PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG HỆ CỘNG HƯỞNG QUANG HỌC I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Đặc trưng ma trận của một hệ cộng hưởng quang học Hệ cộng hưởng quang học là một bộ phận quan trọng trong máy phát laser, giúp tạo môi trường mật độ đảo lộn để ánh sáng phát ra có cường độ lớn, độ đơn sắc cao, tính kết hợp cao và tính định hướng lớn. Cấu tạo cơ bản của hệ cộng hưởng bao gồm một môi trường hoạt tính đặt giữa hai gương có độ phản xạ cao: một gương phản xạ hoàn toàn và một gương phản xạ một phần. Ánh sáng phát ra từ môi trường hoạt tính sẽ bị phản xạ nhiều lần giữa hai gương, dẫn đến sự tăng mạnh về cường độ. Chúng ta sẽ khảo sát một hệ cộng hưởng laser tiêu biểu có sơ đồ minh họa như hình bên dưới: Một thỏi khuyếch đại laser (môi trường hoạt tính) chiều dài L được đặt giữa hai gương phản xạ cách nhau một khoảng b. Vì thỏi laser tương đương với một bản phẳng song song, ma trận dịch chuyển đặc trưng cho khoảng trống giữa 2 gương sẽ có độ dày rút gọn: ( ) n Ln b n LLb T 1 1 − −=+ − = Với n là chiết suất của vật liệu laser. Đặt mặt phẳng quy chiếu RP 1 tại mặt phẳng gương phản xạ một phần và xem như tia tới đầu tiên       1 1 V y đi tới RP 1 theo hướng +z sau khi phát ra từ môi trường khuyếch đại. Sau đó, một phần của tia sáng sẽ bị phản xạ trở lại bởi gương phát (gương phản xạ một phần), đi GVHD: TS. Lê Vũ Tuấn Hùng SVTH: Phan Trung Vĩnh 1 PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG HỆ CỘNG HƯỞNG QUANG HỌC qua môi trường khuyếch đại đến gương phản xạ hoàn toàn, bị phản xạ ngược trở lại, đi qua môi trường khuyếch đại một lần nữa, rồi đến gương phát. Quá trình cứ thế tiếp diễn. Nếu chúng ta đặt mặt phẳng quy chiếu RP 2 tại vị trí ngẫu nhiên so với RP 1 , chúng ta có thể viết được ma trận truyền tia tổng hợp M liên hệ với 2 mặt phẳng quy chiếu này và đặc trưng cho “chuyến đi xoay vòng” qua hệ cộng hưởng. Gọi P 1 , P 2 là độ tụ của hai gương phản xạ ở hai đầu, chúng ta có: ( )             =       =             −+−− −+−− =             −             −       =       1 1 1 1 1 1 12121 1 2 2121 1 1 212 2 1 221 1 01 10 1 1 01 10 1 V y DC BA V y M V y TPTPPPP TPTTPPTPTP V y P T P T V y Để xác định trị riêng λ 1 và λ 2 , chúng ta tính tổng (A + D) của ma trận: ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2114 222 121 21 21 1 2 2121 −         −         −= −−−= −++−−=+ r T r T TPTP TPTPPTPTPDA Bây giờ, chúng ta sẽ tìm θ và t theo: • Nếu ( ) 2 2 cos4cos2 2 −       ==+ θ θ DA thì θθ λλ ii ee − == 21 , • Nếu ( ) 2 2 cosh4cosh2 2 −       ==+ t tDA thì tt ee − == 21 , λλ • Nếu ( ) ( ) 2 2 sinh4cosh2 2 −       −−=−−=+ t tDA thì tt ee − −=−= 21 , λλ Để xác định công thức nào sẽ được dùng, chúng ta tính giá trị của biểu thức         −         − 21 11 r T r T và xét xem nó nằm trong khoảng nào: trong khoảng từ 0 đến 1, trên khoảng này hoặc dưới khoảng này. GVHD: TS. Lê Vũ Tuấn Hùng SVTH: Phan Trung Vĩnh 2 PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG HỆ CỘNG HƯỞNG QUANG HỌC Nếu λ 1 và λ 2 là trị riêng của ma trận đơn trị (unimodular)       DC BA thì một trong những vector riêng của nó sẽ có các thành phần nằm trong tỷ số C D− 1 λ và C D− 2 λ . Những tỷ số này là các giá trị V y hay các giá trị R, chúng không thay đổi khi lan truyền trong hệ cộng hưởng. Nếu một mặt sóng với độ cong này tồn tại trong hệ cộng hưởng, nó sẽ tái sản sinh chính nó. Nếu một giá trị R không thay đổi khi lan truyền, chúng ta có 2 phương trình: DCR BAR R + + = 1 1 2 và 21 RR = Khử R 2 chúng ta nhận được phương trình bậc 2 theo R 1 : ( ) 0 1 2 1 =−−+ BRADCR Lời giải của phương trình: ( ) ( ) C DDADA C BCDADA R 2 24)( 2 4)( 2 2 1 −−+±+ = +−±− = 2. Sự lan truyền của chùm Gauss và thông số độ cong phức của nó Chùm Gauss là một thuật ngữ để chỉ một chùm bức xạ kết hợp bị giới hạn nhiễu xạ, năng lượng của nó chỉ tập trung gần trục lan truyền và giảm nhanh khi xa trục theo hàm Gauss. Cách thức chùm Gauss lan truyền trong không gian tự do xuất phát từ phương trình sóng. Gần trục quang học, sự phân bố biên độ A(r,z) của mode Gauss cơ bản được mô tả bởi: ( )             −−       +       = R i r z iAzrA λ π ω φ λ π ω ω 2 212 exp, 2 2 0 0 GVHD: TS. Lê Vũ Tuấn Hùng SVTH: Phan Trung Vĩnh 3 PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG HỆ CỘNG HƯỞNG QUANG HỌC Trong biểu thức này, số hạng λ π z2 thể hiện sự thay đổi pha dọc theo trục lan truyền, số hạng φ thể hiện sự lệch pha bé phụ thuộc vào z theo biểu thức 2 0 tan πω λ φ z = (Ở đây: λ là bước sóng của ánh sáng) Hệ số r 2 chứa phần thực và phần ảo. Phần thực 2 1 ω diễn tả, theo hướng bán kính, độ lớn của biên độ thay đổi theo hàm Gauss         − 2 2 exp ω r . Vì vậy, bán kính ω là “bán kính vết”, tại đó biên độ ánh sáng giảm đi e 1 lần và cường độ bức xạ giảm đi 2 1 e giá trị tại trung tâm. Phần ảo R i λ π 2 2 − mô tả sự dao động bậc hai pha của trường sóng theo bán kính và số hạng R đặc trưng cho bán kính cong của bề mặt có pha không đổi, các mặt sóng lan truyền theo hướng +z. Khi chùm Gauss lan truyền trong không gian, hiệu ứng nhiễu xạ làm cho nó giãn rộng và phân tán đi một ít, vì vậy cả bán kính vết ω và bán kính cong R thay đổi ít theo trục z. Xuất phát từ phương trình sóng, quy luật kiểm soát hai thông số này là: ( ) ( )                 +=                 += z zzR z z λ πω πω λ ωω 2 0 2 2 0 2 0 2 1 1 GVHD: TS. Lê Vũ Tuấn Hùng SVTH: Phan Trung Vĩnh 4 PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG HỆ CỘNG HƯỞNG QUANG HỌC Hình trên minh họa tính chất của các thông số này khi được vẽ trong mặt phẳng yz. Người ta thấy rằng đường cong thể hiện quỹ tích bán kính 2 1 e là một hyperbol, có khoảng cách gần trục z nhất là ω 0 tại z = 0 và đường tiệm cận của nó tại góc 0 πω λ ±= S V . Các bề mặt có pha không đổi là những mặt phẳng gần “cổ” của chùm Gauss và chúng có độ cong cực đại tại khoảng cách λ πω 2 0 0 ±=± z tính từ tâm. Vùng chính giữa có chiều dài 2z 0 , có tiết diện của chùm gần như là hằng số và đôi khi được nhắc tới như là “trường gần” (near field) và vùng tiệm cận phân kỳ như là “trường xa” (far field). Số hạng ban đầu ω ω 0 diễn tả sự thật là cường độ điện trường ở vùng cổ chùm hay tâm chùm lớn hơn ở vùng “trường xa”, nơi mà chùm bị giãn rộng. Nhưng năng lượng tổng cộng trong chùm là như nhau tại mọi giá trị của z, 86% năng lượng nằm lại bên trong contours 2 1 e . GVHD: TS. Lê Vũ Tuấn Hùng SVTH: Phan Trung Vĩnh 5 PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG HỆ CỘNG HƯỞNG QUANG HỌC Phương trình xác định bán kính vết ω(z) và bán kính cong R(z) ở trên cho phép chúng ta tính toán cách thức chùm Gauss lan truyền trong không gian tự do hay băng qua khoảng trống. Rõ ràng rằng, nếu một chùm Gauss gặp phải một thấu kính mỏng hay một bề mặt hội tụ có độ tụ P, thì bán kính vết của nó sẽ không thay đổi, nhưng R 1 của nó sẽ bị giảm còn P R − 1 . Một phương pháp chặt chẽ giúp cả hai thông số chùm này có thể cùng được xác định là chúng ta kết hợp chúng thành một “thông số cong phức” a(z). Thay vì viết hệ số r 2 trong biểu thức biên độ R i λ π ω 2 21 2 − , chúng ta đơn giản viết q i λ π 2 2 − , với q được hiểu là số phức. Từ định nghĩa này, chúng ta có: 2 11 πω λ i Rq += Phần thực q 1 thể hiện sự phân kỳ của các bề mặt có pha hằng số và phần ảo là biểu thức của 2 1 ω , độ hội tụ công suất tại vùng trục chính của chùm. Bằng cách thế vào công thức biểu thức R(z) và ω(z) đã biết, đối với sự lan truyền trong không gian tự do, không khó để xác định q(z) = q 0 + z, với 1 2 0 0 −         = πω λ i q là giá trị q nhận được tại cổ chùm (z = 0). Đối với sự lan truyền băng qua khoảng trống có độ rộng, chúng ta có: q 2 = q 1 + T. Đối với sự khúc xạ bởi thấu kính mỏng hay bề mặt có độ tụ P, chúng ta có 4 phương trình. Theo định nghĩa: 2 2 22 11 πω λ i Rq += và 2 1 11 11 πω λ i Rq += GVHD: TS. Lê Vũ Tuấn Hùng SVTH: Phan Trung Vĩnh 6 PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG HỆ CỘNG HƯỞNG QUANG HỌC Thứ ba, P RR −= 12 11 thể hiện sự thay đổi của độ phân tán và cuối cùng, ω 1 = ω 2 thể hiện tính bất biến của bán kính vết. Kết hợp những phương trình này, chúng ta tìm được P qq −= 12 11 . Ngoài ra, chúng ta còn có thể sử dụng định luật ABCD với DCq BAq q + + = 1 1 2 để tìm các thông số đặc trưng cho chùm như: bán kính vết, bán kính cong, vị trí cổ chùm, bán kính cổ chùm, (Bảng 2) Bảng 2: Mối liên hệ giữa các ma trận của một hệ cộng hưởng và các tính chất quang của nó. Ma trận đặc trưng cho quá trình dao động của ánh sáng trong hệ cộng hưởng là       DC BA với AD – BC = 1 Hệ không bền Tính chất khảo sát Hệ bền 1 2 > + DA : cho hệ cộng hưởng không bền (nhánh dương) 1 2 −< + DA : cho hệ cộng hưởng không bền (nhánh âm) Số hạng ma trận (A + D) 1 2 1 < + <− DA : cho hệ cộng hưởng bền λ 1 = exp(t) = cosht + sinht : cho nhánh dương Trong đó: 2 1 2 1 2 sinh 2 cosh         −       + = + = DA t DA t λ 1 = -exp(t) = - (cosht + sinht): cho nhánh âm Trong đó: Trị riêng chính λ 1 (t được chọn là dương và θ nằm trong khoảng từ 0 đến π) λ 1 = exp(iθ) = cosθ + isinθ Trong đó: 2 1 2 2 1sin 2 cos               + −= + = DA DA θ θ GVHD: TS. Lê Vũ Tuấn Hùng SVTH: Phan Trung Vĩnh 7 PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG HỆ CỘNG HƯỞNG QUANG HỌC 2 1 2 1 2 sinh 2 cosh         −       + = + −= DA t DA t Bán kính cong R Với nhánh dương: B t B AD B A R C t C DA C D R sinh 2 1 sinh 2 1 1 + − = − = + − = − = λ λ Với nhánh âm: B t B AD B A R C t C DA C D R sinh 2 1 sinh 2 1 1 − − = − = − − = − = λ λ Tỷ số vector riêng       − =               − =       B A y V C D V y 1 1 λ λ Thông số cong phức q 2 0 1sin 2 1 sin 2 πω λθ θ i RB i B AD q izz C i C DA q +=+ − = −=+ − = Để có dao động, thừa số cần thiết phải là exp(2t). Các phương trình ở trên xác định bán kính cong của mặt sóng ngõ ra. Các thông số chùm Gauss 1. Bán kính cong 2. Sự phân kỳ của mặt sóng 3. Bán kính chùm 4. Vị trí cổ chùm 5. Bán kính cổ chùm 6. Thông số chùm đồng tiêu 7. Nửa góc trường xa Phân tích thành các thông số chùm Gauss, chúng ta có thể xác định từ phương trình cho 1/q: 2 1 sin 2 1 2       = − = − = θπ λ ω B B AD R AD B R (Đo tại mặt phẳng quy chiếu ở ngõ ra) Từ phương trình cho q, chúng ta nhận được: C DA z 2 − = (nằm bên trái mắt phẳng quy chiếu) 2 1 0 0 0 2 0 0 2 1 0 sin sin sin       − == − ==       − = θπ λω πω λ θ λ πω π θλ ω C z C z C Hệ hoạt động tốt khi số Fresnel Nhận xét mô hình Rất yếu nếu số Fresnel không GVHD: TS. Lê Vũ Tuấn Hùng SVTH: Phan Trung Vĩnh 8 PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG HỆ CỘNG HƯỞNG QUANG HỌC lớn và thừa số đủ lớn. được giữ ở giá trị nhỏ. 3. Lý thuyết Sylvester Nếu M là một ma trận đơn modun với trị riêng e ±iθ , để tính lũy thừa n của nó, ta có thể sử dụng công thức Sylvester: ( ) ( ) ( )           −− −+ =       = θ θθ θ θ θ θ θ θθ sin 1sinsin sin sin sin sin sin sin1sin nnDnC nBnDn DC BA M n n II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Problem 6 trang 175 Một tia laser chuẩn trực đường kính 2cm được hội tụ bởi thấu kính phẳng – lồi có độ tụ là 10diop, độ dày 1cm và có chiết suất 1.5. Sử dụng quang gần trục, hãy xác định vị trí của những ảnh hội tụ nằm trong thấu kính tạo bởi sự phản xạ bên trong bề mặt thấu kính. Giải Tia sáng sau khi khúc xạ tại mặt phân cách cong R 1 , truyền tới mặt phẳng R 2 , tại mặt R 2 , một phần bị khúc xạ, truyền ra bên ngoài, một phần phản xạ trở lại mặt R 1 . Tại mặt cong GVHD: TS. Lê Vũ Tuấn Hùng SVTH: Phan Trung Vĩnh 9 PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG HỆ CỘNG HƯỞNG QUANG HỌC R 1 , tia sáng lại bị phản xạ tới mặt R 2 , quá trình phản xạ và khúc xạ cứ tiếp tục diễn ra bên trong thấu kính. Hai loại ma trận truyền tia được sử dụng trong bài: • Ma trận truyền qua:       = 10 /1 nL T • Ma trận khúc xạ: ( )         − − = 1 01 12 r nn R • Ma trận phản xạ:       − = 1 01 ' P R Với ( ) r nn D 12 − −= : độ tụ của gương; r: bán kính cong của gương; r n P 2 −= Quy ước: Gương lồi (r > 0, P < 0); gương lõm (r < 0, P > 0) Nếu không xét đến sự phản xạ bên trong thấu kính thì ma trận truyền tia tổng hợp có dạng: M = R 2 .T.R 1 Nếu xét đến sự phản xạ bên trong thấu kính thì ma trận truyền tia tổng hợp có dạng: M = M n = R 2 .(T.R 1 ’.T.R 2 ’) n .T.R 1 GVHD: TS. Lê Vũ Tuấn Hùng SVTH: Phan Trung Vĩnh 10 [...]... phan xa lom:D>0): '); r1 =-( -( n2-n1)/D1); % don vi m r1=r1*100; % don vi cm D2=input('Nhap vao do tu cua mat thu hai (diop)(Mat phan xa loi:D0): '); r2 =-( -( n1-n2)/D2); % don vi m r2=r2*100; % don vi cm L=input('Nhap vao khoang cach giua 2 mat phan cach (cm): '); GVHD: TS Lê Vũ Tuấn Hùng SVTH: Phan Trung Vĩnh PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG 14 HỆ CỘNG HƯỞNG QUANG HỌC nmax=input('Nhap vao so... (cm): 1 Nhap vao so lan phan xa ben trong thau kinh: 3 Vi tri cua anh sau n lan phan xa: Ri = 6.0 244 GVHD: TS Lê Vũ Tuấn Hùng SVTH: Phan Trung Vĩnh PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG 13 HỆ CỘNG HƯỞNG QUANG HỌC Bài toán nghịch: • Nhập vào các giá trị: n1, n2, P1, P2, r1, r2, D, L, nmax • Xuất ra số lần phản xạ n • Phương pháp giải: + Xây dựng các ma trận truyền qua, khúc xạ, phản xạ + Xây dựng ma trận tổng hợp + Sử... –L/n hay Ri > L/n: chùm tia không cho ảnh hội tụ Sau đây là phần lập trình cho bài toán thuận: % ******************************************************************************** % Truong Dai hoc Khoa hoc Tu nhien % Bo mon Vat ly Ung dung GVHD: TS Lê Vũ Tuấn Hùng SVTH: Phan Trung Vĩnh PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG 12 HỆ CỘNG HƯỞNG QUANG HỌC % Giang vien huong dan: TS Le Vu Tuan Hung % Ho ten hoc vien: Phan Trung... tran truyen qua ben trong thau kinh R1=[1 0 ;-( n2-n1)/r1 1]; % Ma tran khuc xa tai mat thu nhat R1phet=[1 0 ;-2 *n2/r1 1]; % Ma tran phan xa tai mat thu nhat R2=[1 0 ;-( n1-n2)/r2 1]; % Ma tran khuc xa tai mat thu hai R2phet=[1 0 ;-2 *n2/r2 1]; % Ma tran phan xa tai mat thu hai Mo=T*R1phet*T*R2phet; % Ly thuyet Sylvester t=acos((Mo(1,1)+Mo(2,2))/2); A=(sin((n+1)*t)-Mo(2,2)*sin(n*t))/sin(t); B=(Mo(1,2)*sin(n*t))/sin(t);...PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG 11 HỆ CỘNG HƯỞNG QUANG HỌC Trong đó: R1 là ma trận khúc xạ tại mặt phân cách cong của thấu kính R1’ là ma trận phản xạ tại mặt phân cách cong của thấu kính R2 là ma trận khúc xạ tại mặt phân cách phẳng... kinh chum laser (cm): '); D1=input('Nhap vao do tu cua mat thu nhat (diop)(Mat phan xa loi:P0): '); r1 =-( -( n2-n1)/D1); % don vi m r1=r1*100; % don vi cm D2=input('Nhap vao do tu cua mat thu hai (diop)(Mat phan xa loi:D0): '); r2 =-( -( n1-n2)/D2); % don vi m r2=r2*100; % don vi cm L=input('Nhap vao khoang cach giua 2 mat phan cach (cm): '); n=input('Nhap vao so... MA TRAN KHUC XA M0=[d/2;0]; % Ma tran tia toi T=[1 L/n2;0 1]; % Ma tran truyen qua ben trong thau kinh R1=[1 0 ;-( n2-n1)/r1 1]; % Ma tran khuc xa tai mat thu nhat R1phet=[1 0 ;-2 *n2/r1 1]; % Ma tran phan xa tai mat thu nhat R2=[1 0 ;-( n1-n2)/r2 1]; % Ma tran khuc xa tai mat thu hai R2phet=[1 0 ;-2 *n2/r2 1]; % Ma tran phan xa tai mat thu hai M=R2*(T*R1phet*T*R2phet)^n*T*R1; % Ma tran truyen tia tong hop... disp('So lan phan xa ben trong thau kinh la:') n break else if n==nmax disp('Khong xac dinh duoc so lan phan xa ben trong thau kinh') GVHD: TS Lê Vũ Tuấn Hùng SVTH: Phan Trung Vĩnh PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG 15 HỆ CỘNG HƯỞNG QUANG HỌC disp('Tang nmax hoac thay doi cac so lieu nhap vao ban dau') end end end Kết quả thu được: Nhap vao chiet suat moi truong thu nhat: 1 Nhap vao chiet suat moi truong thu hai: 1.5... B=(Mo(1,2)*sin(n*t))/sin(t); C=(Mo(2,1)*sin(n*t))/sin(t); D=(Mo(2,2)*sin(n*t)-sin((n-1)*t))/sin(t); M_mu_n=[A B;C D]; M=R2*M_mu_n*T*R1; % Ma tran truyen tia tong hop Mi=M*M0; % % ******************************************************************************** % BUOC 3: XAC DINH SO LAN PHAN XA n for n=1:nmax Ri=subs(Mi(1)/Mi(2)); hieuR=Ri-Ri0; if (hieuR>-lim)&(hieuR . PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG HỆ CỘNG HƯỞNG QUANG HỌC I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Đặc trưng ma trận của một hệ cộng hưởng quang học Hệ cộng hưởng quang học là một bộ phận quan trọng. 3 Vi tri cua anh sau n lan phan xa: Ri = 6.0 244 GVHD: TS. Lê Vũ Tuấn Hùng SVTH: Phan Trung Vĩnh 12 PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG HỆ CỘNG HƯỞNG QUANG HỌC Bài toán nghịch: • Nhập vào các giá trị: n 1 ,. chúng ta có 4 phương trình. Theo định nghĩa: 2 2 22 11 πω λ i Rq += và 2 1 11 11 πω λ i Rq += GVHD: TS. Lê Vũ Tuấn Hùng SVTH: Phan Trung Vĩnh 6 PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG HỆ CỘNG HƯỞNG QUANG HỌC Thứ