http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh Bài tập tự luyện Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy a Tìm điểm C thuộc đường thẳng x − y + = cho ∆ABC vuông C , biết A (1; −2) ,B (1; −3) b Cho tam giác ABC có A ( 3; ) phương trình hai đường trung tuyến BM : 3x + 4y − = 0,CN : 3x − 10y − 17 = Tính tọa độ điểm B, C c Cho tam giác ABC có A ( −3; ) phương trình hai đường phân giác BD : x − y − = 0,CE : x + 2y + 17 = Tính tọa độ điểm B, C d Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông cân A Xác định tọa độ đỉnh tam giác để đường thẳng AC qua điểm N ( 7; ) , M ( 2; −3 ) thuộc AB nằm ngồi AB , phương trình BC : x + 7y − 31 = e Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD có B ( 1; ) , đường cao AH : x + 2y − = 0, phân giác ACB có phương trình x − y − = Tìm tọa độ điểm A Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho điểm A ( −1;3) đường thẳng ( ∆ ) : x − 2y + = Người ta dựng hình vng ABCD cho điểm B C nằm đường thẳng ( ∆ ) tọa độ đỉnh C dương a Tìm tọa độ đỉnh B,C,D ; b Tìm chu vi diện tích hình vng ABCD Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, a Cho tam giác MNP có N ( 2; −1) , đường cao hạ từ M xuống NP có phương trình: 3x − 4y + 27 = đường phân giác đỉnh P có phương trình: x + 2y − = Viết phương trình cạnh chứa cạnh tam giác b Cho tam giác ABC có C ( 5; −3 ) phương trình đường cao AA' : x − y + = , đường trung tuyến BM : 2x + 5y − 13 = Tính tọa độ điểm A, B c Cho tam giác ABC có B ( 1; −3 ) phương trình đường cao AD : 2x − y + = , đường phân giác CE : x + y − = Tính tọa độ điểm A, C 549 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh d Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm E ( 1; −1) tâm hình vng, cạnh có phương trình x − 2y + 12 = Viết phương trình cạnh cịn lại hình vng e Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vng ABCD có chu vi , đỉnh A thuộc trục Ox ( A có hồnh độ dương) hai đỉnh B,C thuộc đường thẳng d : x − y + = Viết phương trình đường thẳng BD Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy,  2 a Cho tam giác ABC vng cân A có trọng tâm G  0;  Viết phương trình  3 1 1 chứa cạnh tam giác để I  ; −  trung điểm cạnh BC 2 2 b Cho tam giác ABC có M ( 2; ) trung điểm cạnh AB Đường trung tuyến đường cao qua đỉnh A có phương trình 7x − 2y − = 6x − y − = Viết phương trình đường thẳng AC c cho điểm C ( 2; −5 ) đường thẳng ∆ : 3x − 4y + = Tìm ∆ hai điểm A  5 B đối xứng qua I  2;  cho diện tích tam giác ABC bằng15  2 ? d Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12 , tâm I giao điểm đường thẳng ( d1 ) : x − y − = 0, ( d ) : x + y − = Trung điểm cạnh giao điểm ( d1 ) với trục Ox Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD e Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh AB : x − 2y − = , đường chéo BD : x − 7y + 14 = đường chéo AC qua điểm E ( 2;1) Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, a Cho tam giác ABC có cạnh theo thứ tự nằm đường thẳng : ( d1 ) : x + y − = , ( d2 ) : x − 4y + 14 = 0, ( d3 ) : 4x − y − 19 = Hãy xét hình dạng tam giác b Cho điểm A ( 2; ) hai đường thẳng: d1 : x + y − = 0, d : x + y − = Tìm tọa độ điểm B,C thuộc d1 ,d cho tam giác ABC vuông cân A 550 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh c Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có phương trình cạnh AB, AC là: x + 2y − = 2x + y + = , điểm M (1; ) thuộc đoạn BC Tìm tọa độ điểm D cho DB.DC có giá trị nhỏ d Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : x + y + 2x − 2y − 14 = có tâm I đường thẳng ( d ) : x + y + m = Tìm m để d cắt ( C ) hai điểm phân biệt A, B đồng thời diện tích tam giác IAB lớn e Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB, BD là: x − 2y + = x − 7y + 14 = , đường thẳng AC qua M ( 2; 1) Tìm toạ độ điểm N thuộc BD cho NA + NC nhỏ Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, a Cho tam giác ABC có A ( 4; −1) phương trình hai đường trung tuyến BB1 : 8x − y − = 0, CC1 : 14x − 13y − = Tính tọa độ điểm B, C  4 b Cho hình chữ nhật ABCD, với toạ độ đỉnh A ( 1;1) Gọi G  2;  trọng  3 tâm tam giác ABD Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình chữ nhật biết D nằm đường thẳng có phương trình: x − y − = c Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 22 Đường thẳng AB có phương trình 3x + 4y + = 0, đường thẳng BD có phương trình x + y − = Tìm tọa độ đỉnh A, B,C, D? d Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có M ( 4; ) trung điểm AB Giao điểm I hai đường chéo nằm đường thẳng ( d ) có phương trình 3x – 5y + = 0, điểm N ( 6; ) thuộc cạnh CD Hãy viết phương trình cạnh CD biết tung độ điểm I lớn Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề vuông góc Oxy, a Cho tam giác ABC có A ( 4; −1) , phương trình hai đường phân giác BE : x − = 0,CF : x − y − = Tính tọa độ điểm B, C b Cho tam giác ABC vuông C , biết A ( 3; ) , đỉnh C thuộc trục tung, điểm B nằm đường thẳng ∆ : 4x + 3y − 12 = Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC , biết diện tích tam giác ABC 551 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh c Cho hình bình hành ABCD có B ( 1; ) đường cao AH có phương trình x + 2y − = , với H thuộc BC, đường phân giác góc ACB có phương trình x − y − = Tìm tọa độ đỉnh A,C, D d Cho tam giác ABC với hai điểm A ( 2; −1) , B ( 1; −2 ) trọng tâm G nằm đường thẳng d : x + y − = Tìm tọa độ điểm C, biết diện tích tam giác ABC e Cho hình bình hành ABCD có D ( −6; −6 ) Đường trung trực đoạn DC có phương trình ( d ) : 2x + 3y + 17 = đường phân giác góc BAC có phương trình ( d' ) : 5x + y − = Xác định toạ độ đỉnh cịn lại hình bình hành Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, a Cho tam giác ABC có C ( −4; −5 ) phương trình đường cao AD : x + 2y − = , đường trung tuyến BB1 : 8x − y − = Tìm tọa độ điểm A, B b Cho hình thang vng ABCD, vng A D Phương trình AD x − y = Trung điểm M BC có tọa độ M (1;0 ) Biết BC = CD = 2AB Tìm tọa độ điểm A c Cho ∆ABC ,biết tọa độ điểm A ( 2; −3 ) B ( 3; −2 ) , diện tích tam giác ∆ABC trọng tâm G tam giác thuộc đường thẳng ∆ : 3x − y − = Tìm tọa độ điểm C d Cho tam giác ABC vuông A, biết B C đối xứng qua gốc tọa độ Đường phân giác góc ABC có phương trình là: x + 2y − = Tìm tọa độ đỉnh tam giác biết đường thẳng AC qua điểm K ( 6; ) e Cho tam giác ABC cân C có phương trình cạnh AB : x − 2y = , điểm  9 I ( 4; ) trung điểm AB , điểm M  4;  thuộc cạnh BC , diện tích tam giác  2 ABC 10 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết tung độ điểm B lớn Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, a Cho tam giác ABC có B ( 1; ) phương trình đường cao AD : x + 2y − = , đường phân giác CC1 : x − y − = Tính tọa độ điểm A, C 552 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh b Cho tam giác ABC vng cân A, phương trình BC : 2x − y − = 0, đường thẳng AC qua điểm M ( −1;1) , điểm A nẳm đường thẳng ∆ : x − 4y + = Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết đỉnh A có hồnh độ dương ( d1 ) : 2x − 3y − = ( d2 ) : 5x + 2y − 17 = Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm ( d1 ) c Cho đường thẳng có phương trình  AB  , ( d ) cắt tia Ox, Oy A B cho   đạt giá trị nhỏ S   ∆OAB  ( P ) : y = x2 + 2x − Xét hình bình hành ABCD A ( −1; −4 ) , B ( 2; ) thuộc ( P ) tâm I hình bình hành thuộc cung AB ( P ) cho tam giác IAB có diện tích lớn Hãy xác định tọa độ hai điểm d Cho parabol C, D e Cho tam giác ABC cân A, có đỉnh B C thuộc đường thẳng d1: x + y + = Đường cao qua đỉnh B d : x − 2y − = , điểm M ( 2;1) thuộc đường cao qua đỉnh C Viết phương trình cạnh bên tam giác ABC Hai đường cao xuất phát từ B C có phương trình: d1 : x − y + = 0, d : 2x + y − = Tìm f Cho tam giác ABC có A nằm Ox với < x A < tọa độ A, B, C cho diện tích tam giác ABC lớn Bài tập 10 Trong mặt phẳng toạ độ đề vuông góc Oxy, a Cho tam giác ABC có phương trình đường cao AD : 2x − y + = 0, BE : x + y − = , C thuộc đường thẳng d : x + y − = BC qua M ( 0; ) Tìm tọa độ đỉnh tam giác b Cho hình vng ABCD có phương trình đường thẳng AB : 2x + y − = 0, C, D thuộc đường thẳng d1 : 3x − y − = 0, d : x + y − = Tính diện tích hình vng c Cho hình bình hành ABCD có A ( 2;1) , đường chéo BD có phương trình x + 2y + = Điểm M nằm đường thẳng AD cho AM = AC Đường thẳng MC có phương trình x + y – = Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình bình hành ABCD 553 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh d Cho tam giác ABC vuông cân A Biết phương trình cạnh BC ( d ) : x + 7y − 31 = , điểm N ( 7; ) thuộc đường thẳng AC, điểm M ( 2; −3 ) thuộc AB nằm đoạn AB Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Bài tập 11 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, 4 1 a Cho tam giác ABC cân A có trọng tâm G  ;  , phương trình đường 3 3 thẳng BC : x − 2y − = phương trình đường thẳng BG : 7x − 4y − = Tìm tọa độ đỉnh A,B,C b Cho hình thang ABCD ( AB CD ) Biết hai đỉnh B ( 3; ) C ( 5; −3 ) Giao điểm I hai đường chéo nằm đường thẳng ∆ : 2x + y − = Xác định tọa độ đỉnh cịn lại hình thang ABCD để CI = 2BI, tam giác ACB có diện tích 12 , điểm I có hồnh độ dương điểm A có hồnh độ âm Bài tập 12 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, a Cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d : x − 4y − = , cạnh BC song song với d , phương trình đường cao BH : x + y + = trung điểm cạnh AC M ( 1;1) Tìm tọa độ đỉnh A,B,C b Cho hình thoi ABCD có phương trình hai cạnh AB AD theo thứ tự x + 2y − = 2x + y + = Cạnh BD chứa điểm M (1; ) Tìm tọa độ đỉnh hình thoi Bài tập 13 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, a Cho tam giác ABC cân A có đỉnh A ( 6; ) , đường thẳng qua trung điểm cạnh AB AC có phương trình x + y − = Tìm tọa độ đỉnh B C , biết điểm E ( 1; −3 ) nằm đường cao qua đỉnh C tam giác cho b Cho hai đường thẳng d1 : x − y − = 0, d : 2x + y − = Viết phương trình đường thẳng ∆ qua gốc tọa độ O cắt d1 , d A , B cho OA.OB = 10 Bài tập 14 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho tam giác ABC , biết C ( 4; ) đường phân giác trong, trung tuyến kẻ từ A có phương trình x + 2y − = 0, 4x + 13y − 10 = Tìm tọa độ điểm A, B 554 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh Bài tập 15 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A( −1; 4) đỉnh B, C thuộc đường thẳng ∆ : x − y − = Xác định toạ độ điểm B C , biết diện tích tam giác ABC 18 Bài tập 16 Trong mặt phẳng toạ độ đề vuông góc Oxy, cho tam giác ABC với A ( 2; −4 ) , B ( 0; −2 ) trọng tâm G thuộc đường thẳng d : 3x − y + = Hãy tìm tọa độ C , biết diện tích tam giác ABC Bài tập 17 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho tam giác ABC vng A , có đỉnh C( −4;1) , phân giác góc A có phương trình x + y − = Viết phương trình đường thẳng BC , biết diện tích tam giác ABC 24 đỉnh A có hồnh độ dương Bài tập 18 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho tam giác ABC có M ( 1; ) , N ( 4; −3 ) trung điểm AB, AC ; D ( 2; ) chân đường cao hạ từ A lên BC Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Bài tập 19 Trong mặt phẳng toạ độ đề vuông góc Oxy, cho tam giác ABC có M ( −2;2) trung điểm BC phương trình cạnh ( AB) : x − 2y − = 0, đỉnh ( AC ) :2x + 5y + = Hãy xác định tọa độ tam giác Bài tập 20 Trong mặt phẳng toạ độ đề vuông góc Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G ( −2; −1) phương trình cạnh ( AB) : 4x + y + 15 = 0, ( AC ) :2x + 5y + = Tìm tọa độ đỉnh A , trung điểm M BC , đỉnh B,C Bài tập 21 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho ∆ABC có B (3;5) , đường kẻ từ A có phương trình : 2x − 5y + = trung tuyến kẻ từ C có phương trình : x + y − = Tìm tọa độ đỉnh A , trung điểm M ∈ AB Bài tập 22 Viết phương trình cạnh hình vng ABCD , biết M ( 0; ) ∈ AB, N ( 5; −3 ) ∈ BC, P ( −2; −2 ) ∈ CD, Q ( 2; −4 ) ∈ DA Bài tập 23 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho điểm A ( −1;1 ) ,B ( 2;2) Tìm điểm C đường thẳng ( d ) : y = , cho SABC = (đvdt) Khi tính bán kính R đường trịn ngoại tiếp ∆ABC 555 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh Bài tập 24 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho hình bình hành ABCD có B (1;5) , đường cao AH : x + 2y − = , đường phân giác d góc ACB có phương trình x − y − = Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình bình hành Bài tập 25 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho tam giác ABC vuông cân A , đỉnh A, B,C nằm đường thẳng d : x + y − = 0, d1 : x + = 0, d : y + = BC = Tìm tọa độ đỉnh A, B,C tam giác Bài tập 26 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho ∆ABC có C ( 1;1) AB = AB : x + 2y − = , trọng tâm ∆ABC thuộc đường thẳng x + y − = Tìm tọa độ điểm A, B Bài tập 27 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho hình vng ABCD có A ( −2; ) , đỉnh B thuộc đường thẳng d : x − 2y + = Gọi M, N hai điểm cạnh BC,CD cho BM = CN Xác định tọa độ đỉnh C , biết  14  AM cắt BN I  ;  5  Bài tập 28 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho ∆ABC có A ( 2; ) , đường thẳng AB cắt trục Oy E cho AE = 2EB , đồng thời ∆AEC cân  13  A có trọng tâm G  2;  Viết phương trình chứa cạnh BC  3 Bài tập 29 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12 , tâm I giao điểm đường thẳng d1 : x − y − = d2 : x + y − = Trung điểm AB giao điểm d1 với trục Ox Tìm toạ độ đỉnh hình chữ nhật Bài tập 30 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho hình vng ABCD biết M ( 2;1 ) , N ( 4; −2) ; P ( 2;0) ; Q (1;2) thuộc cạnh AB, BC, CD, AD Hãy lập phương trình cạnh hình vng 556 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh Bài tập 31 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm  1 I(2; 1) AC = 2BD Điểm M  0;  thuộc đường thẳng AB; điểm N ( 0; ) thuộc  3 đường thẳng CD Tìm tọa độ đỉnh B biết B có hồnh độ dương Bài tập 32 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho điểm A ( 2; ) đường thẳng d1 : x − y = 0, d : x + 2y + = Tìm điểm B ∈ d1 , C ∈ d để tam giác ABC vuông cân A Bài tập 33 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy cho hai đường thẳng d1 : x − 2y + = 0,d : 2x + 3y = Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABCD , biết A thuộc đường thẳng d1, C thuộc đường thẳng d2 hai điểm B, D thuộc trục Ox 7 5 Bài tập 34 Cho hình bình hành ABCD Biết I  ;  trung điểm cạnh CD , 2 2  3 D  3;   2 đường phân giác góc BAC có phương trình ∆ : x − y + = Xác định tọa độ đỉnh B Bài tập 35 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho ba điểm I (1; 1) , J ( −2; 2) , K ( 2; −2) Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD cho I tâm hình vng, J thuộc cạnh AB K thuộc cạnh CD Bài tập 36 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho ba đường thẳng d1 : 4x + y − = 0, d2 :2x − y + = 0, d3 : x − y + = Tìm tọa độ đỉnh hình thoi ABCD , biết hình thoi ABCD có diện tích 15 , đỉnh A,C thuộc d3 , B thuộc d1 D thuộc d2 Bài tập 37 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho A ( 2;2) ,B(7;2) đường thẳng ( ∆ ) : x + 3y − = Hãy tìm ( ∆ ) điểm C D cho : a ∆ABC cân A ; 557 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh b ( AD + BD ) ngắn Bài tập 38 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A ( −1; −1) , B ( 0; ) , C ( 0;1) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A cho tổng khoảng cách từ B C tới ∆ lớn Hướng dẫn giải x = t − y = t Bài tập 1.a ( d ) : x − y + = ⇔  t ∈ R ; C ∈ ( d ) nên C ( t − 2;t ) AC = ( t − 3;t + 2) ,BC = ( t + 1;t − 3) ∆ABC vuông C AC ⊥ BC ⇔ AC.BC = ⇔ ( t − 3)( 2t + 3) =  3 ⇔ t = ⇒ C1 (1;3) t = − ⇒ C2  − ; −   2 b Gọi G tâm tam giác, suy tọa độ G nghiệm hệ  3x + 4y − = 7  x = ⇔ ⇒ G  ; −1   3  3x − 10y − 17 =  y = −1  Gọi E trung điểm BC , suy EA = 3 5  GA ⇒ E  2; −  2  Giả sử B ( a; b ) , suy C ( − a; −5 − b ) Từ ta có hệ:  3a + 4b − =  3a + 4b − = a =  ⇔ ⇔   ( − a ) − 10 ( −5 − b ) − 17 =  −3a + 10b + 45 =  b = −3  Vậy, B ( 5; −3 ) ,C ( −1; −2 ) c Gọi A1 đối xứng với A qua BD , suy A1 ∈ BC A1 ( 1; −4 )  43 56  A đối xứng với A qua CE , suy A ∈ BC A  − ; −    Suy phương trình BC : 3x − 4y − 19 = x − y − = x = −15 ⇔ ⇒ B ( −15; −16 ) Tọa độ B nghiệm hệ:  3x − 4y − 19 =  y = −16  x + 2y + 17 = x = −3 ⇔ ⇒ C ( −3; −7 ) Tọa độ C nghiệm hệ:   3x − 4y − 19 =  y = −7 558 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh b C, D thuộc đường thẳng d1 : 3x − y − = 0, d : x + y − = ⇒ C ( a; 3a − ) , D ( b; − b ) ⇒ CD = ( b − a;10 − b − 3a ) Gọi n = ( 2;1) vectơ pháp tuyến AB CD ⊥ n  Vì ABCD hình vng nên  d ( C; AB ) = CD  2 ( b − a ) + ( 10 − b − 3a ) =  b = 5a − 10    ⇔  2b + − b − 2 ⇔ = ( b − a ) + ( 10 − b − 3a )  a − = 4a − 10   2  +1  c Viết phương trình đường thẳng qua A song song với CM Tìm giao điểm E, F AE,CM với BD suy I trung điểm EF Tính điểm C Tìm trung điểm H CM hình chiếu vng góc A lên CM suy tọa độ điểm M Viết phương trình AD qua A,M Tìm điểm D suy B d Đường thẳng AB qua M nên có phương trình a ( x − ) + b ( y + ) = (a ) + b ≠ ( AB; BC ) = 450 nên cos 450 = ξ a + 7b  3a = 4b ⇔  4a = −3b 50 a + b Nếu 3a = 4b, chọn a = 4, b = ( AB ) : 4x + 3y + = ( AC ) : 3x − 4y + = Từ A ( −1;1) B ( −4; ) Kiểm tra MB = 2MA nên M nằm đoạn AB Nếu 4a = −3b, chọn a = 3, b = −4 ( AB ) : 3x − 4y − 18 = , ( AC ) : 4x + 3y − 49 = ⇒ A ( 10; ) , B ( 10; ) ( không thỏa ) x − 2y − = ⇒ B ( 0; −2 ) 7x − 4y − = Bài tập 11 a.Tọa độ đỉnh B nghiệm hệ  572 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh Vì ∆ABC cân A nên AG đường cao A ∆ABC , suy phương trình AG có  4  1 dạng:  x −  +  y −  = 3  3  ⇔ 2x + y − = G Gọi H = AG ∩ BC tọa độ điểm H 2x + y − = nghiệm hệ :  ⇒ H ( 2; −1) x − 2y − = B H C x = 2xH − x B  Vì H trung điểm BC ⇒  C ⇒ C ( 4; )  yC = 2yH − y B  Ta có x G = ( xA + xB + xC ) , yG = ( yA + y B + yC ) ⇒ A ( 0; ) 3 Vậy, A ( 0; ) , B ( 0; −2 ) ,C ( 4; ) b I ∈ ( ∆ ) ⇒ I ( t; − 2t ) , t > ( không thỏa t > ) t = ⇒ I ( 1;1) 3ξ Phương trình đường thẳng IC : x + y − = IC = 2IB ⇔ 15t + 10t − 25 = ⇔ t = − S ABC = AC.d ( B; AC ) ⇒ AC = Vì A ∈ IC ⇒ A ( a; − a ) nên có: ( a − ) = 36 ⇔ a = 11 a = −1 ⇒ A ( −1; ) Phương trình đường thẳng CD : y + = x − y = Tọa độ D nghiệm hệ:  ⇒ D ( −3; −3 ) y + = Bài tập 12 a Cạnh AC nằm đường thẳng qua M vng góc với BH Phương trình cạnh AC : x − y = x − 4y − = Tọa độ điểm A nghiệm hệ:  ⇔x=y=− x − y =  2 8 8 ⇒ A  − ; −  Suy tọa độ điểm C  ;   3 3 3 573 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh Cạnh BC qua C song song với đường thẳng d nên có phương trình BC : x − 4y + = x + y + = x = −4 Tọa độ đỉnh B nghiệm hệ:  ⇔ ⇒ B ( −4;1) x − 4y + = y = b Tọa độ đỉnh A giao điểm AB AD nên A ( x; y ) nghiệm hệ  x = − x + 2y − =  5  ⇔ ⇒ A− ;    3 2x + y + = y =   Phương trình đường phân giác góc A ( d1 ) : x − y + = x + 2y − 2x + y + hay  =± 5 ( d1 ) : 3x + 3y − =  • Trường hợp ( d1 ) : x − y + = Đường thẳng ( BD ) qua M vng góc với ( d1 ) nên ( BD ) : x + y − = Suy B = AB ∩ BD ⇒ B ( 4; −1) , D = AD ∩ BD ⇒ D ( −4; )  13  Gọi I = BD ∩ ( d1 ) ⇒ I ( 0; ) Vì C đối xứng với A qua I nên C  ;  3  • Trường hợp ( d ) : 3x + 3y − = Bạn đọc làm tương tự ξ Bài tập 13 a Gọi d : x + y − = Vì BC d nên phương trình BC có dạng: x + y + m = Lấy I ( 1; ) ∈ d , ta có: d ( I, BC ) = d ( A,d ) = ⇒ m + = ⇒ m = −12, m = Vì A I phía so với BC nên ta có m = ⇒ BC : x + y + = Đường cao hạ từ đỉnh A có phương trình : x − y = x − y = Tọa độ trung điểm P BC :  ⇒ P ( −2; −2 ) x + y + = Do B ∈ BC ⇒ B ( b; −4 − b ) P trung điểm BC suy C ( −4 − b; b ) Mặt khác AB ⊥ CE nên ta có ( b − )( b + ) + ( b + 10 )( b + ) = ⇔ b = 0, b = −6 Vậy có hai điểm thỏa u cầu tốn: 574 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh B ( 0; −4 ) , C ( −4; ) B ( −6; ) , C ( 2; −6 ) b Do ∆ qua O, nên có phương trình dạng : x = y = kx Nếu phương trình ∆ : x = , A = ∆ ∩ d1 : x − y − = ⇒ A ( 0; −2 ) ∆ ∩ d : 2x + y − = ⇒ B ( 0; ) ⇒ OA.OB = 10 ( thỏa mãn ) Nếu phương trình ∆ : y = kx Do A = ∆ ∩ d1 nên tọa độ A nghiệm hệ phương trình:  x = − k x − y − =  2k   ⇒ A ; ⇔    1− k 1− k   y = kx  y = 2k  1− k  Do B = ∆ ∩ d nên tọa độ B nghiệm hệ phương trình:  x = + k 2x + y − =  5k   ⇒ B ; ⇔   y = kx 5k 2+k 2+k   y =  2+k  Khi : OA.OB = 10 ⇔ OA OB2 = 100 ⇔ + 4k 25 + 25k = 100 ( − k ) ( + k )2 ( ) = (k ⇔ k2 + 2 +k−2 ) k = k2 + = k2 + k − ⇔ ⇔  k = −1,k = k2 + = −k2 − k +    Phương trình đường thẳng ∆ y = 3x, y = −x , y = x Bài tập 14 Gọi C' điểm đối xứng C qua đường phân giác AD Khi C' ∈ AB Gọi H = AD ∩ CC' ⇒ H ( − 2t; t ) ⇒ CH = ( − 2t; t − ) Mặt khác AD có u = ( −2;1) VTCP CH ⊥ u nên ta có: CH.u = ⇔ −2 ( − 2t ) + ( t − ) = ⇔ t = ⇒ H ( 3;1) Do H trung điểm CC' , nên C' ( 2; −1) 575 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh Vì A = AD ∩ AM ( M trung điểm BC ) nên tọa độ A nghiệm hệ x + 2y − = x = phương trình :  ⇔ ⇒ A ( 9; −2 ) 4x + 13y − 10 =  y = −2 Khi đường thẳng AB có phương trình x + 7y + = nên B ( −7t − 5; t )  −13s + 10  Vì M ∈ AM ⇒ M  ;s   −13s + 10 = −14t − Lại M trung điểm BC nên  ⇒ B ( −12;1) 2s = + t Bài tập 15 Gọi M trung điểm cạnh BC , tam giác ABC cân A nên AM ⊥ BC Suy phương trình AM : x + y − =  x = x − y − =  Tọa độ điểm M nghiệm hệ:  ⇔ x + y − = y = −   丰ό 7 1 ⇒ M  ; −  ⇒ AM = 2 2 Ta có: S ∆ABC = 18 =2 AM.BC = AM.BM = 18 ⇒ BM = AM Mặt khác: B ∈ ∆ , suy B ( b; b − ) nên: 2  7  7  7 11 BM = ⇔  b −  +  b −  = ⇔  b −  = ⇔ b = , b = 2  2 2 2   • Với b = 11  11    ⇒ B  ;  ,C  ; −   2 2 2 • Với b = 11    11  ⇒ B  ; −  ,C  ;  2 2  2 Bài tập 16 Trung điểm I AB I ( 1; −3 ) , G trọng tâm tam giác ABC nên 1 suy : S AGB = S ABC = ⇒ d ( G,AB ) AB = ⇒ d ( G, AB ) = 2 576 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh Vì G ∈ d nên suy G ( a; 3a + 1) Phương trình đường thẳng AB : x + y + = nên d ( G,AB ) = Do d ( G, AB ) = ⇔ 4a +  1 • a = − ⇒ G  − ; −  , mà  2 = ⇔ a = −1,a = − 4a + 2  x = − x A + x B + xC = 3xG   C ⇒   y A + y B + yC = 3yG  y =  C   9 Do C  − ;   2 • Tương tự với a = −1 ta tìm C ( −5; ) Gợi ý cách khác: Gọi M ( 1; −3 ) trung điểm AB , G ∈ d ⇒ G ( t;1 + 3t )  CM = CG  G trọng tâm tam giác ABC nên  丰ό AN = AG   Hơn N trung điểm BC S ABC = AB.d ( C, AB ) Bài tập 17 Gọi D điểm đối xứng với C qua đường thẳng d : x + y − = , ta tìm D ( 4; ) Vì A thuộc đường trịn đường kính CD nên A giao điểm đường thẳng d đường trịn đường kính CD , suy tọa độ A nghiệm hệ: x + y − =  ⇒ A ( 4;1) x A >  2 x + ( y − ) = 32  577 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh Suy AC = ⇒ AB = 2S ∆ABC AC =6 D Vì B thuộc đường thẳng AD : x − = nên B B ( 4; y ) Từ AB = ⇒ ( y − 1) = 36 ⇒ y = −5, y = Vì AB AD hướng nên ta có B ( 4; ) ⇒ BC : 3x − 4y + 16 = C Bài tập 18 Gọi A ( a; b ) , suy DA = ( a − 2; b − ) , MN = ( 3; −3 ) Vì AD ⊥ MN ⇒ DA.MN = ⇔ a − − b + = ⇔ a − b = −4 (1) Lấy đối xứng điểm A qua M, N ta có: B ( − a; − b ) , C ( − a; −6 − b ) Suy BD = ( a; + b ) , CD = ( a − 6; b + 12 ) Vì B,C, D thẳng hàng nên ta có: a − b + 12 = ⇔ a + b = −6 ( 2) a b+6 Từ (1) ( 2) ta suy a = −5, b = −1 丰ό Vậy, A ( −5; −1) , B ( 7;1) ,C ( 13; −5 ) Gợi ý cách khác: MN : x + y − = Viết AD qua D vuông góc MN nên có x − y + =  5 AD cắt MN H  − ;  Sau sử dụng tính chất trung điểm  2 4 4 qua M  Bài tập 19 ( AB ) ∩ ( AC ) = A  ; −  ( ∆ ) :  ⇔ ( ∆ ) :2x + 5y − = 9 9 ( ∆ ) ( AC )   22  ⇒ ( ∆ ) ∩ ( AB ) = N  ;  Vì N trung điểm ( AB ) nên AB = 2AN  9 578 A http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh    22   x −  =  −       76 25   40 11  ⇔ ⇔ B ;  Vì M trung điểm ( BC ) nên C  − ;  7 2 7  9   9    y + =2 +  9 2  9    xB + xC = 2xM = −2   B ∈ AB y B + y C = 2y M = −4 B ( −3; −3) ⇔ ⇔ M trung điểm BC  C ∈ AC C (1; −1) 4xB + y B + 15 =  2x + 5y + = C  C Bài tập 20 ( AB ) ∩ ( AC ) = A ( −4;1) : GM = AG ⇒ M ( −1; −2) Bài tập 21 Gọi A ( x0 ;y ) ,M ( xM ;y M ) trung điểm ( AB ) x0 + y +5 M thuộc trung tuyển : xM + y M − = ,y M = 2 ⇔ x0 + y − = , A thuộc đường cao : 2x0 − 5y + = xM =  A (1;1 )  x0 + y − =  ⇒ Ta có  2x0 − 5y + = M ( 2;3)   Bài tập 22 ( AB ) : ax + b ( y − ) = 0, ( AD )丰b ( x − ) − a ( y − ) = :ό d  P, AB  = d  N, AD  ⇒ 3a + b = a + 7b =     Bài tập 23 C ( x0 ;3) ∈ y = ⇒ AB = (3;3) ,AC = ( x0 + 1;2) ( ) 1 det AB;AC = ⇔ 3.2 − ( x0 + ) = ⇒ x0 = x0 = 2 ⇒ C1 (1;3) C2 ( 9;3) S=2⇔ * C (1;3) ⇒ AC = ( 2;2) ,BC = ( −1;1 ) ⇒ AC.BC = ⇒ AC ⊥ BC ⇒ ∆ABC vuông C ⇒ R = AB 10 = 2 * C ( 9;3) ⇒ AC = (10;2) ,BC = (7;1) ,AB = (3;1) ( ) ⇒ sin A = − cos2 A = 65 65 BC = 130 Theo định lý hàm số sin : R = 2sin A cosA = cos AB;AC = 579 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh Bài tập 24 Phương trình B' BC : 2x − y + = , A D tọa độ điểm C nghiệm 2x − y + =  x = −4 hệ:  ⇔  y = −5 x − y − = ⇒ C ( −4; −5) B H C Gọi B' đối xứng với B qua d , ta tìm B'( 6;0 ) B' ∈ AC Suy phương trình AC : x − 2y − = x − 2y − =  x = Tọa độ điểm A nghiệm hệ:  ⇔ ⇒ A ( 4; −1) x + 2y − =  y = −1 Vì AD = BC ⇒ D( −1; −11 ) Bài tập 25 Vì d1 ⊥ d ∆ABC vuông cân A nên A cách d1 ,d , A giao điểm d phân giác hợp d1 ,d Phương trình phân giác hợp d1 ,d x − = ± ( y − ) ⇒ ( t1 ) : x − y − = ( t ) : x + y + = không thỏa 丰ό ) ( t2 (d) x − y − = Tọa độ điểm A nghiệm hệ:  ⇒ A ( 3; ) x + y − = Gọi B ( −1; b ) ∈ d1 , C ( c; −2 ) ∈ d AB.AC =  B ( −1; ) ,C ( 0; −2 )  ⇒ Theo tốn ta có:   B ( −1; −1) ,C ( 6; −2 )  BC = 50   Bài tập 26 Gọi A ( − 2a; a ) , B ( − 2b; b ) tọa độ cần tìm G trọng tâm ∆ABC thuộc đường thẳng x + y − = nên suy a + b − = Hơn AB = suy ( a − b )2 = Từ đây, tìm a = , b= Bài tập 27 B ∈ d : x − 2y + = ⇒ B ( 2y − 6; y ) 580 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh Ta thấy ∆AMB ∆BNC vuông ⇒ AI ⊥ BI ⇒ IA.IB = ⇒y=4 ⇒ B ( 2; ) BC : 2x − y = ⇒ C ( c; 2c ) , AB = 5, BC = ( c − )2 + ( 2c − )2 Theo toán, AB = BC ⇒ c − = ⇒ C ( 0; ) ,C ( 4; ) Vì I nằm hình vng nên I,C phía với đường thẳng AB ⇒ C ( 0; ) Bài tập 28 Gọi I trung điểm EC Vì G trọng tâm ∆AEC nên AG = AI ⇒ I ( 2; ) Hơn E ∈ Oy nên E ( o; e ) Vì ∆AEC cân A nên AI ⊥ EC ⇒ AI.EC = ⇒ e = ⇒ E ( 0; ) , C ( 4; ) Mặt khác, AE = 2EB ⇒ B ( −1;1) x − y − =  3 ⇒ I ;   2 x + y − = Bài tập 29 Ta có d1 ∩ d2 = I :  Gọi M giao đường thẳng d1 với Ox , suy M (3;0 ) 丰: Vì AB ⊥ MI nên suy phương trình ABόx + y − = AD = 2MI = ⇒ AB = SABCD = 2 ⇒ AM = AD Mà A ∈ AB ⇒ A ( a;3 − a ) ⇒ AM2 = ⇔ ( a − 3) = ⇔ a = 2,a = , ta chọn A ( 2;1) ,B( 4; −1) Do I tâm hình chữ nhật nên C (7;2) , D (5;4 ) Vậy, tọa độ đỉnh hình chữ nhật là: A ( 2;1) ,B ( 4; −1) , C (7;2) , D(5;4 ) Bài tập 30 Trước hết ta chứng minh tính chất sau đây: “ Cho hình vng ABCD , điểm M,N,P,Q nằm đường thẳng AB, BC, CD, DA Khi MP = NQ ⇔ MP ⊥ NQ ” 581 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh Chứng minh: Vẽ ME ⊥ CD, E ∈ CD, M E FA Q D NF ⊥ AD, F ∈ AD Hai tam giác vng MEP NFQ có NF = ME I Do MP = NQ ⇔ ∆MEP = ∆NFQ P ⇔ EPM = FQN ⇔ QIM = 900 ⇔ MP ⊥ NQ N B C Trở lại tốn: Ta có: MP = ( 0; −1 ) ⇒ MP = Gọi d đường thẳng qua N vng góc với MP Suy phương trình d : x − = Gọi E giao điểm d với đường thẳng AD , áp dụng tính chất ta suy NE = MP Mà E ( 4;m ) nên NE = MP ⇔ ( m − 2) = ⇔ m = 3,m = • Với m = ⇒ E ( 4;3) ⇒ QE = (3;1) , suy phương trình AD : x − 3y + = Phương trình AB :3x + y − = 0, BC : x − 3y − 10 = 0, CD :3x + y − = • Với m = ⇒ E ( 4;1 ) ⇒ QE = (3; −1) , suyό phương trình AD : x + 3y − = 丰 Phương trình AB :3x − y − = 0, BC : x + 3y + = 0, CD:3x − y − = Bài tập 31 Gọi N’ điểm đối xứng N qua tâm I ta có N’(4; −5) N’ thuộc D 16   cạnh AB Suy MN' =  4; −    N nên phương trình AB: 4x + 3y – = M Vì AC = 2BD nên AI = 2BI Gọi H hình A chiếu I lên AB, ta có: IH = d ( I, AB ) = + 3−1 = IH = IA + C I N' H IB = 4IB B ⇒ IB = IH = 2  − 4b   4b +  Mặt khác B ∈ AB ⇒ B  b;  , b > ⇒ IB = ( b − ) +   =5     ⇔ b = Vậy B ( 1; −1) cạnh BC : 2x − 5y + = 582 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh Bài tập 32 B ∈ d1 ,C ∈ d ⇒ B ( b; b ) , C ( −1 − 2c; c ) AB ⊥ AC ⇔ AB.AC = ⇔ − bc − 3b + 4c + = ⇔ b = AB = AC ⇔ ( b − 1) = 5c + 12c + 4c + c+3 ( 1) (2)  4c +  −  = 5c + 12c + Từ ( 1) ( ) suy  3+c   ( ) ⇔ 5c + 42c + 106c + 114c + 45 = ⇔ ( c + 1)( c + ) 5c + 12c + = c = −1 ⇒ B ( 1;1) , C (1; −1) c = −5 ⇒ B ( 7; ) , C ( 9; −5 ) Bài tập 33 Vì A ∈ d1 ,C ∈ d nên A ( 2a − 1; a ) ,C ( 3c; −2c ) , suy  2a + 3c − a − 2c  I ;  trung điểm AC 2   Do ABCD hình vng nên I trung điểm BD, hay I ∈ Ox Do a = 2c Mặt khác AC ⊥ BD ≡ Ox nên suy 2a − = 3c ⇔ c = Từ đó, ta tìm A ( 3; ) , C ( 3; −2 ) , I (ͺ ) 3; Vì B ∈ Ox ⇒ B ( b; ) , mà IB = IA = ⇒ b − = ⇔ b = 5, b = Vậy tọa độ đỉnh hình vng ABCD là: A (3;2) , B (1;0) , C (3; −2) , D(5;0) A ( 3; ) , B ( 5; ) , C ( 3; −2 ) , D ( 1; )  xC = 2xI − x D =  7  ⇒ C  4;  yC = 2xI − y D =  2   Bài tập 34 Cách 1: Điểm I trung điểm CD nên  Vì A ∈ ∆ nên tọa độ điểm A có dạng A ( a; a + 1) Mặt khác ABCD hình bình hành tương đương với DA, DC khơng phương  x −a = 4−3   B  xB = a + AB = DC ⇔  ⇒ B ( a + 1; a + ) 3⇔ yB = a +  yB − a − = − 2  a +1− a−3 ⇔ a ≠ 11 DA, DC không phương ≠ 2 583 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh Đường thẳng ∆ phân giác góc BAC nhận vectơ u = ( 1;1) làm vec tơ ( ) ( ) phương nên cos AB; u = cos AC; u ⇔ AB.u = AB u   Có AB ( 1; ) , AC  − a; − a  nên ( ∗) ⇔ =   AC.u AC u ( ∗) 13 − 2a ( − a )2 +  − a     ⇔ 2a − 13a + 11 = ⇔ a = a =  11 ( loại ) Vậy, tọa độ điểm B ( 2; )  7 Cách 2: Ta có C  4;   2 Đường thẳng d qua C vng góc với ∆ nhận u ( 1;1) làm vectơ pháp tuyến 7  nên có phương trình ( x − ) +  y −  = hay 2x + 2y − 15 = 2  Tọa độ giao điểm H ∆ d nghiệm hệ: 13  ͺ x =  x−y+1=0  13 17   ⇔ ⇒ H ;    4  2x + 2y − 15 =  y = 17   Gọi C' điểm đối xứng với C qua ∆ C' thuộc đường thẳng chứa cạnh   x = 2xH − xC 5   x = AB H trung điểm CC'  C' ⇔  C' ⇒ C'  ;   yC' = 2yH − yC 2   y =  C' Suy đường thẳng chứa cạnh AB qua C' nhận DC ( 1; ) làm vectơ  x= +t phương nên có phương trình   y = + 2t  Thay x, y từ phương trình đường thẳng chứa cạnh AB vào phương trình đường thẳng ∆ ta + t − − 2t + = ⇔ t = − suy A ( 1; ) 2 x −1=1   x = ABCD hình bình hành nên AB = DC ⇔  B ⇔ B yB − =  yB =   584 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh Vậy, tọa độ điểm B ( 2; ) Bài tập 35 Gọi J’ đối xứng với J qua I, ta có J’(4; 0) J’ ∈ CD Ta có: KJ' = ( 2; ) , suy phương trình J A D CD : x − y − = I Vì AB / /CD nên phương trình: AB : x − y + = Do d ( I, AB ) = 2 nên suy AB = ⇒ IA = B K C J' A ∈ AB ⇒ A ( a; + a ) , IA = ⇔ ( a − 1) + ( a + ) = 16 2 ⇔ a + 2a − = ⇔ a = 1,a = −3 - a = 1, ta có A ( 1; ) , B ( −3;1) , C ( 1; −1) , D ( 5;1) - a = −3, ta có A ( −3;1) , B ( 1; ) , C ( 5;1) , D ( 1; −1) Bài tập 36 Vì BD ⊥ AC nên phương trình BD : y = − x + m ͺ y = −x + m  − m 4m −  ⇒ B ; B = BD ∩ d1 , suy B     4x + y − =  m − 2m +  ; Tương tự D = BD ∩ d2 ⇒ D      2m −  Suy tọa độ trung điểm BD I  ;   2 2m − 1 5 Vì I ∈ AC ⇒ − + = ⇔ m = Suy B ( 2;1) ,D( −1;4 ) ,I  ;  2 2 2 15 15 25 ⇒ AI = = ⇒ AI2 = Ta có: S∆BAD = S ABCD = 2 BD 2 1  Mà A ∈ d3 ⇒ A ( a;a + 2) ⇒ AI2 = 2 a −  nên ta có: 2   25   a −  = ⇔ a = 3,a = −2   Vậy tọa độ đỉnh hình thoi là: A (3;5) ,B ( 2;1 ) ,C ( −2;0) ,D ( −1;4 ) A ( −2;0 ) ,B ( 2;1 ) ,C (3;5) ,D ( −1;4 ) 585 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh x = 3t y = − t Bài tập 37 ( ∆ ) : x + 3y − = ⇔ ( ∆ ) :  a Vì C ∈ ( ∆ ) nên C (3t;1 − t ) ∆ABC cân A ⇔ AB = AC AB, AC không phương ⇔5=  t = −1 AB,AC không phương ⇔  t = (3t − 2)2 + (1 − t − 2)2 Và AB,AC không phương ⇔ t = AB = (5;0 ) không phương AC = ( 4; −3) ⇒ C ( 6; −1) b Gọi D ∈ ( ∆ ) ⇒ D(3t;1 − t ) ⇒ AD + BD = 10t − 10t + + 10t − 40t + 50  10 10  Xét a =  t 10 − ;  b = 10 − t 10; 10   2   ( ) Ta có AB + BD = a + b ≥ a + b = 3 Vậy ( AB + BD )min = − t ⇔ t = ⇒ D (3;0) = Khi a ↑↑ b ⇔ 1 t− 퇰ν Bài tập 38 Giả sử ∆ qua điểm A có vectơ pháp tuyến n = ( a; b ) ≠ , nên có phương trình: a ( x + 1) + b ( y + 1) = d ( B, ∆ ) = a + 3b a + b2 , d ( C, ∆ ) = a +b (2 a + b ) ≤ a + b2 a + 3b Gọi d = d ( B, ∆ ) + d ( C, ∆ ) = d≤ a + 2b 2 (2 a +b a + b2 + a + 2b a +b )( = a + b2 ( a + 3b + a + 2b ) ) + 52 a + b2 = 29  ab >  Đẳng thức xảy  a ⇒ a = 2, b = ⇒ ∆ : 2x + 5y + = b =5  586 ... A'' ( 6; ) Tọa độ điểm A giao điểm A''C AH ⇒ A ( 4; −1) Bài tập 2.a Dựng đường thẳng ( d ) qua A ( −1 ;3) ( d ) ⊥ ( ∆ ) ⇒ ( d ) : 2( x + 1) + 1( y − 3) = hay ( d ) :2x + y − = ( ∆ ) ∩ ( d ) = {B(0;1)}... − = 3c ⇔ c = Từ đó, ta tìm A ( 3; ) , C ( 3; −2 ) , I (? ? ) 3; Vì B ∈ Ox ⇒ B ( b; ) , mà IB = IA = ⇒ b − = ⇔ b = 5, b = Vậy tọa độ đỉnh hình vng ABCD là: A (3 ; 2) , B (1 ;0) , C (3 ; −2) , D(5;0)... = 3, a = −2   Vậy tọa độ đỉnh hình thoi là: A (3 ; 5) ,B ( 2;1 ) ,C ( −2;0) ,D ( −1;4 ) A ( −2;0 ) ,B ( 2;1 ) ,C (3 ; 5) ,D ( −1;4 ) 585 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh x = 3t