http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh Dạng Đường thẳng Viết phương trình đường thẳng • Để viết phương trình tổng quát đường thẳng ∆ ta cần xác định - Điểm A ( x0 ; y ) ∈ ∆ - Một vectơ pháp tuyến n ( a; b ) ∆ Khi phương trình tổng qt ∆ a ( x − x0 ) + b ( y − y0 ) = • Để viết phương trình tham số đường thẳng ∆ ta cần xác định - Điểm A ( x0 ; y0 ) ∈ ∆ - Một vectơ phương u ( a; b ) ∆  x = x0 + at  Khi phương trình tham số ∆  , t∈»  y = y0 + bt  • Để viết phương trình tắc đường thẳng ∆ ta cần xác định - Điểm A ( x0 ; y ) ∈ ∆ - Một vectơ phương u ( a; b ) ,ab ≠ ∆ Phương trình tắc đường thẳng ∆ x − x0 a = y − y0 b Chú ý: o Nếu hai đường thẳng song song với chúng có VTCP VTPT o Hai đường thẳng vng góc với VTCP đường thẳng VTPT đường thẳng ngược lại o Phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M ( x0 ; y0 ) có dạng ∆ : a ( x − x ) + b ( y − y ) = với a + b2 > o Phương trình đường thẳng qua A ( a; ) , B ( 0; b ) với ab ≠ có dạng Xét vị trí tương đối hai đường thẳng Để xét vị trí tương đối hai đường thẳng d1 : a1x + b1 y + c1 = 0; d2 : a x + b y + c = a x + b1 y + c1 =  Ta xét hệ  a x + b y + c =  (I) + Hệ ( I ) vô nghiệm suy d1 d 528 x y + =1 a b http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh + Hệ ( I ) vô số nghiệm suy d1 ≡ d + Hệ ( I ) có nghiệm suy d1 d cắt nghiệm hệ tọa độ giao điểm Chú ý: Với trường hợp a b2 c2 ≠ đó: + Nếu a1 a hai đường thẳng cắt ≠ b1 b + Nếu a a c1 = ≠ b1 b c hai đường thẳng song song + Nếu a a c1 = = b1 b c hai đường thẳng trùng Ví dụ 1 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho đường thẳng d1 : x + y + = 0, d2 : x − y − = 0, d3 : x − 2y = Tìm tọa độ điểm M nằm đường thẳng d3 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 3x + y + = , d : 3x + y + = điểm I ( 1; −2 ) Viết phương trình đường thẳng qua I cắt d1 , d A B cho AB = 2 Trong mặt phẳng Oxy, tìm toạ độ đỉnh tam giác vuông cân, biết đỉnh C ( 3; −1) phương trình cạnh huyền 3x − y + = Lời giải Ta có M ∈ d3 ⇒ M ( 2m;m ) Suy d ( M,d1 ) = Theo giả thiết ta có: d ( M,d1 ) = 2d ( M,d2 ) ⇔ 3m + 3m + = , d ( M,d2 ) = m−4 m−4 3m + = 2m − ⇔ ⇔ m = −11 m = 3m + = −2m + • Với m = −11 ⇒ M ( −22; −11) • Với m = ⇒ M ( 2;1) 529 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh A ∈ d1 ⇒ A ( a; −3a − ) , B ∈ d ⇒ B ( b; −3b − 1) IA = ( a − 1; −3a − ) ≠ 0, IB = ( b − 1; −3b + 1)  b − = k ( a − 1)  I, A, B thẳng hàng ⇒ IB = kIA ⇔   −3b + = k ( −3a − )  Nếu a = ⇒ b = ⇒ AB = (không thỏa mãn) Nếu −3b + = AB = ( b − a) b−1 ( −3a − ) ⇔ a = 3b − a −1 +  ( a − b ) +  = 2 ⇔ t + ( 3t + ) = 8, với t = b − a   2 ⇔ 5t + 12t + = ⇔ t = −2 t = − Với t = −2 ⇒ b − a = −2 ⇒ b = 2,a = ⇒ ∆ : 5x + y − = 2 Với t = − ⇒ b − a = − ⇒ b = ,a = ⇒ ∆ : 13x + y − 11 = 5 5 Gọi hai đỉnh lại A, B Toạ độ điểm C khơng thoả mãn phương trình cạnh huyền nên tam giác ABC vuông cân C Gọi I hình chiếu vng góc C lên cạnh huyền ( I trung điểm AB ) x−3 y+1 = ⇔ x + 3y = Phương trình đường thẳng CI −1 x + 3y =  1 Toạ độ điểm I nghiệm hệ:  ⇒ I− ;  3x − y + =  5  A, B nằm đường trịn tâm I , bán kính CI = 72 có phương trình:  3  1 72 x +  + y −  = 5  5  3x − y + =  2 Toạ độ hai điểm A, B nghiệm hệ:  3  1 72  x +  +  y −  = 5  5   19   17  Giải hệ ta ( x; y ) =  ;  ,  − ; −   5    19   17  Vậy, toạ độ hai đỉnh cần tìm : ( x; y ) =  ;  ,  − ; −   5   Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho tam giác ABC 530 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh Xác định tọa độ đỉnh C , biết H ( −1; −1) hình chiếu vng góc C đường thẳng AB , đường phân giác góc A có phương trình x − y + = đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y − = Xác định tọa độ đỉnh B,C Phương trình đường trung trực d cạnh BC , đường trung tuyến CC' x + y − = 2x − y + = Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân C có phương trình cạnh AB  9 x − 2y = , điểm I ( 4; ) trung điểm AB , điểm M  4;  thuộc cạnh BC , diện  2 tích tam giác ABC 10 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết tung độ điểm B lớn Lời giải Kí hiệu d1 : x − y + = 0, d2 : 4x + 3y − = Gọi H' điểm đối xứng với H qua d1 Khi H' ∈ AC ∆ đường thẳng qua H vng góc với d1 , nên có: ∆ : x + y + = x + y + = Gọi I giao điểm d1 ∆ nên tọa độ I thỏa:  ⇒ I ( −2;0) + x − y + = Vì I trung điểm HH' nên H'( −3;1 ) Đường thẳng AC qua H' vng góc với d2 nên có phương trình : 3x − 4y + 13 = x − y + = ⇒ A (5;7 ) AC cắt d1 A Tọa độ A nghiệm hệ:  3x − 4y + 13 = Do CH qua H vuông với AH , suy phương trình CH :3x + 4y + = 3x + 4y + =  10  Tọa độ điểm C nghiệm hệ :  ⇒ C − ;   4 3x − 4y + 13 = Gọi C ( c;2c + 3) ∈ CC' Khi đó: phương trình BC : x − y + c + = 531 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh Gọi M trung điểm BC, suy A  3−c x = x + y − =  ⇔ M: x − y + c + =  y = c +   C' c  ⇒ B (3 − 2c;6 − c ) ⇒ C' − c;4 −  2  c  Vì C' ∈ CC' nên 2( − c ) −  −  + = 2  14 ⇔ − c+7 =0⇒ c =  19  Vậy, B  − ;  ,  3 B M C  14 37  C  ;  tọa độ cần tìm  3  Gọi tọa độ điểm B ( 2y B ; y B ) , y B ≥ ⇒ A ( − 2y B ; − y B ) ⇒ AB = 20 y B − Gọi tọa độ điểm C ( xC ;10 − 2xC ) ⇒ CI = − xC Diện tích tam giác ABC : S ABC = CI.AB = 10 ⇔ 4y B + 2xC − xC y B − = 2 ⇔ x C y B − 4y B − 2xC = −6 ( 1) x C y B − 4y B − 2xC = −10 ( ) +  − xC = k ( 2y B − )  Vì M ∈ BC ⇒ CM = kMB ⇔  11 9   − + 2xC = k  y B −  2   ⇒ 2xC y B − 6y B − 5xC + 16 = ( )   x y − 4y B − 2xC = −6   y = −1 − không thỏa y B ≥ Từ ( 1) ( ) :  C B ⇒ B  2xC y B − 6y B − 5xC + 16 =  y B = −1 +    x y − 4y B − 2xC = −10   y = ⇔ B Từ ( ) ( ) :  C B  2xC y B − 6y B − 5xC + 16 =  xC =   Vậy, tọa độ đỉnh tam giác ABC là: A ( 2;1) , B ( 6; ) , C ( 2; ) Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho ∆ABC , biết: A ( −2;1) , B ( 2; ) , C ( 1; −5 ) Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm D,G với D chân đường phân giác góc A G trọng tâm ∆ABC 532 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh A ( 4; −1) , đường cao kẻ từ B có phương trình ∆ : 2x − 3y = , trung tuyến qua đỉnh C có phương trình ∆ ' : 2x + 3y = Lập phương trình cạnh ∆ABC Lời giải Gọi D ( x D ; y D ) chân đường phân giác hạ từ A ∆ABC Ta có AB = ( −2 − )2 + ( − 1)2 = , AC = (1 + )2 + ( −5 − 1)2 =   x D − = (1 − x D ) x = AB 8 1   Do BD = DC = DC ⇔  ⇔ ⇒ D ; −  −1 AC  5  y − = ( −5 − y ) y = D  D    1 1 G  ; −  trọng tâm ∆ABC 3 3  19  Ta có DG  − ; −  suy đường thẳng DG nhận u ( 19; ) làm VTCP nên có 15 15     x = + 19t  phương trình   y = − + 2t   + Ta có AC qua A ( 4; −1) vng góc với ∆ nên nhận u ( 3; ) làm VTPT nên có phương trình ( x − ) + ( y + 1) = hay 3x + 2y − 10 =  3x + 2y − 10 = x = Suy toạ độ C nghiệm hệ :  ⇔ ⇒ C ( 6; −4 )  2x + 3y =  y = −4  x + yB −  Giả sử B ( x B ; y B ) suy trung điểm I  B ;  AB thuộc đường thẳng   ∆ ' : xB + y −1 + B = hay 2x B + 3y B + = ( 1) 2 Mặt khác B ∈ ∆ suy 2x B − 3y B = ( 2)  5 Từ ( 1) ( ) suy B  − ; −   6  21   31 19  Ta có AB  − ;  , BC  − ;  6    533 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh 21 31   x = − t  x = − t'   Phương trình đường thẳng AB :  , BC :   y = −1 + t  y = −4 + 19 t '   6   Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có 1  tâm I  ;0  Phương trình đường thẳng AB ;à : x − 2y + = AB = 2AD Tìm tọa độ 2  đỉnh A,B,C,D ; biết A có hồnh độ âm Lời giải Cách 1: • Dựng IH ⊥ AB ⇒ AD = 2IH ⇒ AH = 2HI = 2d ( I;AB ) = • Xét tam giác vuông AIH : AI2 = AH2 + HI2 = • Gọi A ( a;b ) , a < b = 25 a +2 Do A ∈ AB 2    a +  25 Nên IA2 =  a −  +   = ⇒ a = −+ ⇒ A ( −2;0)  2   Tương tự B ( 2;2) Dựa vào tính chất trung điểm tìm C (3;0 ) ,D( −1; −2) Cách 2: x +2 x = +1 2  a   b  Gọi A  a; +  , B  b; +  , a < 0, a ≠ b I trung điểm AC BD nên     a b     C  − a; − −  , D  − b; − −      AC = BD  a = −b a = −2  Từ tính chất hình chữ nhật : ⇒ ⇒  AB = 2AD a2 = b =  ⇒ A ( −2;0) , B ( 2;2) , C (3;0 ) , D ( −1; −2) ( AB) : x − 2y + = ⇒ y = Cách 3: Khoảng cách từ I đến AB IH = d ( I;AB ) = 534 ⇒ AD = 2IH = http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh Và IA = IB = ⇒ A,B giao điểm đường thẳng AB với đường tròn tâm I x − 2y + =  2 bán kính R = Tọa độ A,B nghiệm hệ  1 5  x −  + y =   2  2   x = −2 ⇒ A ( −2;0 ) , B ( 2;2) , C (3;0 ) , D ( −1; −2) tọa độ cần tìm ⇔ y = Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho hình vng ABCD , có 5 5 tâm I  ;  , phương trình cạnh AB : 4x + 3y − = Tìm tọa độ đỉnh A,B,C,D 2 2 biết C có hoành độ dương Lời giải 5  5  x + ⇒ A  a; − a +  , B  b; − b +  3 3  3  10  10    Do I giao điểm đường chéo ⇒ C  − a; a +  , D  − b; b +  3  3    + BI.AC = BI ⊥ AC   Theo tính chất hình vng :  ⇔  2 (I) BI = AC BI = AC   5 5 5  Mà BI =  − b; b +  ;AC =  − 2a; a +  6 3   ( AB) : 4x + 3y − = ⇒ y = − ( a − b)2 = 25 a =  b = −1  Từ ( I) ⇔  ⇒ ⇒ 2 a = 10  b = 50b − 50b + 125 = 2a − 2a +  ( )  A ( 2; −1 ) ,B ( −1;3) ,C (3;6 ) ,D( 6;2)  Vậy,   35   23   50   38        A  10; −  ,B  7; −  ,C  −5;  ,D  −2;      Mà xC > ⇒ A ( 2; −1 ) ,B( −1;3) ,C (3;6 ) ,D( 6;2) tọa độ cần tìm Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho ∆ABC vng A , phương trình đường thẳng BC : 3x − y − = , đỉnh A B thuộc trục hoành bán kính đường trịn nội tiếp Tìm tọa độ trọng tâm G ∆ABC 535 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh Lời giải Cách : Vì B = ( BC ) ∩ Ox nên B (1;0 ) ( BC ) : y = 3x − ⇒ hệ số góc ( BC ) k = tanB = hay B = 600 ⇒ C = 300 ( ) Giả sử A ( a;0) ,C a; 3a − ∈ ( BC ) ( ) A B  Khi : AB = r  cot + cot  hay a − = + 2   A + 3;0  TH1: a − = + ⇒ a = + ⇒  C + 3;6 +   7+ 6+2  Khi G   ;      A −2 − 1;0  TH2: a − = −2 + ⇒ a = −2 − ⇒  C −2 − 1; −6 −   −1 − −6 −  Khi G' =  ;    3   Cách : Phương trình đường ( d1 ) phân giác góc A : y = −x + a ( ( ( ) ( ) ) ) ( ( ) ) Phương trình đường ( d2 ) phân giác góc B : y = 3 x− 3  + 3a a −  Tọa độ tâm I1 giao điểm ( d1 ) , ( d2 ) nên I   + ;1 +     Theo giả thiết : d ( I;AB ) = d ( I;Ox ) = ⇒ tìm a ⇒ ycbt ( Cách ) Cách 3: ta có AB = a − , AC = a − ,BC = a −  S = AB.AC = ( a − 1)2  S a −1  2 = 2⇒ a −1 = +1 ⇒r = = P +1 a −1 + a −1  P=   7+4 6+  * a = + ⇒ G  ;      −4 − −6 −  * a = −2 − ⇒ G  ;    3   Cách : Gọi I tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC r = ⇒ y = ±2 ( 536 ) http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh Phương trình BI : y = tan300 ( x − ) = x −1 ⇔ ±2 = x −1 ⇒ x =1±2 * Nếu A O khác phía B ⇒ x = + d ( I;AC ) = ⇒ a = x + 7+4 6+  ⇒ G  ;     * Nếu A O phía B ⇒ x = − ⇒ a = x − Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề vuông góc Oxy Cho ∆ABC với AB = , đỉnh C ( −1; −1) , đường thẳng ( AB ) : x + 2y − = trọng tâm G ∆ABC thuộc đường thẳng x + y − = Xác định tọa độ A, B tam giác Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh AB : x − 2y − = , đường chéo BD : x − 7y + 14 = đường chéo AC qua điểm E ( 2;1) Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật Lời giải Gọi I trung điểm AB , G ( xG ; y G ) + độ trọng tâm ∆ABC tọa  2x −  xG =  ⇒ CG = CI ⇔   y = 2y −  G  G ∈ x + y − = nên có: 2x − 2y − + −2=0 3 x + 2y − =  Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ:  2x − 2y − ⇒ I ( 5; −1) + −2=0   2  AB  Gọi A ( x A ; y A ) ⇒ IA = ( x A − ) + ( y A + 1) =   =   Hơn A ∈ x + 2y − = suy tọa độ điểm A nghiệm hệ: x A + 2y A − = x = xA =   A  ⇔   ( xA − )2 + ( yA + 1)2 = yA = −   yA = −    537 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh  1  3 Vậy, A  4, −  , B  6; −  ngược lại tọa độ cần tìm 2  2  B = AB ∩ BD ⇒ toạ độ điểm B nghiệm hệ: x − 2y − = x = ⇔ ⇒ B = ( 7; )  x − 7y + 14 =  y = Giả sử: A = ( 2a + 1; a ) ∈ AB : − 2y − = 0, D ( 7d − 14; d ) ∈ BD : x − 7y + 14 = ⇒ AB = ( − 2a; − a ) , BD = ( 7d − 21; d − ) , AD = ( 7d − 2a − 15; d − a ) Vì AB ⊥ AD ⇒ AB.AD = ⇔ ( − a )( 15d − 5a − 30 ) = ⇔ a = ( không thỏa ) 3d − a − = ⇒ a = 3d − ⇒ AD = ( d − 3; − 2d ) Hơn nữa: BC = ( xC − 7; yC − ) ABCD hình chữ nhật nên d − = xC −   x = d + AD = BC  ⇒ C ⇒ C = ( d + 4; − 2d ) 6 − 2d = yC −  yC = − 2d   ⇒ EA = ( 6d − 13; 3d − ) , EC = ( d + 2; − 2d ) d ≠ Lại có: E ( 2;1) ∈ AC ⇒ EA, EC phương + ⇔ ( 6d − 13 )( − 2d ) = ( d + )( 3d − ) ⇔ d − 5d + = ⇔ d = ⇒ a = ⇒ A ( 1; ) , B ( 7; ) , C ( 6; ) , D ( 0; ) Vậy, A ( 1; ) , B ( 7; ) , C ( 6; ) , D ( 0; ) đỉnh hình chữ nhật cần tìm Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y − = 0, d2 :3x − y + = Tìm tọa độ đỉnh hình bình hành ABCD , biết I (3;3) giao điểm hai đường chéo, hai cạnh hình bình hành nằm hai đường thẳng d1 ,d2 giao điểm hai đường thẳng đỉnh hình bình hành Lời giải x + y − = x = −1 Tọa độ giao điểm d1 d2 nghiệm hệ:  ⇔ 3x − y + = y = Ta giả sử A ( −1;2) AB ≡ d1 ,AD ≡ d2 , suy C (7;4 ) 538 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh Gọi d đường thẳng qua I d2 song song với AB , suy phương D trình d : x + y − = Tọa độ giao điểm d AD : C d1 I  A x = x + y − =   23  ⇔ ⇒ M ;   4  3x − y + = y = 23    19  9 7 M trung điểm AD Khi D  ;  , suy B  ; −  2  2 2  B Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB : x − 3y + = 0, đường chéo BD : x − y − = đường chéo AC qua điểm M ( −9; ) Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD Cho đường thẳng d1 :x − 3y = 0, d :2x + y − = 0, d : x − y = Tìm tọa độ điểm A ∈ d1 , B ∈ d , C, D ∈ d để tứ giác ABCD hình vng + Lời giải x − 3y + = x = Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình:  ⇔ ⇒ B ( 4; ) x− y −1=  y = Gọi A ( −5 + 3a;a ) ∈ AB ⇒ MA = ( + 3a; −2 + a ) ⇒ n AC = ( − a; + 3a ) Ta có: n AB = ( 1; −3 ) , n BD = ( 1; −1) , n AC = ( − a; + 3a ) vectơ pháp tuyến AB, BD, AC Hơn ABD = BAC ⇒ cos ABD = cos BAC Mà cos ABD = 10 a + , cos BAC = 10 a + Nên có : 10 ( − a )2 + ( + 3a )2 10 ( − a ) + ( + 3a ) 2 = , bình phương vế, rút gọn ta phương trình : a + 2a − = ⇔ a = −3 a = ∗ Với a = −3 khơng thỏa AC BD 539 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh ∗ Với a = ⇒ A ( −2;1) Đường thẳng AD qua A vng góc với AB nên có phương trình : 3x + y + = x − y − = x = −1 Tọa độ điểm D nghiệm hệ :  ⇒ D ( −1; −2 ) ⇔ 3x + y + =   y = −2 3 1 Gọi I  ;  trung điểm BD I trung điểm AC ⇒ C ( 5; ) 2 2 Vậy, A ( −2;1) , B ( 4; ) , C ( 5; ) , D ( −1; −2 ) tọa độ cần tìm Gọi B ( b; − 2b ) ∈ d Đường thẳng ∆1 qua B vng góc d cắt d C Phương trình ∆1 : x + y + b − = x − y = 5−b 5−b Tọa độ C nghiệm hệ  ⇒ C ;    x + y + b − = Đường thẳng AB d nên có phương trình x − y + − 3b = x − y + − 3b =  9b − 15 3b −  Tọa độ A nghiệm hệ  ⇒ A ;    x − 3y = Đường thẳng ∆ qua A vng góc d cắt d D Phương trình ∆1 : x + y − 6b + 10 = x − y + = Tọa độ D nghiệm hệ  ⇒ D ( 3b − 5; 3b − ) x + y − 6b + 10 = ABCD hình vng ⇔ AD = CD ⇔ 2b2 − 9b + 10 = ⇔ b = b = 3 1 3 3 b = ⇒ A  ;  , B ( 2;1) , C  ;  , D ( 1;1) 2  2 2 b=  15     5  5 5 ⇒ A  ;  , B ;  , C ;  , D ;  4 2  4 4  2 2 Ví dụ 10 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy Cho đường thẳng ( d ) : x + 2y − = 0, ( d' ) : 3x + y − = M (1; ) , đồng thời cắt cắt I Viết phương trình đường thẳng qua đường thẳng ( d ) ( d' ) A B cho AI = 2AB Cho điểm A ( 1; ) , B ( −2; ) ,C ( −1; ) , D ( 3; ) đường thẳng d : 3x − y − = Tìm điểm M ( d ) cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích 540 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh Lời giải Tọa độ điểm I nghiệm hệ phương trình: x + 2y − = x = −3 ⇔ ⇒ I ( −3; )  y = 3x + y − = Lấy H ( 1; ) ∈ ( d ) K ∈ ( d' ) ⇒ K ( a; −7 − 3a ) cho IH = 2KH Ta có, HI = ( −4; ) HK = ( −1 + a; −7 − 3a ) 2 Mà IH = 2KH ⇔ IH = KH2 ⇔ 20 = ( a − 1) + ( + 3a )  ⇒ a = −2     AI = 2AB IH HK  Ta có:  ⇒ = ⇒ HK AB AI AB IH = 2KH  Vậy, đường thẳng cần tìm đường thẳng qua M có vectơ phương x−1 y −2 KH = ( 3;1) có phương trình: = M ( x; y ) ∈ d ⇔ 3x − y − = AB = 5,CD = 17 Ta có: AB ( −3; ) ⇒ n AB ( 4; ) ⇒ phương trình đường thẳng AB : 4x + 3y − = CD ( 4;1) ⇒ nCD ( 1; −4 ) ⇒ phương trình+đường thẳng CD : x − 4y + 17 = S MAB = S MCD ⇔ AB.d ( M, AB ) = CD.d ( M,CD ) ⇔ ⋅ 4x + 3y − = 17 ⋅ x − 4y + 17 17 ⇔ 4x + 3y − = x − 4y + 17 Tọa độ M cần tìm nghiệm hệ:  3x − y − =  3x − y − =   3x + 7y − 21 = ⇒ M  ;  ,M −9; −32 ⇔ )   2( 1 3x − y − = 3   4x + 3y − = x − 4y + 17    5x − y + 13 =  Ví dụ 11 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy Cho tam giác ABC có diện tích 96 Gọi M ( 2; ) trung điểm AB, phân giác góc A có phương trình: ( d ) : x − y − 10 = Đường thẳng AB 541 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh tạo với ( d ) góc ϕ thỏa mãn cos ϕ = Xác định đỉnh tam giác ABC Cho điểm A ( 1;1) , B ( 3; ) , C ( 7;10 ) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A cho tổng khoảng cách từ B C tới đường thẳng ∆ lớn Lời giải M' đối xứng với M ( 2; ) qua ( d ) : x − y − 10 = ⇒ M' ( 10; −8 ) Đường thẳng qua M ( 2; ) với vectơ pháp tuyến n ( a; b ) có phương trình: a ( x − ) + by = tạo với ( d ) : x − y − 10 = góc ϕ ⇒ a−b a +b = cos ϕ = a = 7b ⇔  b = 7a ∗ Với a = 7b ⇒ ( AB ) : 7x + y − 14 = AB cắt d A ⇒ A ( 3; −7 ) B đối xứng A qua M ⇒ B (1; ) ⇒ AB = 10 ⇒ S ∆AM ' B = ⇒ C ( 17; −9 ) 1   AB.d  M', AB  = 48 = S ∆ABC ⇒ AC = 2AM ' 2 + ∗ Với b = 7a ⇒ ( AB ) : x + 7y − = AB cắt d A ⇒ A ( 9; −1) B đối xứng A qua M ⇒ B ( −5;1) ⇒ AB = 10 ⇒ S ∆AM ' B = 1   AB.d  M', AB  = 48 = S ∆ABC ⇒ AC = 2AM ' 2 ⇒ C ( 11; −15 ) Vậy, A ( 3; −7 ) , B (1; ) , C ( 17; −9 ) A ( 9; −1) , B ( −5;1) ,C ( 11; −15 ) tọa độ cần tìm ∗ Nếu đường thẳng ∆ cắt đoạn BC điểm M Khi đó: d  B, ∆ + d C, ∆ ≤ BM + CM = BC Đẳng thức xảy đường thẳng ∆ vng     góc với BC ∗ Nếu đường thẳng ∆ không cắt đoạn BC Gọi I ( 5; ) trung điểm BC Ta có: d  B, ∆ + d C, ∆ ≤ 2d I, ∆ ≤ 2AI Đẳng thức xảy đường thẳng ∆       vng góc với AI 542 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh Vì ∆ABC nhọn nên 2AI > BC , d  B, ∆ + d  C, ∆ lớn     đường thẳng ∆ qua A có vectơ pháp tuyến AI = ( 4; ) Đường thẳng cần tìm: ( x − 1) + ( y − 1) = hay 4x + 5y − = Ví dụ 12 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho đường thẳng ∆ : x − 2y − = hai điểm A (3;2) , B ( −1;4 ) Tìm điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho MA + MB nhỏ Viết phương trình đường thẳng d' cho đường thẳng d :3x + 4y + = đường phân giác góc tạo hai đường thẳng d d' Lời giải Nhận thấy A B nằm phía so với đường thẳng ∆ Gọi A' điểm đối xứng với A qua ∆ Khi với điểm M thuộc ∆ , ln có: MA = MA' Do đó: MA + MB = A'M + MB ≥ A'B Đẳng thức xảy M = A'B ∩ ∆ Vì A'A ⊥ ∆ nên AA' có phương trình: 2x + y − = 2x + y − = Gọi H = ∆ ∩ AA' ⇒ H :   x − 2y − =  19 x =  19   ⇔ ⇒ H ;   5 y =   Vì H trung điểm AA' nên B + A ∆ M M A' 23  x A' = 2xH − x A =   23  ⇒ A' ; −    5 y = 2y − y = − H A  A'   28 26  Suy A'B =  − ;  , phương trình A'B : 13x + 14y − 43 =  5   16 x = x − 2y − =  Tọa độ M thỏa hệ phương trình:  ⇔ 13x + 14y − 43 = y =  10  543 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh  16  ⇒ M ;   10  Gọi I giao điểm ∆ d nên tọa độ điểm I thỏa hệ phương trình : x − 2y − = x = ⇒ I (1; −1 ) ⇔  3x + 4y + = y = −1 Vì d phân giác góc hợp hai đường thẳng ∆ d' nên d d' đối xứng qua d , I ∈ d'  16  Lấy E (3;0) ∈ ∆ , tìm F  ; −  điểm đối xứng với E qua d F ∈ d' 5   11  Suy FI =  ;  , phương trình d':11x − 2y − 13 = 5  Ví dụ 13 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho tam giác ABC M ( −1; −1) , N ( 0; ) trung điểm AB, AC D ( 1; ) chân đường phân giác góc A Tìm tọa độ đỉnh tam giác  5 M ( 1; ) , N ( −1; ) trung điểm BC,CA H  ; −  trực tâm tam giác  3 + ABC D ( 2; −1) ,E ( 2; ) ,F ( −2; ) chân đường cao hạ từ A, B,C Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC Lời giải Gọi A ( a; b ) ⇒ B ( −2 − a; −2 − b ) ,C ( −a; − b ) Suy BD = ( a + 3; b + ) , CD = ( a + 1; b − ) Vì B,C, D thẳng hàng nên a+3 b+2 ⇔ 3a − b + = ⇒ b = 3a + (1 ) = a+1 b−4 ( ) ( Mặt khác D chân đường phân giác góc A nên AD, AB = AD, AC ( ) ( ) ⇔ cos AD, AB = cos AD, AC ⇔ 544 AD.AB AD.AC = AB AC ( ∗) ) http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh Mà AD = ( − a; − b ) , AB = ( −2a − 2; −2b − ) , AC = ( −2a; − 2b ) Nên ( ∗) ⇔ ( a − 1)( a + 1) + b ( b + 1) = ( a − 1) a + ( b − ) b ( ) 2 a2 + ( b − 2) ( a + 1) + ( b + 1) Thay (1 ) vào ( 2) ta có: 2a + 9a + 11 ⇔ 2a + 10a + 13 ( ) ( 2a ( a + 1) + ( 3a + ) 2 = a − a + ( 3a + )( 3a + ) a + ( 3a + ) 2a + 7a + 2a + 6a + ) ( + 12a + = ⇔ ( a + ) ( a ⇔ 2a + 9a + 11 ⇔ a + 6a = a − + ( 3a + )( 3a + ) + 6a + − 2a + 7a + ) ( 2a 2 ) + 10a + 13 = ) + 4a + = ⇔ a = −2, b = Vậy, A ( −2;1) , B ( 0; −3 ) ,C ( 2; ) Gợi ý cách khác: Gọi M' điểm đối xứng M qua AD AC ≡ M' N Gọi N' điểm đối xứng N qua AD AB ≡ MN' + Gọi C ( x; y ) ⇒ B ( − x; − y ) , A ( −2 − x; − y )  AH.BC =  5  Vì H  ; −  trực tâm tam giác ABC nên   3 CH.MN =  ( ∗) 7  23 Mà AH =  + x; − + y  , BC = ( 2x − 2; 2y − ) , 3  1  CH =  − x; − − y  , MN = ( −2; −1) 3     23     + x   2x −  +  − + y  ( 2y − ) =     Nên ( ∗) ⇔  2  x −  + y + = ( 2)    3   ( ) ⇔ 2x + y + = ⇒ y = −1 − 2x ( 1) thay vào ( 1) ta : 545 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh 7   26   + x  ( 2x − ) +  + 2x  ( 10 + 4x ) = ⇔ 15x + 86x + 123 = 3    ⇔ x = −3 x = − 41 15 • x = −3 ⇒ y = ⇒ A ( 1;1) , B ( 5; ) , C ( −3; ) • x=−  11 23   71 53   41 76  41 67 ⇒y= ⇒ A  ;  , B ;  , C − ;  15 15  15 15   15 15   15 15  Gọi H ( a; b ) trực tâm tam giác ABC Ta có tứ giác BDHF, CDHE, BCEF tứ giác nội tiếp nên suy HDF = HBF; HDE = HCE; HBF = HCE ⇒ HDF = HDE ⇒ AH phân giác góc EDF Tương tự, ta có BH phân giác A góc DEF Suy H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF  EH.EF EH.ED =   ED , giải hệ ta+ Ta có :  EF  FH.FE FH.FD  EF = FD  F H E B tìm a = 1, b = hay H (1;1) D C Suy HD = ( 1; −2 ) nên phương trình BC : x − 2y − = HE = ( 1;1) nên phương trình AC : x + y − = HF = ( −3;1) nên phương trình AB : 3x − y + = 3x − y + = x = −1 Vì A = AB ∩ AC ⇒ A :  ⇔ ⇒ A ( −1; ) x + y − = y = Tương tự, ta tìm B ( −4; −4 ) ,C ( 4; ) Ví dụ 14 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho điểm A ( 3; ) , 546 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh đường thẳng d1 : x + y − = và: d : x + y − = Tìm tọa độ điểm B ∈ d1 , C ∈ d cho tam giác ABC vuông cân A Lời giải Vì B ∈ d1 : x + y − = nên B ( b; − b ) , C ∈ d : x + y − = nên C ( c; − c )  AB2 = AC2  AB = AC  Tam giác ABC vuông cân A  ⇔ AB ⊥ AC   AB.AC =  2 2   ( b − ) + ( b − 1) = ( c − ) + ( c − ) Hay  ( b − )( c − ) + ( b − 1)( c − ) =  u + u + 2 = v − + v − ( ) ( ) ( )  Đặt u = b − 3, v = c − , ta có:   u ( v − 1) + ( u + )( v − ) =  3u +  3u +  v = u +  u+1 = v−3 +3 v = u + ( ) ( ) ⇔ ⇔ ⇔  +3 uv − 3u + v − = ( u + 1) = ( u + 1)2 =    ( u + 1)2  u = u = −3 ⇔  v = v = + Vậy có hai cặp điểm thỏa yêu cầu toán là: B ( 4; −1) ,C ( 6; ) B ( 0; ) ,C ( 4; ) Chú ý: Ngồi cách trên, ta giải theo cách khác sau: Tịnh tiến hệ trục tọa độ Oxy hệ tục XAY theo véc tơ OA , ta có công thức dời x = X + trục:  y = Y + Trong hệ trục mới, ta có phương trình d1 : X + Y + = 0, d : X + Y − = Vì tam giác ABC vng cân A nên phép quay Q (A,±900 ) Mà B ∈ d1 ⇒ C ∈ d'1 = Q (A; ±900 ) • Xét phép quay Q (A;900 ) :B→C ' (d1 ) , C ≡ d ∩ d1 , ta có phương trình d'1 : X − Y − = X − Y − =  X = x = Do tọa độ C nghiệm hệ:  ⇔ ⇒ X+Y−4=0  Y = y = • Xét phép quay Q (A; −900 ) , ta có phương trình d'1 : X − Y + = 547 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh X − Y + = X = x = Do tọa độ C nghiệm hệ:  ⇔ ⇒ X + Y − = Y = y = Từ ta tìm B, C Ví dụ 15 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có diện tích 18, đáy lớn CD nằm đường thẳng có phương trình: x – y + = Biết hai đường chéo AC, BD vng góc với cắt điểm I ( 3;1) Hãy viết phương trình đường thẳng BC biết điểm C có hồnh độ âm Lời giải ∆ICD cân I ( 3; 1) , C ( t; t + ) ∈ ( d ) với t < 0, IC = 2t − 4t + 10 , IH = d ( I,CD ) = 2 ⇒ CI = = 2t − 4t + 10 ⇒ t = ( không thỏa ) t = −1 ⇒ C ( −1;1) H ( a; a + ) ∈ ( d ) , IH = ( a − 3; a + 1) , IH ⊥ CD ⇔ a − + a + = ⇔ a = H (1; ) ⇒ D ( 3; ) ⇒ CD = ( IC ) : y = 1, A ( x;1) ∈ IC ( x > ) ⇒ IA = x − IK = x − ⇒ AB = x − 2 ∆IAB vuông cân S ABCD = ( ( AB + CD ) ( IH + IK ) ⇔ 36 = x − + )  2 ⇔ 36 = x − +  2 + x −      ( ) ⇔ x − = ⇔ x = ( không thỏa ) x = ⇒ A ( 5;1) AB d : x − y − =   ⇒ B ( 3; −1) = AB ∩ DI ⇒ BC : x + 2y − = DI : x =  548 ... http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh Mà AD = ( − a; − b ) , AB = ( −2a − 2; −2b − ) , AC = ( −2a; − 2b ) Nên ( ∗) ⇔ ( a − 1 )( a + 1) + b ( b + 1) = ( a − 1) a + ( b − ) b ( ) 2 a2 + ( b − 2) ( a + 1) + ( b +... + 1) Thay (1 ) vào ( 2) ta có: 2a + 9a + 11 ⇔ 2a + 10a + 13 ( ) ( 2a ( a + 1) + ( 3a + ) 2 = a − a + ( 3a + )( 3a + ) a + ( 3a + ) 2a + 7a + 2a + 6a + ) ( + 12a + = ⇔ ( a + ) ( a ⇔ 2a + 9a +... A ( a;b ) , a < b = 25 a +2 Do A ∈ AB 2    a +  25 Nên IA2 =  a −  +   = ⇒ a = −+ ⇒ A ( ? ?2; 0)  2? ??   Tương tự B ( 2; 2) Dựa vào tính chất trung điểm tìm C (3 ;0 ) ,D( −1; ? ?2) Cách 2: