TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ HAI NĂM HỌC 2010 – 2011 ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI D Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1: (2 điểm) Cho hàm số 3 2 2 2 1y x mx m x m= − + − + có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 2. Tìm m để đồ thị (C) tiếp xúc với trục hoành. Câu 2: (2 điểm) 1. Giải phương trình 1 2(cos sin ) cot 2 cot 1 x x tgx g x gx − = + − . 2. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 2 4 3 x y x y x y x y + + + =   − + − =  . Câu 3: (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : 2 2 1x y+ = . Tìm các giá trị thực của m sao cho trên đường thẳng 0x y m− + = có duy nhất một điểm mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến với (C) sao cho góc giữa hai tiếp tuyến này bằng 90 0 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4 0x y z+ + + = và đường thẳng (d): 3 1 2 2 1 1 x y z− − − = = − . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(1;0;-1) và cắt đường thẳng (d) tại điểm A, cắt mặt phẳng (P) tại điểm B sao cho M là trung điểm của AB. Câu 4: (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S; mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD); góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) bằng 45 0 . Gọi M, N, E là trung điểm của các cạnh CD, SC và AD. Gọi F là hình chiếu của E lên cạnh SD. Tính thể tích hình chóp S.ABCD và chứng minh rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (CEF). Câu 5: (2 điểm) 1. Tính tích phân 2 8 3 1 1 dx x x + ∫ 2. Tính tổng: 1 3 52010 2008 2006 2011 2011 2011 2011 2011 .2 .2 .2 C C C C++ + + Câu 6: (1 điểm) Cho ba số x, y, z dương thỏa mãn 3x y z+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau 3 3 3 P xy yz zx x y z = + + + + + HẾT Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm ============================================= SƯU TẦM: VŨ PHẤN ( YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HÀ NỘI ) ============================================= TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ HAI NĂM HỌC 2010 – 2011 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN: TOÁN Câu ý Nội dung Điểm 1 (2điểm) 1 Với m=1 ta có 3 2 2y x x x= − + TXĐ: R 2 ' 3 4 1 0y x x= − + > . 1 ' 0 1 3 x y x =   = ⇔  =  0,25 Giới hạn: lim x y →±∞ = ±∞ bảng biến thiên x -∞ 1 3 1 +∞ y’ + 0 - 0 + y 0,25 Hàm số đồng biến trên khoảng 1 ( ; );(1; ) 3 −∞ +∞ Hàm số nghịch biến trên khoảng 1 ( ;1) 3 Điểm cực đại 1 4 ( ; ) 3 27 ; điểm cực tiểu (1;0) 0,25 Đồ thị Điểm uốn I 2 2 ( ; ) 3 27 2 -2 -5 5 Nhận xét: đồ thị nhận điểm I 2 2 ( ; ) 3 27 là tâm đối xứng 0,25 2 Đồ thị hàm số 3 2 2 2 1y x mx m x m= − + − + tiếp xúc với trục hoành 3 2 2 2 2 2 1 0 3 4 0 x mx m x m x mx m − + − + =  ⇔  − + =  có nghiệm 0,25 ============================================= SƯU TẦM: VŨ PHẤN ( YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HÀ NỘI ) ============================================= O y x +∞ -∞ 0 4 27 3 2 2 2 1 0(1) 3 x mx m x m x m x m − + − + =   ⇔ =     =   0,25 Với x = m thế vào (1) ta được : m=1 0,25 Với 3x = m thế vào (1) ta được : 3 3 3 3 6 9 3 1 0 4 3 1 0 1 3 1 3 2 2 x x x x x x x m x m − + − + = ⇔ − + = = − ⇒ = −   ⇔  = ⇒ =  Vậy m = 1; m= -3; m = 3 2 0,25 2 (2điểm) 1 Điều kiện :      ≠+ ≠ ≠ 02cot 1cot 02sin xgtgx gx x 0,25 Pt ⇔ xx xxx xgtgx sincos sin)sin(cos2 2cot 1 − − = + ⇔ x x x x x sin2 2sin 2cos cos sin 1 = + ⇔ sin2x = 2 sinx 0,25 ⇔ sinx(2cosx – 2 ) = 0 ⇔ 2cosx – 2 = 0 (vì sin2x ≠ 0) ⇔ cosx = 2 2 ⇔ x = )(2 4 Zkk ∈+± π π 0,25 với x = )(2 4 Zkk ∈+ π π thì cotgx = 1 (loại) với x = )(2 4 Zkk ∈+− π π thỏa mãn điều kiện Vậy nghiệm của phương trình là : x = )(2 4 Zkk ∈+− π π 0,25 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 2 1 4 4 0 x y x y x y x y x y x y x x y y ⇔ + + + = + + + =     − + − = + + − − − =   2 2 2 2 2 2 2(1) 2 1 ( 1) ( 2) 0 3 x y x y x y x y x y x y x y ⇔ ⇔ + + + =  + + + =   = +    + − + =    = − −   0,5 Với x = y+1 thế vào (1) ta được : 2 0 1 2 4 0 2 1 y x y y y x = ⇒ =  + = ⇔  = − ⇒ = −  0,25 Với 3x y= − − thế vào (1) ta được : 2 1 2 2 6 4 0 2 1 y x y y y x = − ⇒ = −  + + = ⇔  = − ⇒ = −  Vậy hệ có 3 nghiệm là (1;0) ; (-1;-2); (-2;-1) 0,25 ============================================= SƯU TẦM: VŨ PHẤN ( YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HÀ NỘI ) ============================================= O B A M 3 (2điểm) 1 Gọi M(a;a+m) là điểm thuộc đường thẳng d Goi A ,B là hai tiếp điểm Vì 2 tiếp tuyến kẻ từ M vuông góc với nhau nên ∆ MAB vuông cân tại M 0,25 Vì ∆MAB vuông cân tại M nên suy ra ∆MAO vuông cân tại A ta có: 2 2 2 2MO OA AM= + = 0,25 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 2 0a a m a am m+ + = ⇔ + + − = (1) Trên đường thẳng d tìm được duy nhất một điểm M⇔ phương trình (1) có nghiệm duy nhất ⇔∆’=0 ⇔ m = ±2. Vậy m =±2 thoả mãn đầu bài 0,5 2 Phương trình tham số của (d) 3 2 3 1 2 1 2 1 1 2 x k x y z y k z k = +  − − −  = = ⇔ = −  −  = +  Gọi A(3+2k;1-k;2+k) thuộc đường thẳng (d). Vì M là trung điểm của AB nên tọa độ của B(-1-2k;-1+k;-4-k) Vì B thuộc mặt phăng (P) suy ra : 1 2 1 4 4 0 1k k k k − − − + − − + = ⇔ = − 0,25 0,25 Suy ra A(1;2;1) (0; 2; 2) / /(0;1;1)AM⇒ − − uuuur Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 1 1 x y k z k =   =   = − +  0,5 4 (1điểm) Gọi H là hình chiếu của S lên AB. Vì ( ) ( ) ( )SAB ABCD SH ABCD ⊥ ⇒ ⊥ mà ∆SAB cân tại S nên H là trung điểm của AB. Vì ( )SH ABCD ⊥ ⇒ 0,25 ============================================= SƯU TẦM: VŨ PHẤN ( YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HÀ NỘI ) ============================================= Ta có 2 2 2 2 5 5 4 2 DH AD AH a SH DH a= + = ⇒ = = Vậy 3 1 5 . 3 6 SABCD ABCD V SH S a= = 0,25 Vì ∆CDE=∆DAH suy ra Mà SH ⊥ CE ⟹CE⊥(SDH) ⟹CE⊥SD mà EF⊥SD ⟹SD⊥(CEF) 0,25 Mặt khác ta có SD//MN nên SD//(AMN) Suy ra (AMN)⊥(CEF) 0,25 5 (2điểm) 1 Đặt 2 2 2 1 1t x t x tdt xdx= + ⇒ = + ⇒ = 3 2 8 3 x t x t = ⇒ = = ⇒ = 0,25 3 2 2 8 3 2 3 2 1 1 1 1 1 ( ) 2 1 1 1 1 dx dt dt t t x x t = − ∫ − + + = − ∫ ∫ 0,25 3 2 1 1 ln 2 1 1 3 | ln 2 2 t t − = + = 0,5 2 1 3 52010 2008 2006 2011 2011 2011 2011 2011 .2 .2 .2 C C C C++ + + Ta có 1 20 2011 2010 2009 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 .2 .2 .2 (1 2) 3C C C C =+ + + + = + 1 20 2011 2010 2009 2011 2011 1 2011 2011 2011 2011 .2 .2 .2 (2 1)C C C C =− −+ − = − Vậy 1 3 5 2011 2010 2008 2006 2011 2011 2011 2011 2011 3 1 .2 .2 .2 2 C C C C+ − + + + = 0,25 0,5 0,25 6 (1điểm) Ta có: 3 3 1x y z xyz xyz+ + ≥ ⇒ ≤ Ta có 2 2 2 3 3 3 3 3 1 3 9xy yz zx x y z x y z xyz + + + + + ≥ + Mà 2 2 2 3 3 3 1 1 3 3 3 9x y z xyz xyz + + ≥ Và 3 1 3 3 xyz ≥ Suy ra 2 2 2 3 3 3 3 3 1 3 9 12P xy yz zx x y z x y z xyz = + + + + + ≥ + ≥ Vậy Pmin =12 khi x=y=z=1 0,25 0,25 0,25 0,25 Chú ý: Thí sinh làm theo cách khác đáp án nếu đúng vẫn cho điểm tối đa ============================================= SƯU TẦM: VŨ PHẤN ( YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HÀ NỘI ) ============================================= . TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ HAI NĂM HỌC 2010 – 2011 ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI D Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1: (2 điểm) Cho. ) ============================================= TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ HAI NĂM HỌC 2010 – 2011 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN: TOÁN Câu ý Nội dung Điểm 1 (2điểm) 1 Với m=1 ta có 3. coi thi không giải thích gì thêm ============================================= SƯU TẦM: VŨ PHẤN ( YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HÀ NỘI ) ============================================= TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN