Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề Bất Phương trình lượng giác tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các...
Mục lục Trang Lời nói đầu………………………………………………………………………………………… 2 Mục lục………………………………………………………………………………………… …3 Chương I: Các bước đầu cơ sở………………………………………………… 4 1. Các bất đẳng thức đại số cơ bản…………………………………………………………4 a)Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM)……………………………………………….4 b)Bất đẳng thức Bunhiacốpxki…………………………………………………… 6 c) Bất đẳng thức Jensen…………………………………………………………… 8 d) Bất đẳng thức Chebyshev……………………………………………………….10 2.Các đẳng thức, bất đẳng thức cơ sở trong tam giác…………………………………….11 a) Đẳng thức…………………………………………………………………… 11 b) Bất đẳng thức………………………………………………………………… 16 3. Định lý về dấu của tam thức bậc hai……………………………………………………17 4.Định lý về hàm tuyến tính……………………………………………………………….19 5.Bài tập………………………………………………………………………………… 21 Chương II: Các phương pháp chứng minh……………………………………… 21 2.1.Biến đổi lượng giác tương đương…………………………………………………… 21 2.2.Sử dụng các bước đầu cơ sở………………………………………………………… 28 2.3.Đưa về tích vô hướng……………………………………………………………….…36 2.4.Kết hợp các bất đẳng thức cổ điễn………………………………………………….…37 2.5. Tận dụng tính đơn điệu của hàm số……………………………………………….…44 2.6. Bài tập……………………………………………………………………………… 50 Chương III: Áp dụng bất đẳng thức lượng giác vào một số bài toán…………… 49 1. Định tính tam giác……………………………………………………………………….49 a) Tam giác đều………………………………………………………………………… 49 b) Tam giác cân………………………………………………………………………… 52 c) Tam giác vuông……………………………………………………………………… 55 2. Cực trị lượng giác……………………………………………………………………….55 3. Bài tập 58 Lời cảm tạ………………………………………………………………………………………….60 Tài liệu tam khảo………………………………………………………………………………… 61 Chân dung một số nhà toán học……………………………………………………………………62 Chương I: Các bước đầu cơ sở Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu một số kiến thức cơ bản cần có để chứng minh bất đẳng thức lượng giác. Trước hết là các bất đẳng thức đại số ( Cauchy, B.C.S,…).Tiếp theo là các đẳng thức, bất đẳng thức liên quan cơ bản trong tam giác. Cuối cùng là một số định lý khác,công cụ đắc lực trong chứng minh bất đẳng thức( định lý về dấu tam thức bậc hai, định lý hàm tuyến tính,…). 1. Các bất đẳng thức đại số cơ bản : a)Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM): Với mọi số thực không âm 1 2 , , , n a a a ta luôn có: 1 2 1 2 n n n a a a a a a n + + + ≥ Ví dụ 1: Cho A,B,C là 3 đỉnh của 1 tam giác nhọn. CMR: tan tan tan 3 3A B C+ + ≥ Lời giải: Vì ( ) tan tan tan tan tan 1 tan .tan A B A B C C A B + + = − ⇔ = − − tan tan tan tan .tan .tanA B C A B C⇒ + + = Tam giác ABC nhọn nên tanA, tanB, tanC dương. Theo Cauchy ta có: 3 3 tan tan tan 3 tan .tan .tan 3 tan tan tanA B C A B C A B C+ + ≥ = + + ( ) ( ) 2 tan tan tan 27 tan tan tanA B C A B C⇒ + + ≥ + + tan tan tan 3 3A B C⇒ + + ≥ Đẳng thức xảy ra A B C ABC ⇔ = = ⇔ ∆ đều. Ví dụ 2 : Cho ABC∆ nhọn. CMR : cot cot cot 3A B C+ + ≥ Lời giải: Ta luôn có: - 2 - ( ) cot cot cot .cot 1 cot cot cot cot .cot cot .cot cot .cot 1 A B C A B C A B A B B C C A + = − − ⇔ = − + ⇔ + + = Khi đó: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 cot cot cot cot cot cot 0A B B C C A− + − + − ≥ ( ) ( ) 2 cot cot cot 3 cot cot cot cot cot cot 3A B C A B B C C A⇔ + + ≥ + + = cot cot cot 3A B C⇒ + + ≥ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ đều. Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi ABC ∆ nhọn ta có: cos cos cos cos cos cos 2 3 sin sin sin sin sin sin 2 2 2 2 2 2 2 3 cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 A B B C C A A B B C C A A B B C C A + + ≤ + + + ÷ Lời giải: Ta có: cos sin cot 2 2 2cos 2 A A A A = 3 cos cos 3 4 sin sin cot cot 2 2 4 4cos cos 2 2 A B A B A B A B ⇒ = ÷ ÷ Theo Cauchy: 2 3 3 cos cos sin sin cot cot 4 2 2 4 2 4cos cos 2 2 A B A B A B A B + ÷ ≤ ÷ ÷ - 3 - cos cos 2 3 sin sin cot cot 2 2 4 3 cos cos 2 2 A B A B A B A B ⇒ ≤ + ÷ Tương tự ta có: cos cos 2 3 sin sin cot cot 2 2 4 3 cos cos 2 2 B C B C B C B C ≤ + ÷ cos cos 2 3 sin sin cot cot 2 2 4 3 cos cos 2 2 C A C A C A C A ≤ + ÷ Cộng theo vế ta được: cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 A B B C C A A B B C C A + + ( ) 2 3 sin sin sin sin sin sin cot cot cot cot cot cot 2 2 2 2 2 2 2 3 A B B C C A A B B C C A ≤ + + + + + ÷ 2 3 sin sin sin sin sin sin 2 2 2 2 2 2 2 3 A B B C C A = + + + ÷ ⇒ Đpcm. b)Bất đẳng thức Bunhiacốpxki: Với 2 bộ số 1 2 , , , n a a a và 1 2 , , , n b b b ta luôn có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 n n n n a b a b a b a a a b b b + + + ≤ + + + + + + Nhận xét: -Nếu như với bất đẳng thức Cauchy, ta luôn phải nhớ điều kiện của các biến là phải không âm thì đối với bất đẳng thức Bunhiacốpxki, ta có thể áp dụng cho các biến là số thực. -Bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacốpxki là 2 bất đẳng thức tỏ ra rất hiệu quả khi dùng để chứng minh các bất đẳng thức lượng giác. Ta sẽ xét các ví dụ sau: Ví dụ 1: CMR với mọi , ,a b α ta có: ( ) ( ) 2 sin cos sin cos 1 2 a b a b α α α α + + + ≤ + ÷ - 4 - Lời giải: Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 sin cos sin cos sin sin cos cosa b a b ab α α α α α α α α + + = + + + ( ) 1 cos2 1 cos 2 sin 2 2 2 2 a b ab α α α + − + = + + ( ) ( ) ( ) 1 1 sin 2 1 cos 2 2 ab a b ab α α = + + + + − (1) Theo Bunhiacốpxki ta có: 2 2 sin cosA x B x A B+ ≤ + (2) Áp dụng (2) ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 sin 2 1 cos2 1 1 1a b ab a b ab a b α α + + − ≤ + + − = + + (3) Thay (3) vào (1) ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 sin cos sin cos 1 1 1 2 a b ab a b α α α α + + ≤ + + + + (4) Ta chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với mọi a,b: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 a b ab a b + + + + + ≤ + ÷ (5) Thật vậy: (5) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 4 2 ab a b ab a b + ⇔ + + + + ≤ + + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 a b a b + + ⇔ + + ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 2 a b a b + + + ⇔ + + ≤ (6) Theo Cauchy thì (6) hiển nhiên đúng ⇒ (5) đúng với mọi a,b. Từ (1) và (5) : với mọi , ,a b α ta có: ( ) ( ) 2 sin cos sin cos 1 2 a b a b α α α α + + + ≤ + ÷ Đẳng thức xảy ra khi ở (1) và (6) dấu bằng đồng thời xảy ra 2 2 1 tan arctan sin 2 cos 2 1 1 2 a b a b a b a b ab a b a b k ab ab π α α α α = = = ⇔ ⇔ ⇔ + − + 1 + = = = + − 2 − Ví dụ 2: CMR với mọi ABC∆ ta có: - 5 - ( ) k ∈Z 2 2 2 2 a b c x y z R + + + + ≤ với x,y,z là khoảng cách từ điểm M bất kì nằm bên trong ABC∆ tới 3 cạnh AB, BC, CA của tam giác. Lời giải: Ta có: 1 1 ABC MAB MBC MCA MBC MCA MAB ABC ABC ABC c b a S S S S S S S S S S z y x h h h = + + ⇔ + + = ⇔ + + = ( ) a b c a b c c b a z y x h h h h h h h h h ⇒ + + = + + + + ÷ Theo Bunhiacốpxki thì: ( ) a b c a b c a b c a b c a b c y y x z x z x y z h h h h h h h h h h h h h h h + + = + + ≤ + + + + = + + ÷ ÷ mà 1 1 sin sin 2 2 a a S ah ab C h b C= = ⇒ = , sin b h c A= , sin c h a B= ( ) sin sin sin 2 2 2 a b c ab bc ca h h h a B b C c A R R R ⇒ + + = + + = + + 2 2 2 2 2 2 2 ab bc ca a b c x y z R R R R + + ⇒ + + ≤ + + ≤ ⇒ Đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c ABC x y z = = ⇔ ∆ = = đều và M là tâm đường tròn nội tiếp ABC∆ . c) Bất đẳng thức Jensen: Cho :f R R + → thỏa mãn ( ) ( ) 2 2 x y f x f y f + + ≥ ÷ ,x y R + ∀ ∈ . Khi đó với mọi 1 2 , , , n x x x R + ∈ ta có bất đẳng thức sau: 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) n n x x x f x f x f x nf n ÷ + + + + + + ≥ - 6 - -Bất đẳng thức Jensen thật sự là một công cụ chuyên dùng cho chứng minh các bất đẳng thức lượng giác. Tuy không phải là một bất đẳng thức chặt nhưng nếu thấy có những dấu hiệu của BĐT Jensen, chúng ta nên dùng ngay. Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi ABC∆ ta có 3 3 sin sin sin 2 A B C+ + ≤ Lời giải: Xét ( ) sinf x x= với ( ) 0,x π ∈ ( )f x⇒ là hàm lồi. Theo Jensen ta có: 3 3 ( ) ( ) ( ) 3 3sin 3 3 2 A B C f A f B f C f π + + + + ≤ = = ⇒ ÷ Đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC ∆ đều. Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi ABC∆ đều ta có: tan tan tan 3 2 2 2 A B C + + ≥ Lời giải: Xét ( ) tanf x x= với 0, 2 x π ∈ ÷ ( )f x⇒ là hàm lồi. Theo Jensen ta có: 2 2 2 3 3sin 3 2 2 2 3 6 A B C A B C f f f f π + + ÷ + + ≥ = = ⇒ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ Đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC ∆ đều. Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi ABC∆ ta có: 3 sin sin sin tan tan tan 3 2 2 2 2 2 2 2 A B C A B C + + + + + ≥ + Lời giải: - 7 - Xét ( ) sin tanf x x x= + với 0, ( ) 2 x f x π ∈ ⇒ ÷ là hàm lồi. Theo Jensen ta có: 2 2 2 3 2 2 2 3 A B C A B C f f f f + + ÷ + + ≥ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 3 3 tan sin 3 6 6 2 π π = + = + ⇒ ÷ Đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ đều. d) Bất đẳng thức Chebyshev: Với 2 dãy số thực đơn điệu cùng chiều 1 2 , , , n a a a và 1 2 , , , n b b b ta có: ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 1 n n n n a b a b a b a a a b b b n + + + ≥ + + + + + + Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi ABC ∆ ta có 3 aA bB cC a b c π + + ≥ + + Lời giải: Không mất tổng quát giả sử a b c A B C≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ Theo Chebyshev thì 3 3 3 a b c A B C aA bB cC+ + + + + + ≤ ÷ ÷ 3 3 3 aA bB cC A B C π + + + + ⇒ ≥ = Đẳng thức xảy ra khi ABC ∆ đều. Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi ABC∆ ta có sin sin sin tan tan tan cos cos cos 3 A B C A B C A B C + + ≤ + + Lời giải: Không mất tổng quát giả sử A B C ≥ ≥ tan tan tan cos cos cos A B C A B C ≥ ≥ ⇒ ≤ ≤ Theo Chebyshev ta có: - 8 - tan tan tan cos cos cos tan cos tan cos tan cos 3 3 3 A B C A B C A A B B C C+ + + + + + ≥ ÷ ÷ sin sin sin tan tan tan cos cos cos 3 A B C A B C A B C + + + + ⇔ ≤ + + Mà tan tan tan tan tan tanA B C A B C+ + = ⇒ Đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC ∆ đều. Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi ABC∆ ta có ( ) 3 sin 2 sin 2 sin 2 2 sin sin sin 2 cos cos cos A B C A B C A B C + + + + ≥ + + Lời giải: Không mất tổng quát giả sử a b c ≤ ≤ sin sin sin cos cos cos A B C A B C ≤ ≤ ⇒ ≥ ≥ Theo Chebyshev ta có: sin sin sin cos cos cos sin cos sin cos sin cos 3 3 3 A B C A B C A A B B C C+ + + + + + ≥ ÷ ÷ ( ) 3 sin 2 sin 2 sin 2 2 sin sin sin 2 cos cos cos A B C A B C A B C + + ⇔ + + ≥ ⇒ + + Đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ đều. 2.Các đẳng thức, bất đẳng thức cơ sở trong tam giác: Đây là các đẳng thức và bất đẳng thức quen thuộc rất cần thiết cho việc chứng minh các bất đẳng thức lượng giác trong tam giác cũng như trong các ứng dụng của chúng. Ta cũng có thể xem đây như là một phần kiến thức cơ sở cần cho quá trình học toán của chúng ta. a) Đẳng thức: i. 2 sin sin sin a b c R A B C = = = ii. 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos b c a ca B c a b ab C = + − = + − iii. cos cosa b C c B = + - 9 - cos cos cos cos b c A a C c a B b A = + = + iv. 1 1 1 2 2 2 a b c S ah bh ch= = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 sin sin sin 2 2 2 2 sin sin sin 4 a b c bc A ca B ab C abc R A B C pr R p a r p b r p c r p p a p b p c = = = = = = = − = − = − = − − − v. 2 2 2 2 2 2 4 a b c a m + − = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 b c c a b m a b c m + − = + − = vi. 2 2 cos 2 a A bc l b c = + 2 2 2 cos 2 2 cos 2 b c B ca l c a C ab l a b = + = + vii. ( ) ( ) ( ) tan tan tan 4 sin sin sin 2 2 2 2 2 2 A B C A B C r p a p b p c R= − = − = − = viii. tan 2 tan 2 A B a b A B a b − ÷ − = + + ÷ - 10 - [...]... Chương II: Các phương pháp chứng minh 2.1 Biến đổi lượng giác tương đương : Có thể nói phương pháp này là một phương pháp “xưa như Trái Đất” Nó sử dụng các công thức lượng giác và sự biến đổi qua lại của các bất đẳng thức Để có thể sử dụng tốt phương pháp này bạn đọc cần trang bị cho mình những kiến thức cần thiết về biến đổi lượng giác (bạn đọc có thể tham khảo thêm phần 1.2 Các đẳng thức, bất đẳng thức... 1 ⇒ f ( x ) < 0∀x ∈ ,1 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong 1 Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z = ⇔ a = b = c 3 -Điều ta nên chú ý khi giải bất đẳng thức lượng giác bằng phương pháp này là dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra phải phù hợp với tập xác định của hàm lượng giác 5 Bài tập: - 18 - Cho tam giác ABC CMR: 3 3 3 i cot A + cot B + cot C ≥ 1 với tam giác ABC nhọn 3 ii sin A + sin B + sin... (1),(2) ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: x + y + z > 3( xy + yz + xz ) (3) Mà x , y ,z > 0 nên: (3) ⇔ ( x − y ) 2 + ( y − z ) 2 + ( z − x) 2 > 0 (4) Vì x , y ,z từng đôi một khác nhau nên (4) đúng ⇒ đccm Như vậy, với các bất đẳng thức trên thì việc biến đổi lượng giác là quyết định sống còn với việc chứng minh bất đẳng thức Sau khi sử dụng các biến đổi thì việc chứng minh bất đẳng thức... đầu cơ sở : Ta sẽ đưa các bất đẳng thức cần chứng minh về các bất đẳng thức cơ bản bằng cách biến đổi và sử dụng các bất đẳng thức cơ bản Ví dụ 2.2.1 Cho ∆ABC Đường phân giác của các góc A,B,C cắt đường tròn ngoại tiếp A1 , B1 , C1 CMR: S ABC ≤ S A1B1C1 lần lượt tại Lời giải: Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC thì nó cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆A1 B1C1 Bất đẳng thức cần chứng... yz cos A ) = − ( y cos C − z cos B ) ≤ 0 Vậy bất đẳng thức trên đúng Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi y sin C = z sin B ⇔ x : y : z = sin A : sin B : sin C = a : b : c x = y cos C + z cos B Tức x, y , z là 3 cạnh của tam giác tương đương với ∆ABC 2 Ví dụ 2: CMR ∀x ∈ R và ∆ABC bất kì ta có: - 15 - 1+ 1 2 x ≥ cos A + x ( cos B + cos C ) 2 Lời giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tuơng đuơng với:... B C Vì cos cos cos > 0 nên 2 2 2 A B C 1 ⇔ sin sin sin ≤ ⇒ (2) 2 2 2 8 đpcm Đẳng thức xảy ra ⇔ ∆ABC đều Ví dụ 2.2.2 - 26 - CMR trong mọi tam giác ta đều có: sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A ≤ 7 A B C + 4sin sin sin 4 2 2 2 Lòi giải: Ta có : cos A + cos B + cos C = 1 + 4sin A B C sin sin 2 2 2 Bất đẳng thức đã cho tương đương với: sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A ≤ 3 + cos A + cosB + cos... sin A sin B sin C A B C ⇔ tan + tan + tan ≥ 3 2 2 2 ⇒ đpcm Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều - 28 - Ví dụ 2.2.5 CMR trong mọi tam giác ta có : A B B C C A 5 r sin sin + sin sin + sin sin ≤ + 2 2 2 2 2 2 8 4R Lời giải: Áp dụng công thức : r = 4 R sin A B C sin sin , ta đưa bất đẳng thức đã cho về dạng 2 2 2 tương đương sau : sin A B B C C A A B C 5 sin + sin sin + sin sin − sin... phương pháp này bạn đọc cần trang bị cho mình những kiến thức cần thiết về biến đổi lượng giác (bạn đọc có thể tham khảo thêm phần 1.2 Các đẳng thức, bất đẳng thức trong tam giác) - 19 - Thông thường thì với phương pháp này, ta sẽ về dạng bất đẳng thức đúng hay quen thuộc Ngoài ra, ta cũng có thể sử dụng hai kết quả quen thuộc sin x £ 1 ; cos x ≤ 1 Ví dụ 2.1.1 π 1 − sin 4 > 3cos π CMR: π 7 2sin 4 Lời giải:... + c 2 + 2bc cos 2 B ) 2 = − ( b sin 2 A + c sin 2C ) ≤ 0 2 Vậy bất đẳng thức đã đuợc chứng minh xong Ví dụ 4: Cho ∆ABC bất kì Chứng minh rằng: 3 cos A + cos B + cos C ≤ 2 Lời giải: Đặt k = cos A + cos B + cos C = 2 cos B+C B −C cos − cos ( A + B ) 2 2 - 16 - A+ B A− B A+ B − 2 cos cos + k −1 = 0 2 2 2 A+ B Do đó cos là nghiệm của phuơng trình: 2 A− B 2 x 2 − 2 cos x + k −1 = 0 2 2 A+ B − 2 ( k − 1)... (a sin 2 x − b cos x) 2 ≥ 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2.1.3 CMR với ∆ABC bất kì ta luôn có: sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ≤ 9 4 Lời giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: Suy ra đpcm Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ∆ABC đều Ví dụ 2.1.4 π + kπ là ba góc thỏa sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 1 CMR: 2 2 t anα tan β + tan β tan γ + tan γ tan α . ABC∆ đều. 2.Các đẳng thức, bất đẳng thức cơ sở trong tam giác: Đây là các đẳng thức và bất đẳng thức quen thuộc rất cần thiết cho việc chứng minh các bất đẳng thức lượng giác trong tam giác. Chương II: Các phương pháp chứng minh 2.1. Biến đổi lượng giác tương đương : Có thể nói phương pháp này là một phương pháp “xưa như Trái Đất”. Nó sử dụng các công thức lượng giác và sự biến. Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra 1 3 x y z a b c⇔ = = = ⇔ = = . -Điều ta nên chú ý khi giải bất đẳng thức lượng giác bằng phương pháp này là dấu bằng của bất đẳng