I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG SỬ DỤNG    Các hằng đẳng thức lượng giác: 2 2 2 2 2 2 sin cos 1 1 1 tan cos 1 1 cot sin tan .cot 1 x x x x x x x x + = = + = + =    Công thức góc nhân đôi: 2 2 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin sin2 2sin .cos x x x x x x x x = − = − = − =    Công thức hạ bậc hai: 2 2 1 cos2 cos 2 1 cos2 sin 2 x x x x + = − =    Công thức cộng: ( ) ( ) sin sin .cos sin .cos cos cos .cos sin .sin a b a b b a a b a b a b ± = ± ± = ∓ (Sin thì cùng dấu khác loài, Cos thì khác dấu nhưng loài giống nhau)  Chú ý: - Trong trường hợp a = b ta được công thức góc nhân đôi: 2 2 2 2 sin 2 2sin .cos cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin a a a a a a a a =   = − = − = −  - Trong trường hợp 2a = b ta được công thức góc nhân ba: 3 3 sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos a a a a a a  = −   = −      Công thức biến đổi tích thành tổng: [ ] [ ] [ ] 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b = + + − = − − + = + + −  Chú ý: ( ) ( ) sin sin cos cos x x x x  − = −   − =   07. NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P1    Công thức biến đổi tổng thành tích: sin sin 2sin .cos 2 2 sin sin 2cos .cos 2 2 cos cos 2cos .cos 2 2 cos cos 2sin .sin 2 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b + − + = + − − = + − + = + − − = −    Công thức biến tính theo 2 2 2 2 2 sin sin 2 1 tan tan 2 cos 1 1 cos 1  =  +  = ⇒ ⇒ = =  − −  =  +  t x x x t t t x x t t x t    Một số các công thức cần nhớ nhanh 3 3 sin cos (sin cos )(1 sin .cos )+ = + − x x x x x x ; 3 3 sin cos (sin cos )(1 sin .cos )− = − + x x x x x x 4 4 2 2 2 1 3 1 sin cos 1 2sin .cos 1 sin 2 cos4 2 4 4 + = − = − = + x x x x x x 6 6 2 2 2 3 5 3 sin cos 1 3sin .cos 1 sin 2 cos4 4 8 8 + = − = − = + x x x x x x π π sin cos 2sin 2 cos 4 4     + = + = −         x x x x ; π π sin cos 2sin 2 cos 4 4     − = − = − +         x x x x cos( ) 1 tan .tan cos .cos − + = a b a b a b ; 2 tan cot sin 2 + =x x x II. CÁC NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG SỬ DỤNG  1 sin cos I xdx x C = = − + ∫  ( ) ( ) 8 2 1 tan cos dx I ax C ax a = = + ∫  ( ) ( ) 2 1 sin cos I ax dx ax C a = = − + ∫  9 2 cot sin dx I x C x = = − + ∫  3 cos sin I xdx x C = = + ∫  ( ) ( ) 10 2 1 cot sin dx I ax C ax a = = − + ∫  ( ) ( ) 4 1 cos sin I ax dx ax C a = = + ∫  11 sin tan ln cos cos xdx I xdx x C x = = = − + ∫ ∫  2 5 1 os2 sin 2 sin 2 2 4 c x x x I xdx dx C − = = = − + ∫ ∫  12 cos cot ln sin sin xdx I xdx x C x = = = + ∫ ∫  2 6 1 cos2 sin 2 cos 2 2 4 x x x I xdx dx C + = = = + + ∫ ∫  2 13 2 1 tan 1 tan cos I xdx dx x x C x   = = − = − +     ∫ ∫  7 2 tan cos dx I x C x = = + ∫  2 14 2 1 cot 1 cot sin I xdx dx x x C x   = = − = − − +     ∫ ∫ III. CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Dạng 1. Nguyên hàm dùng công thức lượng giác thuần túy Ví dụ 1: Tính các nguyên hàm sau: a) 2 1 sin 2 I xdx = ∫ b) 2 2 cos 4 I xdx = ∫ c) 2 4 3 cos .sin= ∫ I x xdx Hướng dẫn giải: a) ( ) 2 1 1 cos4 1 1 1 1 sin 2 1 cos4 sin4 sin 4 . 2 2 2 4 2 8 x x I xdx dx x dx x x C x C −   = = = − = − + = − +     ∫ ∫ ∫ b) ( ) 2 2 1 cos8 1 1 1 1 cos 4 1 cos8 sin8 sin8 . 2 2 2 8 2 16 x x I xdx dx x dx x x C x C +   = = = + = + + = + +     ∫ ∫ ∫ c) S ử d ụ ng liên ti ế p các công th ứ c h ạ b ậ c hai cho sin 2 x và cos 2 x ta đượ c: ( ) 2 2 2 2 4 2 2 1 cos2 1 cos2 1 cos2 1 cos2 1 cos2 1 cos 2 1 cos2 cos .sin cos . sin . . . 2 2 2 2 2 4 2 x x x x x x x x x x x + − + − − − −   = = = = =     ( ) 2 2 2 1 1 1 sin 2 . 1 cos2 sin 2 sin 2 .cos2 8 8 8 x x x x x = − = − Khi đó ( ) 2 4 2 2 2 3 1 1 1 1 cos4 1 cos .sin sin 2 sin 2 .cos2 sin 2 sin2 8 8 8 2 16 − = = − = − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x I x xdx xdx x xdx dx xd x 3 3 6 1 1 1 sin 2 1 1 1 sin 4 . sin 4 sin 2 . 16 64 16 3 16 64 48 x x x C I x x x C = − − + → = − − + Ví dụ 2: Tính các nguyên hàm sau: a) 7 sin3 .cos I x xdx = ∫ b) 8 cos2 .cos3 I x xdx = ∫ c) 9 sin3 sin dx I x x = + ∫ H ướ ng d ẫ n gi ả i: a) S ử d ụ ng công th ứ c bi ế n đổ i tích thành t ổ ng ta đượ c ( ) 1 sin3 .cos sin4 sin 2 2 x x x x = + T ừ đ ó ( ) ( ) 7 1 1 1 1 1 1 1 sin4 sin2 sin4 sin 2 os4 cos2 os4 cos2 . 2 2 2 4 2 8 4 I x x dx x x dx c x x C c x x C   = + = + = − − + = − − +     ∫ ∫ b) ( ) 8 1 1 1 1 1 cos2 .cos3 cos5 cos sin5 sin sin5 sin . 2 2 5 10 2 I x xdx x x dx x x C x x C   = = + = + + = + +     ∫ ∫ c) ( ) 9 2 2 2 2 2 1 sin 1 (cos ) sin3 sin 2sin2 .cos 4sin .cos 4 sin .cos 4 1 cos .cos dx dx dx xdx d x I x x x x x x x x x x = = = = = − + − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Đặt ( ) ( ) ( ) 2 2 9 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 cos 4 4 4 1 1 . 1 . t t dt dt dt x t I dt t t t t t t − +   = → = − = − = − +   − − −   ∫ ∫ ∫ ∫ Mà ( ) ( ) ( )( ) 1 2 9 2 2 1 1 1 1 1 ln . 1 1 1 1 1 1 4 2 1 ln 1 2 1 1 2 1 1 2 1 dt C t t t I C t t dt dt dt t t t dt C t t t t t t = − +   + → = − − + +   − + + +   −   = = + = +   − − + + − −   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Thay t = cosx vào ta đượ c 9 1 1 1 1 cos ln . 4 cos 2 1 cos x I C x x   + = − − + +   −   Ví dụ 3: Tính các nguyên hàm sau: a) 1 sin .sin 2 .cos5= ∫ I x x xdx b) 2 sin3 .cos4 tan 2 cot 2 = + ∫ x x I dx x x c) 3 3 sin 3sin4 sin6 3sin 2 = − − ∫ x I dx x x x Ví dụ 4: Tính các nguyên hàm sau: a) 3 1 cos .cos3= ∫ I x xdx b) 2 2 cos .cos2= ∫ I x xdx c) 4 4 6 6 3 (sin cos )(sin cos )= + + ∫ I x x x x dx Ví dụ 5: Tính các nguyên hàm sau: a) 1 sin cos2= ∫ I x xdx b) 2 sin3 cos= ∫ I x xdx c) 2 2 3 (2sin sin .cos cos )= − − ∫ I x x x x dx .  = → = − = − = − +   − − −   ∫ ∫ ∫ ∫ Mà ( ) ( ) ( )( ) 1 2 9 2 2 1 1 1 1 1 ln . 1 1 1 1 1 1 4 2 1 ln 1 2 1 1 2 1 1 2 1 dt C t t t I C t t dt dt dt t t t dt C t t t t t t = − +   + →. 2 2 2 3 1 1 1 1 cos4 1 cos .sin sin 2 sin 2 .cos2 sin 2 sin2 8 8 8 2 16 − = = − = − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x I x xdx xdx x xdx dx xd x 3 3 6 1 1 1 sin 2 1 1 1 sin 4 . sin 4 sin 2 . 16 64 16 3 16 64 48 x x. 2 14 2 1 cot 1 cot sin I xdx dx x x C x   = = − = − − +     ∫ ∫ III. CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Dạng 1. Nguyên hàm dùng công thức lượng giác thuần túy Ví dụ 1: Tính các nguyên