Bài 1. Các bài toán về công thức tổ hợp, chỉnh hợp 237 CHƯƠNG III. TỔ HỢP, XÁC SUẤT VÀ SỐ PHỨC BÀI 1. CÁC BÀI TOÁN VỀ CÔNG THỨC TỔ HỢP, CHỈNH HỢP I. DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC k n C BẰNG ĐẠO HÀM 1. Các bài tập mẫu minh họa: Bài 1. Chứng minh rằng: − 1 2 n n 1 n n n C + 2C + + n.C = n2 Giải Xét: (1 + x) n = o 1 2 2 3 3 n 1 n 1 n n n n n n n n C C x C x C x C x C x − − + + ⋅ + ⋅ + + + Lấy đạo hàm cả 2 vế ta có: ( ) n 1 1 2 3 2 n n 1 n n n n n 1 x C 2C x 3C x nC x − − + = + ⋅ + ⋅ + + ⋅ … Thế x = 1 vào đẳng thức trên ta có: 1 2 n n 1 n n n C 2C n.C n2 − + + + = Bài 2. Chứng minh rằng: − − − 2 3 n n 2 n n n 2.1.C + 3.2.C + + n(n 1)C = n(n 1)2 Giải Xét: ( ) 1 n x + = o 1 2 2 3 3 n 1 n 1 n n n n n n n n C C x C x C x C x C x − − + + ⋅ + ⋅ + + + Lấy đạo hàm cả 2 vế ta có: ( ) n 1 1 2 3 2 n n 1 n n n n n 1 x C 2C x 3C x nC x − − + = + ⋅ + ⋅ + + ⋅ … Lại lấy đạo hàm ta có: ( )( ) n 2 2 3 n n 2 n n n n n 1 1 x 2C 3.2.C .x n(n 1)C .x − − − + = + + + − … Thế x = 1 vào đẳng thức trên ta có: 2 3 n n 2 n n n 2.1.C 3.2.C n(n 1)C n(n 1)2 − + + + − = − Bài 3. (Đề thi TSĐH khối A − −− − 2005) : Giải phương trình: ( ) − − 1 2 2 3 3 4 2n 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 C 2.2C + 3.2 C 4.2 C + + 2n + 1 2 C = 2005 Giải Xét ( ) 2 1 0 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 n k k n n n n n n n x C C x C x C x C x + + + + + + + + + = + + + + + + Lấy đạo hàm cả 2 vế ta có: ( )( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 n k k n n n n n n n x C C x kC x n C x − + + + + + + + = + + + + + + Thay x = − 2 vào đẳng thức ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2.2 2 2 2 1 k n k n n n n n n C C kC n C − + + + + + + = − + + − + + − + Phương trình đã cho ⇔ 2 n + 1 = 2005 ⇔ n = 1002 Chương III. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − −− − Trần Phương 238 Bài 4. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) − − − − − − k 2 3 k 2 k 2n-1 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 2C 3.2C + + 1 k k 1 2 C + 2n 2n + 1 2 C = 110 Giải Xét ( ) ( ) 2 1 0 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 n k k k n n n n n n n x C C x C x C x C x + + + + + + + + − = − + − + − + − Lấy đạo hàm cả 2 vế ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 n k k k n n n n n n n x C C x kC x n C x − + + + + + − + − = − + − + − + − + Lại lấy đạo hàm cả 2 vế ta có: ( ) ( ) 2 1 2 2 1 1 n n n x − + − = ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 1 2 2 1 k k k n n n n n n C C x k k C x n n C x − + − + + + + = − + + − − + − + Thay x = 2 vào đẳng thức ta có: ( ) 2 2 1 n n − + = ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3.2 1 1 2 2 2 1 2 k k k n n n n n n C C k k C n n C − − + + + + + = − + + − − + − + Phương trình đã cho ⇔ ( ) 2 2 2 1 110 2 55 0 5 n n n n n + = ⇔ + − = ⇔ = 2. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: Bài 1. Chứng minh rằng: 0 1 2 3 5 (2 1) ( 1)2 n n n n n n C C C n C n+ + + + + = + Bài 2. Chứng minh rằng: 1 1 2 2 3 3 1 2 2.2 3.2 . .3 n n n n n n n n n C C C n C n − − − − + + + + = Bài 3. Chứng minh rằng: 1 2 3 4 1 2 3 4 ( 1) . 0 n n n n n n n C C C C n C − − + − + + − = Bài 4. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 1 0 2 1 3 2 1 1 1 2 1 4 1 4 2 4 1 2.2 .2 n n n n n n n n n n n n n n n C n C n C C C C n C − − − − − − − + − − + − = + + + Bài 5. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 2 2 2 1 2 2 2 1 ! 2 1 ! n n n n n C C n C n − + + …+ = − ∀ n ≥ 2 Bài 6. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 2 1 1 1 1 1 n n n n n C C n C n n n − + + + = − − − … ∀ n ≥ 2 Bài 7. Chứng minh rằng: ( ) 1 1 1 tg 1 tg n n k k n k kC x n x − − = = + ∑ ∀ n ≥ 2 Bài 8. Chứng minh rằng: ( ) 1 2 2 2 3 2 2 2 3 1 2 n n n n n n C C C n C n n − + + + + = + Bài 9. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 1 2 1 0 n n n n n n n n nC n C n C C − − − − − + − − + − = Bài 10. CMR: ( ) ( ) ( ) 1 2 0 1 1 2 1 1 1 2 1 2 .2 1 2 2 n n n k k k n n n n n n C C kC nC n − − − − − − + − − + − + + = Bài 1. Các bài toán về công thức tổ hợp, chỉnh hợp 239 I I. DẠNG 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC k n C BẰNG TÍCH PHÂN 1. Các bài tập mẫu minh họa: Bài 1. Chứng minh rằng: − n+1 1 2 n n n n 2 1 1 1 1 1 + C + C + + C = 2 3 n + 1 n + 1 Giải Xét (1 + x) n = o 1 2 2 3 3 n 1 n 1 n n n n n n n n C C x C x C x C x C x − − + + ⋅ + ⋅ + + + Ta có: ( ) ( ) n 1 1 n 1 1 n 0 0 1 x 2 1 1 x dx n 1 n 1 + + + − + = = + + ∫ Mặt khác: ( ) 1 o 1 2 2 3 3 n 1 n 1 n n n n n n n n 0 C C x C x C x C x C x dx − − + + ⋅ + ⋅ + + + = ∫ Bài 2. Chứng minh rằng: − − n+1 1 2 n n n n ( 1) 1 1 n C C + + C = 2 3 n + 1 n + 1 Giải Ta có : (1 − x) n = 0 1 2 2 n n n n n n n C C x C x ( 1) C x − + + + − ⇒ 2 2 n 1 n 0 1 n n n 1 2 n n n n n n n 0 0 ( 1) 1 1 (1 x) dx C C x ( 1) C x dx C C C 2 3 n 1 + −   − = − + + − = − + +   + ∫ ∫ Mặt khác 1 2 n 1 n 0 0 (1 x) 1 (1 x) dx n 1 n 1 = − − = = + + ∫ ⇒ (đpcm) Bài 3. Chứng minh rằng: ( ) − n+1 0 1 2 n n n n n 1 1 1 1 2 1 C + C + C + …+ C = 3 6 3 3n + 3 3 n + 1 Giải Xét P(x) = ( ) ( ) n 2 3 2 0 1 3 2 6 n 3n n n n n x 1 x x C C x C x C x + = + ⋅ + ⋅ + + ⋅… Ta có: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 n n 2 3 3 3 0 0 0 1 P(x)dx x 1 x dx 1 x d 1 x 3 = + = + + ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) n 1 3 n 1 1 1 x 2 1 3 n 1 3 n 1 + + + − = = + + Chương III. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − −− − Trần Phương 240 Mặt khác: ( ) 1 1 0 2 1 5 n 3n 2 n n n 0 0 P(x) dx C x C x C x dx + = ⋅ + ⋅ + + ⋅ ∫ ∫ … = = 1 0 3 1 6 n 3n 3 n n n 0 C x C x C x 3 6 3n 3 +   ⋅ ⋅ ⋅ + + +   +     … 0 1 2 n n n n n 1 1 1 1 C C C C 3 6 3 3n 3 = + + + + + … Vậy ( ) n 1 0 1 2 n n n n n 1 1 1 1 2 1 C C C C 3 6 3 3n 3 3 n 1 + − + + + + = + + … 2. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: Bài 1. Chứng minh rằng: n 1 2 n n n n C 1 1 1 1 C C ( 1) 2 3 n 1 n 1 − + − + − = + + Bài 2. Chứng minh rằng: n 0 1 2 n n n n n ( 1) 1 1 1 1 C C C C 2 4 6 n 2 2(n 1) − − + − + = + + Bài 3. Chứng minh rằng: n n 0 2 1 3 2 n 1 n n n n n ( 1) 1 ( 1) 1 1 2C 2 C 2 C 2 C 2 3 n 1 n 1 + − + − − ⋅ + ⋅ − + ⋅ = + + Bài 4. Chứng minh rằng: n 1 0 2 1 3 2 n 1 n n n n n 3 1 1 1 1 2C 2 C 2 C 2 C 2 3 n 1 n 1 + + − + ⋅ + ⋅ + + ⋅ = + + Bài 5. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 0 1 2 3 2 !! 1 1 1 1 1 3 5 7 2 1 2 1 !! n n n n n n n n C C C C C n n − + − + + − = + + Bài 6. Chứng minh rằng: ( ) n 1 n n n 1 k k k 1 n n k 0 k 0 1 e 1 2 1 C C e n 1 k 1 n 1 k 1 + + + = = + + = + + + + + ∑ ∑ Bài 7. Chứng minh rằng: ( ) 0 1 2 1 1 1 1 2 3 1 1 n n n n n n C C C C n n − − + − + = + + Bài 8. Chứng minh rằng: ( ) 1 2 3 3 7 2 1 3 2 n n n n n n n n C C C C + + + + − = − Bài 9. Chứng minh rằng: ( ) ( ) k k n n 2n 2 n 1 n n k 1 n 1 k 0 k 0 C C 2 3 k 1 k 1 2 n 1 2 + + + + = = − − = + + + ∑ ∑ Bài 10. Đặt S n = 1 1 1 1 2 3 n + + + + … . Chứng minh rằng: ( ) ( ) n 1 n 1 1 2 n 1 n n n 1 n n 2 n 1 1 S C S C S 1 C S n − − − − − − − + − + − =… Bài 11. Chứng minh: ( ) n 1 1 2 3 n n n n n 1 1 1 1 1 1 C C C 1 C 1 1 2 3 n 2 n − ⋅ − ⋅ + ⋅ − + − ⋅ ⋅ = + + + … … Bài 1. Các bài toán về công thức tổ hợp, chỉnh hợp 241 III. DẠNG 3: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC k n C BẰNG ĐỊNH NGHĨA 1 1 k k n n n C C k − − = ( k n < ) ; ( ) 1 1 m m n m n m nC m C + + + = + ; m k k m k n m n n k C C C C − − ⋅ = ⋅ ( k ≤ m ≤ n ) ; ( ) 2 3 1 1 2 1 1 1 2 3 2 p n n n n n n p n n n n n C C C C n n C p n C C C C − − + + + + + + + = ; ( ) ( ) 1 1 1 2 3 1 0 2 3 1 1 n n k n k n n n n n k C C C nC n C − − − = − + − + − = − ∑ ; 1 1 2 2 2 2 1 2 n n n n n n C C C − + + + = ; 0 1 2 1 2 3 1 1 2 3 4 2 2 2 1 2 k n n n n n n k n n n n n k n C C C C C C C C C C + + + + + + + + + + + + + + = ; 1 1 1 2 2 m m m m n n n n C C C C + − + + + + = ; IV. DẠNG 4: CHỨNG MINH BẰNG CÔNG THỨC 1 1 1 ; − − − − = + = k n k k k k n n n n n C C C C C 1 1 2 1 1 k k k k k k n n n k k n C C C C C C + − − + + + + + + + = ; 1 2 3 3 3 3 k k k k k n n n n n C C C C C − − − + + + + = 1 2 3 2 3 2 3 2 5 4 k k k k k k n n n n n n C C C C C C + + + + + + + + + + = + ; 1 0 m k m n k n m k C C + + + = = ∑ 1 2 3 4 4 4 6 4 k k k k k k n n n n n n C C C C C C − − − − + + + + + = V. DẠNG 5: CHỨNG MINH BẰNG KHAI TRIỂN NEWTON 0 1 2 n n n n n C C C + + + = ; 1 3 2 1 0 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n C C C C C C − − + + + = + + + = 0 1 1 1 3 3 3 4 n n n n n n n n n C C C C − − + + + + = ; 0 1 2 2 3 3 6 6 6 6 7 n n n n n n n n C C C C C + + + + + = ( ) 0 1 2 3 1 0 n n n n n n n C C C C C − + − + + − = ; 0 1 1 2 2 3 1 1 2 2 .2 2 .3 2 . .3 n n n n n n n C C C nC n − − + + + + = 0 2 2 1 3 2 1 k k n n n n n n C C C C C C + + + + + = + + + + 0 1 2 2 3 3 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 10 10 10 10 10 81 n n n n n n n n n n n C C C C C C − − − + − + − + = ( ) ( ) 0 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 k n n n n n k k n n n n n n C C C C C − − − − + − + − + + − = ( ) 0 1 1 2 2 0 1 2 2 4 4 4 1 2 2 2 n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C − − − + − + − = + + + + 0 2 1 3 2 1 1 2 2 2 2 3 1 1 2 3 1 1 n n n n n n n C C C C n n + + − + + + + = + + ( ) 0 2 2 4 4 2 2 2 1 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 1 n n n n n n n n C C C C − + + + + = + ( ) 0 2 2 4 4 2000 2000 2000 2001 2001 2001 2001 2001 3 3 3 2 2 1 C C C C + + + + = − Chương III. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − −− − Trần Phương 242 VI. DẠNG 6: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC BẰNG CÁCH ĐỒNG NHẤT HỆ SỐ THEO 2 CÁCH KHAI TRIỂN 0 1 1 1 1 0 . . . . k k k k k n m n m n m n m m n C C C C C C C C C − − + + + + + = 0 1 1 2 . . . k k n k n n k n n n n n n n C C C C C C C + − + + + + = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 1 2 n n n n n n C C C C + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 n n n n n C C C C + + + + + − + − − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 1 2 2 2 2 2 2 2 1 n n n n n n n n C C C C C − + − + = − VII. DẠNG 7: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BPT CHỨA ; ; k k n n n A C P 1. Giải các phương trình sau đây: 3 2 2 20 n n C C = ; 4 3 4 1 24 23 n n n n A A C − + = − ; 3 5 5 720 n n n P A P + − = ; 1 3 1 72 72 n n A A + − = ; 1 2 3 2 6 6 9 14 n n n C C C n n + + = − ; ( ) 2 2 72 6 2 n n n n P A A P + = + ; 5 6 7 5 2 14 n n n C C C − = ; 4 3 2 1 1 2 5 0 4 n n n C C A − − − − − = ; 1 1 1 1 1 : : 5 : 5: 3 m m m n n n C C C + − + + + = ; 3 2 14 n n n A C n − + = ; 3 3 8 6 5 n n n C A + + + = ; 1 2 2 2 35 132 n n n n C C − − = ; 4 5 6 1 1 1 n n n C C C − = ; ( ) 2 4 4 2 1 1 4 1 n n n n n n C xC x C − − − − + = + ; 1 1 2 2 1 3 2 n n n n C C − − + = ; 3 2 1 14 n n n n A C C − + = 2. Giải các bất phương trình sau đây: ( ) 4 4 42 2 ! n n A P n + ≤ + ; ( ) 4 4 143 4 2 ! n n A P n + ≤ + ; 2 1 2 1 2 n n n n A P C − + − ≥ ; 3 3 1 195 0 4 n n n A P P + + − > ; 4 4 2 143 0 4 n n n A P P + + − > ; 2 2 3 2 6 1 10 2 n n n A A C x − ≤ + ; 11 13 13 n m C C − ≥ ; 4 3 2 1 1 2 5 0 4 n n n C C A − − − − − = ; 1 1 1 12 162 n n C C − + + ≥ ; 1 3 1 72 72 n n A A + − ≤ ; 2 2 1 2 3 30 n n C A + + < ; 3 1 1 1 100 n n n C C − + + ≥ + 3. Giải các hệ phương trình sau đây: 2 5 90 5 2 80 y y x x y y x x A C A C  + =    − =  ; ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 3 1 1 2 3 2 1 x y x y x y x y x y x y C C A C C A − − − − − −  + =    = +  ; ( ) ( )( ) 1 1 1 1 3 2 3 2 1 1 6 1 4 3 2 1 x y x y x y x y y y x x C A C A C x C y y − − − − − −  − = −     = + +  − −  . Bài 1. Các bài toán về công thức tổ hợp, chỉnh hợp 237 CHƯƠNG III. TỔ HỢP, XÁC SUẤT VÀ SỐ PHỨC BÀI 1. CÁC BÀI TOÁN VỀ CÔNG THỨC TỔ HỢP, CHỈNH HỢP I. DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC k n C . k n n n n n n C C kC nC n − − − − − − + − − + − + + = Bài 1. Các bài toán về công thức tổ hợp, chỉnh hợp 239 I I. DẠNG 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC k n C BẰNG TÍCH PHÂN 1. Các bài tập mẫu. C 1 C 1 1 2 3 n 2 n − ⋅ − ⋅ + ⋅ − + − ⋅ ⋅ = + + + … … Bài 1. Các bài toán về công thức tổ hợp, chỉnh hợp 241 III. DẠNG 3: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC k n C BẰNG ĐỊNH NGHĨA 1 1 k k n n n C C k − − =