1 (MỘT PHƯƠNG PHÁP NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH) : Bỉm sơn. 13.03.2011 http://www.vietmaths.com 2 GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN BẰNG NHIỀU CÁCH (Một phương pháp nhằm phát triển tư duy) I. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tính tích phân sau: 3 3 2 0 1 x I dx x    Giải: Cách 1: Phương pháp biến đối số Đặt   2 tan 1 tan x t dx t dt     Đổi cận 3 3 0 0 t x x t                 Khi đó     3 3 3 3 3 2 2 0 0 0 0 tan tan tan 1 1 tan tan 1 tanI tdt t t dt t t dt tdt                    2 3 3 0 0 cos tan 3 tan tan ln cos ln 2 3 cos 2 2 0 d t t td t t t                 Nhận xét: Đối với tích phân dạng     2 2 , ,I R u u a du u u x       thì ta có thể đặt tanu a t Cách 2: Phương pháp tích phân từng phần Đặt   2 2 2 2 ln 1 1 2 du xdx u x x xdx dv v x                  Khi đó         3 3 2 2 2 2 2 0 0 1 13 ln 1 ln 1 3ln2 ln 1 1 2 2 0 J I x x x x dx x d x           Tính     3 2 2 0 ln 1 1J x d x    Đặt       2 2 2 2 2 1 ln 1 1 1 1 d x u x du x dv d x v x                     3 Khi đó       3 2 2 2 0 1 33 3ln 2 1 ln 1 1 ln 2 2 2 0 I x x d x                  Chú ý: Sở dĩ ta sử dụng được phương pháp này là vì Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích được về dạng           ' n n P x f x Q x I dx dx Q x Q x     thì Đặt       ' n u f x du Q x v dv dx Q x           Cách 3: Kĩ thuật tách thành tích kết hợp phương pháp đổi biến số Nhận xét: Ta có 3 2 . x x x  và   ' 2 1 2 x x   từ đó ta định hướng giải như sau Phân tích 3 3 3 2 2 2 0 0 1 1 x x x I dx dx x x       Đặt 2 2 1 1 2 x t t x dt xdx            Đổi cận 4 3 1 0 t x t x              Khi đó     4 4 1 1 1 4 1 1 1 1 3 1 ln ln 2 1 2 2 2 2 t I dt dt t t t t                 Cách 4: Phân tích và đưa vào vi phân               2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 2 3 3 2 2 2 2 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 21 1 1 1 1 33 3 1 ln 1 2ln 2 2 2 2 1 0 0 x x I d x d x d x x x x d x x d x x x                                   Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản hơn     2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 0 0 0 1 1 3 1 33 3 ln 1 ln 2 2 2 2 2 2 1 1 1 0 0 d x x x x I dx x dx x x x x                        Nhận xét: Đây là tích phân hàm phân thức mà có bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu chính vì thế ta chia đa thức để tách thành tổng các tích phân là phương pháp tối ưu nhất Cách 6: Phân tích tử thức chứa mẫu thức (thực chất là chia đa thức) Ta có   3 2 1 x x x x    Khi đó     2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 0 0 0 1 1 3 1 33 3 ln 1 ln 2 2 2 2 2 2 1 1 1 0 0 d x x x x I dx x dx x x x x                        4 Bài 2: Tính tích phân bất định:    3 3 2 3 3 1 2 3 2 x x I dx dx x x x x         Giải: Cách 1: Phân tích tử thức chứa nghiệm của mẫu thức Phân tích       3 2 2 3 2 3 3 2 7 1 1x x x x x x x         Khi đó       2 2 3 2 2 3 2 3 3 2 7 1 1 3 3 2 3 2 x x x x x x x I dx dx x x x x                       2 7 1 1 3 3 7ln 2 2 1 2 2 1 2 x x dx x x dx x x x x x                         2 2 3 7ln 2 ln 2 ln 1 3 8ln 2 ln 1 2 2 x x x x x x C x x x C                 Cách 2: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và kĩ thuật “nhảy tầng lầu” Phân tích         3 2 3 2 3 1 1 2 3x x x x x x x                          2 2 3 2 3 1 2 3 2 3 3 2 3 1 2 9 1 2 3x x x x x x x x x x x x x                      Khi đó         2 3 2 2 3 2 3 1 2 3 2 3 3 3 2 3 2 x x x x x x x I dx dx x x x x                    2 2 2 9 2 3 3 3 9ln 2 ln 3 2 2 3 2 2 x x x dx dx x x x x C x x x                         Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và đồng nhất thức Phân tích     3 2 2 3 2 3 3 2 7 6x x x x x x x        Khi đó     2 2 3 2 2 3 2 3 3 2 7 6 3 3 2 3 2 x x x x x x x I dx dx x x x x                  2 1 2 7 6 3 3 3 2 2 x x x dx dx x I x x            . Tính 1 I bằng phương pháp đồng nhất thức…. Cách 4: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản hơn   1 3 2 2 2 3 9 8 9 8 3 3 3 2 3 2 3 2 I x x x I dx x dx x dx dx x x x x x x                           Tính 1 I bằng phương pháp đồng nhất thức…. Bài 3: Tìm nguyên hàm sau:   3 3 2 2 2 1 1 x x I dx dx x x x        Giải: Cách 1: Phương pháp đổi biến số 5 Đặt 1 1 du dx u x x u          Khi đó   3 3 2 2 2 2 2 1 3 3 1 3 1 1 3 3 3ln 2 u u u u u I du du u du u u C u u u u u                         với 1u x  Cách 2: Phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức Phân tích       3 2 2 2 1 2 2 1 3 1 1x x x x x x x         Khi đó       2 2 3 2 2 2 1 2 2 1 3 1 1 2 1 2 1 x x x x x x x I dx dx x x x x                   2 2 3 1 1 2 2 3ln 1 1 2 1 1 x x dx x x C x x x                       Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và kĩ thuật nhảy tầng lầu Phân tích       3 2 2 3 2 1 2 2 1 1 2 2 2 x x x x x x x         Khi đó       2 2 3 2 2 3 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 x x x x x x x I dx dx x x x x                 2 2 2 1 3 2 2 3 2 2 ln 1 ln 2 1 1 2 2 1 2 2 x x x dx dx x x x x C x x x                         Cách 4: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và đồng nhất thức Phân tích     3 2 2 2 1 2 2 1 3 2x x x x x x x        Khi đó     2 2 3 2 2 2 1 2 2 1 3 2 2 1 2 1 x x x x x x x I dx dx x x x x                  2 1 2 3 2 2 2 2 1 2 x x x dx dx x I x x            . Tính I 1 bằng phương pháp đồng nhất thức Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng các tích phân đơn giản     3 3 2 2 2 2 3 1 2 12 1 1 1 1 2 3ln 1 2 1 x x I dx dx x dx xx x x x x x x C x                            Cách 6: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần Đặt   3 2 2 3 1 1 1 u x du x dx dx dv v x x                   Khi đó 6 3 2 3 2 3 3 2 1 1 3 3 1 1 1 1 1 3 1 3 ln 1 1 1 1 2 x x x x I dx dx x x x x x x x x dx x x C x x x                                           Bài 4: Tìm nguyên hàm:   2 39 1 x dx I x    Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân Phân tích       2 2 2 1 1 1 2 1 1x x x x                       2 2 39 39 37 38 39 1 2(1 ) 1 1 2 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x                           37 38 39 36 37 38 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 36 37 38 1 1 1 1 1 1 I dx dx dx C x x x x x x                 Cách 2: Đặt 1 1t x x t dx dt          2 39 39 38 37 38 37 36 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 38 37 36 t dt I dt dt dt C t t t t t t t                 Nhận xét: Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần Đặt     2 38 39 2 1 38 1 1 du xdx u x dx v dv x x                 Khi đó     2 38 38 1 1 19 38 1 1 x I x dx x x      …. đến đây các bạn có thể tự làm rồi Bài 5: Tìm nguyên hàm: 3 10 ( 1) x dx I x    Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân Sử dụng đồng nhất thức:         3 3 2 3 1 1 1 3 1 3 1 1x x x x x             3 10 7 8 9 10 1 3 3 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) x x x x x x           Khi đó 7 8 9 10 6 7 8 9 3 3 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 3 1 3 1 1 1 6 7 8 9 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) dx dx dx dx I x x x x C x x x x                        7 Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi số Đặt 1t x  ta có: 1 x t   nên dx dt   3 3 2 7 8 9 10 10 10 1 ( 3 3 1) 3 3 t dt t t t dt A t dt t dt t dt t dt t t                     6 7 8 9 1 1 3 1 3 1 1 1 6 ( 1) 7 ( 1) 8 ( 1) 9 ( 1) C x x x x           Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần Đặt     3 2 10 9 3 1 1 9 1 u x du x dx dx dv v x x                   Khi đó     1 2 3 9 9 1 1 3 9 1 1 I x I x dx x x        đến đây rùi ta có thể tính 1 I bằng phương pháp tích phân từng phần hoặc phân tích       2 2 1 1 1 1 1x x x x       Nhận xét : - Đối với bài 3, bài 4 và mà ta sử dụng phương pháp đồng nhất thức thì giải hệ quả thật là nan giải phải không, chính vì thể mà lựa chọn phương pháp nào mà hiệu quả và nhanh về đích nhất Qua bài 3, bài 4 và bài 5 ta chú ý - Đối với tích phân hàm phân thức có dạng     n P x I dx x a    thì đặt t x a  là một phương pháp hiệu quả nhất - Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích được về dạng           ' n n P x f x Q x I dx dx Q x Q x     thì ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần nhưng nên làm khi bậc của   x a  là 1,2n  Đặt:       ' n u f x du Q x v dv dx Q x           Bài 11: (ĐHDB – B 2004) Tính tích phân sau:   3 3 3 2 0 0 1 dx dx I x x x x       HD: Cách 1: Biến đổi số Nhân cả tử và mẫu cho 2 x     3 3 3 3 2 2 2 0 0 0 1 1 dx dx xdx I x x x x x x          8 Đặt 2 2 1 1 2 x t t x dt xdx            Cách 3: Biến đổi số Đặt tan x u  … Bạn đọc tự giải Cách 4: Đưa vào vi phân Phân tích tử   2 2 1 1 – x x   Khi đó   2 3 3 2 2 00 0 0 3 3 2 1 13 3 ln ln 1 2 1 1 6 ln 2 0 2 1 0 dx x dx I dx d x x x x x x x               Bài 12: Tính tích phân sau: 2 5 3 1 dx I x x    Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích Cách 1.1: Phân tích: 2 2 1 1 x x      2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x                   Khi đó 2 2 3 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 ln 3 1 5 ln 2 ln 8 ln 1 2 1 2 22 1 x I dx dx dx x x x x x x                     Cách 1.2: Phân tích:     4 4 4 2 2 1 1 1 1 x x x x x              4 2 2 4 4 2 3 3 2 3 2 2 3 2 3 2 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                     tự làm nhé Cách 2: Kết hợp kĩ thuật tách thành tích và phương pháp biến đổi số Phân tích     2 2 2 1 3 2 2 1 1 1 1 . 1 1 I dx dx x x x x x       Đặt 2 1 1 1 x t t x dx dt t             Đổi cận 1 2 2 1 1 x t x t              9 Khi đó 1 1 3 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 t t I t dt dx t t t              đến đây lại trở thành bài 1, các bạn tha hồ mà làm nhé Cách 3: Sử dụng kĩ thuật nhân trên tử và phương pháp đổi biển số     2 2 3 2 4 2 1 1 1 1 1 x I dx dx x x x x       Đặt 2 1 2 dt t x xdx    Đổi cận 2 5 1 2 x t x t            Khi đó     5 5 2 2 2 2 5 1 1 1 1 1 1 3 1 5 ln ln 2 ln 2 2 1 2 1 1 8 2 2 1 1 dt t I dt t t t t t t t                                Hoặc các bạn có thể đặt 1u t  hoặc phân tích   1 1t t   hoặc đồng nhất thức Cách 4: Sử dụng kĩ thuật nhân trên tử và phương pháp đưa vào vi phân                     2 2 2 2 3 2 4 2 4 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 x I dx d x x x x x x x x x d x d x d x x x x x x                            2 2 3 2 1 1 1 1 1 dx dx x x x      ôi đến đây lại thành cách 1 rùi, lòng vòng quá, bỏ qua thui… Cách 5: Sử dụng phương pháp đồng nhất thức   3 2 2 3 2 1 1 1 A B C Dx E x x x x x x        đến đây thì đồng nhất thức hai vế để giải hệ tìm , , , ,I A B C D E tuy nhiên việc giải hệ là phức tạp chính vì thể trong trường hợp này ta nên làm theo cách 1, cách 2 và cách 3 là hiệu quả nhất Cách 6: Đặt   2 tan tan 1 x u dx dt     … bạn đọc tự làm Bài 14: Tính tích phân sau: 1 3 0 1 dx I x    Giải: Nhận xét:     3 2 1 1 1x x x x     Cách 1: Dựa vào nhận xét trên ta sử dụng đồng nhất thức:       2 2 2 1 1 1 1x x x x x       Khi đó 1 1 2 1 2 3 2 0 0 1 1 1 x x I dx dx I I x x x           10 Tính 1 I bằng cách đặt 3 1t x  hoặc   3 1 1 3 0 1 1 3 1 d x I x     Tính 2 I phân tích   1 1 1 2 1 2 2 x x    (kĩ thuật nhảy tầng lầu) Ta có 1 1 1 2 2 2 2 0 0 0 1 1 2 1 1 2 21 1 1 3 2 4 x x dx I dx dx x x x x x                     Cách 2: Đồng nhất thức Xét      2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 A Bx C A x x Bx C x x x x x               Đến đây ta có thể đồng nhất hệ số giải hệ tìm A, B, C hoặc cho một số giá trị riêng là 1 2 1 1 ; 0 ; 1 3 3 3 x A x C x B           …Bạn tự giải tiếp nhé Kết quả ta được 1 ln2 3 3 3 I    Cách 3: Đổi biến số kết hợp kĩ thuật “nhảy tầng lầu”             1 1 1 3 22 0 0 0 1 1 1 1 1 1 3 1 3 dx dx d x I x x x x x x x                     Đặt 1 x t dx dt     Đổi cận 0 1 1 2 x t x t                    2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 dt 1 3 3 3 1 dt 3 dt 3 3 3 3 3 3 3 3 t t t t t dt t t t t t t t t t                              2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 dt 1 3 3 3 dt 3 3 2 2 3 3 3 2 4 2 1 1 2 3 1 ln 3arctan ln 2 13 2 3 3 3 3 3 3 d t t t t t t t t t t                                     Bài 15: Tính tích phân bất định:   4 3 50 3 5 7 8 2 x x x I dx x       . Giải : Cách 1: Biến đổi số Đặt 2 2 x t x t dx dt          Khi đó         4 3 4 3 50 50 3 2 5 2 7 2 8 3 5 7 8 2 t t t x x x I dx dt t x               Cách 2: Đồng nhất tử thức chứa nghiệm của mẫu thức [...]... Đặt x  tan t Cách 2: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần 17 u  x  Đặt dv  xdx 3   x2  1  Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích thành hai tích phân đơn gián Phân tích x 2   x 2  1  1 0 Khi đó I   1 0 x 2 dx x 2  1 3   1 0 dx x 2  1 2  1 dx x 2 3  1 II TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ Bài tập giải mẫu: 7 3 Bài 1: (ĐHGTVT – 1998) Tính tích phân: I   0 x 1 3 3x  1 dx Giải: Cách... 7 1 Bài 1: (ĐHĐN- 1997) Tính tích phân: I   2  x 1 2 dx  2  4 ln 2  2 ln 3 HD: Sử dụng phương pháp biến đổi số Đặt t  2  x  1 Hoặc t  2  x 2 Bài 2: (ĐHSP QN – 1999) Tính tích phân: I   x 1 3 3x  2 0 7 Bài 13: (DBĐH 2 – A 2005) Tính tích phân: I   x2 3 x 1 0 3 Bài 14: (DBĐH 1 – A 2008) Tính tích phân: I    1 2 4 Bài 15: (DBĐH 1 – A 2007) Tính tích phân: I    1 28  3 3 4 10... tử cho mẫu để tách thành tổng các tính phân đơn giản Hoặc đặt x  tan t 1 x dx Bài 4: (ĐHKT – 1994) Tính tích phân sau: I   3 1  2 x  0 HD:  x 1 1 1 1 1 ta được I  Phân tích x  1  2 x  1     3 2 3 18 2 1  2 x  2  1  2 x  1  2 x     Hoặc đặt t  1  2 x Hoặc tích phân từng phần 1 x2  3 21 13 dx   ln 2  ln 3 Bài 10: Tính tích phân: I   4 2 4 4 1 x  x  3x  2  2... 3: Sử dụng phương pháp phân tích 1 2 x  5   2 x  5   x 2  5 x  6    x 2  5 x  4     2 1 2 x 2 3 dx   Bài 6: Tính tích phân: I   4 3 2 44 1 x  2 x  5x  4 x  4 2 HD: Phân tích x 4  2 x 3  5 x 2  4 x  4   x 2  x  2  2 Cách 1: Đồng nhất thức Cách 2: Chia cả tử và mẫu cho x 2 và đặt t  x  0 Bài 7: Tính tích phân sau: I   1 2 Hoặc đưa vào vi phân x x 2 dx x 2 3 ... có hướng dẫn: e Bài 1: (ĐHDB – D 2005) Tính tích phân sau I   1 ln 2 x x ln x  1 dx  76 15 HD: e Đặt t  ln x  1 hoặc t  ln x hoặc biến đổi vi phân I   1 ln 2 x x ln x  1 e dx   1 ln 2 x ln x  1 d  ln x  hoặc tích phân từng phần ln 2 Bài 2: (ĐHBK – 2000) Tính tích phân sau: I   0 Đs: I  e2 x ex  1 dx 2 2 3 e Bài 3: (ĐHHH – 98) Tính tích phân: I =  x 1 ln x 1  ln x dx HD: Đặt t =... 3x  1 3 d  3x  1 bạn đọc tự giải 2 0 3 3x  1 2 6 0 0 1 Bài 2: Tính tích phân: I   1 x3 x2  1 dx  0 HD: C1: Đặt x  tan t C2: Phân tích x 3  x  x 2  1  x u  x 2  C3: Đặt  x dx dv  2 x 1  C4: Đặt x  t C5: Phân tích x 3 dx  x 2 xdx   x 2  1  1 d  x 2  1   2 Bài 3: (ĐHBKHN – 1995) Tính tích phân sau: I  x 2 dx x2  1 Giải: Cách 1: Phương pháp biến đổi số 19 1 sin... Tương tự ta có thể giải bài toán này 2 1 Tính tích phân sau I   1 x2 1 dx x4 1 1 1 1 2 2 2 1 1   x dx  x I   1 2 dx Đặt u  x  x  du  1  x2  dx 1   1 x2  1 x  2 x2 x  2 1 2 (ĐHQGHN – A 2001) Tính tích phân bất định sau: 12 I x2  1 1 x2  5x  1 C dx   ln 2 8 x  3x  1  x 2  5x  1 x 2  3x  1 1 4 Bài 18: Tính tích phân sau: I   x3  x 4  1 dx 0 Giải: Cách...   11 10  0 12 11 10 660  12 Cách 2: Phương pháp phân tích 2 Phân tích x 2   x  1  2  x  1  1 Khi đó 0 I 0 0 9 2 9 11 10 9 2  x  x  1 dx    x  1  2  x  1  1  x  1 dx    x  1  2  x  1   x  1  dx     1 1 12 1 11 10   x  1  x  1  x  1  0 1  2    11 10  1 660  12   2 Hoặc phân tích x theo  x  1 như sau 9 9   x 2  x  1 ...  1  2  1  x  1   9 11 10   x  1  2  x  1   x  1 9 9 - Với bài toán này ta sử dụng phương pháp phân tích tức là khai triển  x  1 hay phương pháp tích phân từng phần như bài 20 thì cũng ra nhưng rất dài và phức tạp vì bậc của  x  1 là lớn 1 Bài 22: Tính tích phân: I   (1  3x )(1  2 x  3x 2 )10 dx 0 Giải: Cách 1: Đổi biến số Đặt t  1  2 x  3 x 2  dt  (2  6 x)dx ... ví dụ trên ta thấy kĩ thuật chia thực sự rất hiệu quả trong việc chuyển tích phân ban đầu thành tích phân đơn giản hơn - Thông thường để sử dụng kĩ thuật chia thì trên tử là một đa thức bậc hai P  x   x 2  1 còn mẫu là một đa thức bậc 4: Q  x   ax 4  bx 3  cx 2  dx  e sao cho hệ số a  e  1 1 1  1  1    - Tích phân trên đưa về dạng I   f  x   1  2  dx đặt t  x   dt   1 . chú ý - Đối với tích phân hàm phân thức có dạng     n P x I dx x a    thì đặt t x a  là một phương pháp hiệu quả nhất - Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích được về dạng. pháp phân tích thành hai tích phân đơn gián Phân tích   2 2 1 1x x   Khi đó       0 0 0 2 3 2 3 2 2 2 1 1 11 1 1 x dx dx dx I x x x            II. TÍCH PHÂN HÀM. Nhận xét: Đây là tích phân hàm phân thức mà có bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu chính vì thế ta chia đa thức để tách thành tổng các tích phân là phương pháp tối ưu nhất Cách 6: Phân tích tử thức