ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Phan Hữu Phước – CH1301106 TIỂU LUẬN TỐN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH ỨNG DỤNG TẬP MỜ VÀ SỐ MỜ TRONG BÀI TOÁN QUYẾT ĐỊNH GIẢNG VIÊN: TS Dương Tơn Đảm TP HỒ CHÍ MINH – 11/2014 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin gửi lời chân thành cảm ơn đến trường Đại học công nghệ thông tin TP HCM tạo điều kiện cho em tiếp cận với mơn Tốn học cho Khoa học Máy tính Em xin cảm ơn thầy TS Dương Tơn Đảm tận tình truyền đạt kiến thức bổ ích hỗ trợ cho em thực tiểu luận Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy cô Khoa Công nghệ Thông tin bạn bè thân hữu nhiệt tình đóng góp ý kiến, động viên để em xây dựng tiểu luận Mặc dù cố gắng đề tài khó tránh khỏi thiếu sót sai lầm, em mong thầy bạn bè cho ý kiến để tiểu luận ngày hoàn thiện Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn! Tp HCM, tháng 11 năm 2014 Phan Hữu Phước CH1301106 MỤC LỤC CH1301106-Phan Hữu Phước Trang Tốn học cho Khoa học máy tính GVHD: TS Dương Tôn Đảm I KHÁI NIỆM TẬP MỜ Định nghĩa 1: Cho tập vũ trụ U Tập hợp xác định đẳng thức gọi tập hợp mờ tập U Biến u lấy giá trị U gọi biến sở U gọi tập tham chiếu hay miền sở Hàm gọi hàm thuộc giá trị u gọi độ thuộc phần tử u thuộc tập mờ Nếu không gây nhầm lẫn, hàm thuộc ký hiệu (.), biến sở u biểu thị hiển, hay , biến u xuất hiển Lưu ý vế phải định nghĩa tập kinh điển định nghĩa hồn chỉnh Họ tất tập mờ miền sở U ký hiệu F(U), Có nhiều cách biểu diễn hình thực tập mờ Trong trường hợp U tập hữu hạn, đếm hay vô hạn liên tục, tập mờ biểu diễn biểu thức hình thức sau: Trong trường hợp U hữu hạn, , ta viết: hay Trong trường hợp này, tập mờ gọi tập mờ rời rạc Trong trường hợp U vô hạn đếm được, , ta viết: Trong trường hợp U vơ hạn liên tục, U=[a, b], ta viết Ví dụ 1: Xét tập U gồm người x1, x2, … , x5 tương ứng có tuổi 10, 15, 50, 55, 70 tập hợp ngườ “Trẻ” Khi ta xây dựng hàm thuộc sau: tập mờ Định nghĩa 2: Tập mờ có dạng hình thang xác định giá trị (a, b, c, d), ký hiệu xác định: CH1301106-Phan Hữu Phước Trang Toán học cho Khoa học máy tính GVHD: TS Dương Tơn Đảm II TẬP LÁT CẮT CỦA TẬP MỜ Định nghĩa 3: Cho tập mờ tập vũ trụ U α ∈ [0,1] Tập lát cắt α (hoặc α+) tập tập kinh điển, ký hiệu (hoặc ), xác định đẳng thức sau: Như vậy, tập mờ cảm sinh họ tập kinh điển, ta có ánh xạ: (1*) Để đơn giản ký hiệu, ta viết họ tập kinh điển = Họ tập hợp có tính chất sau: Định lý 1: Cho , ∈ F(U), h ánh xạ cho (1*) = Khi đó: Mỗi họ dãy đơn điệu giảm, α < β, thí ; Nếu Nghĩa tồn song ánh từ họ tập mờ F(U) vào họ họ tập kinh điển P(U) dạng (1*) III MỘT SỐ KHÁI NIỆM ĐẶC TRƯNG CỦA TẬP MỜ Định nghĩa Giá tập mờ: Giá tập mờ , ký hiệu Support(), tập U đó, , Support() = {u: } Độ cao tập mờ: Độ cao tập mờ , kiếu hiệu hight(), cận hàm thuộc U, hight() = sup{} Tập mờ chuẩn: tập mờ gọi chuẩn hight() = Trái lại, tập mờ gọi chuẩn Lõi tập mờ: lỗi tập mờ , ký hiệu Core(), tập U xác định sau: CH1301106-Phan Hữu Phước Trang Toán học cho Khoa học máy tính GVHD: TS Dương Tơn Đảm Ví dụ: Giả sử U tập vũ trụ số đo nhiệ độ thời tiết, chẳng hạn U=[0,50] tính theo thang độ C Chúng ta xác định tập mờ biểu thị khái niệm mờ thời tiết NĨNG LẠNH Trong ví dụ này, ta sử dụng hàm số mẫu, gọi S-hàm đồ thị có hình chữ S Chúng ta ký hiệu hàm S(u, a, b, c), a, b c tham số Nó hàm khúc bậc định nghĩa sau: Hàm thuộc khái niệm thời tiết NÓNG người Lạng Sơn cực Bắc nước ta, cịn hàm thuộc khái niệm NĨNG người Sài Gịn (Xem hình 1) Với hai tập mờ này, ta có: Support() = [15, 50], Support() = [25, 50], hight() = Hight() = 1, Core() = [35, 50] Core() = [45, 50] Hàm thuộc biểu thị khái niệm mờ LẠNH xác định qua hàm thuộc NÓNG biểu thức sau: Hình 1: Hàm thuộc tập mờ NÓNG LẠNH Định nghĩa 5: Lực lượng tập mờ Cho tập mờ U Lực lượng vô hướng: lực lượng hay số thực tập , ký hiệu Count(), tính theo cơng thức đếm sau (đôi gọi sigma count) , U tập hữu hạn hay đếm , néu U tập vô hạn continuum tổng tích phân số học Lực lượng mờ: lực lượng hay số mờ tập tập mờ tập số nguyên không âm N định nghĩa sau: CH1301106-Phan Hữu Phước Trang Toán học cho Khoa học máy tính GVHD: TS Dương Tơn Đảm đó, xác định theo cơng thức sau, với || lực lượng tập mức , = suppreum{t∈[0,1]: ||=n} Có thể xem cơng thức Count() cơng thức đếm số phần tử U Lưu ý rằng, khác với trường hợp tập kinh điển, dù tập U vơ hạn đếm hay vơ hạn continuum, lực lượng tập mờ hữu hạn, tùy theo dáng điệu hàm IV CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP MỜ IV.1 Định nghĩa phép hợp hai tập mờ có tập Hợp hai tập mờ A B có tập X tập mờ �∪� xác định tập X , có hàm thuộc �_(�∪�) (�) thỏa mãn điều kiện sau: • phụ thuộc vào • với x • (Tính giao hốn) • (Tính kết hợp) • (Tính khơng giảm) Ví dụ loại hợp hai tập mờ • (Hợp theo max) (2.1) • (Hợp theo Lukasiewicz) (2.2) • (Hợp trực tiếp) • (Hợp theo Einstein) • (2.3) (2.4) (2.5) IV.2 Phép hợp hai tập mờ không Hàm thuộc hợp hai tập mờ A với định nghĩa M B với định nghĩa N hàm hai biến xác định thỏa mãn điều kiện: • CH1301106-Phan Hữu Phước Trang Tốn học cho Khoa học máy tính • (tính giao hốn) • GVHD: TS Dương Tơn Đảm (tính kết hợp) • (tính khơng giảm) Một hàm hai biến thỏa mãn điều kiện gọi hàm t-đối chuẩn (tconorm) IV.3 Khái niệm phép hợp hai tập mờ không Các công thức (2.1) (2.5) mở rộng để áp dụng cho việc xác định hợp hai tập mờ không cách đưa hai tập mờ chung tập tích hai tập cho Chẳng hạn cho tập mờ A (định nghĩa tập M),và tập mờ B (định nghĩa tập N) Hai tập M N độc lập với Tập mờ A định nghĩa hai tập M , ta ký hiệu tập mờ A tập tương tự ta ký hiệu tập mờ B tập đó: • với , • với Sau đưa hai tập mờ chung môt , thành hàm thuộc tập mờ xác định theo công thức (2.1) (2.5) Cụ thể là: Hợp hai tập mờ theo luật max Hợp hai tập mờ A với hàm thuộc (định nghĩa tập M) tập mờ B với hàm thuộc (định nghĩa tập N) theo luật max tập mờ xác định tập với hàm thuộc: đó: với , với Hợp hai tập mờ theo luật Lukasiewicz Hợp hai tập mờ A với hàm thuộc (định nghĩa tập M) tập mờ B với hàm thuộc (định nghĩa tập N) theo luật Lukasievicz tập mờ xác định tập với hàm thuộc: CH1301106-Phan Hữu Phước Trang Tốn học cho Khoa học máy tính GVHD: TS Dương Tơn Đảm Trong đó: với , với IV.4 Khái niệm phép giao hai tập mờ Định nghĩa phép giao hai tập mờ có tập nền: Giao hai tập mờ có tập X tập mờ xác định tập X với hàm thuộc thỏa mãn điều kiện sau: • phụ thuộc vào • với x • (Tính giao hốn) • (Tính kết hợp) • (Tính khơng giảm) Ví dụ loại giao hai tập mờ • (Giao theo min) (2.6) • (Giao theo Lukasiewicz) (2.7) • • • (Giao trực tiếp – Tích đại số) (2.8) (Giao theo Einstein)(2.9) (2.10) IV.5 Khái niệm phép giao hai tập mờ không Các công thức (2.1) (2.5) mở rộng để áp dụng cho việc xác định giao hai tập mờ không cách đưa hai tập mờ chung tập tập tích hai tập cho Chẳng hạn cho tập mờ A (định nghĩa tập M), tập mờ B (định nghĩa tập N) Hai tập M N độc lập với nhau.Tập mờ A định nghĩa hai tập M , ta ký hiệu tập mờ A tập tương tự ta ký hiệu tập mờ B tập đó: • với , • với CH1301106-Phan Hữu Phước Trang Toán học cho Khoa học máy tính GVHD: TS Dương Tơn Đảm Sau đưa hai tập mờ chung môt , thành hàm thuộc tập mờ xác định theo công thức (2.6) (2.10) Cụ thể là: Giao hai tập mờ theo luật Giao hai tập mờ A với hàm thuộc (định nghĩa tập M) tập mờ B với hàm thuộc (định nghĩa tập N) theo luật max tập mờ xác định tập với hàm thuộc: Trong đó: • với , • với Giao hai tập mờ theo luật tích đại số Giao hai tập mờ A với hàm thuộc (định nghĩa tập M) tập mờ B với hàm thuộc (định nghĩa tập N) theo luật tích đại số tập mờ xác định tập với hàm thuộc: Trong đó: • với , • với IV.6 Định nghĩa phép giao hai tập mờ không Hàm thuộc giao hai tập mờ A với định nghĩa M B với định nghĩa N hàm hai biến xác định thỏa điều kiện: • • (tính giao hốn) • (tính kết hợp) • (tính không giảm) Một hàm hai biến thỏa mãn điều kiện gọi hàm t- chuẩn (t-norm) IV.7 Khái niệm phép bù tập mờ Định nghĩa tập bù tập mờ CH1301106-Phan Hữu Phước Trang 10 Tốn học cho Khoa học máy tính GVHD: TS Dương Tôn Đảm Tập bù tập mờ A định nghĩa X môt tâp mờ �^� xác định tập X với hàm thuộc thỏa mãn điều kiện sau: • phụ thuộc vào • Nếu , hay • Nếu , hay • Nếu A ,hay Do phụ thuộc vào nên ta xem hàm , từ ta có định nghĩa sau: Tập bù tập mờ A định nghĩa X tập mờ xác định tập X với hàm thuộc: c thỏa điều kiện: • c • , nghĩa hàm c(x) khơng tăng Nếu hàm biến c cịn liên tục phép bù mờ gọi phép bù mờ chặt (strictly) Một phép bù mờ chặt phép bù mờ mạnh (strongly) c; nghĩa Hàm bù thường dùng hàm bù chuẩn Một số hàm bù khác • Hàm ngưỡng: • Hàm bù Cosin: • Hàm bù Sugeno : IV.8 Tính đối ngẫu phép tốn Ta nói t-chuẩn I , t-đối chuẩn H, đối ngẫu với phép bù mờ C, thỏa tính chất: • �(�(�,�))=�(�(�),�(�)) • �(�(�,�))=�(�(�),�(�)) Khi ta nói I,H,C ba đối ngẫu, ta ký hiệu : < I,H,C > Người ta thường gọi ba đối ngẫu ba De Morgan CH1301106-Phan Hữu Phước Trang 11 Toán học cho Khoa học máy tính GVHD: TS Dương Tơn Đảm Định lý 1: Cho t-chuẩn I, phép toán bù C, phép tốn ngơi G đoạn [0,1], xác định : �(�,�)=�(�(�(�),�(�))) ∀�,�∈[0,1] t-đối chuẩn, nghĩa ta có : < I,G,C > Định lý 2: Cho t-đối chuẩn H, phép tốn bù C, phép tốn ngơi F đoạn [0,1], xác định : �(�,�)=�(�(�(�),�(�))) ∀�,�∈[0,1] t-chuẩn, nghĩa ta có : < F,H,C > Chú ý: Bộ ba đối ngẫu ,nói định lý thỏa luật loại trừ,luật đối không thỏa luật phân phối : �(�,�(�))=1;�(�,�(�))=0;�(�,�(�,�))≠�(�(�,�),�(�,�)) V SỐ MỜ V.1 Định nghĩa Tập mờ A với hàm thuộc A(x) xác định từ R vào [0,1], thỏa điều kiện sau gọi số mờ: • A tập mờ tắc • khoảng đóng ∀�∈[0,1] • Miền xác định A phải bị chặn Số mờ tập mờ tắc số mờ a, phải bao gồm số thực a,nghĩa số thực a tập số mờ có giá trị hàm thuộc Vì nhát cắt � khoảng đóng ∀�∈[0,1], nên số mờ tập lồi Theo định nghĩa nên số mờ có nhiều dạng khác Hình vẽ minh họa trường hợp đặc biệt số mờ CH1301106-Phan Hữu Phước Trang 12 Tốn học cho Khoa học máy tính GVHD: TS Dương Tôn Đảm V.2 Một số dạng số mờ Số mờ tổng quát Tập mờ A tập số thực xem số mờ tồn khoảng [a,b]≠∅, hàm �(�), �(�) cho: Trong hàm trái l(x) hàm từ �∈(−∞,�) vào [0,1] thỏa tính chất: tăng đơn điệu, liên tục phải, ∃�_1∈(−∞,�)�à �(�)=0;∀ �∈(−∞,�_1 ) Còn hàm phải r(x) hàm từ �∈(�,+∞) vào [0,1] thỏa tính chất: giảm đơn điệu, liên tục trái,∃�_2∈(�,+∞) �à �(�)=0;∀ �∈(�_2,+∞) Số mờ phẳng Một số mờ phẳng A với tham số a,b,c,d ký hiệu A(a,b,c,d) có hàm thành viên : Trong hàm F hàm khơng tăng nửa phải trục thực với tính chất : • �(−�)=�(�); �(0)=1 CH1301106-Phan Hữu Phước Trang 13 Toán học cho Khoa học máy tính GVHD: TS Dương Tơn Đảm • Hàm trái • Hàm phải Số mờ rõ a có dạng mờ (a,a,0,0); Một khoảng rõ [a,b] có dạng mờ(a,b,0,0) Số mờ hình thang Từ dạng số mờ phẳng ta xét hàm F dạng tuyến tính Khi hàm thành viên số mờ hình thang có dạng Số mờ tam giác Trong số mờ hình thang A(a,b,c,d) , a=b thí số mờ hình thang thành số mờ tam giác Số mờ tam giác thường ký hiệu A(a,c,d)≡�(a,a,c,d) V.3 Phép toán số học khoảng Ta ký hiệu (*) để phép toán cộng(+), trừ( - ), nhân(.), chia(/) Khi ta định nghĩa phép tốn (*)trên khoảng đóng sau: ( Khi (*) ta ln xét trường hợp ) Cụ thể: • [�,�]+[�,�]=[�+�,�+�] • [�,�]−[�,�]=[�−�,�−�] • [�,�].[�,�]=[���(��,��,��,��),���(��,��,��,��)] CH1301106-Phan Hữu Phước Trang 14 Tốn học cho Khoa học máy tính GVHD: TS Dương Tơn Đảm • [�,�]/[�,�]=[���(�/�,�/�,�/�,�/�),���(�/�,�/�,�/�,�/�)] Chú ý: Một số thực a trường hợp đặc biệt khoảng [a,a],khi phép tốn phép tốn tập số thực bình thường mà ta quen biết V.4 Phép toán số học số mờ Cho A B số mờ, ta ký hiệu (*) để phép toán cộng, trừ, nhân, chia Khi ta định nghĩa phép tốn tập R nhát cắt sau: , từ suy ra: , Ví dụ: CH1301106-Phan Hữu Phước Trang 15 Toán học cho Khoa học máy tính GVHD: TS Dương Tơn Đảm V.5 Quan hệ thứ tự tập số mờ Trên tập rõ số thực, ta biết có quan hệ thứ tự tuyến tính Khi ta ln có �≤� �≤� Ta gọi (�,≤) dàn phép toán dàn : CH1301106-Phan Hữu Phước Trang 16 Tốn học cho Khoa học máy tính GVHD: TS Dương Tôn Đảm Trên số mờ không mở rộng quan hệ thứ tự tuyến tính, số mờ có quan hệ thứ tự phận cách tự nhiên hình thức dàn Định nghĩa : Cho x,y,z ∈� ; A B số mờ ta xác định phép tốn MIN MAX thơng qua phép tốn max tập số thực sau: Cho M tập số mờ ,và MIN, MAX phép toán xác định trên, A,B,C ∈� ta có tính chất sau: • MIN(A,B)=MIN(B,A) ; MAX(A,B)=MAX(B,A) (giao hốn) • MIN[���(�,�),�]=MIN[�,���(�,�)]; • M��[���(�,�),�]=M��[�,���(�,�)] (kết hợp) • ���(�,�)=� ; ���(�,�)=� (đồng nhất) • ���[�,���(�,�)]=�;���[�,���(�,�)]=� (hấp thụ) • ���[�,���(�,�)]=���[���(�,�),���(�,�)] • ���[�,���(�,�)]=���[���(�,�),���(�,�)] (phân phối) Ví dụ: V.6 Ngun lý mở rộng Zadeh Định nghĩa : CH1301106-Phan Hữu Phước Trang 17 Tốn học cho Khoa học máy tính GVHD: TS Dương Tôn Đảm Cho X,Y tập số thực hàm thực tập mờ tương ứng M(X), M(Y)xét hàm mờ cho : hàm mờ F gọi mở rộng Zadeh hàm thực f VI ỨNG DỤNG DEMO Ứng dụng từ lĩnh vực hệ thống lý luận Ứng dụng đưa định có mua hay khơng dựa vào điều kiện: trái giá rẻ Ứng dụng thứa hai từ lĩnh vực điều tiết nhiệt độ hệ thống dựa vào nhiệt độ môi trường Cả ứng dụng chương trình, chuyển đổi qua lại VII TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài giảng TS Dương Tôn Đảm, Lý thuyết tập mờ Bài giảng TS Dương Tôn Đảm, Các phép tốn tập mờ Bài giảng TS Dương Tơn Đảm, Quan hệ mờ số mờ CH1301106-Phan Hữu Phước Trang 18 ... rộng để áp dụng cho việc xác định giao hai tập mờ không cách đưa hai tập mờ chung tập tập tích hai tập cho Chẳng hạn cho tập mờ A (định nghĩa tập M), tập mờ B (định nghĩa tập N) Hai tập M N độc... hai tập mờ không Các công thức (2.1) (2.5) mở rộng để áp dụng cho việc xác định hợp hai tập mờ không cách đưa hai tập mờ chung tập tích hai tập cho Chẳng hạn cho tập mờ A (định nghĩa tập M) ,và tập. .. niệm phép bù tập mờ Định nghĩa tập bù tập mờ CH1301106-Phan Hữu Phước Trang 10 Tốn học cho Khoa học máy tính GVHD: TS Dương Tôn Đảm Tập bù tập mờ A định nghĩa X môt tâp mờ �^� xác định tập X với