25/08/2014 GVC, ThS.Võ Minh Đức 1 TOÁN RỜI RẠC CH1: Hãy cho một ví dụ về định nghĩa đệ quy? 1. Định nghĩa giai thừa của n: n! = n * (n-1)! 2. Lũy thừa nguyên của một số: a n = a * a n-1 CH2: Có thể ĐN hai khái niệm trên không dùng đệ quy được không? 25/08/2014 GVC, ThS.Võ Minh Đức 2 TOÁN RỜI RẠC CH1: Đọc giá trị của dãy số gồm các giai thừa của một số, bắt đầu từ 0: 0, 1, 2, 6, 12, 20, ,n! a 1 , a 2 , a 3 , a 4 …a n 25/08/2014 GVC, ThS.Võ Minh Đức 3 TOÁN RỜI RẠC 1. Định nghĩa 1: Hệ thức truy hồi đối với dãy số {a n } là công thức biểu diễn a n qua một hay nhiều số hạng đi trước của dãy. Dãy số được gọi là lời giải hay nghiệm của hệ thức truy hồi nếu các số hạng của nó thỏa mãn hệ thức truy hồi này. V. Hệ thức truy hồi 25/08/2014 GVC, ThS.Võ Minh Đức 4 CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1(Lãi kép): Giả sử một người gửi 10.000 đô la vào tài khoản của mình tại một ngân hàng với lãi suất kép 11% mỗi năm. Sau 30 năm anh ta có bao nhiêu tiền trong tài khoản của mình? TOÁN RỜI RẠC V. Hệ thức truy hồi 25/08/2014 GVC, ThS.Võ Minh Đức 5 GIẢI Gọi P n là tổng số tiền có trong tài khoản sau n năm. Vì số tiền có trong tài khoản sau n năm bằng số có sau n − 1 năm cộng lãi suất của năm thứ n, nên ta thấy dãy {P n } thoả mãn hệ thức truy hồi sau: P n = P n-1 + 0,11P n-1 = (1,11)P n-1 với điều kiện đầu P 0 = 10.000 đô la. Từ đó suy ra P n = (1,11) n .10.000. Thay n = 30 cho ta P 30 = 228922,97 đô la. TOÁN RỜI RẠC V. Hệ thức truy hồi 25/08/2014 GVC, ThS.Võ Minh Đức 6 VÍ DỤ 2 Tìm hệ thức truy hồi và cho điều kiện đầu để tính số các xâu nhị phân độ dài n và không có hai số 0 liên tiếp. Có bao nhiêu xâu nhị phân như thế có độ dài bằng 5? TOÁN RỜI RẠC V. Hệ thức truy hồi 25/08/2014 GVC, ThS.Võ Minh Đức 7 GIẢI Gọi a n là số các xâu nhị phân (np) độ dài n và không có hai số 0 liên tiếp. Ta có: Số các xâu np độ dài n và không có hai số 0 liên tiếp (a n ) = số các xâu np như thế kết thúc bằng số 1 (b n ) + số các xâu np như thế kết thúc bằng số 0 (c n ). Vậy a n = b n + c n (1) TOÁN RỜI RẠC V. Hệ thức truy hồi 25/08/2014 GVC, ThS.Võ Minh Đức 8 GIẢI Giả sử n ≥ 3. * b n chính là số xâu np như thế, độ dài n − 1 và thêm số 1 vào cuối của chúng. Hỏi có tất cả là bao nhiêu xâu? * c n là số các xâu np có bit thứ n − 1 bằng 1, nếu không thì chúng có hai số 0 ở hai bit cuối cùng. Hỏi có tất cả là bao nhiêu xâu như thế ? có tất cả là a n-1 xâu. Vậy b n = ? có tất cả là a n-2 xâu. Vậy c n = ? TOÁN RỜI RẠC V. Hệ thức truy hồi 25/08/2014 GVC, ThS.Võ Minh Đức 9 GIẢI Vậy: a n = a n-1 + a n-2 với n ≥ 3. • n = 1 ta có 2 xâu: 0, 1. Vậy: a 1 = 2 • n = 2, ta có 3 xâu: ???. Vậy a 2 = 3 Khi đó a 5 = a 4 + a 3 = a 3 + a 2 + a 3 = 2(a 2 + a 1 ) + a 2 = 13. TOÁN RỜI RẠC V. Hệ thức truy hồi 25/08/2014 GVC, ThS.Võ Minh Đức 10 2. Giải các hệ thức truy hồi. Định nghĩa 2: Một hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất bậc k là hệ thức truy hồi có dạng: a n = c 1 a n-1 + c 2 a n-2 + + c k a n-k trong đó c 1 , c 2 , , c k là các số thực và c k ≠ 0. TOÁN RỜI RẠC V. Hệ thức truy hồi [...]... hợp lời giải từ a bài toán con để có lời giải bài toán End; trị End; 25/08/2014 GVC, ThS .V Minh Đức 22 V DỤ BÀI TOÁN tìm kiếm nhị phân -> thuật toán BÀI TOÁN nhân hai số nguyên -> thuật toán (v nhà đọc sách tr.84) Các thuật toán này gọi là các thuật toán chia để trị VI Quan hệ chia để trị 25/08/2014 GVC, ThS .V Minh Đức 23 Khái niệm Ô lớn Giả sử f(n) v g(n) là hai hàm số xác định trên tập các số... các bài toán con hệ chia để trị 25/08/2014 V n đề đặt ra là giải các bài toán con như thế nào? Đó chính là V n đề trung tâm của bài toán GVC, ThS .V Minh Đức 21 Procedure Chia_tri(n); Begin If n< n0 then giai truc tiep bai toan Else Begin VI Quan Chia bài toán thành a bài toán con có kích thước n/b For (mỗi bài toán trong a bài toán con) do hệ chia chia_tri(n/b); để Tổng hợp lời giải từ a bài toán. .. v dụ một hệ thức không phải là hệ thức truy hồi? a0 = 3; a1 = 10 hồi 2 an = an-1 + (an-4) 25/08/2014 GVC, ThS .V Minh Đức 12 n an = r , (r là hằng số) là nghiệm của hệ thức truy hồi 2 Giải các hệ thức truy an = c1an-1 + c2an-2 + + ckan-k n n-1 n-2 n-k  r = c1r + c2r + + ckr k k-1 k-2 Hay r − c1r − c2r −…− ck-1r – ck = 0 hồi 25/08/2014 GVC, ThS .V Minh Đức 13 Phương trình: 2 Giải các hệ k k-1 k-2... 25/08/2014 GVC, ThS .V Minh Đức 17 V dụ Tìm công thức hiển của các số Fibonacci Do đó các số Fibonacci được cho bởi công thức hiển sau: 2 Giải các hệ 5 1+ 5 n 5 1− 5 n an = ( ) − ( ) 5 2 5 2 thức truy hồi 25/08/2014 GVC, ThS .V Minh Đức 18 Hãy tìm nghiệm của hệ thức truy hồi an = 6an-1 - 11an-2 + 6an-3 v i điều kiện ban đầu a0 = 2, a1 = 5 v a2 = 15 2 Giải các hệ thức truy hồi 25/08/2014 GVC, ThS .V Minh Đức. .. ThS .V Minh Đức 19 VI QUAN HỆ CHIA ĐỂ TRỊ Chơi trò chơi đoán số: 1 2 Em hãy nghĩ trong đầu một số lớn hơn 100 v nhỏ hơn 200 (gọi SV) Số em nghĩ là 150 (nhỏ hơn hoặc lớn hơn) … Đây chính là bài toán chia để trị 25/08/2014 GVC, ThS .V Minh Đức 20 Khái niệm    VI Quan Chia: Chia bài toán cần giải thành nhiều bài toán con độc lập Trị: Giải các bài toán con Tổng hợp: Xây dựng lời giải bài toán từ lời giải... trình: 2 Giải các hệ k k-1 k-2 r - c1r - c2r - Ck-1r - ck = 0 được gọi là phương trình đặc trưng của hệ thức truy hồi an = c1an-1 thức truy + c2an-2 + + ckan-k, nghiệm của nó gọi là nghiệm đặc trưng của hồi hệ thức truy hồi 25/08/2014 GVC, ThS .V Minh Đức 14 Mệnh đề Cho c1, c2, , ck là các số thực Giả sử rằng phương trình đặc trưng: k k-1 k-2 r - c1r - c2r - ck-1r - ck = 0 2 Giải các hệ thức truy... Nếu tồn tại số nguyên dương n0 v hằng số C sao cho: F(n) n0 ∀ Thì ta nói hàm f(n) cùng bậc v i g(n) v vi t là: F(n) = O(g(n)) (đọc là “f(n) là Ô lớn của g(n)”) để trị 25/08/2014 GVC, ThS .V Minh Đức 24 Định lý Giả sử f là một hàm tăng thỏa mãn hệ thức truy hồi f(n)= af(n/b)+c, v i mọi n chia hết cho b v i a, b là các số nguyên v a>=1, b>1, VI Quan c là số thực dương Khi... đó: hệ chia  O(n ) f (n) =  O (log n ) b  a logb để trị 25/08/2014 GVC, ThS .V Minh Đức nêu a >1 nêu a =1 25 Bài toán Giả sử f là một hàm tăng thỏa mãn hệ thức truy hồi f(n)= 5f(n/2)+3, k hãy tìm f(2 ), trong đó k là số nguyên dương v đánh giá f(n) VI Quan hệ chia f ( n) = O ( n để a log b ) = O(n trị 25/08/2014 GVC, ThS .V Minh Đức 26 log 5 2 ) ... tuyến tính v v phải của nó là tổng các tích của các số hạng 2 Giải trước nhân v i một hệ số các hệ Là thuần nhất v các số hạng đều là ai v hệ số đều là hằng số thức truy Có bậc k v an được biểu diễn qua k số hạng đứng trước nó hồi 25/08/2014 GVC, ThS .V Minh Đức 11 Hệ thức truy hồi Pn = (1,11)Pn-1 là tuyến tính bậc nhất 2 Giải an = an-1+ an-2 là tuyến tính thuần nhất bậc 2 các hệ an = an-5 là tuyến... r1, r2, , rk Khi đó dãy {an} là nghiệm của hệ thức truy hồi an = c1an-1 + c2an-2 + + ckan-k khi v chỉ khi hồi n n n an = α1r1 + α2r2 + + αkrk , v i n = 1, 2, trong đó α1, α2, , αk là các hằng số 25/08/2014 GVC, ThS .V Minh Đức 15 V dụ Tìm công thức hiển của các số Fibonacci Dãy số Fibonacci thỏa mãn hệ thức: an = an-1 + an-2 (v i đk đầu a0 = 0, a1 = 1) 2 Giải k = 2, c1 = 1, c2 = 1 các hệ 2 Phương . ? có tất cả là a n-1 xâu. V y b n = ? có tất cả là a n-2 xâu. V y c n = ? TOÁN RỜI RẠC V. Hệ thức truy hồi 25/08/2014 GVC, ThS .V Minh Đức 9 GIẢI V y: a n = a n-1 + a n-2 v i n ≥ 3. • n. không? 25/08/2014 GVC, ThS .V Minh Đức 2 TOÁN RỜI RẠC CH1: Đọc giá trị của dãy số gồm các giai thừa của một số, bắt đầu từ 0: 0, 1, 2, 6, 12, 20, ,n! a 1 , a 2 , a 3 , a 4 …a n 25/08/2014 GVC, ThS .V Minh Đức 3 TOÁN. c 2 a n-2 + + c k a n-k  r n = c 1 r n-1 + c 2 r n-2 + + c k r n-k Hay r k − c 1 r k-1 − c 2 r k-2 −…− c k-1 r – c k = 0. 2. Giải các hệ thức truy hồi. 25/08/2014 GVC, ThS .V Minh Đức 14 Phương