Ơn Thi TNPT 2009 Vấn đềâ 3 : Gía trò lớn nhất , giá trò nhỏ nhất A.KIẾN THỨC CƠ BẢN D o o D o o ĐN :Cho hàm số y = f(x) liên tục có TXĐ là D. Kí hiệu: f(x) M, x D GTLN là M = maxf(x) x D :f(x ) M f(x) m, x D GTNN là m = minf(x) x D:f(x ) m Do đó : m f(x) M, x D  ≤ ∀ ∈ ⇔  ∃ ∈ =   ≥ ∀ ∈ ⇔  ∃ ∈ =  ≤ ≤ ∀ ∈ g g g g g g i i i ª Cách 1 : f liên tục trên [a;b] 1. TXĐ 2. ĐH : Tìm y tính f(a),f(b),f(x ) y = 0 x ? là các nghiệm của đạo hàm trên [a;b] 3. KLuận : M = max{f(a),f(b),f(x ′ → ′ ⇔ = i )} m = min{f(a),f(b),f(x )} ª Cách 2 : D [a;b] hoặc f không liên tục trên [a;b] 1. TXĐ 2. ĐH : Tìm y BBT 3. KLuận ≠ ′ → 2 Chú ý : 1. f có thể không có GTLN,GTNN 2. y không co ù GTLN 3. y không co ù GTNN 4. Nếu y 0 . Đôi khi tìm GTLN,GTNN của y M,m? → + ∞ → − ∞ ≥ → o ª Cách 3: Miền giá trò ( Dùng GTLN,GTNN để cm BĐT ) 1. TXĐ 2. Xét pt ẩn x : f(x) y = 0 (*) , y là tham số 3. Pt (*) có n x D điều kiện y M, m ? − ∈ → → o o o o ª Cách 4:Bất đẳng thức 1. Dùng BĐTđể cm : f(x) M, x D hay f(x) m, x D 2. Phải chỉ ra ít nhất một x D: f(x ) M hay f(x ) m ( Tìm một x D để dấu "=" xảy ra ) Chú ý: ≤ ∀ ∈ ≥ ∀ ∈   ∈ = =   ∈ sin[u(x)] 1; cos[u(x)] 1 với u(x) có nghóa sin[u(x)] cos[u(x)] 2 với u(x) có nghóa ª Cách 5: Lượng giác hoá, đại số hoá,đặt ẩn phụ. Dùng PP đổi biến số để đ ≤ ≤ ± ≤ g g ưa vế 4 cách ở trên B. VÍ DỤ 3 2 2 1 3 3 6 3 2 : Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của các hàm số liên tục trên một đo y = x x trên đoạn [ 1; 3 ] Giải TXĐ : D = [ 1; 3 ] Đạo hàm : y x x LOẠI 1 x(x ạn : y ) ; − ′ ′ = − = − 2 2 0 0 3 2 0 2 4 2 0 0 4 2 4 2 2 4 0 [ 1; 3 ] [ 1; 3 ] x [ 1; 3 ] x(x ) x Ta có : y(2) = , y(1) = , y(3) = Vậy : M = max y y(3) = , m = min y y(2) = y x x Hàm số xác đònh và liên tục trên D [ ; ] . Vì x  = ∉ = ⇔ − = ⇔  =  − − = = − = + − = − − ≥ 2 2x⇔ − ≤ ≤ - 1 - Ơn Thi TNPT 2009 2 2 2 2 2 2 2 0 1 0 1 0 4 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 [ 1; 3 ] [ ; ] x x x y , y x x x x x x x Ta có: y( ) ,y( ) ,y( ) Vậy : M = max y y( ) = , m = min y y( 2) = x y = trên [0 ; 2] x Hàm số xác đònh và −  ≥  ′ ′ = − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ ⇔ =  − =   − − = − = − = = = − − − + 2 0 2 5 0 1 1 2 1 2 1 0 1 4 2 2 2 2 1 2 2 0 1 [ 0; 2 ] [ ; ] liên tục trên D = [0 ; 2] y , x [0 ; 2] (x ) Ta có: y(0) = ,y( ) Vậy : M = maxy y( ) = , m = min y y( ) = y = x sin2x trên [ ; ] TXĐ : D = [ ; ] y cos x , y ′ = > ∀ ∈ + − = = = − π π − − π π − ′ ′ = − = ⇔ − 2 2 2 2 1 2 2 0 2 2 6 3 3 6 6 2 6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 5 3 [ ; ] [ ; ] cos x cos x x ( xem lại phần cực trò ) Ta có : y( ) , y( ) , y( ) , y( ) Vậy : M = max y y( ) , m = min y y( ) (TNPT - 04) y = 2sinx s π π π π − − π = ⇔ = ⇔ = ± π π π π π π π π − = − + = − − = − = π π π π = = = − = − − 3 3 2 2 2 0 4 0 3 1 1 2 4 0 2 4 0 2 2 1 2 2 2 3 3 2 in x trên [0 ; ] TXĐ : D = [ ; ] Đặt t = sinx , x [0 ; ] nên t [ ;1] , ta được : y = 2t t = g(t) y t , y t t t ( vì t 0) Ta có : g( ) = , g(0) = 0 , g(1) = Vậy : M π π ∈ π ∈ − ′ ′ = − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ≥ 0 0 1 0 0 1 4 3 2 3 2 2 1 2 2 1 1 3 4 2 2 2 0 0 0 0 0 6 4 4 1 4 12 8 4 3 [ ; ] [ ; ] [ ; ] [ ; ] = maxy maxg = g( ) = khi t = sinx x m = miny ming = g( ) = khi t = sinx x x y = x x x trên [ 1;1] TXĐ : D = [ 1;1] y x x x x[x x π π π = ⇔ = ⇔ = = ⇔ = ⇔ = ∨ = π − + + − − ′ = − + = − 2 2 0 2 0 4 3 2 0 1 2 1 1 1 10 10 0 1 1 7 1 1 1 [ 1;1] [ 1;1] x ] , y x[x x ] x x [ ; ] Ta có : y(0) = 1, y(1) = 2 , y( ) Vậy : M = max y y( ) = , m = min y y( ) = cosx y cos x cosx TXĐ:D Đặt t = cosx , t [ ; ] − −  =  ′ + = ⇔ − + = ⇔ =  = ∉ −   − = = − = + = + + = ∈ − ¡ - 2 - Ơn Thi TNPT 2009 2 2 2 2 2 1 2 0 2 0 2 1 1 1 1 2 1 0 1 3 0 1 0 0 2 [ 1;1] t t t t thì y = = g(t) , t [ 1;1] , g = ;g = 0 t t t [ ; ] t t (t t ) Ta có : g(0) = 1 , g( ) ,g( ) Vậy : M = maxy max g = g( ) = khi t = cosx x k ,k − + − −  = ′ ′ ∈ − ⇔ − − = ⇔  = − ∉ −  + + + + − = = π = ⇔ = ⇔ = + π ∈ ¡ ¢ 2 2 2 1 0 1 1 2 2 8 1 1 1 1 2 1 [ 1;1] m = miny min g = g( ) = khi t = sinx x k ,k y = 2cosx + cos2x Cách 1: y = 2cosx + (2cos x ) 2cos x 2cosx Đặt :t cosx,t [ ; ] thì y = 2t t g(t) g = 4t + 2 ; g = 0 − π = − − ⇔ = − ⇔ = − + π ∈ − = + − = ∈ − + − = ′ ′ ¡ ¢ 1 2 1 3 1 1 1 3 2 2 1 3 1 1 2 1 3 1 1 2 2 2 2 2 6 [ 1;1] [ 1;1] 4t + 2 = 0 t = Ta có : g( ) , g( ) ,g( ) Vậy : M = maxy max g = g( ) khi t = cosx x k ,k m = miny min g = g( ) khi t = sin x x k ,k Cá − − ⇔ ⇔ − − = − − = − = = = ⇔ = ⇔ = π ∈ π = − = − − ⇔ = − ⇔ = − + π ∈ ¡ ¡ ¢ ¢ 3 2 2 2 2 2 4 2 2 3 3 2 4 2 4 0 0 2 2 3 3 0 2 ch 2 : Vì hàm số có chu kì T = 2 nên ta xét hàm số trên D = [0 ; 2 ] x x y = sinx sin x (sin x sinx) sin cos x sin = 0 x x y = 0 sin cos x , x , x = , x = , x cos π π ′ − − = − + = −   π π ′ ⇔ − = ⇔ ⇔ = = π   =   2 2 2 2 3 4 3 2 3 3 2 3 2 2 4 3 3 3 2 9 4 3 4 4 4 3 4 4 4 3 0 x = 2 Ta có : y(0) = 3 , y( ) ,y( ) ,y( ) Vậy : M = maxy y(0) = y(2 ) = 3 m = miny y( ) y( ) y x x trên [ ; ] Cách 1: Xét t x x ,x [ ; ] , t = 0 x x π π π = − = − π = = π π π = = = − = − + − = − + ∈ − ⇔ − + = ⇔ ¡ ¡ 1 3 2 4 0 2 4 0 2 x ,x t x , t x x = = ′ ′ = − = ⇔ − = ⇔ = Bảng biến thiên của t : Suy ra bảng biến thiên của y : - 3 - x 4− 1 2 3 4 ′ y − − 0 + + y 35 3 0 0 1− x 4− 1 2 3 4 ′ y − − 0 + + y 35 1 3 0 0 Ơn Thi TNPT 2009 4 35 1 3 0 [ 4;4] [ 4;4] Vậy : M = max y y( ) m = minx y y( ) y( ) − − = − = = = = 2 2 1 2 2 1 2 1 2 4 3 4 1 3 4 4 3 4 3 1 3 2 4 4 1 3 4 2 4 1 3 2 4 0 2 0 2 4 0 2 y x x nếu x [ ; ] [ ; ] Cách 2 : Vì y x x = y x x nếu x ( ; ) y x nếu x ( ; ) ( ; ) y y x nếu x ( ; ) y x x (loại) y y x x (nhận) Ta c  = − + ∈ − ∪  = − +  = − + − ∈   ′  = − ∈ − ∪ ′ =  ′ = − + ∈  ′  = − =  = ′ = ⇔ ⇔   ′ = − + = =   ó : y(2) = 1 , y( 4) = 35 , y(1) = 0 , y(3) = 0 , y(4) = 3− 4 35 1 3 0 [ 4;4] [ 4;4] Vậy : M = max y y( ) m = minx y y( ) y( ) − − = − = = = = 2 2 3 2 1 10 1 2 1 1 2 1 1 3 2 1 0 2 5 1 2 1 0 2 [ 4;4] [ 4;4] x y = trên [ ; ] x TXĐ:D [ ; ] x y , y = 0 x = 1 . (x ) Ta có : y(1) = ,y( ) ,y( ) Vậy : M = max y y( ) m = minx y y( ) k) y sinx sin x TXĐ:D . Đặt : t = − − + − + = − − ′ ′ = ⇔ + − = = = = = − = = + − = ¡ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0 2 2 2 0 1 2 1 0 1 2 sinx , t [ 1;1] ta được hàm số y = t + t xác đònh và liên tục trên [ 1;1] t t t Lúc đó : y = 1 ;y = t t t t t t t t t t Ta có : y( ) ,y( ) ∈ − − − − − ′ ′ − = ⇔ − − = ⇔ − = − −  ≥  ⇔ ⇔ =  − =   − = = 2 2 2 1 0 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 11 [ 4;4] [ 4;4] Vậy : M = max y y( ) khi t = sinx x k ,k m = minx y y( ) khi t = sinx x k ,k y = cos x sinx Biến đổi : y = (1 sin x) sinx sin x sinx 1 Đặt : t = sin − − π = = ⇔ = ⇔ = + π ∈ π = − = − ⇔ = − ⇔ = − + π ∈ + − + = − + + ¢ ¢ 2 1 2 1 2 1 0 2 1 7 1 1 1 1 2 4 x , t [ 1;1] thì y = t t 1 = g(t) g = t , g = 0 t t Ta có: g( ) ,g( ) ,g( ) ∈ − − + + ′ ′ − + ⇔ − + = ⇔ = = − − = − = - 4 - Ơn Thi TNPT 2009 1 1 1 1 1 2 2 [ ;1] Vậy : M = maxy max g g( ) khi t = sinx x k ,k − π = = = ⇔ = ⇔ = + π ∈ ¡ ¢ 1 1 7 1 1 5 2 2 2 4 2 2 6 6 [ ;1] m =miny = min g g( ) khi t = sinx x k ,x k với k − π π = = − ⇔ = ⇔ = + π = + π ∈ ¡ ¢ 3 3 3 2 3 2 2 2 12 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 3 4 1 0 3 4 1 0 1 3 1 1 1 3 y = sin x cos x sinx Biến đổi : y = sin x ( cos x) sinx y sin x sin x sinx Đặt :t sinx,t [ ; ] ta được y = t t t g(t) g t t , g t t t ,t Ta có : g( ) , g( ) − + + + − + + ⇒ = + + + = ∈ − + + + = ′ ′ = + + = ⇔ + + = ⇔ = − = − = = 23 27 1 1 2 2 1 23 3 27 1 1 1 1 2 2 3 3 3 3 [ 1;1] [ 4;4] [ 1;1] , g(1) = 5 Vậy : M = maxy max g g(1) = 5 khi t = sinx x k ,k m = minx y max g g( ) khi t = sinx x arcsin k , x arcsin k với k − − − π = = ⇔ = ⇔ = + π ∈ = = = ⇔ = ⇔ = + π = π− + π ∈ ¡ ¢ ¢ 13 2 6 1 1 1 1 0 2 6 4 2 2 2 6 2 2 2 6 2 2 [2;6] y = x x Hàm số xác đònh và liên tục trên D = [2;6] y = , y = 0 x x x x x x x Ta có : y(2) = 2 , y(6) = 2 , y(4) = 2 Vậy : M =maxy = y(4) = 2 m =m − + − ′ ′ − ⇔ − = ⇔ − = − ⇔ = − − − − 2 2 2 2 2 2 2 1 14 1 1 1 1 2 2 1 0 1 2 0 2 1 1 2 1 2 1 1 0 2 2 2 2 2 2 [2;6] [ ; 1] iny = y(2) = y(6) = 2 y = x x Hàm số xác đònh và liên tục trên D [ ; ] x x y x , y x x x x Ta có : y( ) ,y( ) ,y( ) Vậy : M = max y = y( ) − − = − − ′ ′ = − − = = ⇔ − = ⇔ = ± − − − = − = ± = = 1 1 2 2 1 2 2 [ ; 1] m = min y = y( ) − − = − 2 15 2 3 2 2 4 1 1 3 1 x nếu 2 x 1 y = x + 2 nếu 1< x 3 Hàm số xác đònh và liên tục trên D [ ; ] x nếu 2 x 1 y , y = 0 x = 0 1 nếu 1< x 3 Ta có : y(0) = 0 , y( ) ,y( ) ,y( ) Vậy :   − ≤ ≤  − ≤   = −  − < < ′ ′ = ⇔  − <  − = = = − 2 3 2 3 2 4 1 [ ; ] [ ; ] M = max y = y( ) = m = min y = y(3) = − − − − - 5 - Ơn Thi TNPT 2009 16 0 2 2 0 2 y sinx cosx sinx ĐK : k x k ,k cosx = + π  ≥ ⇔ π ≤ ≤ + π ∈  ≥  ¢ 4 4 0 2 2 0 4 2 2 2 2 8 1 4 2 8 4 [ ; ] Vì hàm số tuần hoàn với chu kì 2 nên ta chỉ cần xét D = [0 ; ] sinx cosx sinx cosx y ; y x cosx sinx cosx sinx Ta có : y( ) , y(0) = 1 , y( ) Vậy : M =maxy = y( ) π π π π ′ ′ = − + = ⇔ = ⇔ = π π = = π = 0 2 1 2 [ ; ] m = min y = y(0) = y( ) π π = 2 2 2 2 2 1 17 1 2 1 1 2 4 0 1 cos x cosx y cosx t t TXĐ: D . Đặt t = cosx , t [0;1] ta được : y = = g(t) với t [0;1] t t t g = ,t [0;1] , g (t) = 0 chỉ tại t = 0 nên g(t) đồng biến trên [0;1] (t ) Vì : g( + + = + + + = ∈ ∈ + + ′ ′ ≥ ∈ + ¡ 0 1 0 1 0 1 1 2 1 2 1 0 1 0 0 2 [ ; ] [ ; ] ) ,g( ) Vậy : M =maxy =maxg g( ) khi t = 1 cosx sinx x k ,k m =miny =ming y(0) = khi t = 0 cosx cosx x k ,k = = = = ⇔ = ⇔ = ⇔ = π ∈ π = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + π ∈ ¡ ¡ ¢ ¢ 2 2 1 2 3 : Tìm GTNN và GTLN của các hàm số liên tục trên D [aLOẠ ;b y x x I T ] : XĐ: D = ≠ − + = ¡ 2 2 0 2 2 0 1 y x , y x x ′ ′ = − = ⇔ − = ⇔ = Bảng biến thiên 2 Vậy : Không có GTLN . m =miny = y(1) = ¡ 3 4 2 4 3 y x x TXĐ: D = − = ¡ 2 3 2 2 12 12 0 0 0 1 y x x = 12x (1 x) , y 12x (1 x) x ,x ′ ′ = − − = ⇔ − = ⇔ = = Bảng biến thiên - 6 - x −∞ 1 +∞ ′ y − 0 + y +∞ +∞ 2 x −∞ 0 1 +∞ y ′ + 0 + 0 − y 1 −∞ −∞ Ơn Thi TNPT 2009 1 1Vậy : M =maxy = y( ) = Không có GTNN ¡ 4 3 y x với x > 0 . x = + 2 4 1 4 4 4 2 4 4 4 2 4 (0;+ ) Cách : Áp dụng bđt Côsi cho hai số dương x và . x Ta có : x + x . y , x (0;+ ) .Dấu "=" xảy ra x = x x x x x Vậy : M = max y ∞ ≥ = ⇔ ≥ ∀ ∈ ∞ ⇔ ⇔ = ⇔ = = 2 2 2 0 4 4 1 0 1 0 4 2 Cách 2 : TXĐ: D ( ; ) y , y x x x x = +∞ ′ ′ = − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = Bảng biến thiên 0 4 ( ; ) Vậy : Không có GTLN m = min y = y(2) = +∞ 4 3 3 6 3 3 0 6 3 0 2 2 3 2 3 y x x TXĐ : D = ( ; ] x x y x , y x x x x = − −∞ − ′ ′ = − − = = ⇔ − = ⇔ = − − Bảng biến thiên 2 2Vậy : M =maxy = y( ) = Không có GTNN ¡ { } 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 0 0 2 0 2 1 1 x x 5 y x TXĐ : D = \ x x x x x Xét hàm số g(x) = ; g (x) = ,g x x x x (x ) − + = − − + −  = ′ ′ = ⇔ − = ⇔  = −  − ¡ Bảng biến thiên g - 7 - x −∞ 2− 0 2 +∞ y ′ + 0 − − 0 + y +∞ +∞ 4 x −∞ 2 3 +∞ y ′ + 0 − − y 2 −∞ −∞ x −∞ 0 1 2 +∞ g ′ + 0 − − 0 + g 1− −∞ −∞ +∞ +∞ 3 Ơn Thi TNPT 2009 Suy ra bảng biến thiên của y 1 Vậy : Không có GTLN m =miny = y(0) = ¡ 6 3 6 3 6 3 0 3 3 6 3 6 6 0 6 1 1 3 3 6 0 2 2 3 2 6 y x x ( x)( x) x x TXĐ: D [ ; ] . Vì x x x Đặt t x x , ta có : t = ;t x x x = + + − − + −   + ≥ ≥ − = − ⇔ ⇔ − ≤ ≤   − ≥ ≥   ′ ′ = + + − − = ⇔ = + − Bảng biến thiên của t Vậy : t [3;3 2]∈ 2 2 2 2 9 9 2 9 9 2 3 6 3 6 2 2 2 1 2 9 2 3 2 2 t t t t Khi đó : t x. x x. x nên y = t g(t) g (t) t , g = 0 t = 1 [3;3 ] . Ta có : g(3) = 3 , g(3 ) − − − + + = + + − ⇒ + − = − = = ′ ′ = − + ⇔ ∉ = − + 3 6 3 3 2 3 6 3 3 2 3 3 3 6 9 3 2 3 2 2 2 2 [ ; ] [ ; ] [ ; ] [ ; ] Vậy : M = max y = max g g( ) = khi t = 3 x = x m = min y = min g g(3 ) = khi t = 3 x = − − = ⇔ ⇔ − ∨ = = − + ⇔ ⇔ 2 1 7 2 3 0 2 x y trên nửa khoảng (2;3] x TXĐ : D = (2;3] y , với x (2;3] (x ) + = − − ′ = < ∈ − Bảng biến thòên 2 3 4 ( ; ] Vậy : Không có GTLN m =miny = y(3) = - 8 - x −∞ 0 1 2 +∞ y ′ + 0 − − 0 + y +∞ +∞ 1 +∞ +∞ 3 x −∞ 3 − 3 2 6 +∞ t ′ + 0 − t 3 2 3 3 x −∞ 2 3 y ′ − y +∞ 4 Ơn Thi TNPT 2009 2 1 8 1 1 1 x x y trên nửa khoảng ( ;+ ) x TXĐ : D = ( ;+ ) − + + = − ∞ + − ∞ 2 2 2 2 0 0 2 0 2 1 x x x y ; y x x x (x ) − −  = ′ ′ = = ⇔ − − = ⇔  = −  + Bảng biến thiên 1 0 1 ( ; ) Vậy : M = max y = y( ) = Không có GTNN − +∞ 2 2 9 1 x y x x = + + 2 2 2 2 2 1 0 2 0 2 0 1 1 2 TXĐ : D = . Vì x x vô nghiệm x x x y = ;y = 0 x x x (x Cách : PP hàm số x . ) + + = +  = ′ ′ ⇔ + = ⇔  = −  + + ¡ Bàng biến thiên 2 4 3 0 Vậy : M =maxy = y( ) = / m =miny = y(0) = − ¡ ¡ 2 2 2 2 1 1 1 0 4 1 0 2 TXĐ : D = x Gọi y là giá trò mà hàm số có thể đạt được x : y x x y y Phương trình : (y Cách : PP dùng ta 1)x yx y có nghiệm x y y(y ) äp giá trò của hàm số ⇔ ∃ ∈ = + +  =  ≠ ⇔ − + + = ⇔   ∆ = − − ≥   ¡ ¡ 1 4 0 3 4 3 y y Vậy tập giá trò của hàm số là T = [0 ; ]  =   ⇔   ≤ ≤    4 4 2 3 3 0 0 0 Vậy : M =maxy = . Khi y = x m =miny = . Khi y = x ⇔ ⇔ = − ⇔ ⇔ = ¡ ¡ - 9 - x −∞ 2− 1 0 +∞ y ′ + 0 − y 1 −∞ −∞ x −∞ 2− 0 +∞ y ′ + 0 + 0 − y 4 3 1 1 0 Ơn Thi TNPT 2009 2 2 2 10 2 3 2 3 0 5 9 sinx cosx y sinx cosx Phương trình sinx cosx có a b c nên vô nghiệm, do đó y có tập xác đònh D = Gọi y là giá trò mà hàm số có thể đạt được x : phương trình y − = + + + + = + = < = ⇔ ∃ ∈ = ¡ ¡ 2 3 sinx cosx có nghiệm sinx cosx (y 1)sinx + (2y+1)cosx+3y = 0 (1) − + + ⇔ − 2 2 2 Áp dụng : của phương trình : asinx + bciều kiện có nghiệ sx = c là m a b c+ ≥ 1 1TH : y . Khi đó : (1) cosx = 1 x = (2k+1) ,k= ⇔ − ⇔ π ∈¢ 2 2 2 2 1 1 1 2 1 9 1 2 1 1 2 TH :y ( ) có nghiệm (y 1) ( y ) a y Kết hợp hai trường hợp ta được : y ≠ ⇔ − + + ≥ ⇔ − ≤ < − ≤ ≤ 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 Vậy : M =maxy = . Khi y = x ( k ) ,k m =miny = . Khi y = x k ,k ⇔ ⇔ = + π ∈ π − − ⇔ ⇔ = − + π ∈ ¡ ¡ ¢ ¢ 2 2 2 2 11 3 4 3 4 4 25 5 5 3 4 3 5 3 4 5 1 1 5 5 5 y sinx cosx TXĐ : D = Biến đổi : sinx cosx y (1) Phương trình (1) có nghiệm 3 ( ) y y y Vậy : miny khi sinx cosx sinx cosx sin(x ) với cos = , sin = = − − = ⇔ + − ≥ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤ • = − − = − ⇔ − = − ⇔ −α = − α α ¡ ¡ 4 5 2 2 2 2 3 4 3 4 5 3 4 5 1 1 5 5 5 5 2 2 2 x = k ,k x = k ,k maxy khi sinx cosx sinx cosx sin(x ) với cos = , sin = x = k ,k x = π π ⇔ − α − + π ∈ ⇔ α − + π ∈ • = − = ⇔ − = ⇔ −α = α α π π ⇔ − α + π ∈ ⇔ α + ¡ ¢ ¢ ¢ 2k ,k+ π ∈¢ 2 2 1 3 12 2 2 0 0 0 y trên ( ; ) sinx sinx sinx y ;y sinx x cos x cos x π π = ′ ′ = = ⇔ = ⇔ = ⇔ = π Bảng biến thiên 3 2 2 1 ( ; ) Vậy : M = max y = y( ) = Không có GTNN π π π − - 10 - x 2 π π 3 2 π y ′ + 0 − y 1− −∞ −∞ [...]... các số dương thay thỏa mãn : x + y = 1 Tìm GTNN của biểu thức P = xy + Giải 1 xy 1 1 Đặt t = xy thì 0 < t ≤ 4 4 1 1 1 1 Khi đó : P = t + = g(t) ; g′ = 1 − , g′ = 0 ⇔ 1 − = 0 ⇔ t = ± 1 (0; ] t 4 t2 t2 Bảng biến thi n 1 t 0 4 − g′ Áp dụng BĐT Côsi ta có : 1 = x + y ≥ 2 xy ⇒ 0 < xy ≤ g 17 4 - 15 - Ơn Thi TNPT 2009 1 17 1 1 1 min P = min g = g( ) = khi t = ⇔ xy = , chẳng hạn x = y = Bảng biến thi n... + 16 t + 4 = g(t) 1 g′ = 64t + 16 ; g′ = 0 ⇔ 64t + 16 = 0 ⇔ t = − 4 Bảng biến thi n 1 +∞ − t −∞ 4 − g′ 0 + g - 13 m Ơn Thi TNPT 2009 1 1 9 ⇔ M(− ; ) 4 4 4 LOẠI 4 : Tìm GTLN , GTNN của biểu thức Một số bất đẳng thức thường gặp : Vậy : AB đạt GTNN ⇔ t = − 1 Bất đẳng thức Cauchy a + a + + an n 1 Bất đẳng Côsi cho a1,a2 , ,a n ≥ 0 : a1 + a 2 + + an ≥ n.n a1.a2 an hay 1 2 ≥ a1a2 an n Dấu "=" xảy ra ↔ a1... +1 tiệm cận là nhỏ nhất Giải 2x + 1 Xét điểm M(x o ; o ) ∈ (C), x o ≠ 1 xo + 1 (C) có tiệm cận đứng (d1) : x + 1 = 0 (C) có tiệm cận ngang (d 2 ) : y − 2 = 0 2x + 1 1 Cô si 1 Ta có : d(M;(d1 )) + d(M;(d 2 )) = x o + 1 + o − 2 = xo + 1 + ≥ 2 xo + 1 =2 xo + 1 xo + 1 xo + 1  x = 0 (yo = 1) 1 Dấu "=" xảy ra ⇔ x o + 1 = ⇔ (x o + 1) 2 = 1 ⇔  o xo + 1  x o = −2 (yo = 3) Vậy có hai điểm cần tìm là M1(0 ;1) ,M... y = 1 Max P = max g = g(0) = 1 khi t = 0 ⇔  ⇔ 1 x + y = 1  x = 1 ; y = 0 [0; ] P= 4  1 1 2 1 1 xy = minP = min g = g( ) = khi t = ⇔ 4 ⇔ x=y= 4 3 4 2 1 x + y = 1 [0; ]  4 6 Cho x,y,z là ba số dương thỏa mãn điều kiện x+ y + z = 3 Tìm GTNN nhất của biểu thức : 1 1 1 P= + + x y z 1 1 1 1 9 9 Giải : Đặt a = x , b = y , c = z ta được : P = + + ≥ ≥ = =3 a b c a+b+c 3(a2 + b2 + c2 3 x+y+z =1 3... 22 2 14 Vậy : minA = − khi (a;b) = ( ; ) 9 3 9 1 1 2 Cho a, b là các số thực dương Tìm GTNN của biểu thức M = (a + b)( + ) a b Giải Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm ta có : a + b ≥ 2 ab > 0 1 1 1 1 + ≥2 >0 a b a b 1 1 1 Nhân theo vế hai BĐT trên ta được : M = (a + b)( + ) ≥ 2 ab.2 =4 a b ab Vậy : minA = 4 khi (a;b) = (1; 1) 3 Tìm GTLN ,GTNN của biểu thức P = x − y + 2040 Với x,y là các số thực... y 1 Do đó : min A = 3 , chẳng hạn x = y = z = 3 8 (NT-97) Cho x,y,z là các số dương thay đổi thỏa mãn x + y + z = 1 Tìm GTLN của biểu thức x y z P= + + x +1 y+ 1 z +1 Giải 1 1 1 a b c b c a Côsi Với mọi số dương a,b,c ta có : ( + + )(a + b + c) = 3 + ( + ) + ( + ) + ( + ) ≥ 9 a a a b a b c a c 1 1 1 1 1 1 9 Do đó : ( + + )(a + b + c) ≥ 9 ⇒ + + ≥ Dấu "=" xảy ra khi a = b = c a a a a a a a+b+c 1 1 1 1... 14 y = 15 y = sinx (1+ | cos x |) 16 y = sin3x + cos3 x 17 y= − cos2x − sinx,x ∈ [ ;2 π] 2 + cosx 2 4 4 sin x + cos x + 1 18 (TK1-A03) y = sin 5x + 3 cos x 19 y = 20 Cho a > 0, b > 0 Tìm GTNN sin 6 x + cos6 x + 3 b của y = a|x| + x2 ĐS: 1) m = 2, ∃M 2) ∃M, m = 3 3) M= y(2) = 8, m = y (1) = − 1 4) M = y( − 1) = 3, m = y (1) = 1/ 3 2 2 5) M = y(2) = 2 , m = y (1) = 1 8) M = y (1) = 2, ∃m 6) M = y (1) = 2... ∃m 7) M = y (1) = 2 , m = y(− 2) = − 2 9) M = y( − 2) = 5,m = y( 1) = 0 10 ) M = y(3) = 2, m = y(2)= y(4) = 2 π π π π 11 ) M = y( − ) = , m = y( ) = − 2 2 2 2 3 15 12 ) M = y(0) = 3 , m = y( ) = 4 8 13 ) ∃M , m = y (1) = 1 2π 1 3 3 3 3 3 3 )= , m = y(0) = 0 15 ) M = y( )= , m = y( − ) =− 16 ) M= y (1) = 1, 3 2 4 2 4 3 1 9 3π m = y( − 1) = − 1 17) M = y( ) = − ,x = α ∨ x = π − α ; m = y( 1) = 2, x = 18 ) M = y(2kπ)... TẬP 1 Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất ( nếu có ) của các hàm số sau : 2 x2 − x + 1 4 2 1 y = x − 2x + 3 2 y = x + (x > 0) 3 y = x − 2x trên [0;2] 4 y = 5 y = x trên [1; 4] x x2 + x + 1 x +1 6 y = − x3+ 3x trên [0;2) 7 y = x + 2 − x 2 8 y = 9 y = | x2 − 2x − 3 | trên [ − 2 ;1] 2 x +1 π π 10 y = 4 − x + x − 2 11 y = sin2x − x, x ∈ [ − ; ] 12 y = 2cos4 x + 3sin 2 x 13 y = (x − 1) 2 + 1 2 2 sinx 3π 14 ... y[(2k + 1) π] = − 3 19 ) Đặt t = sin 2 2x,t ∈ [0 ;1] thì y = g(t) = liên tục trên [0 ;1] 16 − 3t −8 1 ⇒ g′(t) = < 0, ∀t ∈ [0 ;1] ⇒ g đồng biến trên [0 ;1] nên Maxy = g(0) = khi sin 2x = 0 , 2 (16 − 3t)2 14 ) M = y( min y = g (1) = 16 khi sin2x = ± 1 3 20) Dùng BĐT Côsi và miny = y( ± 3 2 Gỉa sử x,y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y = S= 4 1 + x 4y HD : S = 2b a2 b ) = 33 a 4 4 Tìm GTNN của biểu . + + + 9 1 1 1 1 1 1 9 9 1 1 1 1 1 1 9 9 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 Côsi a ) a c Do đó : ( )(a b c) . Dấu "=" xảy ra khi a = b = c a a a a a a a b c Vì : P = (1 ) (1 ) (1 ) ( ) x. = [ 1; 1] y x x x x[x x π π π = ⇔ = ⇔ = = ⇔ = ⇔ = ∨ = π − + + − − ′ = − + = − 2 2 0 2 0 4 3 2 0 1 2 1 1 1 10 10 0 1 1 7 1 1 1 [ 1; 1] [ 1; 1] x ] , y x[x x ] x x [ ; ] Ta có : y(0) = 1, y (1) =. biến thi n - 13 - t −∞ 1 4 − +∞ g ′ − 0 + g m Ơn Thi TNPT 2009 1 1 9 4 4 4 Vậy : AB đạt GTNN t = M( ; )⇔ − ⇔ − LOẠI 4 : Tìm GTLN , GTNN của biểu thức 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 0 2 1