CÁC BÀI KIỂM TRA CƠ BẢN CHƯƠNG 3 HÌNH 9 Bài 1:Cho đường tròn (O ;R) và một dây AB , trên tia BA lấy điểm C sao cho C nằm ngoài đường tròn . Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đường kính PQ của đường tròn cắt dây AB tại D. Tia CP cắt đường tròn tại I. Các dây AB và QI cắt nhau tại K. a) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp . b) Chứng minh IQ là tia phân giác của góc AIB . c) Cho biết R = 5cm , · 0 45AOQ = . Tính độ dài của cung AQB . d) Chứng minh CK.CD = CA.CB . CHỨNG MINH a) Tứ giác PDKI nội tiếp: Vì P là điểm chính giữa » AB (gt) ⇒ PQ ⊥ AB, hay · 0 90=PDK · 0 90PIQ = (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) Ta có : · · 0 0 0 90 90 180+ = + =PIK PDK ⇒ Tứ giác PDKI nội tiếp b) IQ là tia phân giác của góc AIB Do PQ ⊥ AB (cmt) ⇒ » » AQ QB= (Liên hệ đường kính, dây) ⇒ · · AIQ QIP= (Q.hệ góc nội tiếp và cung chắn) ⇒ IQ là tia phân giác của góc AIB c) Tính ¼ AQB l : · » 1 2 =AQO sd AQ (góc ở tâm chắn cung AQ) ⇒ » · 0 45= =sd AQ AQO ⇒ ¼ » 0 0 2 2.45 90= = =sd AQB AQ » » ( ) =AQ QB ¼ = AQB l 5.90 5 ( ) 180 180 2 π π π = = Rn cm d) CK.CD = CA.CB : Xét ∆CIK ( ) 0 90I = $ và ∆CDP µ ( ) 0 90D = có: µ C : chung ( . ) . . (1) ⇒ ∆ ∆ ⇒ = ⇒ = :CIK CDP g g CK CI CK CD CI CP CP CD Xét ∆CAP và ∆CIB có: µ C : chung · · IPA IBA= (góc nội tiếp cùng chắn cung IA) ⇒ ∆CAP ∼ ∆CIB (g-g) . . (2) CA CP CA CB CI CP CI CB ⇒ = ⇒ = Từ (1) và (2) ⇒ CK.CD = CA.CB 1 Bài 2:Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) . Các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H . Vẽ tiếp tuyến x Ax ′ của (O) . a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp . b) Chứng minh : OA EF⊥ . c) Chứng minh hệ thức AB.AF = AC.AE d) Cho biết sđ AB ) = 90 0 , bán kính R = 10cm . Tính chu vi hình viên phân giới hạn bởi dây AB và cung nhỏ AB . Chứng minh: a)Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp Theo tính chất đường cao có: • BE ⊥ AC ⇒ · 0 90BEC = • CF ⊥ AB ⇒ · 0 90BFC = ⇒ · · ( ) 0 90BEC BFC= = ⇒ Tứ giác BFEC nội tiếp (2 đỉnh nhìn cạnh dưới góc bằng nhau) b)Chứng minh : OA EF ⊥ . · · xAB ACB= (Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây, góc nội tiếp cùng chắn cung AB) · · AFE ACB= (góc ngoài của tứ giác nội tiếp BFEC) ⇒ · · xAB AFE= và vò trí so le trong ⇒ xx’ // EF Mà xx’ ⊥ OA (tính chất tiếp tuyến ) ⇒ EF ⊥ OA c) Chứng minh hệ thức AB.AF = AC.AE Xét ∆AEB µ ( ) 0 90E = và ∆AFC µ ( ) 0 90F = có: µ A : chung ( . ) AB.AF AC.AE ⇒ ∆ ∆ ⇒ = ⇒ = :AEB AFC g g AB AE AC AF d) Tính chu vi hình viên phân giới hạn bởi dây AB và cung nhỏ AB . -Chu vi hình viên phân cần tìm : AB P AB l= + ) (*) · » 0 90AOB sđ AB= = (góc ở tâm) AO = OB = R 2AB R⇒ = 90 180 180 2 π π π = = = ) AB Rn R R l Từ (*) ⇒ P = 2 2 2 2 2 R R R π π   + + =  ÷  ÷   (đvđd) 2 . . AOBvuôngcân  ⇒ ∆   Bài 3Cho tam giác ABC nội tiếp (O), các đường cao BD và CE cắt nhau tại H (D ∈ AC; E ∈ AB). a.Chứng minh ADHE, BCDE là các tứ giác nội tiếp. b.Chứng minh AE.AB = AD.AC c.Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCDE. Biết góc ACB bằng 60 0 ; BC = 6cm. Tính độ dài cung nhỏ DC của (I) và diện tích hình quạt tròn IDC. Chứng minh a.Chứng minh ADHE, BCDE là các tứ giác nội tiếp. Theo tính chất đường cao có: • BD ⊥ AC ⇒ · 0 90ADH = • CE ⊥ AB ⇒ · 0 90AEH = ⇒ · · 0 0 0 90 90 180ADH AEH+ = + = ⇒ Tứ giác ADHE nội tiếp (Tổng 2 góc đối = 180 0 ) · 0 90BEC = ( kề bù · 0 90AEH = ) · 0 90BDC = (kề bù · 0 90ADH = ) ⇒ · · 0 90BEC BDC= = ⇒ Tứ giác BCDE nội tiếp (2 đỉnh nhìn cạnh dưới góc bằng nhau) b.Chứng minh AE.AB = AD.AC Xét ∆AEC µ ( ) 0 90E = và ∆ADB µ ( ) 0 90D = có: µ A : chung ( . ) AE.AB AD.AC ⇒ ∆ ∆ ⇒ = ⇒ = :AEC ADB g g AE AC AD AB c. Tính độ dài cung nhỏ DC của (I) và diện tích hình quạt tròn IDC. 6 3( ) 2 2 2 d BC R cm= = = = » · 0 60sđDC DIC= = (góc ở tâm) Độ dài cung nhỏ DC: .3.60 3,14( ) 180 180 Rn l cm π π π = = = ≈ Diện tích hình quạt tròn IDC: 2 .9.60 3 9,42( ) 360 180 q R n S cm π π π = = = ≈ 3 Bài 4Cho tam giác ABC vuông tại A và điểm I trên cạnh AC. Đường tròn đường kính IC cắt BC tại E và cắt BI tại D (D khác I). Chứng minh rằng: a) ABCD là tứ giác nội tiếp. b) I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE. c) Các đường thẳng AB, CD, EI đồng quy. Chứng minh a) ABCD là tứ giác nội tiếp. · 0 90BAC = (gt) · 0 90IDC = (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) ⇒ · · ( ) 0 90ABC IDC= = ⇒ Tứ giác ABCD nội tiếp (2 đỉnh nhìn cạnh dưới góc bằng nhau) b) I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE. · · ADB ACB= ( tứ giác ADCB nội tiếp) · · IDE ACB= ( tứ giác IDCE nội tiếp) ⇒ · · ADB IDE= Hay: DI là đường phân giác góc ADE (1) · 0 90IEC = (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) ⇒ · 0 90IEB = ( kề bù · IEC ) Ta có: · · 0 0 0 90 90 180IEB IAB+ = + = ⇒ Tứ giác AIEB nội tiếp (tổng 2 góc đối = 180 0 ) ⇒ · · IAE IBE= Mà · · IAE DAC= ( tứ giác IDCE nội tiếp) ⇒ · · IAE DAC= Hay: ADI là đường phân giác góc DAE (2) Từ (1) và (2) ⇒ I là giao điểm 2 đường phân giác Hay I là tâm của đường tròn nội tiếp ∆EAD c) Các đường thẳng AB, CD, EI đồng quy. ∆BPC có: ( ) ( ) CA AB cmt BD DC cmt  ⊥ ⇒  ⊥  I là giao điểm 2 đường cao ⇒ IE kéo dài là đường cao thứ ba Hay : Các đường thẳng AB, CD, EI đồng quy Bài 5:(Tương tự bài 3:) 4 Cho tam giác ABC vng tại A. Trên AC lấy một điểm D, vẽ đường tròn đường kính CD cắt BC tại M. Đường thẳng BD cắt đường tròn này tại E. hai đường thẳng AB và CE cắt nhau tại H. Chứng minh: a) Tứ giác ABCE và HADE nội tiếp. b) EB là phân giác của góc AEM. c) Ba điểm H, D, M thẳng hàng. Chứng minh a) Tứ giác ABCE và HADE nội tiếp. · 0 90BAC = (gt) · 0 90DEC = (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) ⇒ · · 0 90ABC DEC= = ⇒ Tứ giác ABEC nội tiếp (2 đỉnh nhìn cạnh dưới góc bằng nhau) · 0 90HAD = ( kề bù · ABC ) · 0 90HED = ( kề bù · DEC ) Ta có: · · 0 0 0 90 90 180HAD HED+ = + = ⇒ Tứ giác AHED nội tiếp (tổng 2 góc đối = 180 0 ) b) EB là phân giác của góc AEM. · · ADB ACB= ( tứ giác AECB nội tiếp) · · DEM ACB= ( góc nội tiếp cùng chắn cung DM) ⇒ · · ADB DEM= Hay: EB là đường phân giác góc AEM c) Ba điểm H, D, M thẳng hàng ∆HBC có: ( ) ( ) CA AB cmt BE EC cmt  ⊥ ⇒  ⊥  D là giao điểm 2 đường cao (1) · 0 90DMC = (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn ) ⇒ DM ⊥ MC(2) Từ (1) và (2) ⇒ DM ∈ đường cao HD Hay : Ba điểm H, D, M thẳng hàng 5 Bài 6:Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, trong đó µ 0 60A = , nội tiếp đường tròn (O;R). Các đường cao BM và CN cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AK. a) Chứng minh AMHN và BNMC nội tiếp. b) Chứng minh BHCK là hình bình hành và ba điểm H, D, K thẳng hàng (với D là chân đường vuông góc kẻ từ O đến BC). c) Tính AH theo R. Chứng minh a) Chứng minh AMHN và BNMC nội tiếp. Theo tính chất đường cao có: • BM ⊥ AC ⇒ · 0 90BMA = • CN ⊥ AB ⇒ · 0 90CNA = Ta có: · · 0 0 0 90 90 180HMA HNA+ = + = ⇒ Tứ giác AMHN nội tiếp (tổng 2 góc đối = 180 0 ) Từ tính chất đường cao trên · · 0 90BNC BMC⇒ = = ⇒ Tứ giác BNMC nội tiếp (2 đỉnh nhìn cạnh dưới góc bằng nhau) b) Chứng minh BHCK là hình bình hành và ba điểm H, D, K thẳng hàng. · 0 90KBA = (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn ) KB AB Mà:CN ( )AB cmt  ⇒ ⊥ ⇒  ⊥  KH //CN , hay BK // HC (1) · 0 90KCA = (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn ) KC AC Mà:BM ( )AC cmt  ⇒ ⊥ ⇒  ⊥  KC // BM , hay BH // KC (2) Từ (1) và (2) ⇒ Tứ giác BHCK là hình bình hành ( các cạnh đối //) Nên HK và BC là 2 đường chéo Mà OD ⊥ BC (gt) ⇒ DB = DC( Quan hệ đường kính và dây) Vậy D là trung điểm BC cũng là trung điểm 2 đường chéo của hình bình hành Hay ba điểm H, D, K thẳng c) Tính AH theo R. » · 0 0 2 2.60 120sđBC ABC= = = (góc nội tiếp ) · » 0 0 1 1 .120 60 2 2 DOC sđBC= = = (góc ở tâm) ∆ODC vuông tại D OD = OC.cos30 0 = R 3 2 Vì H là giao điểm 2 đường cao BM và CN của ∆ABC Nên AH là đường cao, ⇒ AH // OD ( cùng ⊥ BC) 1 3 ; 2 2. 3 2 2 2 OD KO KO AH OD R R AH KA KO ⇒ = = = ⇒ = = = 6 Bài 7: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Các đường cao AI và CK cắt nhau tại H. Kéo dài AI cắt (O) tại D ( D ≠ A), kéo dài CK cắt (O) tại E (E ≠ C). a) Chứng minh : Các tứ giác IBKH, AKIC nội tiếp. b) Chứng minh: ∆CHD cân và BH=BD c) Kéo dài BH cắt AC tại F. Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp ∆IKF. Chứng Minh a) Chứng minh : Các tứ giác IBKH, AKIC nội tiếp. Theo tính chất đường cao có: • AI ⊥ BC⇒ · 0 90HIB = • CK ⊥ AB ⇒ · 0 90HKB = Ta có: · · 0 0 0 90 90 180HIB HKB+ = + = ⇒ Tứ giác IBKH nội tiếp (Tổng 2 góc đối= 180 0 ) · 0 90AKC = ( kề bù · HKB ) · 0 90HIC = ( kề bù · HIB ) ⇒ · · 0 90AKC HIC= = ⇒ Tứ giác AKIC nội tiếp (2 đỉnh nhìn cạnh nối 1 đỉnh còn lại dưới góc bằng nhau) b) Chứng minh: ∆CHD cân và BH=BD Xét ∆IAB( ( ) 0 90I = $ và ∆ KCB µ ( ) 0 90K = có: µ B : chung ⇒ ∆IAB ∼ ∆ KCB (g-g) ⇒ · · BAD BCK= Mà: · · BCD BAD= (góc nội tiếp cùng chắn cung BD) ⇒ · · BCK BCD= Nên CI là đường phân giác của ∆CHD Mà : CI cũng là đường cao ( CI ⊥ HD) ⇒ ∆CHD cân tại C ⇒ CI là đường trung trực của HD ⇒ BH = BD c) Kéo dài BH cắt AC tại F. Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp ∆IKF. 7 Bài 8: Cho (O;R) đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Bx của (O).Lấy C bất kỳ trên (O). Tia AC cắt Bx tại điểm S. Gọi D là điểm chính giữa cung nhỏ BC; Tia BD cắt AS tại H. Tia AD cắt BC tại N, cắt SB tại M. a)Chứng minh tứ giác CHDN là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh ∆SAM đồng dạng với ∆SBH c) Tứ giác HNBS là hình gì? Vì sao? d) Xác đònh vò trí của C để góc CMB vuông. Chứng minh a)Chứng minh tứ giác CHDN là tứ giác nội tiếp. · 0 90ACB = (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn ) ⇒ · 0 90HCN = ( kề bù · ACB ) · 0 90ADB = (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn ) ⇒ · 0 90HDN = ( kề bù · ADB ) Ta có: · · 0 0 0 90 90 180HCN HDN+ = + = ⇒ Tứ giác CHDN nội tiếp (tổng 2 góc đối = 180 0 ) b) Chứng minh ∆SAM đồng dạng với ∆SBH · · = SBH BAD (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây , góc nội tiếp cùng chắn » BD ) (1) Mà » BD = » CD (P là điểm chính giữa » BC ) ⇒ · · =SAD BAD ( liên hệ góc nội tiếp và cung chắn ) (2) Từ (1) và (2) ⇒ · SBH = · SAD Xét ∆SAM và ∆SBH : S $ chung · SBH = · SAD (cmt) ⇒∆SAM đồng dạng ∆SBH (g-g) c) Tứ giác HNBS là hình gì? Vì sao? Xét ∆AHB: AD⊥ HB ( · o ADB 90 = ) BC⊥ AH ( · o ACB 90= ) Mà AD ∩ BC ={N} ⇒ N là trực tâm ∆AHB (t/c ba đường cao trong ∆) ⇒ HN là đường cao thứ ba của ∆AHB ⇒ HN⊥ AB Mà SB ⊥ AB T/c tiếp tuyến ) ⇒ HN //SB ⇒Tứ giác HNBS là hình thang (2 cạnh đối //) d) Xác đònh vò trí của C để góc CMB vuông. 8 Bài 9:Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Vẽ các tia tiếp tuyến Ax và By của (O). Lấy N bất kỳ thuộc (O). Tiếp tuyến tại N cắt Ax, By lần lượt tại P và Q. a)Chứng minh các tứ giác APNO và BQNO là các tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh AP + BQ = PQ c) Xác đònh vò trí của điểm N trên nửa đường tròn sao cho AP + BQ nhỏ nhất? Chứng minh a)Chứng minh các tứ giác APNO và BQNO là các tứ giác nội tiếp. Theo tính chất tiếp tuyến: • ON ⊥ PQ , ⇒ · 0 90ONP = • OA ⊥ AP , ⇒ · 0 90OAP = Ta có: · · 0 0 0 90 90 180ONP OAP+ = + = ⇒ Tứ giác APNO nội tiếp (tổng 2 góc đối = 180 0 ) Theo tính chất tiếp tuyến: • ON ⊥ PQ , ⇒ · 0 90ONQ = • OB ⊥ BQ , ⇒ · 0 90OBP = Ta có: · ¶ 0 0 0 90 90 180ONQ OPQ+ = + = ⇒ Tứ giác BQNO nội tiếp (tổng 2 góc đối = 180 0 ) b) Chứng minh AP + BQ = PQ Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau : Tại P : ⇒ PA = PN Tại Q: ⇒ QB = QN Do đó: AP + BQ = PN + QN = PQ c) Xác đònh vò trí của điểm N trên nửa đường tròn sao cho AP + BQ nhỏ nhất? 9 Ta có:AP + BQ = PQ ≥ AB (Vì khoảng cách giữa 2 đường thẳng Ax và By là nhỏ nhất) Vậy AP + BQ nhỏ nhất khi PQ = AB ⇒ APQB là hình chữ nhật ⇒ NO ⊥ AB ⇒ N nằm chính giữa cung AB . Bài 10:: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC và một cát tuyến AMN của đường tròn đó(M nằm giữa A và N) a) Chứng minh rằng tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn? b) Nếu AB = OB thì tứ giác ABOC là hình gì? Vì sao? c) Tính diện tích hình tròn và độ dài đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC khi biết bán kính đường tròn (O) là R= 6 cm và AB =8 cm? d) Chứng minh AM.AN=AC 2 ? Chứng minh a)Chứng minh rằng tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn? Theo tính chất tiếp tuyến ta có: AB ⊥ OB , ⇒ · 0 90ABO = AC ⊥ OC , ⇒ · 0 90ACO = Ta có: · · 0 0 0 90 90 180ABO ACO+ = + = ⇒ Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn (tổng 2 góc đối = 180 0 ) b)Nếu AB = OB thì tứ giác ABOC là hình gì? Vì sao? Nếu AB = OB ⇒ AB = OB = OC = AC Mà: · 0 90ABO = (cmt) ⇒ Tứ giác ABOC là hình vuông c)Tính diện tích hình tròn và độ dài đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC Ta có: ABOCY nội tiếp đường tròn đường kính AO, nên đường tròn đường kính AO ngoại tiếp tứ giác ABOC. Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 8 6 100 10( ) 2 2.3,14.5 31,4( ) 3,14.5 78,5( ) ht AO AB OB cm C R cm S R cm π π = + = + = = = = = ⇒ = = = d)Chứng minh AM.AN= AC 2 ? Xét ∆ACM và ∆ANC có: µ A chung; · · ACM ANC= (góc nội tiếp cùng chắn cung CM) Do đó ∆ACM ∼ ∆ANC (g-g) 2 . AC AN AC AM AN AM AC ⇒ = ⇒ = 10 . CÁC BÀI KIỂM TRA CƠ BẢN CHƯƠNG 3 HÌNH 9 Bài 1:Cho đường tròn (O ;R) và một dây AB , trên tia BA lấy điểm C sao cho