Sáng kiến: Một số kinh nghiệm quản lý việc rèn luyện phát triển phẩm chất trí tuệ học sinh qua dạy học Toán - MỤC LỤC TT 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Nội dung PHẦN I : MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nhiệm vụ chọn đề tài Phương pháp thực Cơ sở thời gian tiến hành PHẦN II: NỘI DUNG Mô tả phương pháp rèn luyện phát triển phẩm chất trí tuệ học sinh qua dạy học toán Phương pháp : Tập cho học sinh biết quan sát, dự đoán, nêu giả thuyết, kiểm chứng giả thuyết Phương pháp 2: Chọn số tập có cách giải đơn giản cách áp dụng quy tắc học nhằm khắc phục sức ì tư Phương pháp : Khuyến khích học sinh tìm nhiều lời giải khác tốn, khai thác nhiều khía cạnh nhằm khắc sâu kiến thức kĩ Phương pháp 4: Xây dựng cho học sinh cách giải tổng quát nhiều toán loại Phương pháp : Giải tốn khơng mẫu mực Phương pháp :Tập cho học sinh phát chổ sai lời giải tìm nguyên nhân đề xuất cách giải Phương pháp Từ toán quen thuộc ta phát triển mở rộng thành nhiều tốn khó PHẦN III : KẾT LUẬN Kết Đề xuất – Kiến nghị Tài liệu tham khảo Trang 2 2 Trờng THCS ĐăkChoong Nguyễn Quang Duyên Trang - - 4 10 13 14 16 18 18 19 20 Sáng kiến: Một số kinh nghiệm quản lý việc rèn luyện phát triển phẩm chất trí tuệ học sinh qua dạy học Toán - PHẦN I MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài: Theo nhà tâm lí học, phẩm chất trí tuệ người thể chủ yếu tính linh hoạt tính độc lập Cả hai đặc tính tạo nên tính sáng tạo người Do giáo dục sư phạm, giáo viên cần xây dựng cho học sinh tính linh hoạt sáng tạo trí tuệ, thể cụ thể:  Kĩ thay đổi phương hướng giải vấn đề phù hợp với thay đổi điều kiện, biết tìm phương pháp để giải vấn đề, dễ dàng chuyển từ hoạt động sang hoạt động trí tuệ khác, khơng rập khn theo mẫu có sẵn  Kĩ nhìn vấn đề, tượng theo nhiều quan điểm khác  Kĩ xác lập phụ thuộc kiến thức theo thứ tự ngược lại (tính thuận nghịch q trình tư duy)  Tự phát tìm phương pháp giải vấn đề, khơng tìm lời giải có sẵn, khơng hồn tồn dựa vào ý nghĩ lập luận người khác  Nghiêm túc đánh giá lập luận cách giải người khác  Cả tinh thần hồi nghi khoa học, ln tự đặt cho câu hỏi: sao, đâu, lĩnh hội kiến thức Theo định hướng trên, giáo viên cần phải thường xuyên trao đổi, nâng cao kiến thức, tìm tòi phương pháp giảng dạy, hệ thống tập phù hợp với mức độ, đối tượng học sinh Khơng khó khăn, vướng mắc cơng tác chuẩn bị, phương pháp thực hiện, thời gian tổ chức Đặc biệt học sinh lớp có khả tiếp thu kiến thức không Tuy nhiên, qua nhiều năm giảng dạy, tơi cố gắng tìm tịi, tích lũy chút kinh nghiệm việc nâng cao tính linh hoạt tính độc lập, sáng tạo học sinh Đó lý để chọn đề tài khó 2.Nhiệm vụ đề tài:  Đáp ứng đổi phương pháp giáo dục THCS: phát huy tính linh hoạt độc lập trí tuệ  Đáp ứng nhu cầu thời đại cơng nghiệp hóa, đại hóa, tính sáng tạo, nghiên cứu khoa học sau  Tháo gỡ vướng mắc, khó khăn giáo viên học sinh học tốn, giúp học sinh hứng thú, tích cực, tự giác học tập 3.Phương pháp thực hiện:  Tiến hành tổ chức lồng ghép thường xuyên tiết dạy tất lớp 6, 7, 8, theo yêu cầu mức độ khác  Giáo viên cần phải lựa chọn tập, phương pháp tổ chức lồng ghép hợp lý, phù hợp với đối tượng học sinh nhằm phát huy tính sáng tạo học sinh  Thông qua tiết tập, giáo viên xây dựng cho học sinh phương pháp phân tích, suy luận, tìm tịi… từ giáo viên giao công việc, tập nhà để học sinh tìm tịi cách giải nhanh hơn, gọn hơn… Trờng THCS ĐăkChoong Nguyễn Quang Duyên Trang - - Sáng kiến: Một số kinh nghiệm quản lý việc rèn luyện phát triển phẩm chất trí tuệ học sinh qua dạy học Toán -  Qua tiết ôn tập cần cho thêm tập tổng hợp nhằm củng cố kiến thức đồng thời móc xích đơn vị kiến thức  Hướng dẫn học sinh cách tham khảo tài liệu, sách báo, phân biệt dạng tốn… gắn vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi 4.Cơ sở thời gian tiến hành:  Cơ sở: LỰa chọn tập SGK, SBT, STK lớp 6, 7, 8, điều chỉnh sửa chữa cho phù hợp với đối tượng lớp  Đối tượng: Áp dụng cho tiết học lý thuyết, lẫn tiết luyện tập tất lớp THCS trường THCS ĐăkChoong  Thời gian tiến hành: Từ năm học 2002 – 2003, 2003 – 2004, 2004 – 2005, 2005 – 2006, 2006 – 2007, 2007-2008 Trêng THCS ĐăkChoong Nguyễn Quang Duyên Trang - - Sỏng kiến: Một số kinh nghiệm quản lý việc rèn luyện phát triển phẩm chất trí tuệ học sinh qua dạy học Toán - PHẦN II NỘI DUNG MÔ TẢ PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN CÁC PHẨM CHẤT TRÍ TUỆ CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC TOÁN  PHƯƠNG PHÁP 1: Tập cho học sinh biết quan sát, dự đoán, nêu giả thuyết, kiểm chứng giả thuyết  Ví dụ minh họa 1) Khi dạy đường trung bình hình thang (Tiết – Hình học 8) GV Đưa ?4 Bảng phụ (hình vẽ) Hình thang ABCD (AB // CD) EA = ED, EF//AB//CD -Nhận xét vị trí I AC F CB ? HS: DỰ đoán I trung điểm AC F trung điểm BC Vận dụng tính chất đường trung bình tam giác để kiểm chứng dự đoán GV: Khẳng định: định lý SGK, cho HS so sánh EF với tổng AB + CD từ đặt vấn đề đến định lý 2) Bài toán sau: (Đại số 8) Từ ví dụ sau đưa nhận xét chứng minh nhận xét đó: 0.1.2.3 + = 12 1.2.3.4 + = 52 2.3.4.5 + = 112 HS: Rút nhận xét: “ Tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm số phương” Chứng minh: Biến đổi n(n+1)(n+2)(n+3) + thành (n2 + 3n + 1)2 : số phương Xuất phát từ tốn giáo viên yêu cầu học sinh chứng minh toán sau: “Chứng minh số A = n(n+1)(n+2)(n+3) khơng thể số phương với n số nguyên dương” HD: Chứng minh được: (n2 + 3n)2 < A < (n2 + 3n +1)2, tức A nằm hai số phương liên tiếp, nên A khơng thể số phương 3) Sách tập Toán (Bài / trang – NXBGD) có tốn: CMR: 13 + 23 = + 13 + 23 + 33 = + + 13 + 23 + 33 + 43 = + + + Thật dễ, HS chịu khó tính giá trị VT so sánh với VP xong Nâng cao chút, GV yêu cầu HS quan sát, dự đoán viết đẳng thức HS viết được: 13 + 23 + 33 + 43 + 53 = + + + + 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 = + + + + + Trờng THCS ĐăkChoong Nguyễn Quang Duyên Trang - - Sáng kiến: Một số kinh nghiệm quản lý việc rèn luyện phát triển phẩm chất trí tuệ học sinh qua dạy học Toán - Nâng cao chút nữa, yêu cầu HS tổng quát toán trên? (GV gợi ý (nếu cần)) ( ∀ n nguyên dương) * Tổng quát: 13 + 23 + 33 + + n = + + + + n GV yêu cầu HS chứng minh toán tổng quát 2 x  (x+1) - (x-1)   x(x+1)   x(x-1)    = x3 GV hướng dẫn: Ta có nhận xét   -  =     Áp dụng kết ta có: 2  0.1   1.2  + + + + n = -  ÷ + ÷     3 3 2  1.2   2.3  - ÷ + ÷     2 2  2.3   3.4   (n-1) n   n(n+1)  - ÷ + ÷ - -  ÷ + ÷          n(n+1)  = ÷   Mặt khác: + + + + n = n(n+1) nên ta có đpcm Từ kết tốn ta có tốn sau: Tìm số nguyên dương x thỏa mãn: 13 + 23 + 33 + + x3 = 5050 (x = 100: Bài toán Gaussơ)  PHƯƠNG PHÁP 2: Chọn số tập có cách giải đơn giản cách áp dụng qui tắc học, nhằm khắc phục sức ì tư  Ví dụ minh họa: 1) Khi dạy §4 Giá trị tuyệt đối số hữu tỉ (ĐS 7) GV: Đưa tập: Tỡm x Ô Bit rng x+ = 2x   x+ > ⇔ x+ = x  Để giải tập ta xét:  x+ < ⇔ - x- = x  5  Đối với toán ta để ý đến vế trái: x + 2 > ⇒ x > ⇒ x > ⇒ x+ > 5 Từ ta xét trường hợp x + > Bằng cách suy nghĩ giúp ta giải số tốn hay khó b) + x+ = x 5 x+1 + x+ + + x+ 2003 = 2004 x c) x+ a) x+ + x+ 101 + x+ + + x+ = 101x 101 101 101 Trêng THCS ĐăkChoong Nguyễn Quang Duyên Trang - - Sỏng kin: Một số kinh nghiệm quản lý việc rèn luyện phát triển phẩm chất trí tuệ học sinh qua dạy học Toán - d) x+1 + x+ + x- + x+15 = x- 2 2) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P = x2(y-z) + y2(z-x) + z2(x-y) (ĐS 8) Để phân tích đa thức P thành nhân tử ta có nhiều cách: Cách 1: Tách z–x thành –[(y-z) + (x-y)] hoặc: Cách 2: KHAI triển y2(z-x) + z2(x-y) = y2z – xy2 + xz2 – yz2 = yz(y-z) – x(y2-z2) Khi đó: P = (y-z)(x-y)(x-z) -Ngồi hai cách làm thơng thường ta cịn phân tích đa thức P cách khác Cách 3: Thay x y P = y2(y-z) + y2(z-y) = 0, Vậy P chia hết cho x-y Tương tự thay y z z x P = Vậy P chia hết cho y-z z-x Khi P có dạng: P = k(x-y)(y-z)(z-x) Vậy ta có đẳng thức: x2(y-z) + y2(z-x) + z2(x-y) = k(x-y)(y-z)(z-x) với x, y, z Vậy cho x = 2, y = 1, z = (giá trị x, y, z tùy ý cho (x-y)(y-z)(z-x) ≠ ) Ta được: 4.1 + 1(-2) +0 = k.1.1.(-2) ⇔ k = -1 Vậy P = - (x-y)(y-z)(z-x) = (x-y)(y-z)(x-z) 3) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = (x-1) + (x- 3) (ĐS )  Theo cách thông thường ta biến đổi A = 2(x - x+ 5) = 2(x − 2) + ≥ Vậy MinA = x =  Ta giải toán cách khác đơn giản hơn: Đặt x – = y ta A = (y+1)2 + (y-1) = y2 + ≥ Vậy MinA = ⇔ y = ⇔ x = 4)  x- = - y  (ĐS 9)  x+ + y-1 = y-  Khi giải phương trình: (I)  Nếu giải theo cách thông thường (phá dấu trị tuyệt đối chia đoạn) dài phức tạp Nhưng ta xét rằng: - y ≥ , y- ≥ Suy ra: ≤ y ≤ y-1 = y-1 Khi ta cộng hai vế hai phương trình (I) ta được:  x- = x- + x+ = ⇒   x+ = Vậy: Hệ cho vô nghiệm PHNG PHP 3: Trờng THCS ĐăkChoong Nguyễn Quang Duyên Trang - - Sáng kiến: Một số kinh nghiệm quản lý việc rèn luyện phát triển phẩm chất trí tuệ học sinh qua dạy học Tốn - Khuyến khích học sinh tìm nhiều lời giải khác toán, khai thác nhiều khía cạnh nhằm khắc sâu kiến thức, kĩ  Ví dụ minh họa: 1) Bài tốn (ĐS 8): Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp cho tích chúng 1680 GV: Yêu cầu đưa nhiều cách giải Cách 1: Nếu đặt số bé bốn số a ta có: a(a+1)(a+ 2)(a+ 3) = 1680 (1) Nếu liên tục nhân với dẫn đến phương trình bậc bốn đầy đủ rơi vào bế tắc Nhưng với việc nhân a với (a + 3) (a + 1) với (a + 2) được: (a + 3a)(a + 3a+ 2) = 1680 (2) Không nhân tiếp mà đặt t = a + 3a với t ≥ Khi ta được: (2) ⇔ t + t-1680 = Giải phương trình ta được: t = 40 Giải tiếp phương trình a2 + 3a = 40 ta có kết a = Cách 2: Đặt x số trung bình cộng số đầu số cuối Ta có : (x-1,5)(x- 0,5)(x+ 0,5)(x+1,5) = 1680 Thực phép nhân ta có phương trình: x - 2,5 x -1674,5 = Và x = 6,5 Từ kết số phải tìm: 5, 6, 7, Cách 3: Phân tích 1680 = 24.3.5.7 lập luận:  Cả bốn số phải tìm khơng có số có hai chữ số Nếu số lớn 10 số nhỏ Nhưng 74 = 2401 > 1680  Số 1680 chia hết cho VÀ nhận xét nên hai số phải tìm Từ suy số 2) Từ tốn: Tìm hai số x y biết: GV gợi ý cho HS cách giải: Đặt x y = x.y = 10 (Bài 62 toán tập 1) x y = =k x = k y = k Khi đó:  Mà x.y = 10 ⇔ 10 k = 10 ⇔ k = ⇔ k = ±1 Từ suy x = ±2, y = ±5 Ngoài cách giải GV yêu cầu HS tìm nhiều cách giải khác Chẳng hạn: Cách 1: Từ x y 2y = ⇔ 5x = 2y ⇒ x = 5 2y vào x.y = 10 Từ tìm y = ±5 ⇒ giá trị tương ứng x x Cách 2: Từ x.y = 10 ⇒ x ≠ Do đó: ≠ 2 x x y x x xy Từ suy ra: = ⇔ = ⇔ x = ±2 2 10 Thay x = Trờng THCS ĐăkChoong Nguyễn Quang Duyên Trang - - Sáng kiến: Một số kinh nghiệm quản lý việc rèn luyện phát triển phẩm chất trí tuệ học sinh qua dạy học Tốn - Với x = ±2 ta tìm giá trị tương ứng y Cách 3: 10 x x y 20 Từ = ⇔ x = y ⇔ x = ⇔ x = ±2 x TỪ x.y =10 ⇒ x ≠ ⇒ y = * Khai thác toán nhiều cách giải học sinh lớp 7, rèn luyện cho học sinh kĩ suy luận, thay thế… Ngồi cịn định hướng cho học sinh sau này, x y  = toán giải hệ phương trình lớp  x y =  a c a c = Chứng minh = (ĐS 7) b d a- b c- d a c a b Cách đơn giản học sinh thường chứng minh: = ⇒ = (Hoán vị trung tỉ) Áp b d c d a b a- b a c ⇒ = dụng tính chất dãy tỉ số ta được: = = (hoán vị tỉ lệ thức : c d c- d a- b c- d a a- b = ) c c- d 3) Cho tỉ lệ thức GV phân tích tìm nhiều lời giải khác: Cách 1: Xét tích a(c – d) c(a – b) Ta có: a(c – d) = ac – ad c(a – b) = ca – cb a c = ⇒ ad = bc b d Từ (1), (2), (3) ⇒ a(c- d) = c(a- b) a c = Do đó, a- b c- d a c Cách 2: Đặt = = k ⇒ a = kb, c = kd b d a kb k = đó, = a- b kb- b k-1 (1) (2) MẶt khác: (3) (1) c kd k = = (2) c- d kd- d k-1 a c = Từ (1) (2) ⇒ a- b c- d a c b d Cách 3: TỪ = ⇒ = b d a c b d a- b c- d a c ⇒ 1- = 1- ⇒ = ⇒ = a c a c a- b c- d a c Cách 4: TỪ = ⇒ ad = bc b d bc bc ad ad c a Do đó: = b(c- d) = bc- bd = ad- bd = d(a- b) = c- d a- b Trêng THCS ĐăkChoong Nguyễn Quang Duyên Trang - - Sỏng kiến: Một số kinh nghiệm quản lý việc rèn luyện phát triển phẩm chất trí tuệ học sinh qua dạy học Toán - 4) Chứng minh định lý tính chất đường phân giác tam giác (HH8): Ngoài cách chứng minh cách vẽ đường thẳng song song với cạnh áp dụng hệ ĐL Ta-lét SGK HH Ta hướng dẫn HS khai thác tìm tịi thêm số cách chứng minh khác sau: Cách : Trên CD lấy điểm E cho AE = AD, tam giác ADE cân A, nên: · Ta có: · AEC = · ADE = CDB Suy ra: ∆ACE ∆BCD (g-g) Cho nên: AE AC = BD BC Vì: AE = AD, đó: DA CA = (Đpcm) DB CB Cách : Trên CD lấy điểm E cho AE = AC, tam giác ACE cân A, nên: Ta có: · AEC = · ACE Suy ra: ∆AED ∆BCD (g-g) Cho nên: AE DA = CB DB Vì: AE = AC, đó: DA CA = (Đpcm) DB CB Cách 3: Từ đỉnh A, B hạ đường vng góc AE, BF xuống đường thẳng CD Ta có : ∆AED DA EA = (1) DB FB CA EA = ∆BCF (g-g) Suy ra: (2); Từ (1) (2) suy ra: CB FB ∆BDF (g-g) Suy ra: Mặt khác: ∆ACE DA CA = DB CB Cách : Ta có tỉ số diện tích hai tam giác có đường cao tỉ số hai SCDA DA cạnh đáy tương ứng Nên: S = DB (1) CDB Mặt khác theo tính chất phân giác góc, đường cao hai tam giác S CA CDA CDA CDB hạ từ đỉnh D Nên: S = CB (2) CDB Từ (1) (2) suy ra: DA CA = (Đpcm) DB CB 5) Chứng minh định lý: “Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng1800 “ (HH9) · · • Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O), ta chứng minh BAD + BCD = 1800 Ngoài cách chứng minh cộng số đo hai cung căng dây SGK hướng dẫn, ta khai thác thêm nhiều cách chứng minh khác sau:  Cách 1: Nối BD Trêng THCS ĐăkChoong Nguyễn Quang Duyên Trang - - Sỏng kiến: Một số kinh nghiệm quản lý việc rèn luyện phát triển phẩm chất trí tuệ học sinh qua dạy học Toán - 1 · · ¼ ¼ Ta có: ABD = sđ AnD ; ADB = sđ AmB 2 ¼ · · · Suy ra: ABD + ADB = sđ BAD = BCD · · · Mà: BAD + ABD + ADB = 1800 · · Suy ra: BAD + BCD = 1800 (đpcm)  Cách 2: Nối AC, BD Ta có: · · · BAD + ABD + ADB = 1800 · · · · ABD = ACD; ADB = ACB · · · · · Suy ra: ABD + ADB = ACD + ACB = BCD · · Từ (1) (2) ta suy BAD + BCD = 1800  (1) (2) Cách 3: Qua A kẻ tiếp tuyến xy với (O) · ¼ Ta có: BAy = sđ BmA ; · ¼ DAx = sđ DnA 2 · · ¼ Suy ra: BAy + DAx = sđ BAD · · · · · · ¼ Mà BCD = sđ BAD Suy ra: BAD + BCD = BAD + BAy + DAx = 1800  Cách 4: Nói OA, OB, OC, OD Các tam giác OAB, OBC, OCD, ODA cân O · · · · · · Suy ra: AOB + 2OAB = BOC + 2OCB = COD + 2OCD · · = DOA + 2OAD = 1800 · · · · · · · · ⇒ 2(OAB + OAB + OCD + OAD) = 4.1800 - (AOB + BOC + COD + DOA) · · ⇒ 2(BAD + BCD) = 3600 · · ⇒ BAD + BCD = 1800 (Đpcm)  PHƯƠNG PHÁP 4: Xây dựng cho học sinh cách giải tổng quát nhiều toán loại Khi giải tập cho học sinh, giáo viên cần phải định hướng, phân tích, tổng hợp đưa phương pháp giải cho học sinh để từ học sinh áp dụng giải tập tương tự  Ví dụ minh họa 1) Từ tập chứng minh đẳng thức: k 1 = (Với k, n ∈ ¥ , n ≠ 0) (Số học – ĐS 8) n(n+ k) n n+ k Qua tập trên, yêu cầu học sinh làm tập áp dụng) 3 3 + + + + (Số học 6) 1.4 4.7 7.10 97.100 3 B = (x+ 2)(x+ 5) + (x+ 5)(x+ 8) + + (x+11)(x+14) Tớnh tng: A = (S 8) Trờng THCS ĐăkChoong Nguyễn Quang Duyªn Trang - 10 - Sáng kiến: Một số kinh nghiệm quản lý việc rèn luyện phát triển phẩm chất trí tuệ học sinh qua dạy học Toán - 2) Từ tốn: Tìm ba số x, y, z biết rằng: x y y z = ; = x + y – z = 10 (Bài 61/31 – SGK toán 7) Để giải toán ta phải viết hai tỉ lệ thức: x y y z = = dãy tỉ số x y z = = Kết hợp với x + y – z = 10, ta tìm giá trị: x = 16, y = 24, z = 30 12 15  TỪ toán ta có tốn tổng qt sau: x y y z x y z = = ta dãy tỉ số sau: = = a b c d a b' b.b' d.c' BCNN(b, c) Trong b’= b BCNN(b, c) c’= c Nếu biết  TỪ toán tổng quát giúp ta dễ dàng giải tập sau: Bài 1: Tìm x, y, z biết x y y z = ; = 2x – 3y + z = Bài 2: Tìm a, b, c biết 2a = 3b; 5b = 7c 3a – 7b + 5c = 30 3) Đơi từ tốn ta lại xây dựng thành phương pháp giải độc đáo cho tốn loại nó, ứng dụng để giải tốn liên quan: Chẳng hạn: Ta dễ dàng chứng minh đẳng thức: x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q) với x, p, q Hằng đẳng thức đơn giản ứng dụng giải tốn phong phú có hiệu Trước hết ta thấy đẳng thức đáng nhớ: x2 + 2ax + a2 = (x + a)2; x2 - 2ax + a2 = (x - a)2; x2 - a2 = (x + a)(x – a) trường hợp đặc biệt đẳng thức -Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử: Giả sử ta cần phân tích tam thức bậc hai dạng: x + ax + b thành nhân tử, mà ta nhẩm được: a = p + q; b = p.q với p, q hai số ta có ngay: x2 + ax + b = (x + p)(x + q) Vd1: Phân tích: x2 - 5x + thành nhân tử Vì: -5 = -3 + (-2); = (-3)(-2) nên : x2 - 5x + = (x – 3)(x – 2) x + thành nhân tử 100 3 = 100 + Ta nhẩm thấy ngay: 100 ; = 100 100 100 100 Vậy: A = ( x + 100)( x + ) 100 Vd2: Phân tích: A = x + 100 Vd3: Phân tích: B = + x – 42x2 thành nhân tử Viết lại: B = + x – 42x2 = 12 + (7x – 6x).1 + (7x).(-6x) Vậy ta có ngay: B = + x – 42x2 = (1 + 7x)(1 6x) Trờng THCS ĐăkChoong Nguyễn Quang Duyªn Trang - 11 - Sáng kiến: Một số kinh nghiệm quản lý việc rèn luyện phát triển phẩm chất trí tuệ học sinh qua dạy học Toán - -Phân tích đa thức bậc cao thành nhân tử: Vd1: Phân tích đa thức: A = (x2 + x + 1)2 + (x2 + x + 2)(x2 + x + 1) + (x2 + 1)(x + 1) thành nhân tử Đặt: y = x2 + x + 1, p = x2 + 1, q = x +1 Khi A = y2 + (p + q)y + pq = (y + p)(y + q) = (2x2 + x + 1)(x2 + 2x + 2) Vd2: Phân tích: B = (a + b)3 + (a + b)5 + ab thành nhân tử Đặt: x = (a + b)4 Do đó: B = (a + b)8 + (a + b)5 + ab = x2 + (a + b)x + ab Vậy: B = (x + a)(x+ b) = [(a + b)4 + a][ (a + b)4 + b] Vd3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P = + x + x4 + (x4 + x2)(x – x2) Ta viết lại: P = 12 + [(x4 + x2) + (x – x2).1 + (x4 + x2)(x – x2) Vậy theo HĐT thì: P = (1 + x + x2)(1 + x – x2) = (1 + x + x 2)(1 – x + x2)(1 + x – x2) (Vì: (1 + x4 + x2) = (1 + x + x2)(1 – x + x2)) -Giải phương trình nghiệm nguyên: Vd1: Tìm tất số nguyên dương x, y thỏa mãn: x2 + (3 – y)x – 3y = 17 Giải: Theo HĐT ta dễ thấy vế trái pt bằng: (x + 3)(x – y), 17 số nguyên tố nên từ pt: (x + 3)(x – y) = 17 , ta rút ngay: x + = 17 , x – y =1 hay x =14, y =13 Vd2: Tìm tất số ngun khơng âm n để biểu thức: P = (n3 + 1)2 + (1989n + 1)(n3 + 1) + 1989n nhận giá trị nguyên tố Đặt: x = n3 + 1, đó: P = x2 + (1989n + 1)x + 1989n.1 = (x + 1989n)(x + 1) Hay: P = (n3 + 1989n + 1)(n3 + 2) Từ suy n = giá trị để biểu thức P số nguyên tố 4) Từ tốn: Tính S = + + 32 + 33 + + 318 + 319 (1) Để làm toán trên: ta nhân số hạng tổng với 3, ta 3S = + 32 + 33 + 34 + + 319 + 320 (2) 20 Lấy (2) – (1) ta được: 3S – S = – Hay 2S = 320 – 320 − Vậy S = Từ toán trên, ta có tốn tổng qt sau: S = 1+ a + a + a + + a n (∀a ≠ 0, a ≠ 1, n ∈ ¥ ) (1) Để tính tổng S ta nhân số hạng tổng với a Khi ta được: aS = a+ a + a + a + + a n+1 (2) n+1 LẤY (2) – (1) ta được: (a – 1)S = a - a n+1 -1 Do đó, S = a-1 a n+1 -1 Tổng quát: S = a-1 * Từ tốn tổng qt trên, HS dễ dàng giải tập sau: Bài 1: TÍNH tổng S = + + 1 1 + + + 2001 + 2002 2 2 Trờng THCS ĐăkChoong Nguyễn Quang Duyªn Trang - 12 - Sáng kiến: Một số kinh nghiệm quản lý việc rèn luyện phát triển phẩm chất trí tuệ học sinh qua dạy học Toán - Bài 2: Tính 3S – 2003, biết rằng: S = − + 22 − 23 + + 22002  PHƯƠNG PHÁP 5: Giải tốn khơng mẫu mực Khi dạy toán phải xây dựng cho học sinh phương pháp giải Trong số trường hợp cụ thể ta phải linh hoạt giải cách “khác thường”  Ví dụ minh họa:  x + y + z = 27 1) Giải hệ phương trình:   x y+ y.z+ z.x = 27 (ĐS 9) Theo cách thơng thường giải phương trình khó Ta giải hệ phương trình cách “khác thường” Nhân với hai vế phương trình trừ vế ta có: (x- y) + (y- 2) + (z- x) = (x- y) =  ⇔ (y- z) = (z- x) =  Ta x = y = z Thay kết vào phương trình ta x = y = z = 3; x = y = z = -3 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = (x - x+1)(21+ x- x ) GV giới thiệu “mệnh đề”: “Nếu hai số có tổng khơng đổi tích chúng lớn hai số nhau” GV: Vì (x - x+1) (21+ x- x ) có tổng 22 (khơng đổi) nên tích chúng lớn (x - x+1) = (21+ x- x ) ⇔ x - x-10 = ⇔ x1 = 5, x = -2 Khi A = 11.11 = 121 Vậy MaxA = 121 ⇔ x1 = 5, x = -2 3) 16 x + x+1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = với x > 2x GV: Giới thiệu “mệnh đề”: “Nếu hai số dương có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số nhau” 16 x + x+1 = x+ + 2x 2x Hai số 8x hai số dương (x > 0) có tích không đổi (bằng 4) nên tổng 2x 1 ⇔ 16 x = ⇔ x = chúng nhỏ 8x = 2x B= Trờng THCS ĐăkChoong Nguyễn Quang Duyên Trang - 13 - Sáng kiến: Một số kinh nghiệm quản lý việc rèn luyện phát triển phẩm chất trí tuệ học sinh qua dạy học Toán - 1+1+1 Vậy MinB = = ⇔ x =  PHƯƠNG PHÁP : Tập cho học sinh phát chỗ sai lời giải, tìm nguyên nhân đề xuất cách giải  Ví dụ minh họa: 2 1) Khi giải tốn: Tìm giá trị nhỏ A = x - x+ + x - x- -Một bạn học sinh làm sau: 2 A = x - x+ + x - x- 2 (ĐS – 9) 11 1 + x - x+ ( ) 2 11 = (x- ) + + (x- ) 4 11 -9 11 20 Suy ra: A ≥ + = + = = 4 4 1 Vậy MinA = ⇔ x- = ⇔ x = 2 2 = x - x+ ( ) + -Hãy chỗ sai cách giải Nêu cách giải GV hướng dẫn HS phát chỗ sai: 11 11 -9 (x- ) + + (x- ) - ≥ + 4 4 -9 -9 Ta thấy (x- )2 - ≥ ∀ x suy (x- ) - ≥ 4 4 9 -9 Chẳng hạn x = (x- ) - = (0 - ) - = -2 = < 4 TA giải tốn sau: 2 A = x - x+ + x - x- 2 2 A = x - x+ + + x- x ≥ x - x+ + + x- x = minA = ⇔ (x - x+ 3)(2 + x- x ) ≥ ⇔ + x- x ≥ ⇔ x - x- ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤ 2) (x - x+ > 0) Giả sử a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a + b + c < 2(a b + b 2c + c 2a ) -Hãy nhận xét lời giải sau, sai chỗ sai nêu lời giải Lời giải: Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, nên b- c < a ⇒ b - bc+ c < a ⇒ b + c - a < bc ⇒ (b + c - a ) < (2 bc) ⇒ b + c + a + b c - a b - c a < b 2c Trờng THCS ĐăkChoong Nguyễn Quang Duyên Trang - 14 - Sáng kiến: Một số kinh nghiệm quản lý việc rèn luyện phát triển phẩm chất trí tuệ học sinh qua dạy học Tốn - ⇒ b + c + a < 2(b 2c + b 2a + c 2a ) (Đpcm) 2 2 Bài giải sai chỗ: b + c - a < bc ⇒ (b + c - a ) < (2 bc) a < b chưa chắn a2 < b2 * Cách chứng minh đúng: a + b + c < 2(a b + b 2c + c 2a ) ⇔ a + b + c − 2(a b + b 2c + c 2a ) < ⇔ (a - b ) + (b - c ) + (c - a ) - a - b - c < ⇔ (a - b ) - a  + (b - c ) - b  + (c - a ) - c  <       Do a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên: Có thể giả sử: a > b > c > ⇒ b- a < ⇒ b - a < c- a < ⇒ c - a < c- b < ⇒ c - b < 2 Do đó: (a - b ) - a  = b (b - a ) <   2 Tương tự: (b - c ) - b  <   (c - a ) - c  <   2 2 2 Nên ⇔ (a - b ) - a  + (b - c ) - b  + (c - a ) - c  <       Vậy : a + b + c < 2(a b + b 2c + c 2a ) (Đpcm) 3) Bài toán lớp 8: Tìm GTNN biểu thức: P = (x2 – 1) (x2 + 1) *Lời giải HS: Ta có x ≥ ∀ x Suy x − ≥ −1 x + ≥ Suy P = (x2 – 1) (x2 + 1) ≥ (−1).1 = −1 ⇒ P ≥ −1  x -1 = -1  ⇔x=0 Đẳng thức xảy khi:   x +1 =  Vậy MinP = - x = * Lời giải hoàn toàn chưa: Nếu chưa phát chỗ sai nêu lời giải GV gợi ý để HS phát chỗ sai: Từ x − ≥ −1  2  ⇒ (x -1)(x +1) ≥ −1 hoàn toàn chưa? x +1 ≥   Hãy lấy ví dụ để chứng tỏ điều suy sai 5>3   ⇒ 5.(−2) > −9 (Vơ lí) −2 > −3 Như lời giải sai chỗ: Khi nhân vế hai BĐT chiều có vế nhận giá trị âm Lời giải đúng: P = (x -1)(x +1) = x − ≥ Trờng THCS ĐăkChoong Nguyễn Quang Duyên Trang - 15 - Sáng kiến: Một số kinh nghiệm quản lý việc rèn luyện phát triển phẩm chất trí tuệ học sinh qua dạy học Toán - Ta có P = −1 ⇔ x = hay x = Vậy MinP = -1 x = 4) HS lớp biết cách chứng minh định lý: “Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn góc lớn hơn” * Yêu cầu HS kiểm tra xem cách chứng minh sau đầy tính thuyết phục chưa?  Vẽ ∆ ABC có AC > AB, ta chứng minh A µ µ B>C Thật vậy, dựng AH ⊥ BC H, tia HC lấy điểm M cho HM = HB Ta có ∆ AHB = ∆ AHM (c-g-c) · · ⇒ ABH = AMH · Mặt khác AMH góc ngồi ∆ AMC nên · · AMH > ACM · · µ µ Từ suy ra: ABH > ACM hay B > C B H M C µ GV: Hướng dẫn cho HS thấy: LỜI giải chưa tổng quát (chỉ B nhọn)  PHƯƠNG PHÁP : Từ toán quen thuộc ta phát triển, mở rộng thành nhiều toán khó  Ví dụ minh họa: 1) Từ toán: Chứng minh rằng: a + b + c = ab+ ac+ bc ⇔ a = b = c (ĐS 8) Giải: Ta có a + b + c = ab+ ac+ bc 2 ⇔ 2(a + b + c ) = 2(ab+ ac+ bc) ⇔ a + b + c - ab- ac- bc = ⇔ (a- b) + (b- c) + (c- a) = ⇔ (a- b) = (b- c) = (c- a) = ⇔a=b=c (đpcm) * Mở rộng toán ta có tốn sau:  Bài 1: Chứng minh rằng: a12 + a 2 + + a n = a1a + a 2a + + a n a1 ⇔ a1 = a = a = = a n 1 Nếu thay a = x , b = y , c = z ta có tốn sau  Bài 2: 1 1 1 Chứng minh rằng: x + y + z = xy + yz + xz ⇔ x = y = z ≠ Khai thác tốn ta có bi toỏn sau: Bi 3: Trờng THCS ĐăkChoong Nguyễn Quang Duyªn Trang - 16 - Sáng kiến: Một số kinh nghiệm quản lý việc rèn luyện phát triển phẩm chất trí tuệ học sinh qua dạy học Toán - Tìm ba số a, b, c biết rằng: a+ b+ c = abc 1 + + =2 a b2 c2 (1) Giải: 1 Từ a+ b+ c = abc ⇔ + + = ab bc ca 1 1 1 Từ (1) (2) ⇒ + + = + + a b c ab bc ca a = b = c ≠ (Theo toán 3) 2) (2) Xét toán sau: Chứng minh rằng: x - x+ (x- 2) = 3+ x +1 x +1 * Lời giải sau: (x- 2) 3(x +1) + (x- 2) x + + x - x+ 4 x − x + = = VP = + = =VT x +1 x +1 x +1 x2 +1 Ở đây, để ý đến vế phải đẳng thức vừa chứng minh ta nhận thấy rằng: (x-2) ≥0 x +1 ∀x Do ta có tốn sau:  Bài 1: Chứng minh rằng: x - x+ ≥3 x +1 ∀x Tiếp tục thấy rằng: Dấu “=” xảy x- = ⇒ x = Cho ta toán sau: x - x+  Bài 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x +1 x - x+ (x- 2) − =3 Nếu ta “quan tâm” đến : x +1 x +1 ⇔ (4 x - x+ 7)(3 x + 2) (x- 2) - =3 (x +1)(3 x + 2) x +1 ⇔ 12 x -12 x + 29 x - x+14 x - x+ =3 x4 + x2 + x +1 Ta có toán sau:  Bài 3: Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến: 12 x -12 x + 29 x - x+14 x - x+ x4 + x2 + x +1 3) Từ toán 73* SBT Toán 6: Cho S = 1 1 + + + + So sánh S với 11 12 13 20 Giải: Ta thấy 1 > 11 20 1 > 12 20 Trờng THCS ĐăkChoong Nguyễn Quang Duyªn Trang - 17 - Sáng kiến: Một số kinh nghiệm quản lý việc rèn luyện phát triển phẩm chất trí tuệ học sinh qua dạy học Toán - 1 > 13 20 …… 1 1 1 1 + + + + Do đó, ta có S = + + + + > 4 4 4 20 11 12 13 20 20 20 20 10 số ⇒S> * Tương tự, GV yêu cầu HS so sánh S với HS: ta thấy 1 < 11 10 1 < 12 10 …… 1 < 20 10 1 1 1 + + + Do đó, S = + + + + < 104 102 4 10 11 12 13 20 10 số Hay: S < * Mở rộng tốn trên, ta có tốn sau: Chứng tỏ : 1 1 1 < + + + + < 101 102 149 150 PHẦN III KẾT LUẬN Nhằm nổ lực phấn đấu công tác giảng dạy mà ngành cấp giao, thân công tác Trường THCS ĐăkChoong, trường mà đối tượng học sinh dân tộc thiểu số, hiểu rõ em u thích mơn người giáo viên thi đua công tác giảng dạy, phấn đấu đầu tư, nghiên cứu nội dung chương trình, trao dồi, học hỏi kinh nghiệm lẫn nhằm tìm phương pháp giảng dạy Sáng kiến kinh nghiệm cố gắng nhằm tìm kiếm phương pháp hợp lý để tổ chức rèn luyện phát triển phẩm chất trí tuệ cho học sinh thơng qua học tập mơn, tìm kiếm cách giải vấn đề hợp lí để học sinh nắm kiến thức cách nhẹ nhàng, từ phát triển thêm cho học sinh khả phân tích suy luận tốn học, làm tảng cho cơng tác phát bồi dưỡng học giỏi, học sinh khiếu môn Đây công tác mũi nhọn quan trọng nghiệp đào tạo  Kết quả: -Ý thức tự giác học tập mơn tốn nâng cao, học sinh thích thú giải vấn đề liờn quan n toỏn hc Trờng THCS ĐăkChoong Nguyễn Quang Duyªn Trang - 18 - Sáng kiến: Một số kinh nghiệm quản lý việc rèn luyện phát triển phẩm chất trí tuệ học sinh qua dạy học Toán - -Học sinh có khả phân tích, tổng hợp, tư tìm lời giải hay, đơn giản cho tốn -Kĩ nhìn nhận vấn đề, tượng nhiều khía cạnh khác nhau, biết xác lập mối quan hệ đơn vị kiến thức, đại lượng biết chưa biết Kĩ trình bày làm cách rõ ràng, mạch lạc, sử dụng xác kí hiệu tốn học -Hình thành cho học sinh kỹ giải vấn đề có phương pháp, làm việc có khoa học Đối với việc giải toán nâng cao, học sinh làm quen dần việc vận dụng mở rộng kiến thức, hình thành khái quát thành phương pháp giải, để giải tốn có hiệu -Học sinh có ý thức hổ trợ để giải vấn đề khó tập, nghiêm túc đánh giá lập luận cách giải người khác -Các tiết học tốn ngày có chất lượng giáo viên biết phối hợp, lồng ghép kiến thức, phương pháp giải toán, nhằm phát triển tư duy, phẩm chất trí tuệ học sinh  Đề xuất-Kiến nghị: -Triển khai sáng kiến phạm vi lớp học mà giáo viên trực tiếp giảng dạy, hình thức lồng vào tiết học, hay tổ chức bồi dưỡng thành chuyên đề -Có kế hoạch tổ chức kiểm tra, đánh giá mảng kiến thức, phương pháp mà sáng kiến kinh nghiệm khai thác nhiều hình thức kiểm tra, nhằm khắc phục hạn chế, bổ sung thiếu sót, để sáng kiến ngày hoàn thiện -Phổ biến sáng kiến đến giáo viên mơn giảng dạy tốn, sử dụng làm tài liệu nghiên cứu khai thác giảng dạy Tuy nhiên việc tổ chức hoạt động rèn luyện phát triển phẩm chất trí tuệ học sinh cho tiết học cịn khơng khó khăn Thực tế nay, học sinh tiểu học bước vào THCS chưa đồng đều, số em tiếp thu chậm, nên nắm kiến thức chưa sâu Vì chọn đề tài nhằm trao dồi chút kinh nghiệm đồng nghiệp phương pháp nội dung cần đưa vào tiết dạy để phát triển phẩm chất trí tuệ cho học sinh, thiếu sót chắn khơng tránh khỏi, khắc phục dần năm học tới để đề tài hoàn thiện -//*0*\\ Trờng THCS ĐăkChoong Nguyễn Quang Duyên Trang - 19 - Sáng kiến: Một số kinh nghiệm quản lý việc rèn luyện phát triển phẩm chất trí tuệ học sinh qua dạy học Toán - Tài liệu tham khảo Sách giáo khoa toán 6, 7, 8, Nhà xuất Giáo dục ấn hành năm 2002,2003,2004, 2005 Sách tập toán 6, 7, 8, Nhà xuất Giáo dục ấn hành năm 2002,2003,2004, 2005 Sách Giáo viên toán 6, 7, 8, Nhà xuất Giáo dục ấn hành năm 2002,2003,2004, 2005 4.Các loại sách tham khảo Do Bộ giáo dục Đào tạo, tài liệu bồi dưỡng giáo viên Báo Giáo dục thời đại, tài hoa trẻ, giới ta Trêng THCS ĐăkChoong Nguyễn Quang Duyên Trang - 20 - ... - PHẦN II NỘI DUNG MÔ TẢ PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN CÁC PHẨM CHẤT TRÍ TUỆ CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC TOÁN  PHƯƠNG PHÁP 1: Tập cho học sinh biết quan sát, dự đoán, nêu giả thuyết,... lý việc rèn luyện phát triển phẩm chất trí tuệ học sinh qua dạy học Toán - PHẦN I MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài: Theo nhà tâm lí học, phẩm chất trí tuệ người... dồi, học hỏi kinh nghiệm lẫn nhằm tìm phương pháp giảng dạy Sáng kiến kinh nghiệm cố gắng nhằm tìm kiếm phương pháp hợp lý để tổ chức rèn luyện phát triển phẩm chất trí tuệ cho học sinh thơng qua