ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN HỒNG MƠ MỘT SỐ KẾT QUẢ DẠNG FARKAS CHO CÁC HỆ KHÔNG LỒI VÀ ÁP DỤNG VÀO LÝ THUYẾT TỐI ƯU Chuyên ngành: Lý thuyết tối ưu Mã số: 62 46 20 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tp. Hồ Chí Minh-2015 Công trình này được hoàn thành tại: • Đại học Khoa học Tự nhiên-ĐHQG Tp. HCM Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH. Nguyễn Định Phản biện 1: PGS.TS. Nguyễn Đình Huy Phản biện 2: PGS.TS. Đinh Ngọc Thanh Phản biện 3: PGS.TS. Phạm Hoàng Quân Phản biện độc lập 1: TS. Bùi Trọng Kiên Phản biện độc lập 2: TS. Nguyễn Xuân Hải Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án họp tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên-ĐHQG Tp. HCM vào lúc giờ ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Khoa học Tổng hợp Tp.HCM - Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự nhiên MỞ ĐẦU Bổ đề Farkas được đưa ra đầu tiên vào năm 1894 bởi nhà toán học và vật lý học người Hungary - Gyula Farkas khi ông nghiên cứu bài toán cân bằng trong cơ khí. Tuy nhiên, đến tám năm sau, năm 1902, ông mới đưa ra được chứng minh đúng của bổ đề. Bổ đề này được phát biểu như sau: cho bất kỳ các vectơ a 1 , a 2 , · · · , a m và c trong R n . Khi đó các mệnh đề sau đây tương đương: (i) x ∈ R n , a T i x ≥ 0, i = 1, 2, . . . , m =⇒ c T x ≥ 0; (ii) ∃λ i ≥ 0, i = 1, 2, . . . , m, c =  m i=1 λ i a i . Trong những năm 1950, sau khi Gale, Kuhn, và Tucker áp dụng thành công bổ đề này vào quy hoạch tuyến tính và quy hoạch phi tuyến, Bổ đề Farkas đã trở thành một trong những công cụ nổi tiếng trong tối ưu và trong toán ứng dụng. Kể từ đó, có nhiều nỗ lực mở rộng bổ đề này, và các kết quả này đã có nhiều ứng dụng không chỉ trong toán ứng dụng mà còn trong các lĩnh vực khác như tài chính và kinh tế. Về lý thuyết, dạng mở rộng cho hệ lồi của Bổ đề Farkas, gọi là Bổ đề Farkas- Minkowski, đã được chứng minh tương đương với Định lý Hahn-Banach. Hơn nữa, bổ đề này là “dạng toán" của nguyên lý cơ bản thứ nhất của toán tài chính. Bởi tầm quan trọng, trong những thập kỷ cuối của thế kỷ 20, nó liên tục được phát triển bởi nhiều nhà toán học từ hệ tuyến tính đến hệ lồi, không lồi; từ không gian hữu hạn chiều đến không gian vô hạn chiều; từ hàm đơn trị đến hàm đa trị. Chú ý rằng những dạng mở rộng của Bổ đề Farkas trong không gian vô hạn chiều hoặc cho hệ phi tuyến chỉ xảy ra khi có điều kiện chính quy nào đó như điều kiện Slater hoặc các dạng tổng quát của nó (được gọi là điều kiện về điểm trong). Gần đây, các tác giả V. Jeyakumar, N. Dinh, R. Burachik, R. I. Bot, G. Wanka đã giới thiệu một số điều kiện chính quy gọi là điều kiện về tính đóng, điều kiện này yếu hơn điều kiện về điểm trong. Hơn nữa, điều kiện về tính đóng này được chứng minh là điều kiện cần và đủ để đảm bảo tồn tại Bổ đề Farkas mở rộng. Tất cả các dạng mở rộng của Bổ đề Farkas được gọi là “các kết quả dạng Farkas" và chúng có nhiều áp dụng trong tối ưu. Tuy nhiên, vẫn còn nhiều vấn đề, câu hỏi mở chưa được giải chẳng hạn như Bổ đề Farkas có thể được thiết lập cho hệ liên quan hàm hợp? cho hệ liên quan hàm vectơ? Các kết quả này nếu thiết lập được thì giúp ích gì trong việc nghiên cứu lớp bài toán liên quan hàm hợp hoặc bài toán tối ưu vectơ? Mặt khác, trong những năm gần đây đã xuất hiện một số dạng mở rộng Bổ đề Farkas không có điều kiện chính quy. Câu hỏi quan trọng sau cùng, có hay không mối quan hệ giữa các dạng mở rộng của Bổ đề Farkas và các định lý cơ bản trong giải tích toán học? Từ những vấn đề vừa nêu, trong luận án này chúng tôi đặt kế hoạch nghiên cứu các vấn đề sau: 1 Vấn đề 1. Bổ đề Farkas cho hệ liên quan hàm hợp: Nghiên cứu và thiết lập một số dạng tổng quát Bổ đề Farkas cho hệ liên quan hàm hợp có/không có tính lồi và nửa liên tục dưới. Áp dụng các kết quả nhận được vào bài toán tối ưu liên quan hàm hợp với lồi/không lồi. Vấn đề 2. Bổ đề Farkas mở rộng và các định lý cơ bản trong toán học: Như đã đề cập ở trên, Bổ đề Farkas tương đương Định lý Hahn-Banach. Vì thế, một câu hỏi tự nhiên: Có tồn tại hay không các dạng mở rộng của Định lý Hahn-Banach tương đương với các dạng mở rộng gần đây hoặc dạng mới của Bổ đề Farkas? Vấn đề 3. Bổ đề Farkas theo dãy và Định lý Hahn-Banach xấp xỉ Thiết lập các dạng mới của Bổ đề Farkas không có điều kiện chính quy (gọi là Bổ đề Farkas theo dãy). Tìm các dạng mới của Định lý Hahn-Banach không có điều kiện chính quy (gọi là Định lý Hahn-Banach xấp xỉ) tương đương với Bổ đề Farkas theo dãy. Trong thời gian nghiên cứu thực hiện luận án, chúng tôi đã phần nào trả lời được các vấn đề đã nêu ở trên. Cụ thể, chúng tôi nhận được các kết quả sau đây liên quan đến các Vấn đề 1, 2 và 3: Các kết quả dạng Farkas cho hệ liên quan hàm hợp (Chương 2). Xét bất đẳng thức liên quan hàm hợp có dạng: f(x) + g(x) + (k ◦ H)(x) ≥ h(x) ∀x ∈ X. (1) Chúng tôi nhận được các kết quả sau: • Sáu loại điều kiện chính quy dùng để thiết lập các kết quả dạng Farkas liên quan bất đẳng thức (1) mà không đòi hỏi tính lồi cũng như tính nửa liên tục dưới. • Các kết quả dạng Farkas được thiết lập dưới điều kiện yếu nhất. • Thiết lập được các kết quả Moreau-Rockafellar tổng quát liên quan hàm hợp. Các kết quả này mở rộng các kết quả trước đây theo ba mặt: các hàm không cần lồi, giả thiết yếu hơn, và các điều kiện là cần và đủ. • Nhiều định lý thay thế, các đặc trưng của tập bao hàm của một tập lồi trong tập DC hoặc tập lồi ngược, và các kết quả đối ngẫu Fenchel-Rockafellar được suy ra. Các dạng mới của Bổ đề Farkas và Định lý Hahn-Banach dưới điều kiện dạng Slater (Chương 3). • Thiết lập được các dạng mới của Bổ đề Farkas cho hệ lồi theo nón K (K-lồi) và hệ lồi theo hàm dưới tuyến tính (S-lồi) dưới điều kiện dạng Slater không có tính nửa liên tục dưới và tính đóng. • Mở rộng Định lý Hahn-Banach-Lagrange và dạng mở rộng này tương đương với các dạng mới của Bổ đề Farkas vừa đề cập ở trên. 2 • Các kết quả này mở rộng các định lý cơ bản khác như Định lý sandwich, Định lý Mazur-Orlicz, và Định lý Hahn-Banach cho hàm dưới tuyến tính mở rộng. • Các kết quả trên cũng được áp dụng để nhận các kết quả về đối ngẫu và điều kiện tối ưu cho lớp bài toán tối ưu liên quan ánh xạ S-lồi. • Như các ví dụ minh họa, chúng tôi xét bài toán penalty, công thức đối ngẫu của supremum một họ các hàm lồi (vô hạn, không nửa liên tục dưới), và bài toán liên quan đến định lý đối ngẫu Fenchel tổng quát và định lý tách tập lồi. Từ Bổ đề Farkas đến Định lý Hahn-Banach (Chương 4). Các kết quả trong chương này là mở rộng và phát triển các kết quả trong Chương 3. Các kết quả này được thiết lập với điều kiện yếu nhất (điều kiện cần và đủ). Cụ thể: • Thiết lập được các điều kiện tính đóng mới−đặc trưng hóa các Bổ đề Farkas cho hệ K-lồi và hệ S-lồi. • Các Bổ đề Farkas mở rộng suy ra đặc trưng cho các dạng giải tích của Định lý Hahn-Banach-Lagrange, Định lý Mazur-Orlicz cho hàm dưới tuyến tính mở rộng. • Các dạng mới của Bổ đề Farkas và Định lý Hahn-Banach-Lagrange tương đương nhau. Các bổ đề Farkas theo dãy và các định lý Hahn-Banach xấp xỉ (Chương 5). • Các dạng mới của bổ đề Farkas theo dãy cho hệ K-lồi và hệ S-lồi được thiết lập. • Các dạng xấp xỉ của định lý Hahn-Banach-Lagrange được suy ra. • Các dạng mới của bổ đề Farkas theo dãy và định lý Hahn-Banach-Lagrange xấp xỉ tương đương nhau. Chúng có thể suy ra được các dạng xấp xỉ của định lý Hahn-Banach, định lý sandwich cho hàm dưới tuyến tính mở rộng. • Các kết quả này được áp dụng vào lớp bài toán tối ưu liên quan ánh xạ S-lồi. Chúng tôi giới thiệu một công thức đối ngẫu xấp xỉ của supremum của họ (vô hạn) các hàm lồi. Nội dung chính của luận án được trích từ các bài báo được đăng trên tạp chí chuyên ngành quốc tế. Trong bản tóm tắt này, tên của các chương, mục, mệnh đề, định lí, v.v được giữ nguyên như trong luận án. Vì giới hạn số trang của bản tóm tắt nên chúng tôi chỉ trình bày những kết quả chính. 3 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chúng tôi giới thiệu một số định nghĩa và kiến thức cơ bản sẽ được sử dụng trong luận án này. Vì sự giới hạn về số trang của bản tóm tắt nên chúng tôi chỉ trình bày ngắn gọn. Người đọc có thể tra cứu trong các quyển sách về giải tích lồi của Zalinescu, R. I. Bot, D. T. Luc, H.H. Bauschke và P.L. Combettes Cho X và Y là các không gian tôpô lồi địa phương. X ∗ và Y ∗ là không gian đối ngẫu (tương ứng), được trang bị tôpô yếu ∗ . Hàm chỉ trên tập A ⊂ X (hoặc A ⊂ Y ), i A , được định bởi: i A (x) := 0 nếu x ∈ A và i A (x) := +∞ nếu x /∈ A. Hàm đối ngẫu của f : X → R ∪ {+∞} là hàm f ∗ : X ∗ → R ∪ {±∞} được định bởi f ∗ (x ∗ ) = sup x∈X {x ∗ , x − f (x)} , ∀x ∗ ∈ X ∗ . Tập trên đồ thị của f là epi f := {(x, r) ∈ X × R : x ∈ domf, f(x) ≤ r}. Tập tất cả các hàm lồi chân chính nửa liên tục dưới xác định trên X được ký hiệu bởi Γ (X) . Với  ≥ 0, -dưới vi phân của hàm chân chính f tại ¯x ∈ dom f được định bởi ∂  f(¯x) = {x ∗ ∈ X ∗ | f(x) − f(¯x) ≥ x ∗ , x − ¯x −  ∀x ∈ dom f}. Cho K là nón trong Y , K + kí hiệu nón đối ngẫu của K, định bởi K + := {y ∗ ∈ Y ∗ | y ∗ , y ≥ 0 với mọi y ∈ K}. Chúng tôi định nghĩa ≤ K là quan hệ thứ tự trên Y bởi nón lồi K chứa 0 Y ∈ Y , nghĩa là, y 1 ≤ K y 2 nếu y 2 − y 1 ∈ K. Chúng tôi thêm vào Y một phần tử lớn nhất theo quan hệ ≤ K , kí hiệu ∞ K , phần tử này không thuộc Y và đặt Y • = Y ∪ {∞ K }. Khi đó ta có y ≤ K ∞ K for every y ∈ Y • . Một ánh xạ h : X → Y • , chúng tôi gọi miền xác định của h là tập dom h = {x ∈ X : h(x) ∈ Y }, và h là chân chính nếu dom h = ∅. K-epigraph của h là tập epi K h := {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ h(x) + K}. Hơn nữa, với bất kỳ y ∗ ∈ Y ∗ và h : X → Y • chúng ta định nghĩa hàm hợp y ∗ ◦ h : X → R ∪ {+∞} như sau: (y ∗ ◦ h)(x) =  y ∗ , h(x) , nếu x ∈ domh, +∞, khác. 4 Định nghĩa 1.0.1 Ánh xạ h : X → Y • được gọi là K-lồi nếu x 1 , x 2 ∈ X, µ ∈ [0, 1] ⇒ h((1 − µ)x 1 + µx 2 ) ≤ K (1 − µ)h(x 1 ) + µh(x 2 ), trong đó ≤ K là quan hệ mở rộng trên Y • bởi quy ước y ≤ K ∞ K với mọi y ∈ Y • . Rõ ràng h là K-lồi nếu và chỉ nếu epi K h là tập lồi. Định nghĩa 1.0.2 Ánh xạ h : X → Y • được gọi là K-epi closed nếu epi K h là tập đóng trong không gian tích. Định nghĩa 1.0.3 S : Y → R ∪ {+∞} là hàm dưới tuyến tính (mở rộng) nếu y 1 , y 2 ∈ Y ⇒ S(y 1 + y 2 ) ≤ S(y 1 ) + S(y 2 ), (a) và y ∈ Y và α > 0 ⇒ S(αy) = αS(y). (b) Chúng tôi giả sử S(0 Y ) = 0 (quy ước này phù hợp với S là nửa liên tục dưới). Hàm S như thế có thể mở rộng trên Y • bởi quy ước S(∞ K ) = +∞. Một hàm dưới tuyến tính mở rộng S : Y → R ∪ {+∞} cho phép ta giới thiệu một quan hệ hai ngôi trong Y • : y 1 ≤ S y 2 nếu S(y 1 − y 2 ) ≤ 0. Định nghĩa 1.0.4 Ánh xạ h : X →Y • được gọi là S-lồi (mở rộng) nếu với mọi x 1 , x 2 ∈ X, µ 1 , µ 2 > 0, µ 1 + µ 2 = 1, ta có h(µ 1 x 1 + µ 2 x 2 ) ≤ S µ 1 h(x 1 ) + µ 2 h(x 2 ). Dễ dàng thấy rằng nếu h là S-lồi thì h là K-lồi với K := {y ∈ Y : S(−y) ≤ 0}. Ngược lại, nếu h là K-lồi với K là nón lồi thì h là S-lồi với S = i −K . Định nghĩa 1.0.5 Cho (a i ) i∈I là lưới các số thực mở rộng xác định trên tập định hướng (I, ). Chúng ta định nghĩa giới hạn dưới của một lưới (a i ) i∈I là lim inf i∈I a i := lim i∈I inf ji a j = sup i∈I inf ji a j . Tương tự, ta định nghĩa giới hạn trên của một lưới (a i ) i∈I là lim sup i∈I a i := lim i∈I sup ji a j = inf i∈I sup ji a j . Ta nói rằng (a i ) i∈I hội tụ đến a ∈ R, kí hiệu lim i∈I a i = a hoặc a i −→ a, nếu với bất kì  > 0, tồn tại i 0 ∈ I sao cho |a i − a| <  với mọi i  i 0 . Bây giờ lấy (u ∗ i ) i∈I là lưới trong không gian tôpô X ∗ . Ta nói rằng (u ∗ i ) i∈I hội tụ về u ∗ ∈ X ∗ theo tôpô w ∗ nếu lim i∈I u ∗ i , x = u ∗ , x for all x ∈ X, và viết u ∗ i −→ ∗ u ∗ . 5 Chương 2 KẾT QUẢ DẠNG FARKAS CHO HỆ LIÊN QUAN HÀM HỢP Trong chương này, chúng tôi đưa ra những điều kiện liên quan đến bất đẳng thức f(x) + g(x) + (k ◦ H)(x) ≥ h(x) ∀x ∈ X. (1) Khi đó những điều kiện này chính là điều kiện cần và đủ cho những kết quả dạng Farkas liên quan đến (1) không có giả thiết lồi và nửa liên tục dưới. Những kết quả này mở rộng và bao gồm nhiều kết quả dạng Farkas trước đây. Hơn nữa chúng được áp dụng vào giải tích lồi và tối ưu: định lý dạng thay thế, các đặc trưng của tập bao hàm và công thức đối ngẫu Fenchel-Rockafellar. 2.1 Các điều kiện chính quy đối ngẫu và mối liên hệ của chúng Trong phần này chúng tôi giới thiệu mối liên hệ giữa các điều kiện đối ngẫu thuần túy đại số . 2.1.1 Các điều kiện chính quy đối ngẫu thuần túy đại số Cho X, Y là các không gian vectơ tôpô lồi Hausdorff (k.g.v.t.l.H) với X ∗ , Y ∗ là các không gian đối ngẫu tương ứng, f, g, h : X → R ∪ {+∞} là các hàm chân chính, H : dom H ⊂ X → Y là ánh xạ, và k : Y → R ∪ {+∞} là hàm chân chính. Chú ý các hàm không nhất thiết lồi và cũng không nửa liên tục dưới. Bây giờ chúng tôi giới thiệu các điều kiện sau: (CA) epi f ∗ + epi g ∗ +  λ∈dom k ∗ epi(λH − k ∗ (λ)) ∗ = epi(f + g + k ◦ H) ∗ , (CB) epi f ∗ +  λ∈dom k ∗ epi(g + λH − k ∗ (λ)) ∗ = epi(f + g + k ◦ H) ∗ , (CC) epi(f + g) ∗ +  λ∈dom k ∗ epi(λH − k ∗ (λ)) ∗ = epi(f + g + k ◦ H) ∗ , (CD) epi g ∗ +  λ∈dom k ∗ epi(f + λH − k ∗ (λ)) ∗ = epi(f + g + k ◦ H) ∗ , (CE)  λ∈dom k ∗ epi(f + g + λH − k ∗ (λ)) ∗ = epi(f + g + k ◦ H) ∗ , (CF) epi f ∗ + epi(g + k ◦ H) ∗ = epi(f + g + k ◦ H) ∗ . 6 Sau đây là mối liên hệ giữa các điều kiện trên. Định lý 2.1.1 Các phép kéo theo sau đây xảy ra: ✚ ✚ ✚ ✚ ✚ ✚ ✚ ✚ ✚ ✚ ✚ ✚ ✥ ✥ ✓ ✓ ❛ ❛ ✦ ✦ ❩ ❩ ❩ ❩ ❩ ❩ ❩ ❩ ❩ ❩ ❩ ❩ ❵ ❵ ❙ ❙ ✜ ✜ ✜ ✜ ✜ ✜ ✜ ✜ ✜ ✜ ✜ ✜ ✜ ✜ ✜ ✜ ✦ ✦ ✔ ✔ (CA) (CC) (CB) (CD) (CF) ❩ ❩ ❩ ❩ ❩ ❩ ❩ ❩ ❩ ❩ ❩ ❩ ❵ ❵ ❙ ❙ ❛ ❛ ✦ ✦ ✚ ✚ ✚ ✚ ✚ ✚ ✚ ✚ ✚ ✚ ✚ ✚ ✥ ✥ ✓ ✓ ✓ ✓ ❏ ❏ (CE) Với (A) =⇒ (B) nghĩa là (A) suy ra (B). 2.1.2 Các điều kiện chính quy đối ngẫu với tính lồi Bây giờ giả sử f, g ∈ Γ(X), k ∈ Γ(Y ), λH ∈ Γ(X) với mọi λ ∈ dom k ∗ , và dom(f + g + k ◦ H) = ∅. Khi đó ta được Mệnh đề 2.1.1 Các mệnh đề sau tương đương: (i) epi (f + g + k ◦ H) ∗ = C nếu và chỉ nếu C là đóng yếu ∗ , (ii) epi (f + g + k ◦ H) ∗ = D nếu và chỉ nếu D là đóng yếu ∗ , (iii) epi (f + g + k ◦ H) ∗ = E nếu và chỉ nếu E là đóng yếu ∗ , (iv) epi (f + g + k ◦ H) ∗ = F nếu và chỉ nếu F là đóng yếu ∗ . 2.2 Các đặc trưng của điều kiện chính quy đối ngẫu– Kết quả Moreau-Rockafellar tổng quát Sau đây chúng tôi thiết lập đặc trưng cho các điều kiện (CA)–(CF). Các đặc trưng này chính là các kết quả Moreau-Rockafellar tổng quát. Các kết quả này mở rộng và bao gồm các kết quả đối ngẫu Fenchel, định lý Moreau-Rockafellar. 2.2.1 Điều kiện chính quy đối ngẫu đặc trưng kết quả Moreau-Rockafellar tổng quát Giả sử rằng f, g, k, λH (λ ∈ Y ∗ ) là các hàm chân chính không nhất thiết lồi và nửa liên tục dưới và dom(f + g + k ◦ H) = ∅. Định lý 2.2.1 Các mệnh đề sau đây tương đương: 7 (a) (CA) xảy ra, (b) Với mọi x ∗ ∈ X ∗ , (f + g + k ◦ H) ∗ (x ∗ ) = min λ∈dom k ∗ u∈dom f ∗ , v∈dom g ∗  f ∗ (u) + g ∗ (v) + (λH) ∗ (x ∗ − u − v) + k ∗ (λ)  , (c) Với mọi ¯x ∈ dom(f + g + k ◦ H) và mọi  ≥ 0, ∂  (f + g + k ◦ H)(¯x) =  λ∈dom k ∗   1 , 2 , 3 ≥0  1 + 2 + 3 +k ∗ (λ)+(k◦H)(¯x)=+(λH)(¯x)  ∂  1 f(¯x) + ∂  2 g(¯x) + ∂  3 (λH)(¯x)  . Các đặc trưng cho (CB), (CC), (CD), (CE) và (CF) được thiết lập tương tự. 2.2.2 Các trường hợp đặc biệt Các đặc trưng cho các điều kiện (CA)–(CF) có thể mở rộng các kết quả trước đây. Trường hợp đặc biệt với H = A ∈ L(X, Y ), trong đó L(X, Y ) là tập tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y . Khi đó ta nhận được kết quả mà đã được thiết lập trong quyển sách của R. I. Bot (2010) và bài báo của R. I. Bot, S. M. Grad and G. Wanka (2008) với giả thiết f lồi nửa liên tục dưới, k là lồi nửa liên tục dưới và K-tăng. Các kết quả ở đây chúng tôi không sử dung các giả thiết vừa nêu. Kí hiệu A ∗ là toán tử đối ngẫu của A và (A ∗ × Id R )(epi k ∗ ) là tập ảnh của epi k ∗ qua hàm A ∗ ×Id R : Y ∗ ×R −→ X ∗ ×R, được định bởi (A ∗ ×Id R )(y ∗ , r) = (A ∗ y ∗ , r). Hệ quả 2.2.2. Giả sử A ∈ L(X, Y ). Giả sử rằng epi (f + k ◦ A) ∗ = epi f ∗ + (A ∗ × Id R )(epi k ∗ ). (2) Khi đó (a) Với mọi x ∗ ∈ dom(f + k ◦ A) ∗ , (f + k ◦ A) ∗ (x ∗ ) = min λ∈domk ∗ [k ∗ (λ) + f ∗ (x ∗ − A ∗ λ)], (b) Nếu thêm, f ∈ Γ(X) và k ∈ Γ(Y ) thì với mỗi ¯x ∈ dom f ∩ A −1 (dom k), ∂(f + k ◦ A)(¯x) = ∂f(¯x) + A ∗ ∂k(A¯x). 8 [...]... một trong số các cặp tương đương giữa (I) với một trong số (II)–(VII), là một đặc trưng của (1) hay là một kết quả dạng Farkas Do đó Định lý 2.3.1 bao gồm 6 dạng kết quả Farkas cho hệ bất đẳng thức (1) Mặc dù định lý này chỉ cho điều kiện đủ nhưng nó mở rộng và bao gồm các kết quả dạng Farkas trước đây Bây giờ chúng tôi giới thiệu điều kiện cần và đủ cho các kết quả dạng Farkas Định lý 2.3.2 Các khẳng... thiết lập được các kết quả Moreau-Rockafellar tổng quát liên quan hàm hợp Các kết quả này mở rộng các kết quả trước đây theo ba mặt: các hàm không cần lồi, giả thiết yếu hơn, và các điều kiện là cần và đủ • Nhiều áp dụng trong tối ưu Các dạng mới của Bổ đề Farkas và Định lý Hahn-Banach dưới điều kiện dạng Slater • Thiết lập được các dạng mới của Bổ đề Farkas cho hệ lồi theo nón và hệ lồi theo hàm dưới...2.3 Các kết quả dạng Farkas không lồi Sau đây là các kết quả chính trong chương này – các kết quả dạng Farkas mở rộng cho hàm hợp không có lồi và không có giả thiết tôpô Hơn nữa nó được thiết lập với điều kiện yếu nhất – điều kiện cần và đủ 2.3.1 Các kết quả dạng Farkas không lồi Giả sử rằng f, g, k , và λH (λ ∈ Y ∗ ) là các hàm chân chính không nhất thiết lồi và nửa liên tục Giả sử... đầu không còn đúng nữa) • Nhiều áp dụng trong tối ưu và giải tích lồi Từ Bổ đề Farkas đến Định lý Hahn-Banach Các kết quả trong phần này là mở rộng và phát triển các kết quả trong Chương 3 • Thiết lập được các điều kiện tính đóng mới đặc trưng hóa các Bổ đề Farkas cho hệ K -lồi và hệ S -lồi • Các Bổ đề Farkas mở rộng suy ra đặc trưng cho các dạng giải tích của Định lý Hahn-Banach-Lagrange, Định lý Mazur-Orlicz... 2.4 Các áp dụng 2.4.1 Định lý dạng thay thế Trong phần này, chúng tôi sẽ sử dụng Định lý 2.3.2 và các hệ quả của nó để suy ra các định lý dạng thay thế Chúng tôi bắt đầu với việc áp dụng Định lý 2.3.2 (iii) Chú ý rằng mỗi mục trong định lý này cho một định lý dạng thay thế không có tính lồi và cũng không có tính nửa liên tục dưới Chú ý rằng kết quả dạng thay thế trong Định lý 2.4.1 dưới đây được cho. .. nên không trình bày ở đây) 3.2.3 Sự tương đương giữa các dạng mới của Bổ đề Farkas và Định lý Hahn-Banach-Lagrange mở rộng Chúng tôi khẳng định rằng các Định lý 3.1.1 Định lý 3.1.2 và Định lý 3.2.1 tương đương nhau 3.3 Áp dụng vào bài toán tối ưu lồi theo hàm dưới tuyến tính Bây giờ chúng tôi áp dụng dạng mới của Bổ đề Farkas cho hệ S -lồi vào lớp bài toán tối ưu liên quan đến hàm hợp và ánh xạ S -lồi. .. ý 2.3.2 Các đặc trưng của các kết quả dạng Farkas trong Định lý 2.3.2 rất tổng quát Nó có thể suy ra các kết quả mới, mở rộng và chứa nhiều kết quả dạng Farkas liên quan hàm lồi và hàm DC Hơn nữa các kết quả (i) và (ii) đã được giới thiệu trong bài báo của N Dinh, G Vallet và M Volle (JOGO, 2014) 2.3.2 Các trường hợp đặc biệt Sau đây là một vài trường hợp đặc biệt Chúng tôi nhận được các kết quả mới,... lý Mazur-Orlicz cho hàm dưới tuyến tính mở rộng • Các dạng mới của Bổ đề Farkas và Định lý Hahn-Banach-Lagrange tương đương nhau Các bổ đề Farkas theo dãy và các định lý Hahn-Banach xấp xỉ • Các dạng mới của bổ đề Farkas theo dãy cho hệ K -lồi và hệ S -lồi được thiết lập • Các dạng xấp xỉ của định lý Hahn-Banach-Lagrange được suy ra • Các dạng mới của bổ đề Farkas theo dãy và định lý Hahn-Banach-Lagrange... tính ổn định Bổ đề Farkas cho hệ K -lồi 4.2 Đặc trưng hóa các Bổ đề Farkas mở rộng cho hệ lồi theo hàm dưới tuyến tính Tiếp theo chúng tôi sẽ chuyển các đặc trưng của Bổ đề Farkas cho hệ K -lồi, Định lý 4.1.1, thành đặc trưng của Bổ đề Farkas cho hệ S -lồi dưới điều kiện yếu nhất Định lý 4.2.1 [Bổ đề Farkas cho hệ lồi theo hàm dưới tuyến tính] Cho X, Y là k.g.v.t.l.H, C là tập con lồi đóng khác rỗng... đề Farkas không có điều kiện chính quy Những dạng này được cho ở dạng dãy (lưới) và ta gọi là các Bổ đề Farkas theo dãy (lưới) Từ đây ta suy ra được các dạng xấp xỉ của Định lý Hahn-Banach-Lagrange, Định lý Hahn-Banach, Định lý sandwich Các dạng Bổ đề Farkas theo dãy và Định lý Hahn-Banach-Lagrange xấp xỉ tương đương nhau Hơn nữa kết quả này được áp dụng để nhận được các kết quả về đối ngẫu mạnh và . HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN HỒNG MƠ MỘT SỐ KẾT QUẢ DẠNG FARKAS CHO CÁC HỆ KHÔNG LỒI VÀ ÁP DỤNG VÀO LÝ THUYẾT TỐI ƯU Chuyên ngành: Lý thuyết tối ưu Mã số: 62 46 20 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN. cứu và thiết lập một số dạng tổng quát Bổ đề Farkas cho hệ liên quan hàm hợp có /không có tính lồi và nửa liên tục dưới. Áp dụng các kết quả nhận được vào bài toán tối ưu liên quan hàm hợp với lồi /không. 3.1.2 và Định lý 3.2.1 tương đương nhau. 3.3 Áp dụng vào bài toán tối ưu lồi theo hàm dưới tuyến tính Bây giờ chúng tôi áp dụng dạng mới của Bổ đề Farkas cho hệ S -lồi vào lớp bài toán tối ưu liên