Bài tập Ứng dụng KSHS - LTĐH Huỳnh Đức Khánh Bài tập ỨNG DỤNG KHẢO SÁT HÀM SỐ Bài 1. Cho hàm số y = 1 3 x 3 − 5 2 mx 2 − 4mx − 4. Tìm m để đồ thị hàm số đạt cực trị tại x 1 , x 2 sao cho biểu thức A = m 2 x 2 1 + 5mx 2 + 12m + x 2 2 + 5mx 1 + 12m m 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Đáp số: m = − 2 3 . Bài 2. Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 2. Tìm m để đồ thị hàm số đạt cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với đường tròn (C m ) : x 2 + y 2 − 2mx − 4my + 5m 2 − 1 = 0. Đáp số: 3 5 < m < 1. Bài 3. Cho hàm số y = 3x − 2 x + 1 . Gọi I là giao điểm hai tiệm cận. Viết phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị hàm số biết (d) cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B thỏa cos  BAI = 5 √ 26 26 . Đáp số: y = 5x−2 và y = 5x+18. Bài 4. Cho hàm số y = 1 3 x 3 − x 2 − 3x + 8 3 . Lập phương trình đường thẳng (d) song song với trục hoành và cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác O AB cân tại O. Đáp số: y = − 19 3 . Bài 5. Cho hàm số y = x 3 − 2mx 2 + (m + 3) x + 4. Cho đường thẳng (d) : y = x+4 và điểm E (1; 3). Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho (d) cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt A (0; 4) , B, C thỏa mãn tam giác EBC có diện tích bằng 4. Đáp số: m = 3. Bài 6. Cho hàm số y = x 4 − 2  m 2 − m + 1  x 2 + m − 1. Tìm m để đồ thị có khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất. Đáp số: m = 1 2 . Bài 7. Cho hàm số y = 2x + 1 x + 2 . Chứng minh đường thẳng (d) : y = −x + m luôn cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài ngắn nhất. Đáp số: m = 0. Bài 8. Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 1. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại A và B song song với nhau đồng thời AB = 4 √ 2. Đáp số: A (3; 1) , B (−1; −3). Bài 9. Cho hàm số y = 2x x − 1 . Tìm hai điểm B, C nằm trên hai nhánh của đồ thị sao cho tam giác ABC cân tại A (2; 0). Đáp số: A (−1; 1) , B (3; 3). Bài 10. Cho hàm số y = x 4 + 2mx 2 + m 2 + m. Tìm m để đồ thị của hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác có một góc bằng 120 0 . Đáp số: m = − 1 3 √ 3 . GIA SƯ ĐỨC KHÁNH - 0975.120.189 - 0563.602.929 1 22A - Phạm Ngọc Thạch - TP. Quy Nhơn Bài tập Ứng dụng KSHS - LTĐH Huỳnh Đức Khánh Bài 11. Cho hàm số y = 2x − 4 x + 1 . Tìm trên đồ thị hai điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng MN , biết rằng M (−3; 0) , N (−1; −1). Đáp số: A (2; 0) , B (0; −4). Bài 12. Cho hàm số y = 2x x − 2 . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị, biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần lượt tại A, B mà tam giác OAB thỏa mãn AB = OA √ 2. Đáp số: (d) : y = −x + 8. Bài 13. Cho hàm số y = x 3 − mx + m − 1. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng −1 cắt đường tròn (C) : (x − 2) 2 + (y −3) 3 = 4 theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất. Đáp số: m = 2. Bài 14. Cho hàm số y = 3x + 2 x + 2 . Đường thẳng y = x cắt đồ thị hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để đường thẳng y = x + m cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt C, D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Đáp số: m = 10. Bài 15. Cho hàm số y = x 4 −  m 2 + 10  x 2 + 9. Tìm m để đường đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt x 1 , x 2 , x 3 , x 4 thỏa mãn |x 1 | + |x 2 | + |x 3 | + |x 4 | = 10. Đáp số: m = ±3. Bài 16. Cho hàm số y = x + 3 x − 2 . Tìm m để đường thẳng (d) : y = −x + m + 1 cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A, B sao cho  AOB nhọn. Đáp số: −3 < m < 2 − 2 √ 2 hoặc m > 2 + 2 √ 5. Bài 17. Cho hàm số y = x 4 + mx 2 − m 2 2 + 6. Tìm m để đồ thị có ba điểm cực trị A, B, C (A thuộc trục tung) sao cho tứ giác ABOC là hình bình hành. Đáp số: m = − √ 6. Bài 18. Cho hàm số y = 1 3 x 3 + x 2 + x + 1. Viết phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị hàm số, biết rằng giao điểm của (d) và đường thẳng (∆) : y = x + 1 là trọng tâm của tam giác ABC, với A (1; 1) , B (0; 2) , C  22 5 ; 27 5  . Đáp số: y = 16x − 26 hoặc y = 16 25 x + 206 125 . Bài 19. Cho hàm số y = 2x + 1 x + 1 . Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận đến tiếp tuyến (d) của đồ thị tại M là lớn nhất. Đáp số: M 1 (−2; 3) hoặc M 2 (0; 1). Bài 20. Cho hàm số y = x 4 2 − 3x 2 + 5 2 . Cho A là một điểm nằm trên đồ thị có hoành độ là m. Tìm các giá trị thực của m để tiếp tuyến của đồ thị cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt B, C khác A sao cho AC = 3AB (B nằm giữa A và C). Đáp số: m = ± √ 2. GIA SƯ ĐỨC KHÁNH - 0975.120.189 - 0563.602.929 2 22A - Phạm Ngọc Thạch - TP. Quy Nhơn Bài tập Ứng dụng KSHS - LTĐH Huỳnh Đức Khánh Bài 21. Cho hàm số y = x + 1 2x + 1 . Tìm m để đường thẳng (d) : 2mx −2y + m + 1 = 0 cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A, B sao cho biểu thức P = OA 2 + OB 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Đáp số: m = 1. Bài 22. Cho hàm số y = 2x − m mx + 1 . Chứng minh rằng với mọi m = 0 đồ thị cắt đường thẳng (d) : y = 2x − 2m tại hai điểm phân biệt A, B thuộc một đường (T ) cố định. Đường thẳng (d) cắt trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm M, N. Tìm m để S ∆OAB = 3S ∆OM N . Đáp số: m = ± 1 2 . Bài 23. Cho hàm số y = x 3 − 2x 2 + (m − 2) x + 3m. Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị đi qua điểm A  1; − 55 27  . Đáp số: m = 1 4 . Bài 24. Cho hàm số y = 1 3 x 3 + 2mx 2 + (3m − 1) x + 1. Viết phương trình tiếp tuyến (∆) của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 1. Tìm m để giao điểm của (∆) và đường thẳng (d) : y = 2x cách đều các trục tọa độ. Đáp số: m = 1 6 . Bài 25. Cho hàm số y = x − 2 x + 1 . Viết phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị, biết tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận của đồ thị một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. Đáp số: y = x+2−2 √ 3 hoặc y = x+2+2 √ 3. Bài 26. Cho hàm số y = x + 2 x − 1 . Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(1; 0) và có hệ số góc m. Tìm m để (d) cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt M, N thuộc hai nhánh của đồ thị sao cho AM = 2AN. Đáp số: m = 2 3 . Bài 27. Cho hàm số y = 2mx + 3 x − m . Gọi I là giao điểm hai tiệm cận. Tìm m để tiếp tuyến bất kỳ của hàm số cắt hai tiệm cận tại A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 42. Đáp số: m = ±3. Bài 28. Cho hàm số y = x + m x − 1 . Giả sử M là điểm bất kì trên đồ thị, gọi H, K là hình chiếu của M lên các đường tiệm cận của đò thị hàm số và I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm m để S M H IK = 1. Đáp số: Bài 29. Cho hàm số y = x + 3 x − 2 . Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d) : y = −x + m cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A, B nằm ở hai phía của trục tung sao cho góc  AOB nhọn. Đáp số: −2 < m < − 3 2 . Bài 30. Cho hàm số y = x 1 − x . Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = mx − m − 1 cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt M, N sao cho AM 2 + AN 2 đạt giá trị nhỏ nhất với A (−1; 1). Đáp số: m = −1. GIA SƯ ĐỨC KHÁNH - 0975.120.189 - 0563.602.929 3 22A - Phạm Ngọc Thạch - TP. Quy Nhơn Bài tập Ứng dụng KSHS - LTĐH Huỳnh Đức Khánh Bài 31. Cho hàm số y = x 3 − 3 2 (m − 2) x 2 − 3 (m − 1) x + 1. Tìm các giá trị của m > 0 để hàm số có giá trị cực đại, giá trị cực tiểu lần lượt là y CĐ , y CT thỏa mãn 2y CĐ + y CT = 4. Đáp số: m = 1 hoặc m = −1 + √ 33 2 . Bài 32. Cho hàm số y = 1 3 x 4 − 2mx 2 + 2. Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với gốc tọa độ. Đáp số: m = 1 hoặc m = −3 + √ 21 6 . Bài 33. Cho hàm số y = 2x − 1 2x − 2 . Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị sao cho OM + MA = 4, trong đó O là gốc tọa độ và A (2; 2). Đáp số: Bài 34. Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 1. Tìm các giá trị của k để đường thẳng y = x 3 −3x 2 + 1 cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt A, B, C (với hoành độ của ba điểm thỏa mãn x A < x B < x C ) sao cho tam giác AOC cân tại gốc tọa độ O. Đáp số: k = 1. Bài 35. Cho hàm số y = 1 4 x 4 − 1 2 x 2 + 1. Đường thẳng (∆) đi qua điểm cực đại của đồ thị và có hệ số góc k. Tìm k để tổng các khoảng cách từ hai điểm cực tiểu của đồ thị đến (∆) nhỏ nhất. Đáp số: k = ± 1 4 . Bài 36. Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + 1. Đường thẳng (d) đi qua điểm A (−1; 3) với hệ số góc k. Tìm các giá trị của k để (d) cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt A, D, E. Gọi (d 1 ) , (d 2 ) lần lượt là các tiếp tuyến của đồ thị tại D và E. Chứng minh rằng khoảng cách từ A đến (d 1 ) và (d 2 ) bằng nhau. Đáp số: Bài 37. Cho hàm số y = −x 3 − 3x 2 + 4. Với những giá trị nào của m thì đường thẳng nối hai cực trị của đồ thị hàm số tiếp xúc với đường tròn (C) : (x − m) 2 + (y −m − 1) 2 = 5. Đáp số: m = −8 hoặc m = 2. Bài 38. Cho hàm số y = x 4 − 3 (m + 1) x 2 + 9m 2 + 3m. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 7m 2 tại bốn điểm phân biệt A, B, C, D thỏa mãn điều kiện AB = BC = CD. Đáp số: m = 3 7 . Bài 39. Cho hàm số y = x 3 − (m + 2) x 2 . Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = −2m 2 tại ba điểm phân biệt A, B, C thỏa mãn điều kiện AB 2 + BC 2 + CA 2 = 18. Đáp số: m = 1. Bài 40. Cho hàm số y = 2x x + 2 . Tìm hai điểm A, B trên đồ thị sao cho các tiếp tuyến của đồ thị tại A và B song song với nhau đồng thời khoảng cách giữa hai tiếp tuyến đó đạt giá trị lớn nhất. Đáp số: GIA SƯ ĐỨC KHÁNH - 0975.120.189 - 0563.602.929 4 22A - Phạm Ngọc Thạch - TP. Quy Nhơn Bài tập Ứng dụng KSHS - LTĐH Huỳnh Đức Khánh Bài 41. Cho hàm số y = x + 2 2x + 1 . Đường thẳng (d 1 ) : y = x cắt đồ thị tại hai điểm A, B. Tìm tất cả các giá trị m để đường thẳng (d 2 ) : y = x + m cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt C, D sao cho A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình bình hành. Đáp số: Bài 42. Cho hàm số y = x 3 −  m 2 + m − 3  x + m 2 − 3m + 2. Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 2 tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x 1 , x 2 , x 3 và đồng thời thỏa mãn đẳng thức x 2 1 +x 2 2 +x 3 2 = 18. Đáp số: Bài 43. Cho hàm số y = x 2 − 3x 2 + 1. Gọi (d) là đường thẳng đi qua A (1; −1) và có hệ số góc k. Tìm tất cả các giá trị của k để đường thẳng (d) cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tổng hệ số góc của các tiếp tuyến tại ba điểm đó bằng 21. Đáp số: Bài 44. Cho hàm số y = 2x − 1 x − 1 . Tìm trên đồ thị những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của đồ thị tạo với hai tiệm cận một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp là √ 2. Đáp số: M (0; 1) hoặc M (2; 3). Bài 45. Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 4. Viết phương trình đường thẳng (d) cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt M (2; 0) , N, P sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại N và P vuông góc với nhau. Đáp số: k = −3 ± 2 √ 2 3 . Bài 46. Cho hàm số y = −x 3 + 3x 2 − 2. Tìm m để đường thẳng (d) : y = m (2 − x) + 2 cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt A (2; 2) , B, C sao cho tích các hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại B và C đạt giá trị nhỏ nhất. Đáp số: m = −1. Bài 47. Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm M, biết điểm M cùng với hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành tam gác có diện tích bằng 6. Đáp số: y = 9x + 7 hoặc y = 9x −25. Bài 48. Cho hàm số y = mx + 2 x + 1 . Cho hai điểm A (3; −4) , B (−3; 2). Tìm m để trên đồ thị hàm số có hai điểm phân biệt P, Q cách đều hai điểm A, B và diện tích tứ giác AP BQ bằng 24. Đáp số: m = −2. Bài 49. Cho hàm số y = −x 4 + 4x 2 − 3. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình   x 4 − 4x 2 + 3   = 7m 2 − m có nghiệm thuộc đoạn  −2; √ 5  . Đáp số: −1 ≤ m ≤ 0 hoặc 1 7 ≤ m ≤ 8 7 . Bài 50. Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + (m + 1) x + 1. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng (d) : y = x + 1 tại ba điểm phân biệt A (0; 1) , B, C sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC bằng  41 2 . Đáp số: m = −4 hoặc m = 1. ————————– Chúc các em học tốt ————————– GIA SƯ ĐỨC KHÁNH - 0975.120.189 - 0563.602.929 5 22A - Phạm Ngọc Thạch - TP. Quy Nhơn . Bài tập Ứng dụng KSHS - LTĐH Huỳnh Đức Khánh Bài tập ỨNG DỤNG KHẢO SÁT HÀM SỐ Bài 1. Cho hàm số y = 1 3 x 3 − 5 2 mx 2 − 4mx − 4. Tìm m để đồ thị hàm số đạt cực trị tại x 1 ,. Nhơn Bài tập Ứng dụng KSHS - LTĐH Huỳnh Đức Khánh Bài 11. Cho hàm số y = 2x − 4 x + 1 . Tìm trên đồ thị hai điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng MN , biết rằng M (−3; 0) , N (−1; −1). Đáp số: . Đáp số: m = ± 1 2 . Bài 23. Cho hàm số y = x 3 − 2x 2 + (m − 2) x + 3m. Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị đi qua điểm A  1; − 55 27  . Đáp số: m = 1 4 . Bài 24. Cho hàm số