KHAI TRIỂN TAYLOR Công thức khai triển Taylor với phần dư Lagrange               2 00 0 0 0 () 0 0 () 1! 2! !            n n n f x f x f x f x x x x fx xx n R x f có đạo hàm cấp n+1 trong (a, b) chứa x 0 :     ( 1) 1 0 , ( 1)! n n n fc xx n R     (khai triển Taylor đến cấp n trong lân cận x 0 ) c nằm giữa x và x 0 Công thức khai triển Taylor với phần dư Peano                 2 00 0 0 0 () 0 0 0 () 1! 2! ! ()            n n n f x f x f x f x x x x x fx xx n o x x f có đạo hàm cấp n tại x 0 : Phần dư Peano. x 0 = 0: khai triển Maclaurin. Ý nghĩa của khai triển Taylor f(x): biểu thức phức tạp  cần tìm 1 hàm số đơn giản hơn và gần bằng f(x) để thuận tiện trong tính toán. Hàm đơn giản nhất là đa thức. f(x) = sinx ( ) ( )f x x o x f(x) = sinx 3 3 ( ) ( ) 3! x f x x o x   ( ) ( )f x x o x f(x) = sinx 3 3 ( ) ( ) 3! x f x x o x   ( ) ( )f x x o x 4 21 7 1 ( ) ( 1) ( ) (2 1)! n n n x f x o x n        f(x) = sinx Ví dụ 1. (khai triển f thành đa thức theo lũy thừa của (x – 1) đến (x – 1) 3 ) •Với phần dư Peano, chỉ cần tính đến đh cấp 3. •Với phần dư Lagrange, phải tính đến đh cấp 4. Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận x = 1 cho 1 ()fx x  (1) 1f 1 ()fx x  2 1 ()fx x   (1) 1f     3 2 ()fx x   (1) 2f   4 6 ()fx x   (1) 6f       2 33 (1) (1) ( ) (1) ( 1) ( 1) 1! 2! (1) ( 1) ( 1) 3! ff f x f x x f x o x             (4) 5 24 ()fx x  [...]... nhất trong khai triển của ex là x0  ln(1 + x) khai triển đến x3 Bậc thấp nhất trong khai triển của ln(1+x) là x1  ex khai triển đến x2    3 2 f ( x )  e x ln(1  x ) (0) khai triển cấp 3 (1) 2  x 2  f ( x )  1  x   o( x )  2!   2 3 x x 3 x   o( x ) 2 3  x 2 x3 3   x    o( x )  2 3   5 Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3, cấp 4 cho: f ( x )  sin x.ln(1  x ) 1 Khai triển cấp... 128 1 2 3  1 x  x  x  1 x  (1) x  o ( x ) n n n 4 Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho: f ( x )  e x ln(1  x ) 1 Khi tích các khai triển, chỉ giữ lại tất cả các lũy thừa từ bậc yêu cầu trở xuống và xếp thứ tự bậc từ thấp đến cao 2 Tính bậc trong khai triển cấp n cho tích f.g: Bậc thấp nhất trong khai triển của f là k g khai triển đến bậc (n – k) Và ngược lại e x 2 3  x x 1  x   ...    o( x )  3! 2 3     3 4 x x 2 3 x    o( x ) 2 6 2 Khai triển cấp 3: 2 2 f ( x )  sin x.ln(1  x ) (1)  f (x)  x  o( x ) 2  (1)  x2 2   x   o( x )  2   x3  x 2   o( x 3 ) 2 7 Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho: f (x)  e x x2 Đặt u(x) = x – x2 thì u(0) = 0  khai triển Maclaurin của f theo u Khi khai triển u theo x, giữ lại tất cả những lũy thừa từ x3 trở xuống ...  ln 3   o   3 2 3  3   1 1 2 1 3  ln 3  u  u  u  o (u 3 ) 3 18 81 Nhớ trả về x 3 Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho: x2 f (x)  2 x  3x  4 x2 1 6 f (x)    ( x  1)( x  4) 5( x  1) 5( x  4) 1 1 6 1   5 x  1 20 1  x 4 Lưu ý: khi khai triển cho f+g, mỗi hàm phải khai triển đến bậc được yêu cầu 1 1 6 1 f (x)   5 x  1 20 1  x 4 1 2 3 3  1  x  x  x  o( x ) 5... cosh x  1 x 2n   o x 2n (2n)! x2 ,khi x  0 2    Ví dụ áp dụng 1 Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận x = 1 cho: 1 f (x)  x x0 = 1  0, đặt biến phụ : u = x – x0 = x – 1   1 2 3 3 f (x)   1 u  u  u  o u 1 u Trả về biến cũ:  f ( x )  1  ( x  1)  ( x  1) 2  ( x  1)3  o ( x  1)3  2 Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận x = 1 cho: f ( x )  ln( x  2) u= x–1 xn...  ( x  0)3  o ( x  0)3 3! x3 tan x  x   o ( x 3 ) 3   Ví dụ 3 Biết f(x) là đa thức bậc 3, với f(2) = 0, f’(2) = -1, f ”(2) = 4, f ’”(2) = 12, tìm f(1), f ’(1) Vì f(x) là đa thức bậc 3 nên f(4)(x) = 0  Khai triển Taylor của f đên cấp 3 không có phần dư f (2) f (2) 2 f (2) 3 f ( x )  f (2)  ( x  2)  ( x  2)  ( x  2) 1! 2! 3! f (2) f (2) 2 f (2) 3 f ( x )  f (2)  ( x  2)... 3  0  ( x  2)  ( x  2)  ( x  2) 1! 2! 3!  ( x  2)  2( x  2)  2( x  2) 2 3  f ( x )  1  4( x  2)  6( x  2) 2 Biết f(x) là đa thức bậc  f (1)  1, f (1)  1 3, với f(2) = 0, f’(2) = -1, f ”(2) = 4, f ’”(2) = 12, tìm f(1), f ’(1) Khai triển Maclaurin các hàm cơ bản (x0 = 0) 1 f ( x )  e x n e  f (0)   x k 1 f (k ) (x)  e n x f (k )  (0) k n ( x  0)  o ( x  0) k! f (k... 4  ( x  1)  5 4! c 5 c 4 Ví dụ 2 Viết khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho f(x) = tan x f ( x )  1  tan 2 x ( x )  2 tan x (1  tan 2 x ) f ( x )  2(1  tan 2 x )  6 tan 2 x (1  tan 2 x ) f f (0) f (0) 2 f ( x )  f (0)  ( x  0)  ( x  0) 1! 2! f (0)  ( x  0)3  o ( x  0)3 3! x3 tan x  x   o ( x 3 ) 3   Ví dụ 3 Biết f(x) là đa thức bậc 3, với f(2) = 0, f’(2) = -1, f ”(2)... x5 sin x  x    3! 5!  (1) x  o ( x ) n n n x 2n 1 n 1 2n 1  (1) o x (2n  1)!   hay  o  x  2n x2 x4 cos x  1    2! 4! x 2n n 2n  (1) o x (2n )!    hay  o  x  2n 1  Khai triển Maclaurin của arctan và hyperbolic x3 x5 sinh x  x    3! 5! x 2n 1   o x 2n 1 (2n  1)! x2 x4 cosh x  1    2! 4! x 2n 2n  o x (2n )!     Giống sinx, cosx nhưng không đan dấu... 2n 1 o x (2k  1)!   Lưu ý cho hàm sin x 2n sin x  f (0)   k 0 f (k )   (0) k 2n x o x k! f(2n)(0) = 0  hệ số của x2n là 0 n sin x   (1) k 1 k 1 2k 1   x 2n o x (2k  1)! Bảng công thức kt Maclaurin cơ bản 2 x x e  1   1! 2! x n x n   o( x ) n! x 2 x3 ln(1  x )  x    2 3  (1  x )  1   x  (  1) xn  (1)n 1  o( x n ) n x2  1! 2!  (  1) (  n  1) n n  x . KHAI TRIỂN TAYLOR Công thức khai triển Taylor với phần dư Lagrange               2 00 0 0 0 () 0 0 () 1!.    ( 1) 1 0 , ( 1)! n n n fc xx n R     (khai triển Taylor đến cấp n trong lân cận x 0 ) c nằm giữa x và x 0 Công thức khai triển Taylor với phần dư Peano             . 0: khai triển Maclaurin. Ý nghĩa của khai triển Taylor f(x): biểu thức phức tạp  cần tìm 1 hàm số đơn giản hơn và gần bằng f(x) để thuận tiện trong tính toán. Hàm đơn giản nhất là đa thức.