽ được xác định bằng cách thay un vào các điều kiện biên và giải hệ phương trình thu được Cách tìm ∗ un : Trường hợp 01: Nếu f(n) = Pm(n) là đa thức bậc m đối với n thì: λ Khi (3) không có nghiệm ∗ un = 1 thì ta chọn: = Qm(n) trong đó Qm(n) là đa thức bậc... bậc m đối với n Nếu f(n) = A µn (A; µ là các hằng số cho trước) thì Khi µ không là nghiệm của (3) thì ta chọn: được xác định bằng cách thay Khi Khi Khi µ µ µ ∗ un ∗ un = B µn n với B là hằng số vào phương trình đã cho là nghiệm đơn của (3) thì ta chọn: ∗ un = B.n là nghiệm bội hai của (3) thì ta chọn: là nghiệm bội ba của (3) thì ta chọn: ∗ un ∗ un µn n = B.n 2 = B.n3 µn n µn n Nếu nhìn một . ./0 12./ Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình dạng: u 1= α , au n+1 + bu n = f(n) n ∈ ¥ * (1), trong. T"U&./,F.] $ k f n ! 12 ; Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai là phương trình dạng: u 1= α , 3 u β = , au n+1 + bu n+1 +cu n = f(n) n ∈ . (2) dưới dạng: x* n = , m nk k x ∗ = ∑ trong đó nk x ∗ tương ứng là nghiệm riêng của phương trình sai phân (2) với vế phải là k f n và được tìm theo một trong các trường hợp trên. 12F Cho