Phòng GD&ĐT Yên Lạc - Trường THCS Đồng Cương ================================================= chuyªn ®Ò vËn dông bÊt ®¼ng thøc c« si ®Ó t×m cùc trÞ PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ A.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.Cơ sở lí luận. Thực tế cho thấy Toán học là nền tảng cho mọi ngành khoa học, là chiếc chìa khoá vạn năng để khai phá và thúc đẩy sự phát triển cho mọi ngành khoa học, kinh tế, Quân sự trong cuộc sống . Toán học là một môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học,là một môn học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình. Chương trình toán rất rộng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức, các kiến thức lại có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Do vậy khi học, các em không những nắm chắc lý thuyết cơ bản, mà còn phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu của mình, từ đó biết vận dụng để giải từng loại toán. Qua cách giải các bài toán rút ra phương pháp chung để giải mỗi dạng bài, trên cơ sở đó tìm ra các lời giải khác hay hơn, ngắn gọn hơn. Trong quá trình học toán ở trường THCS học sinh cần biết cách tổ chức công việc của mình một cách sáng tạo. Người thầy cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng độc lập suy nghĩ một cách sâu sắc, sáng tạo. Vì vậy đòi hỏi người thầy một sự lao động sáng tạo biết tìm tòi ra những phương pháp để dạy cho học sinh trau dồi tư duy lô gic giải các bài toán. Là một giáo viên dạy toán ở trường THCS tôi nhận thấy việc giải các bài toán ở chương trình THCS không chỉ đưn giản là đảm bảo kiến =============================================== Chuyên đề: “Vận dụng BĐT Côsi để tìm cực trị” 1 Phũng GD&T Yờn Lc - Trng THCS ng Cng ================================================= thc trong sỏch giỏo khoa , ú mi ch l nhng iu kin cn nhng cha . Mun gii toỏn cn phi luyn tp nhiu thụng qua vic gii cỏc bi toỏn a dng, gii cỏc bi toỏn mt cỏch khoa hc, kiờn nhn , t m , t tỡm ra ỏp s ca chỳng Mun vy ngi thy phi bit vn dng linh hot kin thc trong nhiu tỡnh hung khỏc nhau to hng thỳ cho hc sinh. Mt bi toỏn cú th cú nhiu cỏch gii , mi bi toỏn thng nm trong mi dng toỏn khỏc nhau nú ũi hi phi bit vn dng kin thc trong nhiu lnh vc mt cỏch sỏng to vỡ vy hc sinh phi bit s dng phng phỏp no cho phự hp Cỏc dng toỏn trng trỡnhTHCS tht a dng v phong phỳ nh: Bt ng thc, Tỡm cc tr Tỡm cc tr l mt dng toỏn cú trong SGK lp 9 nhng cha a ra phng phỏp gii chung. Hn na Tỡm cc tr cú rt nhiu trong cỏc thi nh: Thi vo THPH, trong cỏc thi hc sinh gii huyn , hc sinh gii tnh, Do vy vic hng dn giỳp cỏc em cú k nng gii toỏn tỡm cc tr, ngoi vic nm lý thuyt, thỡ cỏc em phi bit vn dng thc hnh, t ú phỏt trin kh nng t duy, ng thi to hng thỳ cho hc sinh khi hc nhm nõng cao cht lng hc tp l iu ht sc cn thit. 2. C s thc tin Qua thc t mt vi nm ging dy mụn toỏn lp 9 tụi thy khụng ch hc sinh gp khú khn trong gii toỏn m bn thõn tụi khi dy phn Tỡm cc tr cng gp rt nhiu khú khn trong vic hng dn hc sinh gii bi toỏn phn ny.Chớnh vỡ vy tụi luụn suy ngh tng bc hon thin phng phỏp ca mỡnh. T thc tin ging dy tụi thy hc sinh hay b tc , lỳng tỳng v cỏch xỏc nh dng toỏn T nhng thn li , khú khn v yờu cu thc tin ging dy . Tụi chn ti vận dụng bất đẳng thức côsi để tìm cực trị B.PHM VI V MC CH CA TI 1. Phm vi ca ti: =============================================== Chuyờn : Vn dng BT Cụsi tỡm cc tr 2 Phòng GD&ĐT Yên Lạc - Trường THCS Đồng Cương ================================================= - Áp dụng với đối tượng học sinh khá – giỏi lớp 9 2. Mục đích của đề tài: -Nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh giải bài toán Tìm cực trị và tạo niềm tin cho giáo viên trong quá trình hướng dẫn học sinh giải bài toán Tìm cực trị. Giúp cho thầy và trò trong dạy và học đạt được kết quả cao .Giúp cho học sinh có hứng thú học và yêu thích môn Toán - Giúp học sinh biết hướng khai thác kết quả một bài toán để giải quyết vấn đề linh hoạt hơn. - Trao đổi với giáo viên hướng khai thác một bài toán trong chương trình bồi dưỡng học sinh khá giỏi lớp 9 PHẦN II: NỘI DUNG I. Bất đẳng thức Coossi với 2 số a, b không âm a+b ab2≥ (1) Chứng minh: Do a, b 0≥ nên a và b xác định Ta có : ( ) 0 2 ≥− ba 02 ≥+−⇔ baba 02 ≥−+⇔ abba abba 2≥+⇔ Dấu “=” xảy ra ba =⇔ II. Bất đẳng thức này còn được mở rộng 1. Với 3 số a, b, c không âm a+b+c 3 3 abc≥ Dấu “=” xảy ra cba ==⇔ 2. Với 4 số a, b, c ,d không âm a+b+c+d 4 4 abcd≥ Dấu “=” xảy ra dcba ===⇔ 3. Đối với n số không âm: a 1 , n aaa , ,, 32 0 ≥ Ta có: n nn aaaanaaaa 321321 ≥++++ Dấu “=” xảy ra n aaaa ====⇔ 321 III. HỆ QUẢ 1. Với 2 số không âm a, b từ BĐT (1) ta suy ra: =============================================== Chuyên đề: “Vận dụng BĐT Côsi để tìm cực trị” 3 Phòng GD&ĐT Yên Lạc - Trường THCS Đồng Cương ================================================= • Nếu ab=k (không đổi) thì Min(a+b)= 2 k (khi và chỉ khi a=b) • Nếu a+b = k (không đổi) thì Max (ab) = 4 2 k (khi và chỉ khi a=b) 2. Kết quả trên được mở rộng với: • Ba số a, b, c không âm: + Nếu abc =k (không đổi) thì Min (a+b+c) =3 3 k (khi và chỉ khi a=b=c) +Nếu a+b+c=k (không đổi) thì Max (abc)= 3 3       k (khi và chỉ khi a=b=c) *Bốn số a, b, c, d không âm: + Nếu abcd=k (không đổi) thì Min(a+b+c+d) =4 4 k (khi và chỉ khi a=b=c=d ) + Nếu a+b+c+d =k (không đổi) thì Max(abcd) = 4 4       k ( khi và chỉ khi a=b=c=d ) *Với n số không âm : 0, ,,, 321 ≥ n aaaa + Nếu kaaaa n = 321 (không đổi ) thì Min ( n n knaaaa =++++ ) 321 (khi và chỉ khi n aaaa ==== 321 ) + Nếu kaaaa n =++++ 321 (không đổi ) thì Max( n n n k aaaa       =) 321 (khi và chỉ khi n aaaa ==== 321 ) IV. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI: A. Phương pháp 1 : Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số để tìm GTNN hoặc biến đổi biểu thức đã cho thành một tích của các biểu thức sao cho tổng của chúng là một hằng số để tìm GTLN Bài toán 1: Cho a > 0 Tìm GTNN của biểu thức: A 1 = a+ a 1 =============================================== Chuyên đề: “Vận dụng BĐT Côsi để tìm cực trị” 4 Phòng GD&ĐT Yên Lạc - Trường THCS Đồng Cương ================================================= Giải: Vì a > 0 nên 0 1 > a , Áp dụng bất đẳng thức cô si với 2 số dương a và a 1 Ta có : a+ a a a 1 .2 1 ≥ =2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a= a 1 ⇔ 11 2 =⇔= aa (vì a > 0) Vậy Min A 12 1 =⇔= a Nhận xét : Hai số dương a và a 1 có tích là một hằng số Bài toán 2: Với mọi số thực a, tìm GTNN của biểu thức: A 2 = 1 2 2 2 + + a a Giải: Ta có a ( ) 112 2 22 ++=+ a nên: A ( ) 1 11 1 2 2 2 2 2 2 2 + ++ = + + = a a a a = 1 1 1 2 2 + ++ a a Vì 01 2 >+a với mọi a nên Áp dụng bất đẳng thức cô si với 2 số dương 1 2 +a và 1 1 2 +a ta có: 1 1 1 2 2 + ++ a a 2 1 1 .12 2 2 = + +≥ a a Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 2 +a = 1 1 2 +a 0 =⇔ a Vậy Min A 02 2 =⇔= a • Nhận xét: Phân tích ( ) 11112 2 222 ++=++=+ aaa để có tích hai số dương 1 2 +a với 1 1 2 +a là một hằng số Bài toán 3: Với x không âm , tìm GTNN của biểu thức A 1 8 3 + + = x x =============================================== Chuyên đề: “Vận dụng BĐT Côsi để tìm cực trị” 5 Phũng GD&T Yờn Lc - Trng THCS ng Cng ================================================= Giải: Ta có : A 1 8 3 + + = x x = 1 9)1( 2 + + x x = 2 1 9 1 1 9 1 + ++= + + x x x x Vì x 0 nên x đợc xác định và 01 >+x , 0 1 9 > +x áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dơng 1+x và 1 9 +x ta có : A = 3 ( ) 2 1 9 .122 1 9 1 + + + ++ x x x x =2.3 2=4 Dấu = xảy ra 1 9 1 + =+ x x 4 = x Vậy Min A 44 3 == x Bài toán 4: Cho x>0 Tìm GTNN của biểu thức A 2 3 4 272 x x + = Giải : Ta có A 222 3 4 2727 2 272 x xx x x x x ++=+= + = Vì x>0 áp dụng bất đẳng thức côsi cho 3 số dơng x, x, 2 27 x ta có: x+x+ 93.3 27 3 27 3 22 == x xx x Dấu = xảy ra 2 27 x xx == 327 3 == xx Vậy Min A 39 4 == x Nhận xét : Hai số dơng 2x và 2 27 x có tích không phải là một hằng số. Muốn khử đợc x 2 thì tử phải có x xx. 2 = do đó phải biểu diễn 2x=x +x rồi dùng bất đẳng thức côsi với 3 số dơng Bài toán 5 : Cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức A x x 2000 3 5 + = Giải: A xx x x x 100010002000 2 3 5 ++= + = =============================================== Chuyờn : Vn dng BT Cụsi tỡm cc tr 6 Phũng GD&T Yờn Lc - Trng THCS ng Cng ================================================= Vì x>0 nên x 0 2 > ; 0 1000 > x áp dụng bất đẳng thức côsi cho 3 số dơng x xx 1000 ; 1000 ; 2 ta có: A 300100.3 1000 . 1000 .3 10001000 3 22 5 ==++= xx x xx x Dấu = xảy ra 101000 10001000 32 ==== xx xx x Vậy Min A 10300 5 == x Bài toán 6: Với x > 0 Tìm GTNN của biểu thức A x xx 2 562 2 6 + = Giải: ta có A x xx 2 562 2 6 + = = 3 2 5 2 5 3 +=+ x x x x Vì x > 0 nên 0 2 5 > x áp dụng bấtđẳng thức côsi cho 2 số dơng x và x2 5 ta có: A 3103 2 5 23 2 5 .23 2 5 6 ==+= x x x x Dấu = xảy ra 2 10 2 5 == x x x Vậy Min A 2 10 310 6 == x Bài toán 7 : Cho x 0 Tìm GTNN của biểu thức A = 7 ( ) 12 172 2 + ++ x xx Giải: Ta có: A = 7 ( ) 12 172 2 + ++ x xx = ( ) ( ) 1 8 2 1 12 161 2 + + + = + ++ x x x x Vì x 0 nên 0 1 8 ;0 2 1 > + > + x x áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dơng 2 1+x và 1 8 +x ta có: =============================================== Chuyờn : Vn dng BT Cụsi tỡm cc tr 7 Phũng GD&T Yờn Lc - Trng THCS ng Cng ================================================= A 42.2 1 8 . 2 1 2 1 8 2 1 7 == + + + + + = x x x x Dấu = xảy ra 3 1 8 2 1 = + = + x x x Vậy Min A 34 7 == x Bài toán 8 : Cho 0 x Tìm GTNN của biểu thức A 3 346 8 + ++ = x xx Giải: Ta có A ( ) 3 253 3 346 2 8 + ++ = + ++ = x x x xx = ( ) 3 25 3 + ++ x x Vì 0x nên x đợc xác định và 03 >+x ; 3 25 +x >0 áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dơng 3+x và 3 25 +x ta có: A ( ) ( ) 105.2 3 25 .32 3 25 3 8 == + + + ++= x x x x Dấu = xảy ra 4 3 25 3 = + =+ x x x Vậy Min A 410 8 == x Bài toán 9: Cho x>1 . Tìm GTNN của biểu thức A 1 25 4 9 += x x Giải: Ta có A ( ) 4 1 25 14 1 25 4 9 + += += x x x x Vì x>1 nên x-1 >0 . áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dơng 4 ( ) 1x và 1 25 x ta có: A ( ) ( ) 24410.24 1 25 .1424 1 25 14 9 =+=+ + += x x x x Dấu = xảy ra ( ) 2 7 1 25 14 = = x x x =============================================== Chuyờn : Vn dng BT Cụsi tỡm cc tr 8 Phũng GD&T Yờn Lc - Trng THCS ng Cng ================================================= Vậy Min A 2 7 24 9 == x Bài toán 10 : Cho x>y và x.y = 5 . Tìm GTNN của biểu thức A yx yxyx ++ = 22 10 2,1 Giải: Ta có : A yx yxyx ++ = 22 10 2,1 = ( ) ( ) yx yx yx xyyx += + 162,3 2 ( vì x.y = 5 ) Vì x>y nên x-y>0 ; 0 16 > yx áp dụng bất đẳng thức côsi với 2 số dơng x-y và yx 16 ta có: A ( ) 84.2 16 .2 16 10 == += yx yx yx yx Dấu = xảy ra 4 16 = = yx yx yx kết hợp với điều kiện x.y=5 ta đợc x=5,y=1 và x=-1,y=-5 Vậy Min A 1,58 10 === yx hoặc x=-1,y=-5 Bài toán 11 : Tìm GTLN của biểu thức : ( ) 33 11 16 xxA = ( với 3 220 x ) Giải : Vì 3 220 x nên 016;0 33 xx áp dụng BĐT côsi cho hai số không âm ta có : ( ) ( ) [ ] 64 4 16 4 16 16 2 2 33 33 11 == + = xx xxA Dấu = xảy ra 2816 333 === xxxx Vậy Max 264 11 == xA Bài toán12 : Tìm GTLN của biểu thức : 2 12 9 xxA = ( với 33 x ) Giải: Vì 33 x nên 09;0 2 > xx áp dụng BĐT côsi cho hai số không âm ta có: ( ) 2 9 2 9 99 22 222 12 = + == xx xxxxA Dấu = xảy ra 2 23 9 22 == xxx =============================================== Chuyờn : Vn dng BT Cụsi tỡm cc tr 9 Phũng GD&T Yờn Lc - Trng THCS ng Cng ================================================= Vậy Max 2 23 2 9 12 == xA Bài toán 13: Tìm GTLN của biểu thức : ( )( ) 121 13 = xxA Với 1 2 1 x Giải: Vì 1 2 1 x nên 1-x 012;0 x áp dụng BĐT côsi cho hai số không âm ta có: ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ] 8 1 1. 8 1 4 1222 . 2 1 1222 2 1 121 2 13 == + == xx xxxxA Dấu = xảy ra 4 3 1222 == xxx Vậy Max 4 3 8 1 13 == xA Bài toán 14: Cho 0<x<2 . Tìm GTNN của biểu thức A xx x 2 2 9 14 + = Giải: Ta có: A xx x 2 2 9 14 + = = 1 2 2 9 + + x x x x Vì 0<x<2 nên 2-x>0 0 2 ;0 2 9 > > x x x x áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dơng x x 2 9 và x x2 ta có: A 713.21 2 . 2 9 21 2 2 9 14 =+=+ + + = x x x x x x x x Dấu = xảy ra 2 12 2 9 = = x x x x x Vậy Min A 2 1 7 14 == x Nhận xét: Trong cách giải trên ta đã tách x 2 thành tổng 1 2 + x x hạng tử x x2 nghịch đảo với x x 2 nên khi vận dụng BĐT Côsi ta đợc tích của chúng là một hằng số Bài toán 15: Cho 0 < x < 1 Tìm GTNN của biểu thức A xx 4 1 3 15 + = =============================================== Chuyờn : Vn dng BT Cụsi tỡm cc tr 10 [...]... ab x = ab x ( ) Vậy Min A 17 = ( a + b ) x = ab 2 B phơng pháp 2: Để tìm cực của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phơng biểu thức đó Bài toán 18 : Tìm GTLN của biểu thức : A 18 = 3x 5 + 7 3x Giải: ĐKXĐ 5 7 x 3 3 Ta có: A 18 2 = ( 3x 5) + ( 7 3x ) + 2 ( 3x 5).( 7 3x ) = 2 + 2 ( 3x 5).( 7 3x ) áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số không âm 3x-5 và 7-3x tacó: A 18 2 = 2 + 2 ( 3x 5).( 7... áp dụng bất đẳng thức CÔSI với 2 số dơng ta có a b 1 b c 1 c a 1 ( ) ( ) ( ) + 4 b 1 4 a + 4 c 1 4 b + 4 a 1 4 c Cộng vế với vế các BĐT trên rồi thu gọn ta có A 24 12 a = b = c = 4 Vậy Min A 24 =12 a = b = c = 4 Bài toán 25: Cho a,b>1 Tìm GTNN của biểu thức : A 25 = V Các bài toán vận dụng ( x + 2)( x + 10) ( x + 1) Bài toán 26: Với x>-1 Tìm GTNN của biểu thức : A 26 = Bài toán 27: Với x>0 .Tìm. .. = 2 Vậy Max A 18 2 =4 MaxA18 = 2 x = 2 Nhận xét : Biểu thức A 18 đợc cho dới dạng tổng của hai căn thức Hai biểu thức lấy căn có tổng không đổi (bằng 2) Vì vậy nếu ta bình phơng hai vế biểu thức A 18 thì sẽ xuất hiện hạng tử là hai lần tích của hai căn thức Đến đây ta có thể vận dụng BĐT Côsi : 2 ab a + b Bài toán 19: Tìm GTLN của biểu thức A 19 = x 5 + 23 x Giải : ĐKXĐ : 5 x 23 ta có A 219... x x 1 x x 3 4 3ax 4b(1 x ) + = + +c Ta đặt 1 x x 1 x x Sau đó sử dụng phơng pháp đồng nhất hệ số ta tìm đợc: a=b=1 ; c=7 Bài toán 16: Cho x>0 Tìm GTNN của biểu thức 3 x 4 + 16 A 16 = x3 16 16 3 x 4 + 16 Giải: Ta có A 16 = =3x + 3 = x + x + x + 3 3 x x x 16 Vì x>0 nên 3 > 0 x áp dụng bất đẳng thức côsi cho 4 số dơng x, x, x, 16 ta có: x3 16 16 44 x.x.x 3 = 4.4 16 = 4.2 = 8 3 x x 16 Dấu = xảy ra ... mãn a+b+c+d=1 Tìm GTNN của biểu thức A 37 = a2 b2 c2 d2 + + + a+b b+c c+d d +a Bài toán 38: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức: A 38 = x 2 + 6 x Gợi ý: Xét A 38 2 = 4 + 2 ( x 2)( 6 x ) Ta có A 38 2 4 MinA38 = 2 x = 2; x = 6 A 38 2 4 + ( x 2) + ( 6 x ) = 8 MaxA38 = 2 2 x 2 = 6 x x = 4 Bài toán 39: Tìm GTLN của biểu thức: A39 = ( 2 x 2 1)( 2 x 2 ) Bài toán 40: Tìm GTLN của biểu thức: A 40 =... Yờn Lc - Trng THCS ng Cng ================================================= Bài toán 22: Tìm GTLN của biểu thức : A 22 = x4 2x D phơng pháp 4 : Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho Bài toán 23 : Cho ba số x, y , z >0 thỏa mãn x+y+z=2 Tìm GTNN của biểu thức : A 23 = x2 y2 z2 + + y+z z+x x+ y x2 Giải: áp dụng BĐT Côsi với 2 số dơng y+z và y+z 4 ta đợc: x2 y+z x2 y + z x + 2 = 2 = x (1) y+z 4 y+z 4 2... x ) áp dụng bất đẳng thức côsi với 2 số dơng và ta có: 1 x x 3x 4(1 x ) 3 x 4(1 x ) + +72 + 7 = 2.2 3 + 7 = 7 + 4 3 = 2 + 3 A 15 = 1 x x 1 x x 2 3x 4(1 x ) = x = 3 1 Dấu = xảy ra 1 x x Giải: A 15 = ( ( ) 2 ) Vậy Min A 15 = ( 2 + 3 ) x = ( 3 1) Chú ý: Làm thế nào để có thể biểu diễn đợc : 2 2 3 4 3x 4(1 x ) + = + +7 ? 1 x x 1 x x 3 4 3ax 4b(1 x ) + = + +c Ta đặt 1 x x 1 x x Sau đó sử dụng phơng... Tìm GTNN của biểu thức : A 26 = Bài toán 27: Với x>0 .Tìm GTNN của biểu thức : A 27 = a2 b2 + b 1 a 1 x + 1992 x + 2000 1+ x x y z Bài toán 28: Với x,y,z >0 Tìm GTNN của biểu thức : A 28 = + + y z x Bài toán 29: Với x,y,z là các số không âm và thỏa mãn: x+y+z =1 Tìm GTLN của biểu thức : A 29 =xyz(x+y)(y+z)(z+x) Gợi ý: áp dụng BĐT côsi với 3 số không âm ta đợc 1=x+y+z 33 xyz (1) 2=(x+y)+(y+z)+(z+x) ... 33 ( x + y )( y + z )( z + x ) (2) Nhân từng vế (1) và (2) (do hai vế đều không âm ) đợc: 2 2 93 A29 A29 3 9 Bài toán 30: Với 0y > Tìm GTNN của biểu thức A 31 = x2 + y2 x y Bài toán 32: Cho a,b, c là ba cạnh của một tam giác Tìm GTLN của biểu thức : A 32 = ( a + b c )( b + c a )( c + a b ) 3abc ===============================================... x + x + x + Bài toán 17 :Cho a,b,x>0 Tìm GTNN của biểu thức =============================================== Chuyờn : Vn dng BT Cụsi tỡm cc tr 11 Phũng GD&T Yờn Lc - Trng THCS ng Cng ================================================= A 17 = ( x + a ).( x + b ) x ( x + a ).( x + b ) x + ab + ( a + b ) Giải : Ta có: A 17 = = x x ab ab > 0 áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dơng x và Vì a,b,x>0 nên . x xx 100 0 ; 100 0 ; 2 ta có: A 30 0100 .3 100 0 . 100 0 .3 100 0100 0 3 22 5 ==++= xx x xx x Dấu = xảy ra 101 000 100 0100 0 32 ==== xx xx x Vậy Min A 103 00 5 == x Bài toán 6: Với x > 0 Tìm GTNN của biểu. Trng THCS ng Cng ================================================= Vì x>0 nên x 0 2 > ; 0 100 0 > x áp dụng bất đẳng thức côsi cho 3 số dơng x xx 100 0 ; 100 0 ; 2 ta có: A 30 0100 .3 100 0 . 100 0 .3 100 0100 0 3 22 5 ==++= xx x xx x . phương pháp để dạy cho học sinh trau dồi tư duy lô gic giải các bài toán. Là một giáo viên dạy toán ở trường THCS tôi nhận thấy việc giải các bài toán ở chương trình THCS không chỉ đưn giản là