Phương trình không mẫu mực Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình không mẫu mực 1 PH ƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC Ta xem ph ương trình không mẫu mực những phương trình không thể biến ñổi t ương tương, hoặc biến ñổi hệ quả từ ñầu cho ñến khi kết thúc. Một sự phân loại như thế chỉ có tính tương ñối. I. PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ðẶT ẨN PHỤ. 1. M ục ñích ñặt ẩn phụ. 1.1. H ạ bậc một số phương trình bậc cao. • ðưa một số phương trình bậc 4 về phương trình trùng phương. Ph ương trình bậc bốn: ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 ( a ≠ 0 ) ñưa về ñược phương trình trùng ph ương chỉ khi ñồ thị hàm số: f(x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e có tr ục ñối xứng. Gọi x = x 0 là trục ñối xứng. Phép ñặt ẩn phụ x = x 0 + X sẽ ñưa ph ương trình ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 về phương trình trùng phương. Ví d ụ 1: Giải phương trình x 4 - 4x 3 - 2x 2 + 12x - 1 = 0 Gi ải. ðặt y = x 4 - 4x 3 - 2x 2 + 12x - 1 Gi ả sử ñường thẳng x = x 0 là trục ñối xứng của ñồ thị hàm số. Khi ñó qua phép biến ñổi: 0 x x X y Y = +   =  hàm số ñã cho trở thành: Y = (x 0 + X) 4 - 4(x 0 + X) 3 - 2(x 0 + X) 2 + 12(x 0 + X) - 1 = 4 3 2 2 3 4 0 0 4 6 4 o o x x X x X x X X+ + + + - - 3 2 2 3 0 0 0 4 12 12 4x x X x X X− − − - - 2 2 0 0 2 4 2x x X X− − + 0 12 12 1 x X+ + − − Y là hàm số chẵn của X 0 3 2 0 0 0 4 4 0 4 12 4 12 0 x x x x − =   ⇔  − − + =   Suy ra: x 0 = 1 và Y = X 4 - 8X 2 + 6 Phương trình ñã cho tương ñương với: X 4 - 8X 2 + 6 = 0 ⇔ X 2 = 4 10± ⇔ X = 4 10± − , X = 4 10± + Suy ra ph ương trình có 4 nghiệm: x = 1 4 10± − , x = 1 4 10± + Ví d ụ 2: Giải phương trình x 4 + 8x 3 + 12x 2 - 16x + 3 = 0 Gi ải. ðặt y = x 4 + 8x 3 + 12x 2 - 16x + 3. Gi ả sử ñường thẳng x = x 0 là trục ñối xứng của ñồ thị hàm số. www.VNMATH.com Phương trình không mẫu mực Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình không mẫu mực 2 Khi ñó qua phép biến ñổi: 0 x x X y Y = +   =  hàm số ñã cho trở thành: Y = (x 0 + X) 4 + 8(x 0 + X) 3 + 12(x 0 + X) 2 - 16(x 0 + X) + 3 = = 4 3 2 2 3 4 0 0 4 6 4 o o x x X x X x X X+ + + + - 3 2 2 3 0 0 0 8 24 24 8x x X x X X+ + + + + 2 2 0 0 12 24 12x x X X+ + + + 0 16 16 3 x X− − + + Y là hàm s ố chẵn, suy ra: x 0 = - 2 Y = X 4 - 12X 2 + 35 Y = 0 ⇔ X 2 = 5, X 2 = 7 ⇔ X = 5± , X = 7± Suy ra b ốn nghiệm X = - 2 5± , X = - 2 7± Bài tập tương tự: BT1. Gi ải phương trình 2x 4 - 16x 3 + 43x 2 - 44x + 14 = 0 ðSố: x = 2 1 2 ± , x = 2 2± . BT2. Gi ải phương trình 6x 4 + 24x 3 + 23x 2 - 2x - 1 = 0 ðSố: x = - 1 2 3 ± , x = - 1 3 2 ± . • ðưa phương trình bậc bốn dạng: (x - a)(x - b)(x - c)(x - d) = m, trong ñó a + d = b + c v ề phương trình bậc hai. Do a + d = b + c nên ph ương trình ñã cho tương ñương: (x - a)(x - d)(x - b)(x - c) = m ⇔ [x 2 - (a+d)x + ad] [x 2 - (b+c)x + bc] = m 2 2 ( )( ) ( ) ( ) X ad X bc m x a d x X x b c x + + =  ⇔  − + = = − +  Ph ương trình ñã cho chuyển ñược chuyển về: (X + ad)(X + bc) = m ⇔ X 2 + (ad + bc)X + abcd - m = 0 Ví d ụ 1: Giải phương trình (x - 1)(x - 2)(x + 3)(x + 4) = 14. Gi ải. Phương trình ñẫ cho tương ñương với: (x - 1)(x + 3)(x - 2)(x + 4) = 14 ⇔ (x 2 + 2x - 3)(x 2 + 2x - 8) = 14 2 ( 3)( 8) 14 2 X X x x X − − =  ⇔  + =  ⇔ 2 2 11 10 0 2 X X x x X  − + =   + =   ⇔ 2 1, 10 2 X X x x X = =   + =  ⇔ x = - 1 2± , x = - 1 11± . www.VNMATH.com Phương trình không mẫu mực Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình không mẫu mực 3 Ví d ụ 2: Giải phương trình (x 2 - 1)(x + 2)(x + 4) = 7 Gi ải. Phương trình ñẫ cho tương ñương với: (x - 1)(x + 4)(x + 1)(x + 2) = 7 ⇔ (x 2 + 3x - 4)(x 2 + 3x + 2) = 7 2 ( 4)( 2) 7 3 X X x x X − + =  ⇔  + =  ⇔ 2 2 2 15 0 3 X X x x X  − − =   + =   ⇔ 2 3, 5 3 X X x x X = − =   + =  ⇔ x = 3 29 2 − ± Ví d ụ 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m ñể phương trình sau: (x 2 - 1)(x + 3)(x + 5) = m a) Có nghi ệm. b) Có b ốn nghiệm phân biệt. Gi ải. Phương trình ñẫ cho tương ñương với: (x - 1)(x + 5)(x + 1)(x + 3) = m ⇔ (x 2 + 4x - 5)(x 2 + 4x + 3) = m 2 ( 5)( 3) 4 X X m x x X − + =  ⇔  + =  ⇔ 2 2 2 15 (1) 4 (2) X X m x x X  − − =   + =   a) Ph ương trình (2) có nghiệm ⇔ X ≥ - 4 Ph ương trình ñã cho có nghiệm chỉ khi phương trình (1) có nghiệm X ≥ - 4. Cách 1: Ph ương trình (1) có nghiệm X ≥ - 4 ( 4) 0 ' 0 ( 4) 0 4 2 f f b a − ≤      ∆ ≥  ⇔   − ≥      − ≥ −    ⇔ m ≥ - 16 Cách 2: Hàm s ố f(X) = X 2 - 2X - 15 , X ≥ - 4 có f '(X) = 2X - 2. f(X) liên tục trên [- 4; + ∞ ) và có cực tiểu duy nhất trên ñó tại X = 1. Suy ra, trên [- 4; + ∞ ) ta có min f(X) = f(1) = - 16. Vậy phương trình (1) có nghi ệm X ≥ - 4 khi m ≥ - 16. b) 4 nghi ệm phân biệt ? Th ấy ngay là các phương trình x 2 + 4x = X 1 , x 2 + 4x = X 2 có nghiệm trùng nhau khi và ch ỉ khi X 1 = X 2 . Do vậy phương trình ñã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt X 1 > X 2 ≥ - 4. www.VNMATH.com Phương trình không mẫu mực Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình không mẫu mực 4 Cách 1. Ta phải có: ' 0 ( 4) 0 4 2 f b a   ∆ >  − ≥    − > −  ⇔ - 16 < m ≤ 9 Cách 2: Hàm s ố f(X) = X 2 - 2X - 15 , X ≥ - 4 có f '(X) = 2X - 2. X - 4 1 + ∞ f '(X) - 0 + f(X) 9 + ∞ - 16 Bài tập tương tự: BT1. Gi ải phương trình x 4 - 2x 3 - 7x 2 + 8x + 7 = 0. HD. Tìm a, b: (x 2 - x + a)(x 2 - x + b) = x 4 - 2x 3 - 7x 2 + 8x + 7. ðặt x 2 - x = t BT2. Cho ph ương trình (x + 1)(x + 2)(x + 3)( x + 4) = m. • ðưa phương trình bậc bốn dạng: ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0(a ≠ 0) Th ấy ngay x = 0 không thoả phương trình. Chia hai v ế của phương trình cho x 2 : Ph ương trình ñã cho tương ñương : ax 2 + bx + c + b 1 x + a 2 1 x = 0 2 2 1 1 ( ) 0a x b x c x x   ⇔ + + + + =     ( ) 2 2 0a X bX c⇔ − + + = , trong ñó X = x + 1 x hay x 2 - Xx + 1 = 0, 2X ≥ VD1. Gi ải phương trình 2x 4 + 3x 3 - 10x 2 + 3x + 2 = 0. 2 2 1 1 2 3( ) 10 0x x x x   ⇔ + + + − =     ( ) 2 2 2 3 10 0X X⇔ − + − = 2 2 3 14 0X X⇔ + − = 7 2, 2 X X⇔ = = − , trong ñó X = x + 1 x hay x 2 - Xx + 1 = 0, 2X ≥ i) X = 2: x 2 - 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1 ii) X = - 7 2 : 2x 2 + 7x + 2 = 0 ⇔ 7 33 4 − ± VD2. Cho ph ương trình x 4 + hx 3 - x 2 + hx + 1 = 0. Tìm h ñể phương trình có không ít hơn hai nghiệm âm phân biệt. www.VNMATH.com Phương trình không mẫu mực Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình không mẫu mực 5 Gi ải. 2 2 1 1 ( ) 1 0x h x x x   ⇔ + + + − =     ( ) 2 2 1 0X hX⇔ − + − = 2 3 0X hX⇔ + − = (1), trong ñó X = x + 1 x hay x 2 - Xx + 1 = 0 (2) , 2X ≥ . Cách 1. Phương trình (2) nếu 2X ≥ thì có hai nghiệm cùng dấu. Nên muốn có nghi ệm âm thì - b/a = X < 0. Suy ra X ≤ - 2. Nhưng (1) luôn luôn có hai nghiệm X 1 < 0 < X 2 nên ch ỉ mang về cho (2) ñược X 1 . Vậy X 1 < - 2 < 0 < X 2 . Khi ñó f(- 2) < 0, f(X) = 2 3X hX+ − 1 2 0h⇔ − < 1 2 h⇔ > . Cách 2. (1) ⇔ 2 3 X h X − = , 2X ≥ ðặt 2 3 ( ) X f X X − = , 2X ≥ ⇒ 2 2 2 3 3 '( ) 0, X X f X X X − − − = = < 2X ≥ X - ∞ - 2 2 + ∞ f '(X) - - f(X) + ∞ - 1 2 1 2 - ∞ Phương trình (2) nếu 2X ≥ thì có hai nghiệm cùng dấu. Nên muốn có nghiệm âm thì - b/a = X < 0. Suy ra X ≤ - 2. Nhưng (1) luôn luôn có hai nghiệm X 1 < 0 < X 2 nên ch ỉ mang về cho (2) ñược X 1 . Vậy X 1 < - 2 < 0 < X 2 . Theo trên: 1 2 h > . Bài t ập tương tự: BT1. Gi ải phương trình 2x 4 - 5x 3 + 2x 2 - 5x + 2 = 0. BT2. Cho ph ương trình x 4 + mx 3 - 2x 2 + mx + 1 = 0. Tìm m ñể phương trình có không ít hơn hai nghiệm dương phân biệt. 1.2. Làm m ất căn thức. VD1. Gi ải phương trình x(x + 5) = 2 3 2 5 2 2x x+ − − Gi ải. ðặt 3 2 5 2x x+ − = X ⇒ 3 2 2 5X x x+ = + Ph ương trình ñã cho ⇔ 3 2 4 0X X− + = ⇔ X = - 2 ⇒ 2 5 6 0x x+ + = ⇒ x = - 2, x = - 3 VD2. Cho phương trình 3 6 (3 )(6 )x x x x m+ + − − + − = (1) www.VNMATH.com Phương trình không mẫu mực Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình không mẫu mực 6 1) Gi ải phương trình khi m = 3 2) Tìm t ất cả các giá trị m ñể phương trình (1) có nghiệm. Gi ải. ðặt 3 6 , 3 6x x t x+ + − = − ≤ ≤ ⇒ 1 1 ' , 3 6 2 3 2 6 t x x x = − − < < + − . 3 ' 0 3 2 t x≥ ⇔ − < ≤ X - 3 3/ 2 6 f '(X) + 0 - f(X) 3 2 3 3 Suy ra: 3 ≤ t ≤ 3 2 Ta có 2 9 (3 )(6 ) 2 t x x − + − = Phương trình ñã cho tương ñương: t - 2 9 2 t − = m ⇔ t 2 - 2t + 2m - 9 = 0 (*) VD3. Cho ph ương trình 1 ( 3)( 1) 4( 3) 3 x x x x m x + − + + − = − (1) 1) Gi ải phương trình khi m = - 3 2) Tìm tất cả các giá trị m ñể phương trình (1) có nghiệm HD. ðặt 1 ( 3) 3 x x t x + − = − (1) ⇒ 2 ( 3)( 1)x x t− + = , x ≤ - 1 hoặc x > 3 (2) Ph ương trình ⇔ t 2 + 4t = m (3) 1) m = - 3: Ph ương trình (3) ⇔ t 2 + 4t + 3 = 0 ⇔ t = - 1, t = - 3. Thay vào (1): * t = - 1: 2 3 0 3 0 1 ( 3) 1 ( 3)( 1) 1 3 2 4 0 x x x x x x x x x − < − <   + − = − ⇔ ⇔   − + = − − − =   1 5x⇔ = − 1 5x = − thoả ñiều kiện x ≤ - 1. * t = - 3: 2 3 0 3 0 1 ( 3) 3 ( 3)( 1) 9 3 2 12 0 x x x x x x x x x − < − <   + − = − ⇔ ⇔   − + = − − − =   1 13x⇔ = − 1 13x = − thoả ñiều kiện x ≤ - 1. 2) (3) có nghi ệm t ⇔ m ≥ - 4. Xét ph ương trình 2 ( 3)( 1)x x t− + = , x ≤ - 1 hoặc x > 3 ⇔ x 2 - 2x - 3 = t 2 , x ≤ - 1 hoặc x > 3 ðặt f(x) = x 2 - 2x - 3, x ≤ - 1 hoặc x > 3 www.VNMATH.com Phương trình không mẫu mực Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình không mẫu mực 7 f '(x) = 2x - 2 x - ∞ - 1 3 + ∞ f '(x) - + f(x) + ∞ + ∞ 0 0 vì t 2 ≥ 0 nên (2) luôn luôn có nghiệm. Cách 2. N ếu dùng ñịnh lý ñảo về dấu của tam thức bậc hai thì với m ≥ - 4. Xét 3 tr ường hợp khi thay vào (1): i) t = 0: 1 ( 3) 0 3 x x x + − = − : Phương trình có nghiệm x = - 1. ii) t > 0: (1) 2 2 2 3 0 3 ( 3)( 1) ( ) 2 3 0 x x x x t F x x x t − > >   ⇔   − + = = − − − =   Th ấy ngay F(3) = - t 2 < 0 nên F(x) có nghiệm x > 3. 3i) t < 0: (1) 2 2 2 1 0 1 ( 3)( 1) ( ) 2 3 0 x x x x t F x x x t + ≤ ≤ −   ⇔   − + = = − − − =   Th ấy ngay F(- 1) = - t 2 < 0 nên F(x) có nghiệm x ≤ - 1. VD4. Giải phương trình 2 2 2 ( 1) 3 ( 1) 2 1, 2 n n n x x x n+ − − = − − ≥ HD. Th ấy ngay x = ± 1 không thoả phương trình. V ới x ≠ ± 1: Chia hai v ế của phương trình cho 2 1 n x − , ta có: 1 1 3 2 1 1 n n x x x x + − − = − − + (1) ðặt 1 1 n x t x + = − , khi ñó (1) ⇔ t - 3 1 t + 2 = 0 ⇔ t 2 + 2t - 3 = 0 ⇔ t = 1, t = - 3 i) t = 1 : 1 1 1 1 1 1 n x x x x + + = ⇔ = − − : Vô nghiệm ii) t = - 3: 1 3 1 n x x + = − − (2) + n ch ẵn: (2) vô nghiệm + n l ẻ: (2) ⇔ ( ) 1 3 1 3 1 ( 1)( 3) (3 1) 3 1 1 3 1 n n n n n n x x x x x x + − = − ⇔ + = − − ⇔ + = − ⇔ = − + 1.3. Làm m ất giá trị tuyệt ñối. VD1. Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm 2 2 2 1 0x x m x m− − − + = www.VNMATH.com Phương trình không mẫu mực Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình không mẫu mực 8 HD. ðặt 1 0x t− = ≥ ⇒ 2 2 2 1x x t− = − Ph ương trình ñã cho tương ñương t 2 - mt + m 2 - 1 = 0 (1) Ph ương trình ñã cho có nghiệm khi chỉ khi phương trình (1) có nghiệm t ≥ 0. ∆ = m 2 - 4m 2 + 4 = 4 - 3m 2 i) ∆ = 0 ⇔ 4 - 3m 2 = 0 ⇔ m = 2 3 ± : Pt(1) có nghiệm kép t = 2 m ⇒ m = 2 3 thoả ii) ∆ > 0 ⇔ - 2 3 < m < 2 3 : + (1) có 2 nghiệm dương ⇔ P > 0, S > 0 ⇔ m > 1. Suy ra 1 < m < 2 3 thoả + (1) có hai nghi ệm trái dấu ⇔ P < 0 ⇔ - 1 < m < 1 + (1) có 1 nghi ệm bằng 0 ⇔ m = 1± . Khi ñó nghiệm kia t = m nên m = 1 tho ả KL: - 1 < m ≤ 2 3 VD2. Cho ph ương trình 2 2 1x x m x− + = − (1) 1) Gi ải phương trình khi m = 0. 2) Tìm m ñể phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt. HD. ðặt x - 1 = t ⇒ 2 2 2 1x x t− = − Pt(1) ⇔ 2 1t m t− + = ⇔ 2 2 0 1 0 0 1 0 t t t m t t t m  ≥    − − + =    ≥     + − + =   ⇔ 2 2 0 ( ) 1 0 ( ) 1 t f t t t m t g t t t m  ≥    = − − = −    ≥     = + − = −   f '(t) = 2t - 1, g'(t) = 2t + 1 Vì x = 1 + t nên m ỗi nghiệm t cho (1) một nghiệm x. Suy ra không có m thoả 1.4. L ượng giác hoá các phương trình. VD. Gi ải phương trình 3 2 3 2 (1 ) 2(1 )x x x x+ − = − HD. Do 1 - x 2 ≥ 0 ⇔ - 1 ≤ x ≤ 1. ðặt x = cost, [ ] 0;t π ∈ Ptrình ñã cho ⇔ 3 3 cos sin 2 sin cost t t t+ = x 0 + ∞ g '(x) + g(x) + ∞ - 1 x 0 1/2 + ∞ f '(x) - 0 + f(x) - 1 + ∞ - 5/4 www.VNMATH.com Phương trình không mẫu mực Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình không mẫu mực 9 ⇔ 3 (cos sin ) 3sin cos (sin cos ) 2 sin cost t t t t t t t+ − + = (1) ðặt sint + cost = X ⇒ 2 1 cos , 2,sin cos 4 2 2 X X x X t t π −   − = ≤ =     . (1) ⇔ 2 2 3 1 1 3 2 2 2 X X X X − − − = 3 2 2 3 2 0X X X⇔ + − − = 2 ( 2)( 2 2 1) 0X X X⇔ − + + = 2, 2 1X X⇔ − = − ± . Nh ưng 2 2, 1 2X X X≤ ⇒ = = − . i) X = 2 : sint + cost = 2 2 1 2x x⇔ + − = 2 1 2x x⇔ − = − 2 2 1 2 2 2 2 0 x x x x  − = − +  ⇔  − ≥   2 2 2 2 1 0 2 x x x  − + =  ⇔  ≤   1 2 x⇔ = . i) X = 1- 2 : sint + cost = 1 - 2 2 1 1 2x x⇔ + − = − 2 1 1 2x x⇔ − = − − 2 2 1 2 2 2 2(1 2) 1 2 0 x x x x  − = − − − +  ⇔  − − ≥   2 (1 2) 1 2 0 1 2 x x x  − − + − =  ⇔  ≤ −   1 2 2 2 1 2 x − − − ⇔ = . 1.5. ðại số hoá các phương trình lượng giác, mũ, loga. VD1. Gi ải phương trình ( ) ( ) 2 3 2 3 4 x x − + + = HD. ðặt ( ) 2 3 0 x t+ = > ⇒ ( ) 1 2 3 x t − = Pt ⇔ 1 4t t + = ⇔ t 2 - 4t + 1 = 0 ⇔ 2 3t = ± ⇔ ( ) ( ) 2 3 2 3 2 3 2 3 x x  + = +    + = −   ⇔ ( ) ( ) 2 2 2 3 2 3 2 3 x x − =    + = − = +   2, 2.x x⇔ = = − VD2. Cho phương trình ( ) ( ) tan 5 2 6 5 2 6 x tanx m+ + − = 1) Gi ải phương trình khi m = 4 2) Gi ải và biện luận phương trình (1) theo m. HD. ðặt ( ) tan 5 2 6 0 x t+ = > ⇒ ( ) tan 1 5 2 6 x t − = Pt ñã cho tương ñương 2 1 1 0t m t mt t + = ⇔ − + = (1) www.VNMATH.com Phương trình không mẫu mực Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình không mẫu mực 10 1) m = 4: 2 3t = ± ( ) ( ) tan 5 2 6 5 2 6 2 3 log 2 3 x tanx + ⇔ + = ± ⇔ = ± ( ) 5 2 6 log 2 3x arctan k π +   ⇔ = ± +   2) Ptrình ñã cho có nghiệm khi và chỉ khi Pt(1) có nghiệm t > 0 Th ấy ngay rằng, nếu (1) có nghiệm thì có hai nghiệm cùng dấu. Do vậy nếu pt (1) có nghi ệm dương thì có hai nghiệm dương. Suy ra, cần và ñủ là: 2 4 0 2 0 m m S m  ∆ = − ≥ ⇔ ≥  = >  . Khi ñó t = 2 4 2 m m± − ⇔ ( ) 2 tan 4 5 2 6 2 x m m± − + = ⇔ 2 2 5 2 6 5 2 6 4 4 tan log arctan log 2 2 m m m m x x k π + +   ± − ± − = ⇔ = +       . 2. Các ki ểu ñặt ẩn phụ. 1.1. ðặt một ẩn phụ chuyển phương trình về phương trình của ẩn phụ. VD. Giải và biện luận phương trình 24 3 1 1 2 1x m x x− + + = − HD. Th ấy rằng x = - 1 không thoả ptrình. Pt ñã cho tương ñương với 4 1 1 3 2 1 1 x x m x x − − + = + + (1) ðặt 4 1 0 1 x t x − = ≥ + . Khi ñó (1) ⇔ 2 3 2 0t t m− + = (2) Ptrình ñã cho có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm không âm Cách 1: Ph ương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu ⇔ m < 0 Ph ương trình (2) có 2 nghiệm không âm ⇔ ' 0 0 0 P S ∆ ≥   ≥   ≥  ⇔ 1 0 3 m≤ ≤ Hai nghi ệm của (2) là 1 1 3 3 m t ± − = Nh ư thế, khi m < 0: 1 1 3 3 m t + − = 4 1 1 1 3 1 3 x m x − + − ⇒ = + 4 1 1 1 11 1 1 3 1 3 1 M x m M x x M   −− + − ⇒ = = ⇒ =     + +   khi 0 ≤ m 1 3 ≤ : 4 1 1 1 3 1 3 x m x − ± − ⇒ = + 4 1 1 1 11 1 1 3 1 3 1 M x m M x x M   −− + − ⇒ = = ⇒ =     + +   ho ặc 4 2 2 2 11 1 1 3 1 3 1 M x m M x x M   −− − − = = ⇒ =     + +   1.2. ðặt một ẩn phụ và duy trì ẩn cũ trong cùng một phương trình. VD1. Gi ải phương trình 2(1 - x) 2 2 2 1 2 1x x x x+ − = − − www.VNMATH.com [...]... Qu ng Bình 17 khi Phương trình không m u m c www.VNMATH.com Phương trình không m u m c Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình VD3 Gi i phương trình 201− x + 91 − x + 195 61− x = 198 5 HD x = 0 là nghi m x ≠ 0 ⇒ x2 > 0 ⇒ 1 - x2 < 1 ⇒ 201− x < 20, 91 − x < 9, 195 61− x < 195 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ⇒ 201− x + 91 − x + 195 61− x < 198 5 4 2 + 51− x + 1 890 1− x = 3 VD4 Gi i phương trình 191 − x HD x = ± 1 là... + + 1 − x = 198 0 197 9 1 2 198 0  198 0  HD ð t ai = ( 1 + xi ; 1 − xi ) i = 1, 198 0 ⇒ ai = 2 (i = 1, 2, , 198 0), ∑a =( i ∑a i = 198 0 2 (1) i =1 198 0 M t khác 198 0 ) 1 + x1 + + 1 + x 198 0 ; 1 − x1 + + 1 − x 198 0 i =1 ⇒ 198 0 ∑a i = ( ) + (( 2 1 + x1 + + 1 + x 198 0 i =1 ))= 2 1 − x1 + + 1 − x 198 0 = 198 0. 198 1 + 198 0. 197 9 = 198 0 2 (2) T (1)&(2) suy ra các véc tơ ai (i = 1, 198 0) cùng phương, cùng hư ng,... Gi i phương trình 2 x −3 x + 2 + 2 x −2 x −15 = 1 + 22 x −5 x−13 ðưa phương trình v d ng u + v = 1 + uv 1.5 ð t hai n ph và ñưa phương trình v h phương trình hai n VD1 Gi i phương trình 4 + x + 5 − x = 3 HD ð t 4 + x = u ≥ 0, 5 − x = v ≥ 0 ⇒ u 2 + v 2 = 9 2 Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình 2 2 12 Phương trình không m u m c www.VNMATH.com Phương trình không m u m c Ta có h phương trình. .. - x2 > 0 ⇒ 191 − x + 51− x + 1 890 1− x > 190 + 50 + 1 890 0 = 3 x < - 1 ho c x > 1 ⇒ 1 - x2 < 0 ⇒ 191 − x + 51− x + 1 890 1− x < 190 + 50 + 1 890 0 = 3 VD5 Gi i phương trình 5 x 2 + 28 + 2 3 x 2 + 23 + x − 1 + x = 2 + 9 HD x = 1 là nghi m VD6 Gi i phương trình 3 x 2 + 26 + 3 x + x + 3 = 8 HD x = 1 là nghi m 195 6 198 1 VD7 Gi i phương trình x − 2007 + x − 2008 = 1 HD x = 2007, x= 2008 là nghi m 198 1 i) x < 2007... 0 ⇒ (3 + x)(6 − x) = Phương trình ñã cho tương ñương X − VD3 Gi i phương trình X 2 9 2 X 2 9 =3 2 x + 1 + 2( x + 1) = x − 1 + 1 − x + 3 1 − x 2 (TS 10 Chuyên Toán ðHSPHNI, 97 - 98 ) ðưa phương trình v h có m t phương trình tích : u + 2u2 = - v2 + v + 3uv ⇔ u - v + v2 - 3uv + 2v2 = 0 ⇔ u - v + (v - u)(v - 2u) = 0 1.6 ð t hai v c a phương trình cho cùng m t n ph VD1 Gi i phương trình 2log3cotgx = log... th x1 = x2 = x 198 0 ⇒ 1 + x1 = 1 + x2 = = 1 + x 198 0 = ⇒ x1 = x2 = x 198 0 = 198 1 198 0 1 198 0 Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình 27 Phương trình không m u m c www.VNMATH.com Phương trình không m u m c Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình IX CÁC PHƯƠNG TRÌNH KHÁC VD1 Cho các s th c a, b, c và s nguyên dương m tho : a b c + + =0 m+2 m+1 m Ch ng minh r ng phương trình ax2 + bx... n hơn 3 thì phương trình sau vô nghi m: (n + 1)xn + 2 - 3(n + 2)xn + 1 + an + 2 = 0 BT2 Tìm k ñ phương trình sau có 4 nghi m phân bi t: x4 - 4x3 + 8x - k = 0 Gi i phương trình khi k = 5 π BT3 Cho 3 ≤ n ∈ N Tìm nghi m x ∈  0;  c a phương trình:   cos n x + sin n x = 2 Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình 2 2− n 2 19 Phương trình không m u m c www.VNMATH.com Phương trình không m u m... có: 14a 2b = 7  9 7ab 2 − a + b = 0  4 ⇒ a = 1, b = 1 2 Bài t p tương t : BT1 Gi i phương trình 2x2 - 6x - 1 = 4 x + 5 (Thi ch n ðT12QB 21/12/2004) BT2 Gi i và bi n lu n theo a phương trình x3 + a(2 − a 2 ) = 2 3 2 x + a(a 2 − 2) 1.4 ð t hai n ph và ñưa phương trình v phương trình hai n ph VD1 Gi i phương trình x 2 − 3 + x 2 + x − 5 = 1 + x 4 + x3 − 8 x 2 − 3x + 15 ðưa phương trình v d ng u + v... i phương trình x x + 1 + 3 − x = 2 x + 1 HD ð t u = ( x;1) , v = ( x + 1; 3 − x ) Ta có: u.v = x x + 1 + 3 − x , u v = 2 x + 1 Phương trình ñã cho tương ñương v i u.v = u v ⇔ u, v cùng chi u u , v cùng phương ⇔ x x +1 = ≥ 0⇔ 1 3− x  x 2 (3 − x) = x + 1 ⇔ x = 1∨ x = 1+ 2  0≤ x   +   = 1 : Không tho pt 5 5 5 5 VD2 Gi i phương trình 2 x + 4 + 2 x +5 + 195 6 x = 49 HD Bư c 1 D ñoán: x = 0 là nghi m Ch ng minh: 24 + 25 + 195 60 = 49 Bư c 2 Ch ng minh không còn nghi m n a Th t v y: N u x ≠ 0 thì x4 > 0, x4 + 4 > 4, x5 + 5 > 5 4 ⇒ 2x 4 ⇒ 2x +4 4 +4 > 24 = 16, 2 x + 2x 4 +5 4 +5 4 2 4 > 25 = 32, 195 6 x > 195 60 = 1 4 + 195 6 x > 16 + 32 + 1 = 49 Tr n Xuân Bang- GV . Phương trình không mẫu mực Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình không mẫu mực 1 PH ƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC. www.VNMATH.com Phương trình không mẫu mực Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Trần Xuân Bang- GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình không mẫu mực 3 Ví d ụ 2: Giải phương trình. ñưa phương trình về phương trình hai ẩn phụ. VD1. Giải phương trình 2 2 4 3 2 3 5 1 8 3 15x x x x x x x− + + − = + + − − + ðưa phương trình về dạng u + v = 1 + uv VD2. Giải phương trình