Đang tải... (xem toàn văn)
201 bài tập phương trình vi phân
www.VNMATH.com ` ˆ ˆ BAI TAP PHU O NG TR` INH VI PHAN 1) ' nh: Gia i phu o ng tr 2xy y” = y − 2xpp = p2 − √ dx 2pdp V i x(p − 1) = ta co : o = ⇔ p2 − = C1 ⇔ p = ± C1 x + p2 − x √ dy p= = C1 + ⇒ y = (C1 x + 1) + C2 dx 3C1 - Dat ’ HD giai: 2) ' Gia i phu o ng tr nh: - Dat ’ HD giai: V i o y =p: p=0 √ y.y” = y y = p ⇒ y” = p dp dy ' nh tro thanh: (ham theo y) Phu o ng tr ta d u o c phu o ng tr nh: √ yp dp =p dy dy dy √ √ = y + C1 ⇒ dp = √ ⇒ p = y + C1 ⇔ y dx dy dx = √ y + C1 ' e o T d nghi^m t^ ng qua t: u o Ngoai 3) y = c: x= √ y− C1 √ ln |2 y + C1 | + C2 ~ h ng cu ng la nghi^m a e ' nh: Gia i phu o ng tr a(xy + 2y) = xyy ’ HD giai: a(xy + 2y) = xyy ⇒ x(a − y)y = −2ay N^ u e y = 0, Ngoai 4) y=0 V ip o - Dat 2a a−y dy = − dx ⇔ x2a y a e−y = C y x ~ cu ng la nghi^m e ' nh: Gia i phu o ng tr ’ HD giai: V i o ta co phu o ng tr nh tu o ng d u o ng v i o y” = y ey y = p ⇒ y” = p dp dy thay vao phu o ng tr nh: p dp = pey dy dy dy dp = ey ⇔ p = ey + C1 ⇒ = ey + C1 ⇔ y = dx dy dx e + C1 1 dy ey + C1 − ey = dy = (y − C1 = ta co: ey + C1 C1 ey + C1 =0: ln(ey + C1 ) C1 −e−y dx nhu v^y: a = ey + C1 (y − ln |ey + C1 |) C1 Ngoai y = C : h ng la m^ t nghi^m a o e 5) ' Gia i phu o ng tr nh: xy = y(1 + ln y − ln x) ´ nˆ u C1 = e ´ nˆ u C1 = e v i o y(1) = e ey dy y ) = − ey + C1 C1 www.VNMATH.com y y (1 + ln ), d at y = zx d u.o.c: xz = z ln z x x dx y dz = ⇒ ln z = Cx hay ln = Cx ⇔ y = xeCx • z ln z = ⇒ z ln z x x y(1) = e → C = V^y y = xex a ’ HD giai: 6) - Du a phu o ng tr nh v^: e ' Gia i phu o ng tr nh: ’ HD giai: - Dat y = y”(1 + y) = y + y y = z(y) ⇒ z = z dz dy thay vao phu o ng tr nh: ⇒ z + = C1 (y + 1) ⇒ z = C1 y + C1 − ⇔ • C1 = ⇒ (∗) cho • C1 = ⇒ (∗) cho Ngoai y=C dy = dx (∗) C1 y + C1 − y =C −x ln |C1 y + C1 − 1| = x + C2 C1 la nghi^m e ' To m lai nghi^m t^ ng qua t: e o 7) dy dz = z+1 y+1 ' nh: Gia i phu o ng tr y = C, y = C − x; y = y2 − ln |C1 y + C1 − 1| = x + C2 C1 x2 ' ’ HD giai: Bi^ n d o i (3) v^ dang: x2 y = (xy)2 − (∗) e ^ e - at z = xy ⇒ z = y + xy thay vao (∗) suy ra: D xz = z + z − ⇔ V^y TPTQ: a 8) dx dz = ⇔ +z−2 x z−1 = Cx z+x xy − = Cx3 xy + ' nh: Gia i phu o ng tr ’ HD giai: z2 - Dat yy” + y = y = z(y) ⇒ y” = z dz dy z C1 dy ⇔ z2 = + dz = 1−z y y dy C1 dy ⇒ =± 1+ ⇔± = dx ⇒ y + C1 = (x + C2 )2 dx y C1 1+ y 2 ' Nghi^m t^ ng qua t: y + C1 = (x + C2 ) e o ' Bi^ n d o i phu o ng tr e ^ nh v^: e 9) ' Gia i phu o ng tr nh: ’ HD giai: y − √ 2x(1 + x)y − (3x + 4)y + 2x + x = 3x + y = − √ ; x = 0, x = −1 2x(x + 1) x+1 ' ' Nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr e o nh thu^ n nh^ t: a a dy = y 3x + Cx2 dx = ( − )dx ⇔ y = √ 2x(x + 1) x 2(x + 1) x+1 www.VNMATH.com Bi^ n thi^n h ng s^ : e e a o 1 ⇒ C = − + ε x x x2 y=√ ( + ε) x+1 x C =− ' V^y nghi^m t^ ng qua t: a e o 10) ' Gia i phu o ng tr nh: ’ HD giai: - Dat y” = e2y z = y → y” = z dz dy ' thoa y(0) = y (0) = ' phu o ng tr nh tro z z2 e2y dz = e2y ⇔ = +ε dy 2 a u o y (0) = y(0) = ⇒ ε = − V^y z = e2y − T d : √ dy √ 2y dy ’ ´ √ = e −1⇒ z= = x + ε d ˆ i biˆ n t = e2y − ¯o e dx e2y − √ arctg e2y − = x + ε ' y(0) = ⇒ ε = V^y nghi^m ri^ng thoa d i^u ki^n d bai: y = ln(tg x + 1) a e e e e ^ e 11) ' nh: T m nghi^m ri^ng cu a phu o ng tr e e ~ ' thoa ma n d u ki^n d u i^ e e ^ a ’ HD giai: nh lai: Vi^ t phu o ng tr e nh ta ch bi^ n: e phu o ng tr ' t ch ph^n t^ ng qua t: a o ri^ng c^n t e a m la: 12) xy + 2y = xyy y(−1) = x(1 − y)y = −2y ; 1−y dx dy = −2 y x x2 ye−y = C y(−1) = Thay d i^u ki^n vao ta d u o c e e C= x2 ye1−y = B ng ca ch d a t a y = ux, ~ ' nh: y gia i phu o ng tr xdy − ydx − ’ - nh √ HD giai: Dat y = ux; du = udx + xdu thay vao phu o ng tr va ~ − u2 dx = Ro rang u − ±1 la nghi^m u ≡ ±1 d u.a phu o ng e du dx TPTQ: arcsin u − ln x = C (do x > 0) = − u2 x y ' V^y NTQ cu a phu o ng tr a = ln x + C nh: y = ±x; arcsin x 13) ' nh: T m nghi^m ri^ng cu a phu o ng tr e e ~ ' thoa ma n d u ki^n d u i^ e e ^ a xy = y(1) = x2 − y + y ’ HD giai: xy = d at u= y x hay y = ux phu o ng tr nh thanh: x2 − y + y ⇐⇒ y = 1− y2 y + x2 x y = xu + u √ du dx xu = − u2 ⇐⇒ √ = x − u2 suy n^n e e y ≡ - Du a v^ e V^y t a ch ph^n a x2 − y dx = (x > 0) ' gia n u o c x: xdu − tr nh v^ ta ch bi^ n: e e www.VNMATH.com ⇐⇒ arcsin u = ln Cx ~ ' thoa ma n d i^u ki^n d u e e a ^ 14) y(1) = C = V^y nghi^m a e y = ±x ' nh: T m nghi^m ri^ng cu a phu o ng tr e e ~ ' thoa ma n d u ki^n d u i^ e e ^ a y sin x = y ln y π y( ) = e ’ HD giai: y sin x = y ln y ⇐⇒ ~ ' thoa ma n d i^u ki^n e e 15) dx dy = y ln y sin x x C tan x ⇐⇒ ln y = C tan ⇐⇒ y = e x tan π a d u y( ) = e C = V^y y = e a ^ ' T m nghi^m ri^ng cu a phu o ng tr e e nh: (x + y + 1)dx + (2x + 2y − 1)dy = y(0) = ~ ' thoa ma n d u ki^n d u i^ e e ^ a - Dat x + y = phu o ng tr nh thanh: ’ HD giai: z =⇒ dy = dz − dx (2 − z)dx + (2z − 1)dz = 0; x + 2y + ln |x + y − 2| = C ~ ' thoa ma n d i^u ki^n d u y(0) = C = e e a ^ 16) - Dat y = (z − x2 )dz + 2zxdx = 0; ⇐⇒ ⇐⇒ ln |x| + ln thay u= 17) xy d u o c nghi^m e r^i d at o z = ux, dx u2 − + du = x u +u u2 + x(u2 + 1) = ln C ⇐⇒ =C |u| u + x2 y = Cy ' ' nh sau: T m nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr e o y − xy = x + x3 ’ HD giai: - ^ ' Day la phu o ng tr nh tuy^ n t e nh c^ p va co nghi^ m t^ ng qua t la a e o x2 y = Ce V^y a y= d u o c: z (u2 − 1)(udx + xdu) + 2udx = ’ HD giai: x − 2z − ln |z − 2| = C ~ ' r^i d a t z = ux,ha y gia i o z (x2 y − 1)dy + 2xy dx = B ng ca ch d a t a nh: phu o ng tr ' gia i x2 +1 du o c www.VNMATH.com 18) ' ' T m nghi^m t^ ng qua t cu a ca c phu o ng tr e o nh sau: ’ HD giai: y − y = y2 - ^ ' nh ta ch bi^ n va co nghi^ m t^ ng qua t la e e o Day la phu o ng tr ln | 19) y | = x + C y+1 ' T m nghi^m cu a ca c phu o ng tr e nh sau: y + y = ex x ’ HD giai: - ^ ' Day la phu o ng tr nh tuy^ n t e nh c^ p va co nghi^ m t^ ng qua t la a e o 20) ' T m nghi^m cu a ca c phu o ng tr e nh sau: ’ HD giai: ex C x y = +e − x x y − y = y3 - ^ ' Day la phu o ng tr nh ta ch bi^ n va co nghi^ m t^ ng qua t la e e o C + x = ln |y| − arctgy 21) ' Gia i phu o ng tr nh: y = y y + sin , x x ’ HD giai: y = zx ⇒ y = z x + z , z x = sin x ⇔ ' V^y nghi^m t^ ng qua t: a e o V^y: a 22) tg y = x 2x ' Gia i phu o ng tr nh: ’ HD giai: - Dat 23) y y (x − y cos )dx + x cos dy = x x phu o ng tr nh d u o c d u a v^ dang: e cos zdz = − dx + C ⇔ sin z = − ln |x| + C x y = − ln |x| + C x ' Gia i phu o ng tr nh: ’ HD giai: π ' nh tro thanh: phu o ng tr y =z ⇒y =zx+z x sin y(1) = dz dx z z = ⇔ ln |tg | = ln |x| + ln C ⇔ tg = Cx sin z x 2 y π tg = Cx; y(1) = ⇒ C = 2x x cos z.z + = ⇔ V^y TPTQ: a v i o (y − 1)x2 y + y (x4 − y ) = ' ' La phu o ng tr nh d a ng c^ p nhu ng gia i kha ph c tap a u www.VNMATH.com nh b^ c hai d o i v i a ^ o Xem phu o ng tr ' e o T d co hai ho nghi^m t^ ng qua t: u o 24) ' nh: Gia i phu o ng tr ’ HD giai: 25) y + x2 y = xyy Vi^ t phu o ng tr e nh lai ' e o d u o c nghi^m t^ ng qua t: y2 x2 = (x4 + y )2 ⇒ y1 = ; y2 = − x y x 3 ; x + y = C2 y= C1 x + y: y = y y2 x2 y x −1 ' nh thu^ n nh^ t, gia i a a d ay la phu o ng tr ^ y = Cxe x ' T m nghi^m ri^ng cu a phu o ng tr e e nh: (x + y − 2)dx + (x − y + 4)dy = y(1) = ~ ' thoa ma n d u ki^n d u i^ e e ^ a ’ HD giai: - Dat x y =u−1 = v + (u + v)du + (u − v)dv = 0, u + 2uv − v = C thay vao phu o ng tr nh d u o c: ' nh thu^ n nh^ t co t a a ch ph^n t^ ng qua t la: a o d ay la phu o ng tr ^ ' ' V^y t a ch ph^n t^ ng qua t cu a phu o ng tr a o nh ban d u la: a ^ 26) ' Gia i phu o ng tr nh ’ HD giai: - Dat x y x2 + 2xy − y − 4x + 8y = C (x + y − 2)dx + (x − y + 4)dy = =X −1 , =Y +3 nh thanh: phu o ng tr (X + Y )dX + (X − Y )dY = d at Y = uX ' Gia i 27) 1−u dX + du = X + 2u − u2 x2 + 2xy − y − 4x + 8y = C d u a phu o ng tr nh v^ e X (1 + 2u − u2 ) = C hay ' ' nh sau: T m t ch ph^n t^ ng qua t cu a phu o ng tr a o ’ HD giai: - ^ ' Day la phu o ng tr nh d a ng c^ p, ta d a t a b) y = z= y z 2xy − y2 x2 Khi d phu o ng tr o nh tr^n e z(1 + z ) 2z dx xz = Suy nghi^m e Hay ( − )dz = 2 1−z z 1+z x z la = Cx, C = + z2 2 ' nh d ~ cho la x + y = C1 y, C1 = a V^y nghi^m cu a phu o ng tr a e ' tro 28) ' ' T m nghi^m t^ ng qua t cu a ca c phu o ng tr e o nh sau: ’ HD giai: - Dat u = 2x + y phu o ng tr nh d u a v^ dang e 5u + du = dx 2u + y = ' cu a phu o ng tr nh 2x + y − 4x + 2y + www.VNMATH.com ' Gia i phu o ng tr nh ta d u o c nghi^m 10u + ln |5u + 9| = e ~ cho la 10y + ln |10x + 5y ' nh d a V^y nghi^m cu a phu o ng tr a e 29) 25x + C = 9| − 5x = C ' ' T m t ch ph^n t^ ng qua t cu a ca c phu o ng tr a o nh sau: (x − y + 4)dy + (y + x − 2)dx = ’ HD giai: - ^ ' nh d u a v^ dang d a ng c^ p d u o c b ng ca ch d a t e a a Day la phu o ng tr u + 1, y = v − 3, tr nh la ta d u o c v − 2uv − v = C u+v dv = du −u + v ' ' Gia i phu o ng tr nh ta co nghi^ m cu a phu o ng e ' nh d ~ cho la a V^y nghi^m cu a phu o ng tr a e 30) x = y − x2 − 2xy − 8y + 4x = C1 ' ' a) T m mi^n ma d nghi^ m cu a bai toa n Cauchy cu a phu o ng tr e o e nh y = √ sau d ay t^ n tai va nh^ t ^ o a ' ' nh sau: b) T m t ch ph^n t^ ng qua t cu a ca c phu o ng tr a o x − y (x2 − y )dy − 2xydx = ’ HD giai: a) Bai toa n Cauchy co nh^ t nghi^m mi^n a e e y D = {(x, y) ∈ R |x − y ≥ δ} v i δ > o - b) Du a phu o ng tr nh v^ dang e z= y x dy xy = dx x − y2 - ^ ' Day la phu o ng tr nh d a ng c^ p, ta d a t a ' Khi d phu o ng tr o nh tr^n tro e z(1 + z ) xz = − z2 Hay dx 2z )dz = ( − z 1+z x z = Cx, C = + z2 2 la x + y = C1 y, C1 = ' nh la Suy nghi^m cu a phu o ng tr e ' V^y nghi^m cu a phu o ng tr a e nh d ~ cho a 2x 2x a e a) Ch ng minh r ng h^ ca c vecto u ' ' nh sau: b) T m t ch ph^n t^ ng qua t cu a phu o ng tr a o {e , xe , x } la h^ d oc l^p tuy^ n t nh e ^ a e (x − y)dy − (x + y)dx = 0; 31) ’ HD giai: ' ~ a) Dung d nh ngh a ki^ m tra h^ d oc l^p tuy^ n t i e e ^ a e nh - b) Du a phu o ng tr nh v^ dang e z= y x y = x+y x−y - ^ ' Day la phu o ng tr nh d a ng c^ p, ta d a t a ' Khi d phu o ng tr o nh tr^n tro e xz = + z2 1−z ' Gia i phu o ng tr nh ta d u o c y x2 + y = Cearctg x a) Ch ng minh r ng h^ ca c vecto u a e la h^ phu thu^ c tuy^ n t nh e o e ' T nh d nh th c Wronski cu a chu ng i u ' ' b) T m t ch ph^n t^ ng qua t cu a phu o ng tr a o nh sau: 32) {cos 2x, sin 2x, 2} (x − 2y + 1)dy − (x + y)dx = www.VNMATH.com ’ HD giai: 2 a) H^ phu thu^c tuy^ n t e o e nh v cos 2x + sin 2x − = ' ' b) Phu o ng tr nh co th^ d u a v^ dang d a ng c^ p, ta d u o c e e a y = - Dat 1 u=x− , v =y+ , 3 x+y x − 2y + ' d phu o ng tr o nh tr^n tro e v = ' Gia i phu o ng tr nh ta d u o c Hay 33) ' Gia i phu o ng tr nh: ' nh: Gia i phu o ng tr thay vao (2): y = y y2 x2 y x −1 ' nh thu^ n nh^ t, gia i a a d ay la phu o ng tr ^ y = Cxe x y” cos y + (y )2 sin y = y h ng la m^ t nghi^m a o e - (h ng) Dat a y = p ⇒ y” = p dp cos y + p sin y = 1: dy dp dy (ham theo t ch ph^n a 36) p = C cos y dy dy = sin y + C1 cos y ⇔ = dx dx sin y + C1 cos y y 1 tg + + − C1 C1 d i d^ n: e ln = x + C2 y 1 C1 + −tg + + + C1 C1 ' Gia i phu o ng tr nh: ’ HD giai: y) phu o ng tr nh tuy^ n t e nh ' Phu o ng tr nh thu^ n nh^ t co nghi^m t^ ng qua t: a a e o n thi^n h ng s^ d u.o.c C = tgy + C1 bi^ e e a o p= y = zx → y = z x + z dx z−1 dz = → z − ln |z| = ln |x| + C z x y y − ln | | = ln |x| + C x x nh lai Vi^ t phu o ng tr e ’ HD giai: y = C : t d u o 2u) v y + x2 y = xyy ' d u o c nghi^m t^ ng qua t: e o y=C √ Phu o ng tr nh thu^ n nh^ t: d a t a a ' Gia i phu o ng tr nh ’ HD giai: √ arctg( y + x2 y = xyy ' Phu o ng tr nh tro 35) √ u2 + 2v = Ce √ √ arctg( 3x−1 ) 3y+1 (3x − 1)2 + 2(3y + 1)2 = C1 e ’ HD giai: 34) u+v u − 2v Coi x = x(y) y + =0 2x − y ' la ham cu a y ta co : y = x thay vao phu o ng tr nh: www.VNMATH.com 1 + = ⇔ x + 2x = y : x 2x − y phu o ng tr nh tuy^ n t e nh ' ' Nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr e o nh thu^ n nh^ t: a a x = Ce−2y 1 2y Bi^ n thi^n h ng s^ : C (y) = y e e e a o ⇒ C(y) = y e2y − ye2y + e2y + C 2 1 −2y ' ' nh: x = Ce + y − y+ V^y nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr a e o 2 37) ' Gia i phu o ng tr nh: ’ HD giai: - Dat y = p, xy” = y + x2 ' (1) tro thanh: xp − p = x2 tuy^ n t e nh ' ' Nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr e o nh thu^ n nh^ t: a a Bi^ n thi^n h ng s^ → e e a o C(x) = x + C1 Suy ra: 38) dy = x(x + C1 ) dx ' nh: Gia i phu o ng tr ’ HD giai: ⇔p+y - Dat →y= y=0 xe t x3 x2 + C1 + C2 y + yy” = yy p = y (p = 0), dp = y, dy p = Cx nh tu o ng d u o ng v i: o phu o ng tr nh v^: e d u a phu o ng tr ' nh thu^ n nh^ t: a a NTQ cu a phu o ng tr p= ⇒ C(y) = C , y dp p + =1 dy y p2 + yp dp = yp dy (tuy^ n t e nh) bi^ n thi^n h ng s^ e e a o y2 + C1 dy y + 2C1 2ydy y + 2C1 ⇒ = ⇒ = dx 2y dx 2y y + 2C1 ⇒ y = A1 ex + A2 x x x Chu : V^ tra i (yy ) = yy ⇔ yy = C1 e ⇔ ydy = C1 e dx ⇔ y = 2C1 e + C2 y e a Nhu v^y: 39) p= ' Gia i phu o ng tr nh: ’ HD giai: yx = xy yey = y (y + 2xey ) v i o ' bi^ n d o i phu o ng tr e ^ nh v^: e ' Nghi^m t^ ng qua t: e o y(0) = −1 x − x = y e−y y x = y (C − e−y ) y(0) = −1 ⇒ C = e −y V^y x = y (e − e a ) 40) ' Gia i phu o ng tr nh: ’ HD giai: - Dat y = p; ' Nghi^m t^ ng qua t: e o xy” = y + x p − p=1 x : C = ln |x| + C1 s^ o ' phu o ng tr nh tro thanh: p = Cx bi^ n thi^n h ng e e a www.VNMATH.com 10 ⇒p= dy = (ln |x| + C1 )x ⇒ y = dx (ln |x| + C1 )xdx + C2 = C1 x2 + 41) ' nh: Gia i phu o ng tr x2 x2 ln |x| − + C2 y + xy = x3 ' ' nh thu^ n nh^ t a a Nghi^n t^ ng qua t cu a phu o ng tr e o x2 − bi^ n thi^n h ng s^ : C(x) = (x − 2)e + ε e e a o ’ HD giai: ' V^y nghi^m t^ ng qua t: a e o 42) ' Gia i phu o ng tr nh: x2 y = Ce− x2 y = εe− + x2 − (x2 − y)dx + xdy = Phu o ng tr nh vi^ t lai: xy − y = −x , phu o ng tr e nh thu^ n nh^ t: a a ' e a e o co nghi^m t^ ng qua t: y = Cx bi^ n thi^n h ng s^ suy C = −x + ε e o 'ng qua t : y = −x2 + εx V^y nghi^m t^ a e o ’ HD giai: 43) ' nh: Gia i phu o ng tr ’ HD giai: Phu o ng tr nh tuy^ n t e nh: y = εx2 − ; x ' nh: Gia i phu o ng tr ’ HD giai: - Dat Xe t v i o y(1) = y = Cx2 ; C = ⇒C =− +ε x x y(1) = ⇒ ε = ' V^y nghi^m t^ ng qua t: a e o 44) y − y= x x xy − y = y = 0, y = 2x2 − x (x + 1)(y + y ) = −y y = −y x+1 tr nh v^ z − e z = x+1 nh^ t: z = C1 (x + 1) bi^ n thi^n a e e ' nh v^ dang e bi^ n d o i phu o ng tr e ^ z = z ⇒ y = − = −y z y z d u a phu o ng ' ' nh thu^ n a Nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr e o y + h ng s^ a o C1 = ln |x + 1| + ε V^y nghi^m: z = (x + 1)(ln |x + 1| + ε) a e ~ ngoai y = cu ng la nghi^m e ' V^y nghi^m t^ ng qua t: a e o 45) ' Gia i phu o ng tr nh: ’ HD giai: t nh c^ p a y= (x + 1)(ln |x + 1| + ε) 2xy + y = va y=0 nghi^m k di e 1−x - Du a phu o ng tr nh v^ dang e y + 1 y = 2x 2x(1 − x) phu o ng tr nh tuy^ n e www.VNMATH.com 11 Phu o ng tr nh d ~ cho tu o ng d u o ng v i phu o ng tr a o nh x y” + 3xy + y = - ^ ' nh Euler n^n ta co th^ d u a v^ phu o ng tr e e e nh tuy^ n t e nh v i h^ s^ o e o Day la phu o ng tr t ~ cho tro yt ” + 2y + y = ng b ng ca ch d a t x = e Khi d phu o ng tr ' nh d a h a a o t −t ' nh co nghi^ m la y = C1 e e + C2 te−t V^y nghi^m cu a phu.o.ng tr a e nh Phu o ng tr ’ HD giai: d~ cho la a 145) y= ln |x| C1 + C2 x x ' Gia i phu o ng tr nh tuy^ n t nh c^ p v i h^ s^ h ng e a o e o a a) y” − 3y + 2y = 2e2x - ^ a nh tuy^ n t e nh c^ p kh^ng thu^ n nh^ t v i h^ s^ h ng a o a a o e o Day la phu o ng tr ' Nghi^m t^ ng qua t la: e o ’ HD giai: y = C1 ex + C2 e2x + 2e2x 146) ' nh tuy^ n t nh c^ p v i h^ s^ h ng e a o e o a Gia i phu o ng tr a) y” + y = ’ HD giai: cos2 x ' nh thu^ n nh^ t a a Nghi^m cu a phu o ng tr e pha p bi^ n thi^n h ng s^ ta d u o c e e a o y = C1 cos x + C2 sin x sin x C1 (x) = − va C2 (x) = cos x cos x Dung phu o ng ' V^y nghi^m cu a phu o ng tr a e nh la y = C1 cos x + C2 sin x − + 147) sin x + sin x ln | | − sin x ' nh tuy^ n t nh c^ p v i h^ s^ h ng e a o e o a Gia i phu o ng tr y” − 2y + 2y = x + ex - ^ a nh tuy^ n t e nh c^ p kh^ng thu^ n nh^ t v i h^ s^ h ng a o a a o e o Day la phu o ng tr 'ng qua t la: Nghi^m t^ e o ’ HD giai: y = ex (C1 cos x + C2 sin x) + (x + 1) + ex 148) ' Gia i phu o ng tr nh tuy^ n t nh c^ p v i h^ s^ h ng e a o e o a y” + y = cos2 x ’ HD giai: - ^ a Day la phu o ng tr nh tuy^ n t e nh c^ p kh^ng thu^ n nh^ t v i h^ s^ h ng a o a a o e o ' Nghi^m t^ ng qua t la: e o 149) y = C1 cos x + C2 sin x + 1 − cos 2x xy” + y − y = 0, x a y1 = x ' ' T m nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr e o nh bi^ t m^t nghi^m ri^ng co dang e o e e www.VNMATH.com 12 ’ HD giai: y1 = x ' la m^ t nghi^m cu a phu o ng tr o e nh Ta t m nghi^ m ri^ng e e Thay vao phu o ng tr nh ta t m d u o c y2 = x la y= 150) y2 = u(x) x ' ' nh V^y nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr a e o C1 + C2 x x ' nh tuy^ n t nh c^ p v i h^ s^ h ng e a o e o a Gia i phu o ng tr a) y” − 3y + 2y = 2ex ’ HD giai: - ^ a Day la phu o ng tr nh tuy^ n t e nh c^ p kh^ng thu^ n nh^ t v i h^ s^ h ng Nghi^m a o a a o e o e 'ng qua t la: t^ o y = C1 ex + C2 e2x − 2xex 151) ' Gia i phu o ng tr nh tuy^ n t nh c^ p v i h^ s^ h ng e a o e o a y” − y = sin x ’ HD giai: - ^ a Day la phu o ng tr nh tuy^ n t e nh c^ p kh^ng thu^ n nh^ t v i h^ s^ h ng Nghi^m a o a a o e o e 'ng qua t la: t^ o y = C1 + C2 ex + 152) 1 cos x − sin x 2 ' ' T m nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr e o nh bi^ t m^t nghi^m ri^ng co dang e o e e ’ HD giai: y1 = x ' nh Ta t m nghi^ m ri^ng e e la m^ t nghi^m cu a phu o ng tr o e nh ta t m d u o c Thay vao phu o ng tr y2 = x4 la y= 153) x2 y” − 2xy − 4y = 0, y1 = x y2 = u(x) x ' ' V^y nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr a e o nh C1 + C2 x4 x ' Gia i phu o ng tr nh tuy^ n t nh c^ p v i h^ s^ h ng e a o e o a y” + y = x + 2ex ’ HD giai: - ^ a Day la phu o ng tr nh tuy^ n t e nh c^ p kh^ng thu^ n nh^ t v i h^ s^ h ng Nghi^m a o a a o e o e 'ng qua t la: t^ o y = C1 cos x + C2 sin x + x + ex 154) ' Gia i phu o ng tr nh tuy^ n t nh c^ p v i h^ s^ h ng e a o e o a y” − y + y = x www.VNMATH.com 13 ’ HD giai: - ^ a Day la phu o ng tr nh tuy^ n t e nh c^ p kh^ng thu^ n nh^ t v i h^ s^ h ng Nghi^m a o a a o e o e ' t^ ng qua t la: o √ √ 3 y = e (C1 cos x + C2 sin x) + + x 2 x 155) ' Gia i phu o ng tr nh tuy^ n t nh c^ p v i h^ s^ h ng e a o e o a y” − 2y + y = x + ex - ^ a nh tuy^ n t e nh c^ p kh^ng thu^ n nh^ t v i h^ s^ h ng a o a a o e o Day la phu o ng tr ' Nghi^m t^ ng qua t la: e o ’ HD giai: y = C1 ex + C2 xex + + x2 ex 156) ' nh tuy^ n t nh c^ p v i h^ s^ h ng e a o e o a Gia i phu o ng tr y” + y = sin2 x - ^ a Day la phu o ng tr nh tuy^ n t e nh c^ p kh^ng thu^ n nh^ t v i h^ s^ h ng a o a a o e o 'ng qua t la: Nghi^m t^ e o ’ HD giai: y = C1 cos x + C2 sin x + 157) 1 + cos 2x ' nh tuy^ n t nh c^ p sau: e a Gia i phu o ng tr xy” − y − y = x - ^ ' nh Euler n^n ta co th^ d u a v^ phu o ng tr e e e nh tuy^ n e Day la phu o ng tr t ' t nh v i h^ s^ h ng b ng ca ch d a t x = e Khi d phu o ng tr o e o a a o nh d ~ cho tro a ’ HD giai: yt ” − 2yt − y = nh co nghi^ m la e Phu o ng tr y = C1 e(1+ √ 2)t + C2 e(1− √ 2)t ' V^y nghi^m cu a phu o ng tr a e nh d ~ cho la a y = C1 x1+ 158) √ √ + C2 x1− ' Gia i phu o ng tr nh tuy^ n t nh c^ p v i h^ s^ h ng sau: e a o e o a y” − 3y + 2y = cos x - ^ a Day la phu o ng tr nh tuy^ n t e nh c^ p kh^ng thu^ n nh^ t v i h^ s^ h ng a o a a o e o ' Nghi^m t^ ng qua t la: e o ’ HD giai: y = C1 ex + C2 e2x + 159) cos x − sin x 5 ' Gia i phu o ng tr nh tuy^ n t nh c^ p v i h^ s^ h ng sau: e a o e o a y” − y = sin x + ex www.VNMATH.com 14 - ^ a Day la phu o ng tr nh tuy^ n t e nh c^ p kh^ng thu^ n nh^ t v i h^ s^ h ng a o a a o e o 'ng qua t la: Nghi^m t^ e o ’ HD giai: y = C1 + C2 ex + xex + 160) 1 cos x − sin x 2 z ' ' d e gia i phu o ng ^ x x2 y” + 4xy + (x2 + 2)y = ex ' Dung phe p d o i ham ^ y= tr nh vi ph^n: a z z x − 2z z”x2 − 4z x + 6z ⇒y = ; y” = x2 x3 x4 ex x ' nh tro thanh: z” + z = e co m^ t nghi^m ri^ng y = Phu o ng tr o e e Phu o ng tr nh thu^ n nh^ t co phu o ng tr a a nh d a c tru ng λ + = ⇔ λ = ±i ex 'ng qua t: z = C1 cos x + C2 sin x + V^y nghi^m t^ a e o ex sin x cos x + C2 + V^y y = C1 a x2 x 2x ’ HD giai: y = 161) ' nh Gia i phu o ng tr y” cos x + y sin x − y cos3 x = ' b ng phe p bi^ n d o i a e ^ t = sin x ’ HD giai: t = sin x : yx = yt tx = yt cos x y”xx = y”tt cos2 x − yt sin x t −t nh: y”tt − y = → y = C1 e + C2 e = C1 esin x + C2 e− sin x Thay vao phu o ng tr 162) ' nh T m nghi^m ri^ng cu a phu o ng tr e e x x x (x + e y )dx + e y (1 − ) = y ' i^ thoa d u ki^n y(0) = e e ∂P ∂Q x x = = − ey , y = ∂y ∂x y y(0) = ⇒ C = ’ HD giai: 163) ' nh vi ph^n a Gia i phu o ng tr ’ HD giai: TPTQ: x x2 + ye y = C y” + y tgx − y cos2 x = ' b ng phe p bi^ n d o i a e ^ Tu o ng tu bai 164) ' Cho bi^ u th c: e u ~ Ha y t m ham s^ o h(x) - Dat Q = h(x) 1 − ln(x + y))dx + dy x+y x+y ' ' ' a a cho bi^ u th c tr^n tro vi ph^n toan ph^ n cu a e u e m^t ham o ’ HD giai: h(x) ( F (x, y) va t m ham s^ d o o ln (x + y) x+y x+y P = h(x) - ' (Di^u ki^n x+y > 0) d^ e e e P dx + Qdy la vi ph^n toan ph^ n: a a ∂P ∂Q −h(x)(x + y + 1) h (x)(x + y) − h(x) = ⇔ = ∂y ∂x (x + y) (x + y)2 t = sin x www.VNMATH.com 15 ⇔ h (x + y) + h(x + y) = ⇔ h + h = ⇔ h(x) = e−x −x Va F (x, y) = e ln(x + y) 165) ' Gia i phu o ng tr nh vi ph^n : a ' b ng phe p d o i a ^ ’ HD giai: z = yx ⇔ y = 166) z zx−z ; y = = ; y” = x x2 tu o ng tu bai P (x, y) = ex sin y + 2m2 x cos y; Q(x, y) = ex cos y + mx2 sin y ' ' d e P (x, y)dx + Q(x, y)dy la vi ph^n toan ph^ n cu a ham s^ ^ a a o F (x, y) nao d va t ham ^ y o m a Cho T m m ’ HD giai: 167) xy” + 2(1 − x)y + (x − 2)y = e−x ' ^ n ham z = yx a ∂P ∂Q = ⇔ 2x sin y(m2 + m) = ∂y ∂x ' nh Gia i phu o ng tr x2 y” + 2xy + Chon y =0 x2 m = 0V m = −1 ' b ng phe p bi^ n d o i a e ^ x= t ’ HD giai: 168) T m ham la vi ph^n toan a µ(x2 + y ) µ(x2 + y ) (x − y)dx + (x + y)dy ' ph^ n cu a m^t ham F (x, y) nao d T a o √ √ o m ham F (x, y) n^ u bi^ t µ(1, 1) = 0; µ( e e 2, 2) = ln cho ’ HD giai: P (x, y) = h(x2 + y )(x − y); Q(x, y) = h(x2 + y )(x + y) ∂P ∂Q - e ' ' D^ h(x − y)dx + h(x + y)dy la vi ph^n toan ph^ n ta pha i co : a a = ∂y ∂x 2 - Dat t = x + y ⇒ ht 2y(x − y) − h = ht 2y(x + y) + h C1 C1 ⇒h= ⇔ −ht (x2 + y ) = h ⇔ ht t = h ⇒ h = t x + y2 y x x−0 y C1 x+y ⇒ F (x, y) = C1 ln(x2 + y ) + C2 dx + C1 dy = C1 arctg + + 02 + y2 x x 2 √ √ π F (1, 1) = 0; F ( 2, 2) = ln Cho: C1 = 2; C2 = −( + ln 2) 169) ' Gia i phu o ng tr nh x2 y” + xy + y = x ' b ng phe p d o i bi^ n a ^ e x = et 1 yx = yt ; y”xx = (y”tt − yt ) x x t Thay vao phu o ng tr nh: y”tt + y = e ' ' nh thu^ n nh^ t: y = C1 cos t + C2 sin t a a Nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr e o t T m nghi^m ri^ng dang: y + Ae ; A = e e x 'ng qua t: y = C1 cos (ln x) + C2 sin (ln x) + V^y nghi^m t^ a e o ’ HD giai: x = et ta co : www.VNMATH.com 16 170) ' Gia i phu o ng tr nh vi ph^n: a xy” − (x + 1)y − 2(x − 1)y + x2 = y1 = eαx nh thu^n nh^ t tu o ng u ng co m^ t nghi^m ri^ng a a o e e bi^ t r ng phu o ng tr e a v i o la h ng s^ c^n xa c d nh a o a i α ’ HD giai: Thay nghi^m e o nh r^i d ng nh^ t d u o c o ^ a vao phu o ng tr y1 = eαx - Du a phu o ng tr nh v^ dang: e α=2 2(x − 1) x+1 y − y = −x; x = x x y” − 2(x − 1) x+1 ; q(x) = − ; f (x) = −x x x x+1 dx 2x x e−4x e nghi^m ri^ng: y2 = e e e dx = − (3x + 1)e−x p(x) = − T m ' ' Suy nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr e o nh thu^ n nh^ t: a a y = C1 e2x + C2 (3x + 1)e−x Bi^ n thi^n h ng s^ : e e a o C1 = (6x + 5)e−2x 36 → C = ex C1 = − (3x + 1)e−2x C = ex ⇒ NTQ 171) ' nh vi ph^n a Gia i phu o ng tr ’ HD giai: x = et , ' b ng phe p d o i bi^ n a ^ e x = et 1 yx = yt , y”xx = (y”tt − yt ) x x thanh: y”tt − 5yt + 6y = ⇒ NTQ: y = C1 x + C2 x ta co : ' Phu o ng tr nh tro 172) x2 y − 4xy + 6y = ' nh vi ph^n: a Gia i phu o ng tr y” − (2ex + 1)y + e2x y = e3x x bi^ n t = e e ' b ng phe p d o i a ^ x x 2x - ^ ' Do i bi^ n t = e ⇒ yx = yt e , y”xx = y”tt e e + yt ex nh: y”tt − 2yt + y = t Thay vao phu o ng tr t 'ng qua t cu a phu.o.ng tr ' nh thu^ n nh^ t: y = e (C1 t + C2 ) a a Nghi^m t^ e o 3 T m nghi^m ri^ng dang y = At + Bt + Ct + D → y = t + 6t + e e x = ee (C1 ex + C2 ) + e3x + 6e2x + 18ex + 24 ’ HD giai: y 173) ' nh vi ph^n: a Gia i phu o ng tr ' bi^ t m^t nghi^m ri^ng cu a phu o ng tr e o e e nh ( ’ HD giai: V i o α - Du a phu o ng tr nh v^: e p(x) = 18t + 24 ' K^ t qua e (x − 1)y” − xy + y = (x − 1)2 e2x αx thu^n nh^ t tu o ng u ng co dang y = e a a c^n xa c d nh) a i y” − x y + y = (x − 1)e2x x−1 x−1 x ; q(x) = ; f (x) = (x − 1)e2x x−1 x−1 o vao phu o ng tr nh thu^ n nh^ t tu o ng u ng r^i d ng nh^ t suy a a o ^ a x dx x −2x x−1 T m nghi^m ri^ng y2 = e e e e e dx = −x Thay y1 = eαx α=1 www.VNMATH.com ⇒ NTQ: 17 y = C1 ex + C2 (−x) Bi^ n thi^n h ng s^ : e e a o x C1 = xe C2 = e2x ' V^y nghi^m t^ ng qua t: a e o 174) x y = ( − 1)e2x + K1 ex − K2 x ' Gia i phu o ng tr nh vi ph^n: a ’ HD giai: C1 = xex − ex + K1 → C2 = e2x + K2 - nh v^: e Du a phu o ng tr x2 (x + 1)y” = 2y y − bi^ t m^t nghi^m e o e y1 = + x y = 0; p(x) = 0; f (x) = + 1) x2 (x T m NR dang x2 1 e− 0dx dx = (1 + )(x − ln |x + 1| − ) (x + 1) x 1+x x+1 ln(x + 1)2 − =x+1− x x y2 = (1 + ) x ' V^y nghi^m t^ ng qua t: y = a e o 175) 1 x+1 C1 (1 + ) + C2 (x − − + ln(x + 1)2 + 1) x x x ' nh vi ph^n a Gia i phu o ng tr (x2 + 1)y” − 2y = ' n^ u bi^ t m^t nghi^m cu a no co dang d e e o e a th c u ’ HD giai: ~ D^ th^ y e a y1 = x2 + ' la m^ t nghi^m ri^ng cu a (1) o e e Nghiˆm th´ hai: y2 = y1 e u ' V^y nghi^m t^ ng qua t: a e o 176) - Dat p(x)dx dx = (x2 + 1) xy” + 2y − xy = ex z = xy ⇒ z = y + xy ; z = 2y + xy y = Axex → A = z 1 x x y = = (C1 + C2 e + xe ) x x xn+1 n=0 n! xf (x) − (x + 1)f (x) = ' Ch ng to r ng ham: u a ' la nghi^m cu a phu o ng tr e nh ∞ f (x) = z = xy Thay vao phu o ng tr nh: Nghi^m ri^ng dang: e e 177) dx + 1)2 ' b ng phe p d o i ham a ^ z − z = ex → NTQ z = C1 + C2 ex V^y: a (x2 x = (x2 + 1)( + arctgx) x +1 x y = C1 (x2 + 1) + C2 (x2 + 1)( + arctgx) x +1 ' nh vi ph^n a Gia i phu o ng tr ’ HD giai: − e y1 www.VNMATH.com 18 ’ HD giai: ' ~ ' o Dung t nh ch^ t D'Alembert d^ ch ng to chu^ i a e u xn+1 xa c d nh v i moi x i o n=0 n! ∞ xn = xex u Ho n n~ a: f (x) = x n=0 n! ⇒ xf (x) − (x + 1)f (x) = x(x + 1)ex − (x + 1)xex = 0, ∀x Nhu v^y ham a 178) xn+1 n=0 n! ∞ h^i tu v i moi o o x ∞ f (x) = ' nh Gia i phu o ng tr ' d i^u pha i ch ng minh e u x(x2 + 6)y” − 4(x2 + 3)y + 6xy = bi^ t r ng no co nghi^ m dang d e a e a th c u Ta t m nghi^m ri^ng du o i dang y1 = Ax + Bx + C e e +3) − − 4(x dx x(x+6) dx nghi^m ri^ng th hai: y2 = y1 e e u e y1 √ x2 (x2 + 6) x 2x = (x2 + 2) dx = (x2 + 2)(x + + 2arctg √ (x2 + 2)2 (x + 2) ’ HD giai: V^y NTQ: a 179) √ x y = C1 (x + 2) + C2 [x + 4x + 2(x + 2)arctg √ ] ⇒ y1 = x2 + ) ' nh Gia i phu o ng tr no co hai (2x + 1)y” + (2x − 1)y − 2y = x2 + x bi^ t e 2 x + 4x − x +1 nghi^ m ri^ng y1 = e e ; y2 = 2 r ng a ' ' T hai nghi^m ri^ng y1 , y2 cu a phu o ng tr u e e nh ta suy nghi^ m ri^ng cu a e e phu o ng tr nh thu^ n nh^ t la y1 = y1 − y2 = 2x − a a Suy nghi^m th hai: e u ’ HD giai: − e y1 y2 = y1 = 2(x − 1) 2x−1 e− 2x+1 dx dx (2x − 1) −x (2x + 1)e−x (2x + 1)e dx = (2x − 1)[− + (2x − 1)2 (2x − 1)2 p(x)dx dx = (2x − 1) e−x (1 − 2x) dx] 2x − = −e−x Suy NTQ: y = C1 (2x − 1) + C2 e−x ' ' nh ban d u: a ^ Va nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr e o 180) x2 + 2 ' nh α cho y = eαx la m^t nghi^m ri^ng cu a phu.o.ng tr o e e 'ng qua t cu a phu o ng tr ' y” + 4xy + (4x + 2)y = T nghi^m t^ m e o nh ^ y a Xa c d nh h ng s^ i a o ’ HD giai: Ta −x2 ri^ng y1 = e e t m nghi^m ri^ng du o i dang e e Nghi^m th hai: e u V^y NTQ: a 181) y = C1 (2x − 1) + C2 e−x + y = eαx − P (x)dx e dx = e−x y1 + C2 xe−x y2 = y1 y = C1 e−x ' Gia i h^ phu o ng tr e nh: dx = 3x − y dt dy = 4x − y dt thay vao d u o c e2x e− 4xdx α = −1 dx = xe−x vi ph^n: a va nghi^m e www.VNMATH.com 19 3−λ −1 = (λ − 1)2 = ⇔ λ = (b^i 2) o −1 − λ a = 3a − c a + b = 3b − d t (at + b)e x thay vao h^ r^i d ng nh^ t d u o c: e o o ^ a = T m nghi^m dang e (ct + d)et y c = 4a − c c + d = 4b − d Cho a = C1 , b = C2 ⇒ c = 2C1 , d = 2C2 − C1 x = (C1 t + C2 )et 'ng qua t: V^y nghi^m t^ a e o y = (2C1 t + 2C2 − C1 )et ’ HD giai: 182) Phu o ng tr nh d a c tru ng ' Gia i h^ phu o ng tr e nh: ’ HD giai: Tu o ng tu bai 1), phu o ng tr nh d a c tru ng co nghi^m e 3t T m nghi^m dang e V^y NTQ: a 183) (at + b)e (ct + d)e3t (b^i 2) o ⇒ a = C1 , c = C1 , b = C2 , d = C1 + C2 dx = x − 2y − z dt dy =y−x+z dt dz =x−z dt − λ −2 −1 −1 − λ = ⇔ λ(λ2 − λ − 2) = −1 − λ − λi −2 −1 P1i −1 − λi P2i = 1 −1 − λi P3i nh d a c tru ng Phu o ng tr ⇔ λ1 = 0, λ2 = −1, λ3 = V i ca c o λ=3 x = (C1 t + C2 )e3t y = (2C1 t + C1 + C2 )e3t ' Gia i h^ phu o ng tr e nh: ’ HD giai: dx = 2x + y dt dy = 4y − x dt λi ; i = 1, 2, ' gia i h^: e - e m nghi^m ri^ng tu.o.ng u.ng T d suy h^ nghi^m co ba n: ' ' u o e e D^ t e e −t −t 2t x1 = 1, y1 = 0, z1 = 1; x2 = 0, y2 = e , z2 = −2e ; x3 = 3e , y3 = −2e−2t , z3 = e2t x = C1 + 3C3 e2t ' V^y h^ nghi^m t^ ng qua t: a e e o y = C2 e−t − 2C3 e2t z = C − 2C e−t + C e2t 184) ' Gia i h^ phu o ng tr e nh: ’ HD giai: dx − 5x − 3x = dt dy + 3x + y = dt Phu o ng tr nh d a c tru ng 5−λ =0⇔λ=2 −3 −λ − (b^i 2) o www.VNMATH.com 20 ⇒ at + b 2t e ct + d nghi^m co dang e Cho V^y a thay vao h^ e a − 3b = 3d ⇒ a+c=0 c + 3b = −3d C1 a = C1 , b = C2 ⇒ c = −C1 , d = − C2 x = (C1 t + C2 )e2t ' nghi^m t^ ng qua t: e o C y = (−C1 t + − C2 )e2t 185) dx = 2x − 3y dt dy = x − 2y + sin t dt ' Gia i h^ phu o ng tr e nh: ’ HD giai: Phu o ng tr nh d a c tru ng co hai nghi^ m e + λ1 = −1 + λ2 = 0 ' gia i h^: e ' gia i h^: e −3 −1 γ21 = γ22 = −3 −3 λ1,2 = ±1 γ11 ⇒ γ11 = γ12 = γ12 ⇒ γ21 = 3; γ22 = ' ' e a a H^ nghi^m co ba n cu a h^ thu^n nh^ t tu o ng u ng la: e e x1 = e−t y1 = e−t ' V^y NTQ cu a h^ thu^n nh^ t: a e a a ; x2 = 3et y2 = et x(t) = C1 e−t + 3C2 et y(t) = C1 e−t + C2 et Bi^ n thi^n h ng s^ : e e a o C1 e−t + 3C2 et = C1 e−t + C2 et = sin t V^y NTQ: a 186) ⇒ C1 = 3et sin t C2 = e−t sin t C1 (t) = et (sin t − cos t) ⇒ C (t) = − e−t (sin t + cos t) 2 x(t) = C1 e−t + 3C2 et − cos t y(t) = C1 e−t + C2 et + sin t − cos t ' Gia i h^ phu o ng tr e nh: dx = 2x − y + z dt dy = x + 2y − z dt dz = x − y + 2z dt ’ HD giai: Phu.o.ng tr nh d a c tru ng: (λ − 1)(λ − 2)(λ − 3) = co nghi^m λ1 = 1; e λ2 = 2; λ3 = − λi −1 P1i ' − λi −1 P2i = 0 u ng v i λi gia i h^: o e −1 − λi P3i 2t 3t 1 e e ' t 2t - Du o c 1 ; 1 ; 0 Suy h^ nghi^m co ba n e ; e ; e e 1 et e2t e3t www.VNMATH.com V^y NTQ: a 187) x = C2 e2t + C3 e3t y = C1 et + C2 e2t z = C et + C e2t + C e3t ' Gia i h^ phu o ng tr e nh: dx = y − cos t dt dy = 2x + y dt ' Dung phu o ng pha p khu : ’ HD giai: y” = 2x + y 21 L^ y d ao ham theo t phu o ng tr a nh th hai: u - e y ' nh d u, d u a v^: y” = 2(y − cos t) + y ⇔ y” − y − 2y = −10 cos t a ^ e D^ phu o ng tr - ay la phu.o.ng tr ' ' D^ nh tuy^ n t e nh c^ p hai, gia i d u o c nghi^m t^ ng qua t: a e o y = C1 e2t + C2 e−t + cos t + sin t x = C1 e2t − C2 e−t − cos t − sin t 2t −t x = A1 e + A2 e − cos t − sin t y = 2A1 e2t − A2 e−t + cos t + sin t nh d u: a ^ Thay vao phu o ng tr V^y NTQ: a 188) ' nh: Gia i h^ phu o ng tr e ’ HD giai: Nghi^m phu o ng tr e nh d a c tru ng Bi^ n thi^n h ng s^ : e e a o 189) C1 = e4x C = ex ' Gia i h^ phu o ng tr e nh: ’ HD giai: y = 3y + 2z + 4e5x z = y + 2z → NTQ y = C1 ex + C2 e−x z = C1 ex + 3C2 e−x y ∗ = xex z ∗ = (x + 1)ex y = C1 ex + C2 e−x + xex z = C1 ex + 3C2 e−x + (x + 1)ex ' Gia i h^ phu o ng tr e nh: y = C1 ex + 2C2 e4x z = −C1 ex + C2 e4x y = C1 ex + 2C2 e4x + 3e5x z = −C1 ex + C2 e4x + e5x ' ' Nghi^m t^ ng qua t cu a h^ thu^n nh^ t: e o e a a ' V^y nghi^m t^ ng qua t: a e o NTQ: y = 2y − z + 2ex z = 3y − 2z + 4ex ' Nghi^m ri^ng cu a h^ kh^ng thu^n nh^ t: e e e o a a 190) λ1 = 1; λ2 = 4; y = 2y − 4z + 4e−2x z = 2y − 2z www.VNMATH.com 22 ’ HD giai: 191) ' Nghi^m t^ ng qua t: e o ' Gia i h^ phu o ng e ’ HD giai: y = C1 (cos 2x − sin 2x) + C2 (cos 2x + sin 2x) z = C1 cos 2x + C2 sin 2x + e−2x dy dx tr nh: dz dx Phu o ng tr nh d a c tru ng =y+z = z − 4y λ2 − 2λ + = Khi d o λ1 = + 2i, λ2 = − 2i H^ thu^n nh^ t co nghi^m e a a e y = ex (C1 cos 2x + C2 sin 2x), z = 2ex (C2 cos 2x − C1 sin 2x) 192) ' Gia i h^ phu o ng e ’ HD giai: dy dx tr nh: dz dx nh d a c tru ng Phu o ng tr = y + z + ex = z − 4y λ2 − 2λ + = Khi d o λ1 = + 2i, λ2 = − 2i H^ thu^n nh^ t co nghi^m e a a e y = ex (C1 cos 2x + C2 sin 2x), z = 2ex (C2 cos 2x − C1 sin 2x) ' Va nghi^m cu a h^ kh^ng thu^n nh^ t e e o a a y = ex (C1 cos 2x + C2 sin 2x), z = 2ex (C2 cos 2x − C1 sin 2x) − ex 193) ' Gia i h^ phu o ng e dy dx tr nh: dz dx nh d a c tru ng Phu o ng tr H^ thu^n nh^ t co nghi^m e a a e ’ HD giai: = 2y − z = 2z + 4y + e2x λ2 − 4λ + = Khi d o λ1 = + 2i, λ2 = − 2i y = e2x (C1 cos 2x + C2 sin 2x), z = −2e2x (C2 cos 2x − C1 sin 2x) ' Va nghi^m cu a h^ kh^ng thu^n nh^ t e e o a a y = e2x (C1 cos 2x + C2 sin 2x) − e2x , z = −2e2x (C2 cos 2x − C1 sin 2x) 194) ' Gia i h^ phu o ng e dy dx tr nh: dz dx = 2y + z + ex = z − 4y ’ HD giai: Phu o ng tr nh d a c tru ng λ2 − 2λ + = Khi d o λ1 = + 2i, www.VNMATH.com λ2 = − 2i 23 H^ thu^n nh^ t co nghi^m e a a e y = ex (C1 cos 2x + C2 sin 2x), z = 2ex (C2 cos 2x − C1 sin 2x) ' Va nghi^m cu a h^ kh^ng thu^n nh^ t e e o a a y = ex (C1 cos 2x + C2 sin 2x), z = 2ex (C2 cos 2x − C1 sin 2x) − ex 195) ' Gia i h^ phu o ng tr e nh: ’ HD giai: dx dt dy dt = x + 2y = x − sin t ' ' nh thu^ n nh^ t: a a Nghi^m t^ ng qua t cu a h^ phu o ng tr e o e x y = C1 e−t + 2C2 e2t = −C1 et + C2 e2t ' Bi^ n thi^n h ng s^ d^ d u o c nghi^m: e e a o e e x y 196) = C1 e−t + 2C2 e2t + sin t + cos t = −C1 et + C2 e2t + cos t − sin t ' Gia i h^ phu o ng tr e nh: dx dt dy dt = x − 2y + et = x + 4y + e2t ' nh d a c tru ng: r1 = 2; r2 Nghi^m cu a phu o ng tr e x = 2C1 e2t + C2 e3t nh thu^ n nh^ t la: a a h^ phu o ng tr e y = −C1 e2t − C2 e3t ’ HD giai: = 3; ' t d d u o c NTQ cu a u o ' ' ' e o e o a a Bi^ n thi^n h ng s^ d^ d u o c nghi^m t^ ng qua t cu a h^ kh^ng thu^n nh^ t: e e a o e x y 197) ' Gia i h^ phu o ng tr e nh: ’ HD giai: Nghi^m e 3t x = (λ1 + µ1 t)e y = (λ2 + µ2 t)e3t T c la: u = 2C1 e2t + C2 e3t − et + 2te2t 2t 3t = −C1 e − C2 e + et − (t + 1)e2t x y dx dt dy dt = 2x + y = 4y − z ' cu a phu o ng tr nh d a c tru ng: v i o λ2 = λ + µ1 ; µ2 = µ1 = (C1 + C2 t)e3t = (C1 + C2 + C2 t)e3t r1 = r2 = V^y NTQ co dang: a www.VNMATH.com 24 198) ' T m nghi^m cu a h^ e e ~ ' tho a ma n ca c d u i^ e ’ HD giai: dx = 3x + 8y dt phu o ng tr nh: dy = −x − 3y dt ki^n: e x(0) = 6; y(0) = −2 dy − 3y , l^ y d ao ham theo t hai v^ , r^i a e o dt d2 y ' − y = 0, gia i ra: y = C1 et − C2 e−t , d u o c: dt T phu o ng tr u nh th hai: u x=− ' nh th nh^ t cu a h^ u a e thay vao phu o ng tr suy x = −4C1 et − 2C2 e−t ~ ' tho a ma n ca c d i^u ki^n e e h^: e x(0) = 6; y(0) = −2, x y 199) ' nh: Gia i h^ phu o ng tr e dx dt dy dt dz dt C1 = C2 = −1 suy ' V^y nghi^m cu a a e = 4et + 2e−t = −et − e−t = 3x − y + z = −x + 5y − z = x − y + 3z ’ HD giai: Phu.o.ng tr nh d a c tru ng: λ − 11λ + 36λ − 36 = 0, ' 3; λ3 = T d d u o c ba h^ nghi^m co ba n: u o e e 2t −e2t e e3t ; e3t ; e3t e6t −2e6t e6t ' gia i λ1 = 2; λ2 = ' V^y nghi^m t^ ng qua t: a e o x y z 200) = C1 e2t + C2 e3t + C3 e6t = C2 e3t − 2C3 e6t = −C1 e2t + C2 e2t + C3 e6t dy dx dz dx ' ' nh: T m nghi^m t^ ng qua t cu a h^ phu o ng tr e o e ’ HD giai: Phu.o.ng tr nh d a c tru ng: ' d u o c ba h^ nghi^m co ba n: e e ex −ex (λ − 1)(λ − 2) = 0, ; 2e2x −3e2x ' V^y nghi^m t^ ng qua t: a e o y z = C1 ex + 2C2 e3x = −C1 ex − 3C2 e2x =y+z = z − 4y ' gia i λ1 = 1; λ2 = T d u o www.VNMATH.com 201) ' Gia i h^ phu o ng tr e nh: dx dt dy dt 25 = 2x − 3y = x − 2y + sin t nh d a c tru ng co ca c nghi^ m e Phu o ng tr e−t 3et ' ; nghi^m co ba n: e −t t ’ HD giai: e ' V^y nghi^m t^ ng qua t: a e o Bi^ n thi^n h ng s^ : e e a o λ1 = −1; λ2 = T d d u o c h^ u o e e x y = C1 e−t + 3C2 et = C1 e−t + C2 et C e−t + 3C et C e−t + C et =0 = sin t ⇐⇒ C C = 3et sin t = e−t sin t C1 (t) = et (sin t − cos t) ' Gia i ra: C (t) = − e−t (sin t + cos t) 2 x(t) = C1 e−t + 3C2 et − cos t ' ' V^y nghi^m t^ ng qua t cu a h^: a e o e y(t) = C1 e−t + C2 et + sin t − cos t ... y) = C x3 )dy y '' Phu o ng tr nh vi ph^n toan ph^ n: Nghi^m t^ ng qua t: a a e o '' '' T m nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr e o nh vi ph^n: a ’ HD giai: xy + ex sin y = C... cos y + sin y)dy = Phu o ng tr nh vi ph^n toan ph^ n: NTQ a a '' Gia i phu o ng tr nh: ’ HD giai: x2 (x2 + 1) + 2x − ( − 1) = C 2 sin y '' nh vi ph^n toan ph^ n, nghi^m t^ ng qua... '' '' T m nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr e o nh vi ph^n: a (sin xy + xy cos xy)dx + x2 cos xydy = ’ HD giai: 92) '' nh vi ph^n toan ph^ n co nghi^m t^ ng qua t la a a e o