Hằng đẳng thức ( ) 22 2 2 BABABA +±=± và những ứng dụng trong giải toán lớp 8 1-Dạng 1: Tính nhanh, tính một cách hợp lý: đưa về HĐT để tính. Ví dụ: a) 101 2 =(100+1) 2 =100 2 +2.100.1+1 2 =10201 b) 199 2 =(200-1) 2 =200 2 -2.200.1+1 2 =39601 c) 34 2 +66 2 +68.66=34 2 +2.34.66+66 2 =(34+66) 2 =100 2 =10000 d) 74 2 +24 2 -48.74=74 2 -2.74.24+24 2 =(74-24) 2 =50 2 =2500 2-Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức: - Áp dụng HĐT để rút gọn biểu thức - Thay giá trị của biến rồi tính Ví dụ: a) 49x 2 -70x+25 với x=5 Ta có 49x 2 -70x+25=(7x) 2 -2.7x.5+5 2 =(7x-5) 2 Thay x=5 được 49x 2 -70x+25= (7.5-5) 2 =30 2 =900 b) 4x 2 +8x+4 với x=-3/2 Ta có 4x 2 +8x+4=4(x 2 +2x+1)=4(x+1) 2 Thay x=-3/2 được 4x 2 +8x+4=4(-3/2+1) 2 =4(-1/2) 2 =4.1/4=1 3-Dạng 3: Chứng minh biểu thức P(x)>0 với mọi giá trị của x. Phương pháp: Đưa về dạng: P(x)=(x ± a) 2 +số dương>0 Ví dụ: a) Chứng minh x 2 -6x+10>0 với mọi x Ta có x 2 -6x+10=(x 2 -6x+9)+1=(x-3) 2 +1>0 với mọi x b) Chứng minh x 2 -2xy+y 2 +1>0 với mọi x,y Ta có x 2 -2xy+y 2 +1=(x 2 -2xy+y 2 )+1=(x-y) 2 +1>0 với mọi x,y 4-Dạng 4 : Chứng minh biểu thức P(x)<0 với mọi giá trị của x. Phương pháp: Đưa về dạng: P(x)=-(x ± a) 2 +số âm<0 Ví dụ : a) Chứng minh x-x 2 -1<0 với mọi x Ta có x-x 2 -1=-(x 2 -2.x.1/2+1/4)-3/4=-(x-1/2) 2 -3/4<0 với mọi x. b) Chứng minh -4x-x 2 -5<0 với mọi x. Ta có -4x-x 2 -5=-(x 2 +2.x.2+4)-1=-(x+2) 2 -1<0 với mọi x. 5-Dạng 5 : Tìm GTNN của biểu thức P(x) Phương pháp : Đưa về dạng : P(x)=(x ± a) 2 +m ≥ m Suy ra GTNN của P(x) là m khi x ± a=0 Ví dụ : Tìm GTNN của các biểu thức sau : a) M=x 2 +y 2 -x+6y+10 b) P=x 2 -2x+5 c) Q=2x 2 -6x Giải: a) M=(y 2 +6y+9)+(x 2 -x+1/4)+3/4=(y+3) 2 +(x-1/2) 2 +3/4 ≥ 3/4 1 Suy ra GTNN của M là 3/4 khi x=1/2,y=-3 b) P=(x 2 -2x+1)+4=(x-1) 2 +4 ≥ 4 Suy ra GTNN của P là 4 khi x=1 c) Q=2(x 2 -2.x.3/2+9/4)-9/2=2(x-3/2) 2 -9/2 ≥ -9/2 Suy ra GTNN của Q là -9/2 khi x=3/2 6-Dạng 6 : Tìm GTLN của biểu thức P(x) Phương pháp : Đưa về dạng : P(x)=-(x ± a) 2 +n ≤ n Suy ra GTLN của P(x) là m khi x ± a=0 Ví dụ : Tìm GTLN của các biểu thức sau : a) A=4x-x 2 +3 b) B=x-x 2 c) C=2x-2x 2 -5 Giải: a) A=-(x 2 -2.x.2+4)+7=-(x-2) 2 +7 ≤ 7 Suy ra GTLN của A là 7 khi x-2=0 hay x=2 b) B=-(x 2 -2.x.1/2+1/4)+1/4=-(x-1/2) 2 +1/4 ≤ 1/4 Suy ra GTLN của B là ¼ khi x=1/2 c) C=-2(x 2 -2.x.1/2+1/4)-9/2=-2(x-1/2) 2 -9/2 ≤ -9/2 Suy ra GTLN của C là -9/2 khi x=1/2 7-Dạng 7 : Chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức. Tìm thương của phép chia hai đa thức. Ví dụ : Thực hiện phép chia : a) (x 2 +2xy+y 2 ) :(x+y) b) (x 2 -2xy+y 2 ) :(y-x) Giải : a) (x 2 +2xy+y 2 ) :(x+y)=(x+y) 2 :(x+y)=x+y b) (x 2 -2xy+y 2 ) :(y-x)=(y-x) 2 :(y-x)=y-x 8-Dạng 8 : Rút gọn phân thức : Dùng HĐT phân tích tử và mẫu thành nhân tử. Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung. Ví dụ : Rút gọn các phân thức sau : a) xx xx 2 12123 2 2 − +− ; b) xx xx 33 7147 2 2 + ++ Giải : a) x x xx x xx xx xx xx )2(3 )2( )2(3 2 )44(3 2 12123 2 2 2 2 2 − = − − = − +− = − +− b) x x xx x xx xx xx xx 3 )1(7 )1(3 )1(7 33 )12(7 33 7147 2 2 2 2 2 + = + + = + ++ = + ++ 9-Dạng 9 : Tìm n để đa thức A chia hết cho đa thức B. Ví dụ : Tìm n để đa thức 4x 2 +12x+9 chia hết cho đa thức 2x+n 2 Giải : Ta có : 4x 2 +12x+9=(2x+3) 2 4x 2 +12x+9  2x+n ⇔ (2x+3) 2  2x+n ⇔ n=3 • Chú ý : Thực hiện phép chia cũng được song phức tạ hơn : 4x 2 +12x+9 2x+n 4x 2 +2nx 2x+(6-n) (12-2n)x+9 (12-2n)x+6n-n 2 n 2 -6n+9 Ta có 4x 2 +12x+9  2x+n ⇔ n 2 -6n+9=0 ⇔ (n-3) 2 =0 ⇔ n=3 10-Dạng 10 : Giải toán tìm x : Đưa về dạng (x ± a) 2 =0, suy ra x= ± a Ví dụ : Tìm x biết : a) x 2 -x+1/4=0 b) x 2 -4x+4=0 Giải: a) x 2 -x+1/4=0 ⇔ (x-1/2) 2 =0 ⇔ x=1/2 b) x 2 -4x+4=0 ⇔ (x-2) 2 =0 ⇔ x=2 3 . b) 199 2 = (20 0-1) 2 =20 0 2 -2. 200.1+1 2 =39601 c) 34 2 +66 2 + 68. 66=34 2 +2. 34.66+66 2 =(34+66) 2 =100 2 =10000 d) 74 2 +24 2 - 48. 74=74 2 -2. 74 .24 +24 2 =(74 -24 ) 2 =50 2 =25 00 2- Dạng 2: Tính giá. a) 49x 2 -70x +25 với x=5 Ta có 49x 2 -70x +25 =(7x) 2 -2. 7x.5+5 2 =(7x-5) 2 Thay x=5 được 49x 2 -70x +25 = (7.5-5) 2 =30 2 =900 b) 4x 2 +8x+4 với x=-3 /2 Ta có 4x 2 +8x+4=4(x 2 +2x+1)=4(x+1) 2 Thay. cho nhân tử chung. Ví dụ : Rút gọn các phân thức sau : a) xx xx 2 121 23 2 2 − +− ; b) xx xx 33 7147 2 2 + ++ Giải : a) x x xx x xx xx xx xx )2( 3 )2( )2( 3 2 )44(3 2 121 23 2 2 2 2 2 − = − − = − +− = − +− b)