Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đ ại số và Giải tích 11 Chuyên đề: HÀM SỐ LIÊN TỤC I- LÝ THUYẾT: 1. Hàm s ố liên tục tại một điểm , trên m ột khoảng: o Cho hàm số y f ( x ) xác định trên khoảng   a;b . Hàm số được gọi là liên tục tại điểm ( ) 0 ; x a bÎ nếu:     0 0 x x f x f x lim       . (Điểm 0 x tại đó y f ( x ) không liên tục gọi là điểm gián đoạn của hàm số) Hoặc: Hàm s ố y f ( x ) xác định trên khoảng (a;b), liên tục tại điểm   0 x a;b :       0 0 0 x x x x f x f x f x lim lim               . o Hàm s ố  y f ( x ) xác định trên khoảng   a;b được gọi là liên tục trên khoảng   a;b nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó . o Hàm s ố y f ( x ) xác định trên khoảng   a;b được gọi là liên tục trên đoạn   a;b nếu :   ( ) ; ( ) ( ) ( ) ( ) x a x b f x a b f x f a f x f b liªn tôc trªn lim lim                    2. Một số định lý về hàm số liên tục: o Đ ịnh lý 1:                 0 0 0 NÕu vµ liªn tôc t¹i th×: ; ; còng liªn tôc t¹i   f x f ( x ) g( x ) x f x g x f x .g x g x g x x o Đinh lý 2: Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng. o Định lý 3: N ếu hàm s ố y f ( x ) liên tục trên đoạn   a;b thì đạt GTLN, GTNN và mọi giá tr ị trung giữa GTLN và GTNN trên đoạn đó. · H ệ quả: Nếu nế u hàm s ố y f ( x ) liên tục trên đoạn   a;b và 0f ( a ).f ( b ) thì tồn tại ít nhất một   0sè  c a;b : f ( c ) . 3. M ột số thuật toán cần lưu ý: a. Xét (tìm đ i ều ki ện tham s ố ) s ự li ên t ục c ủa h àm s ố t ại đ i ểm 0 x : Bư ớc 1: Tính   0 f x . Tính (hoặc xác định sự tồn tại) giới hạn   0 x x f x lim      Bư ớc 2: So sánh   0 f x và   0      x x lim f x đ ể đư a ra k ết lu ận           0 0 0 0 o o x x x x x x f x f x x f x f x f x lim Hµm sè liªn tôc t¹i lim lim                            Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đ ại số và Giải tích 11 b. Ch ứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b). o C hứng tỏ h àm s ố y f ( x ) liên tục trên đoạn   a;b o Chứng tỏ 0f ( a ).f ( b ) . Khi đó 0f ( x ) c ó ít nhất một nghiệm thuộc   a;b . · Muốn chứng minh : 0f ( x ) có n nghi ệm phân biệt thì ta tìm n khoảng rời nhau và trên mỗi khoảng đó 0 f ( x ) đều có nghiệm. II - LUY ỆN T ẬP : Bài t ập 1: Xét s ự li ên t ục c ủa h àm s ố t ại đ i ểm 0 x đ ã ch ỉ ra: 1) f(x) = 2 9 3 3 6 3 x khi x x khi x              t ạ i 0 3x = 2)   2 3 2 2 7 5 2 3 2 1 2 x x x x f x x x x khi khi                  t ạ i 0 2x = 3)   3 3 2 1 1 1 khi 4 khi 3                      x x x x f x x t ạ i 0 1x = - 4)   1 2 3 2 2 2 khi 1 khi                x x f x x x t ạ i 0 2x = 5)   3 3 2 2 2 2 2 khi 3 khi 4                    x x x f x x t ạ i 0 2x = 6)   2 4 5 3 4 khi 3 khi 2                    x x x f x x t ạ i 0 4x = 7) ( ) 2 4 2 2 1 2 x x f x x x ì + < = í + ³ î khi khi t ạ i 0 2 x = 8) ( ) 4 2 1 1 3 2 1 x x x f x x x ì + - £ - = í + > - î khi khi t ạ i 0 1 x = - 9) ( ) 2 0 1 0 x x f x x x ì < = í - ³ î khi khi t ạ i 0 0 x = 10) ( ) 5 5 2 1 3 5 x x x f x x - ì > ï ï - - = í ï £ ï î khi 3 khi 2 t ạ i 0 5 x = Bài t ập 2: Tìm a đ ể hàm số liên tục tại 0 x đã chỉ ra: 1)   3 2 1 1 1 1 x x f x x a x khi khi                 t ạ i 0 1x = 2) f(x) = 2 2 2 2 4 2 x x x a x ì + - ï ¹ í - ï = î khi khi t ạ i 0 2x = 3 ) ( ) 2 3 2 1 1 4 2 x x x x f x x x x ì - + < ï ï - = í - ï + ³ ï + î khi a khi 1 t ạ i 0 1x = 4)   3 3 2 2 2 2 1 4 khi khi 2                     x x x f x ax x t ạ i 0 2x = B ài t ập 4: Tìm a để hàm số liên tục trên  : 1) ( ) 2 1 2 3 1 x x f x ax x ì < = í - ³ î khi khi 2) ( ) ( ) 2 2 2 2 a x x f x a x x ì £ = í - > î khi 1 khi 3) ( ) 2 4 2 2 2 x x f x x a x ì - ï ¹ = í - ï = î khi khi 4) 2 1 ( ) 3 3 x x f x ax b x x x ì < ï = + £ £ í ï - > î khi khi 1 4 khi Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đ ại số và Giải tích 11 5) 2sin 2 ( ) sin cos x x f x a x b x x x p p p p ì - < - ï ï ï = + - £ £ í ï ï > ï î khi khi 2 2 khi 2 6)           2 6 3 3 0 3 x x x x x f x a x b x 2 x 0                          Bài t ập 5 : Ch ứn g minh các ph ươ ng trình sau có nghi ệm tho ả yêu c ầu đề ra:     4 2 3 2 3 0 1 1 6 1 0 2 2 1 0 2 2 x x x ; . x x ; . x x cos x x cos x s a) 4 cã Ýt nhÊt 2 nghiÖm ph©n biÖt trªn b) 2 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt trªn c) sin cã nghiÖm. d) cã nghiÖm. e)                   5 4 5 3 3 2 6 3 5 2 0 2 5 5 4 1 0 2 3 6 1 2 0 in x ; x x x ; . x x x ; ) x x cã Ýt nhÊt 2 nghiÖm trªn f) cã Ýt nhÊt 3 nghiÖm ph©n biÖt trªn g) cã Ýt nhÊt 3 nghiÖm ph©n biÖt trªn h cã nghiÖm d¬ng. p p                           M ỘT SỐ BÀI TẬP CHỌN LỌC: Bài tập 1: Giả sử hai hàm số   y f x và 1 2             y f x đều liên tục trên   0 1; và 0 1f ( ) f ( ) . Chứng minh rằng phương trình 1 0 2              f ( x ) f x luôn có nghiệm trong đoạn 1 0 2         ; . Gợi ý: Đặt hàm số 1 2              g( x ) f ( x ) f x liên tục trên   0 1; . Ta có: 1 1 1 1 0 0 1 0 2 2 2 2                                               g( ) f ( ) f ; g f f ( ) f f ( ) Suy ra: 2 1 1 1 0 0 0 0 2 2 2 1 0 0 2 0 1 0 0 1 2 2                                                                                       g( ).g f ( ) f x ; g( ).g ycbt x g( ).g x Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đ ại số và Giải tích 11 Bài tập 2: Chứng minh rằng nếu: 2 3 6 0  a b c thì phương trình: 2 0   ax bx c có ít nhất một nghiệm trên   0 1 ; . Gợi ý: Trường hợp1: 0a . Ta có:     2 2 2 4 2 0 3 9 3 2 0 4 6 9 2 2 3 6 3 0 3 9 9 3 2 0 0 3 2 3 0 2 2 2 0 0 0 0 0 3 3 3 vµ                                                                                     a b f ( ) c f c c c c f ( ).f a b c ( a b c ) c f ( ).f ycbt a b f ( ).f c x ; ax bx           Trư ờng hợp 2: 0a . Ta có:  0 3 6 0     bx c b c * Nêu 0 0 th×  b c và do đó phương trình có vô số nghiệm suy ra phương trình có nghiệm trên   0 1; . * N ếu 0b :   0 1 0 1 2     b x ; c Bài t ập 3: Cho hàm số     0 1 0 1  y f ( x ) : f : ; ; và liên t ục. Chứng minh rằng tồn tại   0 1 c ; sao cho: f ( c ) c . Gợi ý: Đặt hàm số  g( x ) f ( x ) x liên t ục trên   0 1;     0 1 0 1 0 1 0 1 Lu ý:      f : ; ; x f ( x ) Ta có: 0 0 0 1 1 1 0     g( ) f ( ) ; g( ) f ( ) do   0 1 0 1 ,   f ( x ) x ; Lúc đó :   0 1 0 , 0;1  g( ).g( ) x Bài tập 4: Cho hàm số y f ( x ) liên tục trên đoạn   1 1 ; . Chứng minh rằng với mọi 0 a, b cho trước, phương trình: 1 1    af ( ) bf ( ) f ( x ) a b luôn có nghiệm thuộc   1 1 ; . Gợi ý: Đặt 1 1     af ( ) bf ( ) h( x ) f ( x ) a b liên t ục trên   1 1  ; . Ta có:       2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0                               a f ( ) f ( ) af ( ) bf ( ) h( ) f ( ) ; a b a b b f ( ) f ( ) af ( ) bf ( ) h( ) f ( ) a b a b ab f ( ) f ( ) h( ).h( ) , a,b a b Chuyờn GII HN CA HM S V S LIấN TC i s v Gii tớch 11 Bi tp 5: Cho ph ng trỡnh: 2 0 ax bx c 0ac . Bi t r ng 2 6 19 0 a b c . Ch n g minh ph ng trỡnh cú nghim trờn 0 1; . G i ý: Xột d u 1 0 3 f ( ).f Bi tp 6: Cho ph ng tr ỡnh: 3 2 0 ax bx cx c 0ac . Bi t r ng 0 12 9 2 a b c . Ch n g minh ph ng tr ỡnh cú nghi m trờn 0 1 ; . Gi ý: Xột d u 3 0 4 f ( ).f Bi t p 7: Cho ph ng trỡnh: 2 0 ax bx c 0ac . Bi t r ng 0 2001 2000 1999 a b c . Ch n g minh ph ng trỡnh cú nghim trờn 0 1; . Gi ý: X ột d u 2000 0 2001 f ( ).f Bi tp 8: Cho ph ng trỡnh: 4 2 0 (*)x x . Ch ng minh ph ng trỡnh (*) cú nghi m 0 1 2x ; v 7 0 8x . Gi ý: Xộ t d u 1 2 f ( ).f ( ) . Ch n g minh 7 0 8x : 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 2 2 2 1 2 2 2 (1) áp dụng bất đẳng thức Cauchy: (2) Dấu bằng xãy ra khi , vậy với thì dấu bằng ở (2) không xãy ra. Vậy ta có: (3) Từ (1) và (3) suy ra: x x x x . x x x x ; x x 4 8 7 0 0 0 0 0 7 2 8 8 8 2 0 Cách khác: Hoặc có thể chỉ rõ: x x x x x f ( ).f ( ) Bi tp 9 : Cho ph ng tr ỡnh: 6 1 0 x x (*) . Ch ng minh ph ng tr ỡnh (*) cú nghi m 0 1 2x ; v 13 0 4x . Bi tp 10: Ch n g minh c ỏc ph ng tr ỡnh sau õ y lu ụn cú nghi m v i b t k gi ỏ tr n o c a tham s m : 3 0 1 2 2 3 0a) cos cos2 = b) x m x m( x ) ( x ) x Gi ý: 3 1 3 1 4 4 2 2 3 1 0 4 4 2 1 2 2 3 1 5 2 1 a) Đặt cos cos2 Ta có: và Suy ra: b) Đặt Ta có: và p p p p f ( x ) x m x. f f f .f f ( x ) m( x ) ( x ) x . f ( ) f ( ) 1 2 1 0 Suy ra: f .f Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đ ại số và Giải tích 11 Bài t ập 11: Ch ứn g minh c ác ph ươ ng tr ình sau đâ y lu ôn có nghi ệm v ới m ọi gi á tr ị c ủa tham s ố :   2 4 2 7 3 1 2 2 0 16 6 0 1 2 2 3 0 2 2 2 5 1 a) b) c) d)                  m m x x m( x ) x ( x ) m( x )( x ) ( x )x m( cos x ) sin x Bài tập 12: Ch ứn g minh v ới m ọi a, b, c các ph ươ ng trình sau đâ y luôn có nghi ệm : 0 0 a) b)                   a( x b )( x c ) b( x c )( x a ) c( x a )( x b ) ab( x a )( x b ) ac( x c )( x a ) bc( x b )( x c ) Gợi ý: 2 0 3 0 3 a) §Æt Ta cã liªn tôc trªn R vµ:                                  f ( x ) a( x b )( x c ) b( x c )( x a ) c( x a )( x b ) f ( x ) f ( a ) a( a b )( a c ) f ( b ) b(b c )(b a ) f ( c ) c( c b )( c a ) f ( ) abc f ( ) f ( a ) f (b ) f ( c ) a   2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 hoÆc Tån t¹i sao cho (®pcm)          b c ( a b ) (b c ) ( c a ) f ( a )f ( b ) f ( ) f (c ) x f x Bài tập 13: a) Ch ứn g minh r ằng ph ươ ng tr ình: 3 2 1 1000 0 100   x x có ít nh ất m ột nghi ệm d ươ ng. b) Ch ứng minh r ằng v ới m ọi s ố th ực a, b, c ph ươ ng tr ình: 3 2 0   x ax bx c có ít nh ất m ột nghi ệm Gợi ý:     3 2 1 1000 100 1 0 0 0 0 100 0 0 x x x f ( x ) x x f ( ) f ( x ) M f M f ( ).f M f ( x ) a, b, c R f ( x ) a) §Æt liªn tôc trªn R Ta cã: vµ lim suy ra víi sè tuú ý th× Lóc ®ã: lim b) , lim                               0 0 0 0 0 x x f ( x ) A f ( A ) f ( x ) B f ( B ) f ( A ).f ( B ) ycbt Do lim nªn tån t¹i tuú ý sao cho: T¬ng tù: lim nªn tån t¹i tuú ý sao cho: Tõ ®ã suy ra:             . HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đ ại số và Giải tích 11 Chuyên đề: HÀM SỐ LIÊN TỤC I- LÝ THUYẾT: 1. Hàm s ố liên tục tại một điểm , trên m ột khoảng: o Cho hàm số y f.   a;b . Hàm số được gọi là liên tục tại điểm ( ) 0 ; x a bÎ nếu:     0 0 x x f x f x lim       . (Điểm 0 x tại đó y f ( x ) không liên tục gọi là điểm gián đoạn của hàm số) . g x g x x o Đinh lý 2: Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng. o Định lý 3: N ếu hàm s ố y f ( x ) liên tục trên đoạn   a;b thì đạt