TRƯỜNG THPT CAO BÁ QUÁT GIA LÂM ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN LỚP 11 Năm học 2010-2011 Câu1(4.0 đ). 1(2.0 đ). ĐK sin xcosx 0.> Khi đó pt trở thành sinx cosx 2 sin xcosx+ = . (1) 0,5 đ ĐK sinx cosx 0+ ≥ dẫn tới sinx 0;cosx 0.> > 0,5 đ Khi đó (1) sin 2x 1 x k . 4 π ⇔ = ⇔ = + π 0.5 đ KL nghiệm x 2m . 4 π = + π 0,5 đ 2(2.0 đ).ĐK sin 3x 0. 4 π   + ≥  ÷   (1) 0.5 đ Khi đó phương trình đã cho tương đương với pt: 1 sin 2x 2 = x k ; 12 π ⇔ = + π 5 x k 12 π = + π 0,5 đ Trong khoảng ( ) ;−π π ta nhận các giá trị x 12 π = ; 11 x ; 12 π = − 5 x 12 π = ; 7 x . 12 π = − 0.5 đ Kết hợp với đk (1) ta nhận được hai giá trị thỏa mãn là: x 12 π = ; 7 x . 12 π = − 0.5 đ Câu II(4.0 đ) 1(2,0 đ). TH1: Trong 3 số chẵn đó có mặt số 0. Số các số tìm được là 2 3 4 5 5.C .C .5! 36000= số. 1,0 đ TH2: Trong 3 số chẵn đó không có mặt số 0. Số các số tìm được là 3 3 4 5 C .C .6! 28800= số 0.5 đ Đ/ số 36000 28800 64800.+ = 0.5 đ 2(2.0 đ) Dễ thấy ( ) ( ) ( ) 5 2011 2016 1 x 1 x 1 x+ + = + ; và ( ) 5 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 M 1 x C C x C x C x C x C x= + = + + + + + 1 ( ) 2011 0 1 1 k k 2011 2011 2011 2011 2011 2011 N 1 x C C x C x C x .= + = + + + + + 0.5 đ ( ) 2016 0 1 k k 2016 2016 2016 2016 2016 2016 P 1 x C C x C x C x .= + = + + + + + 0.5 đ Ta có hệ số của k x trong P là k 2016 C . Vì P M.N= , mà số hạng chứa k x trong M.N là 0.5 đ 0 k k 1 k 1 k 1 2 2 k 2 k 2 3 3 k 3 k 3 4 4 k 4 k 4 5 5 k 5 k 5 5 2011 5 2011 5 2011 5 2011 5 2011 5 2011 C .C x C xC x C x C x C x C x C x C x C x C x − − − − − − − − − − + + + + + nên 0 k 1 k 1 5 k 5 k 5 2011 5 2011 5 2011 2016 C .C C .C C .C C − − + + + = 0.5 đ Câu III(4.0 điểm) 1(2.0 đ) a. Chứng minh bằng quy nạp toán học. 1.0 đ b. Nhận xét n 1 0 , n 1 2 4 + π π < ≤ ∀ ≥ và hàm số tanx đồng biến trên 0; 4 π    ÷   0.5 đ nên dãy số ( ) n u giảm và bị chặn dưới bởi số tan0 0= và bị chặn trên bởi số tan 1. 4 π = 0.5 đ 2(2.0 đ) Gọi q là công bội của cấp số nhân 2 3 2 1 3 1 4 1 x x q;x x q ;x x q .⇒ = = = 0.5 đ Theo định lý Viet, ta có hệ sau : ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 2 2 3 4 1 3 4 3 4 x 1 q 3 x x 3 x x a x x a x x 12 x q 1 q 12 x x b x x b + = + =    = =   ⇔   + = + =     = =   0.5 đ Giải hpt, ta được : )q 2;a 2;b 32.+ = = = 0.5 đ )q 2;a 18;b 288.+ = − = − = − 0.5 đ Câu IV(4,0 điểm) 1(2.0 đ). Đặt n y 1 ax,= + khi đó từ x 0 y 1.→ ⇒ → 0.5 đ Vậy ( ) ( ) n n n 1 n 2 x 0 y 1 y 1 1 ax y 1 y 1 a Lim aLim aLim . x y 1 n y 1 y y y − − → → → + − − = = = = − − + + + + 1.5 đ 2(2.0 đ) +) Hàm số liên tục trên các khoảng ( ) ( ) ( ) ;2 ; 2;5 ; 5; .−∞ +∞ 0.5 đ +) Hàm số liên tục tại x 2 = . 0.5 đ +) Hàm số liên tục tại x 5= khi và chỉ khi a 3.= 0.5 đ +) KL a 3= . 0.5 đ Câu V(4.0 điểm) 1(2.0 đ) +) Chứng minh được MNPQ là hình bình hành 0.5 đ 2 +) MNPQ là hình vuông =  ⇔  =  MN NP MP NQ ⇔ M là trung điểm của AB và a = c. 1.0 đ +) Lúc đó S MNPQ = 2 1 4 b . 0.5 đ 2(2.0 điểm) Gọi G là trọng tâm của tứ diện ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) + + + = + + + = + + + + + + + = + + + + + + + + = + + + + ≥ + uuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 ( ) 4 MA MB MC MD MA MB M C MD MG GA MG GB MG GC MG GD MG MG GA GB GC GD GA GB GC GD MG GA GB GC GD GA GB + + 2 2 GC GD 1.0 đ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M ≡ G. 0.5 đ Vậy: + + + 2 2 2 2 MA MB MC MD đạt giá trị nhỏ nhất khi M là trọng tâm của tứ diện. 0.5 đ 3 . 4 5 5 k 5 k 5 5 2011 5 2011 5 2011 5 2011 5 2011 5 2011 C .C x C xC x C x C x C x C x C x C x C x C x − − − − − − − − − − + + + + + nên 0 k 1 k 1 5 k 5 k 5 2011 5 2011 5 2011 2016 C .C C. ) ( ) ( ) 5 2011 2016 1 x 1 x 1 x+ + = + ; và ( ) 5 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 M 1 x C C x C x C x C x C x= + = + + + + + 1 ( ) 2011 0 1 1 k k 2011 2011 2011 2011 2011 2011 N 1 x C. TRƯỜNG THPT CAO BÁ QUÁT GIA LÂM ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN LỚP 11 Năm học 2010 -2011 Câu1(4.0 đ). 1(2.0 đ). ĐK sin xcosx 0.> Khi đó pt trở thành