2n − 1 Tìm lim ? n − 2n + § Nội dung Giới hạn hàm số điểm Giới hạn hàm số vơ cực Một số định lí giới hạn hữu hạn  Củng cố Giới hạn hàm số điểm a) Giới hạn hữu hạn  ĐỊNH NGHĨA (sgk, tr 146) Giả sử (a;b) khoảng chứa điểm x0 f hàm số xác định tập hợp ( a; b) \ { x0 } Ta nói hàm số f có giới hạn số thực L x dần đến x0(hoặc điểm x0 ) với dãy số ( a b) \ xn ∈ (a; b) tập; hợp {x0 } (tức ( xn ) xn ≠ x0 với nlim xn = x0 ) mà ta ( lim fcóx ) = L n lim f ( x) = L Khi ta viết x →x0 f ( x) → L x → x0 Giới hạn Tóm tắt định nghĩa hàm số Giả sử x0 ∈ (a; b) f hàm số xác định trên(a; b) \{x0} điểm  ∀( x ) ⊂ (a; b) \{x } mà lim x = x  a) Giới hạn hữu hạn n lim f ( x) = L ⇔  x → x0  ⇒ lim f ( xn ) = L n f ( x) = x − x + x +  Ví dụ 1: Cho - Xét x0 = ta có (-2;5) khoảng chứa - Ta có (-2;5) khoảng chứa - f xác định tập (-2;5)\{2} - Với dãy số (xn) (-2;5)\{2} mà lim xn= 2, ta có f ( xn ) = xn − 3xn + xn + ⇒ lim f ( xn ) = lim( xn − xn + xn + 5) = = lim xn − lim 3xn + lim xn + lim = = 23 − 3.22 + + = - Ta nói hàm số f có giới hạn x dần đến lim( x − x + x + 5) = - Khi ta viết x →2 ÷  Giới hạn hàm số điểm a) Giới hạn hữu hạn H1? Tìm x + 3x + x →−1 x +1 lim x2 − 4x +3  Ví dụ 2: Tìm lim ? x →3 x −3 Giải x2 − 4x + • B1: Xét hàm số: f ( x) = x −3 + ĐK: x − ≠ ⇔ x ≠ + x − x + = ⇔ x = x = Do đó: x − x + = ( x − 1)( x − 3) x − x + ( x − 1).( x − 3) = = ( x − 1) +Ta có f ( x) = x−3 x−3 • B2: ∀( xn ) ⊂ R \{3} mà lim xn = 3, ta có lim f ( xn ) = lim ( xn −1) = −1 = x2 −4 x+3 = • B3: Kết luận lim x →3 x−3 Giới hạn hàm số điểm a) Giới hạn hữu hạn H1? Tìm x + 3x + x →−1 x +1 lim Giải x + 3x + • B1: Xét hàm số: f ( x) = x +1 + ĐK: x + ≠ ⇔ x ≠ − +x + x + = ⇔ x = − x = − 2 Do đó: x + 3x + = ( x + 1)( x + 2) x + 3x + ( x + 1)( x + 2) = = ( x + 2) +Ta có f ( x ) = x +1 x +1 • B2:∀( xn ) ⊂ R \{−1} mà lim xn = −1, ta có lim f ( xn ) = lim ( xn + 2) = −1 + =1 • B3: Kết luận x + 3x + lim =1 x →−1 x +1 Giới hạn hàm số điểm a) Giới hạn hữu hạn  Nhận xét a) Nếu f ( x ) = c, ∀x ∈R , c số, ∀x0 ∈R , lim f ( x) = lim c = c x → x0 x → x0 a) Nếu g ( x) = x, ∀x ∈R , ∀x0 ∈R , lim g ( x) = lim x = x0 x → x0 x → x0 Ví dụ: a) lim = b) lim = c) lim x = d ) lim x = −6 x→2 x→2 x →−6 x →−6 Giới hạn hàm số điểm a) Giới hạn hữu hạn b) Giới hạn vô cực  ĐỊNH NGHĨA  ∀ ( xn ) ⊂ (a; b) \{x0 } mà lim xn = x0  • lim f ( x) = +∞ ⇔  ÷ x → x0 ⇒ lim f ( xn ) = +∞   • Tương tự: lim f ( x) = −∞ x → x0 Ví dụ 3: Tìm xlim2 →− ? ( x + 2) Giải • B1: Xét hàm số ( x + 2) 2 + ĐK: ( x + 2) ≠ ⇒ x ≠ −2 f ( x) = • B2: ∀( xn ) ⊂ R \{−2} mà lim xn = − , ta có ( xn + 2) 2 lim = > 0, lim( xn + 2) = ( xn + 2) > 0, ∀n nên + Vì lim f ( xn ) = +∞ = +∞ B2: Kết luận xlim2 →− ( x + 2) lim f ( xn ) = lim • Giới hạn hàm số điểm a) Giới hạn hữu hạn b) Giới hạn vô cực Giới hạn hàm số vô cực  ĐỊNH NGHĨA (sgk, tr 148) Giả sử hàm số f xác định (a; +∞), ta nói  ∀( xn ) ⊂ ( a; +∞ ) mà lim xn = +∞  lim f ( x) = L ⇔  ÷ x →+∞ ⇒ lim f ( xn ) = L    Các giới hạn • lim f ( x) = L • lim f ( x) = +∞ • lim f ( x) = +∞ • lim f ( x) = −∞ x →−∞ x →−∞ x →+∞ • lim f ( x) = −∞ x →−∞ định nghĩa tương tự x →+∞ Giới hạn hàm số điểm a) Giới hạn hữu hạn b) Giới hạn vô cực Giới hạn hàm số vô cực  Nhận xét: Với số nguyên dương k, ta có +∞ a ) lim x = +∞; b) xlim x =  →−∞ x →+∞ −∞ 1 d ) lim k = c) lim k = x →−∞ x x →+∞ x k k Ví dụ: a) lim x3 = +∞ x →+∞ b ') lim x = −∞ x →−∞ =0 x →−∞ x d ) lim b) lim x = +∞ x →−∞ =0 x →+∞ x c) lim k chẵn k lẻ Giới hạn hàm số điểm  ĐỊNH LÍ (sgk tr 149) Giả sử lim f ( x) = L lim g ( x) = M Khi x → x0 x → x0 a) Giới hạn hữu hạn a ) lim[ f ( x) + g ( x )] = L + M b) Giới hạn vô cực b) lim[ f ( x) − g ( x)] = L − M Giới hạn hàm số vô cực Một số định lí giới hạn hữu hạn x → x0 x → x0 c) lim[ f ( x).g ( x)] = L.M x → x0 Đặc biệt, c số lim[c f ( x)] = c.L x → x0 f ( x) L = d) Nếu M ≠ lim x → x0 g ( x ) M  Chú ý: Định lí vừa nêu định lí thay x → x0 x → −∞ x → +∞ 3 Một số định lí giới hạn hữu hạn: ĐỊNH LÍ 1: Giả sử: lim f ( x ) = L lim g ( x ) = M , ( L, M ∈ ¡ ) Khi đó: x → x0 x → x0 a) lim  f ( x ) + g ( x )  = L + M ;   b) lim  f ( x ) − g ( x )  = L − M ;   x → x0 c) lim  f ( x ) g ( x )  = LM ;   x → x0 f ( x) L d ) lim = ; M ≠0 x → x0 g ( x ) M ĐỊNH LÍ 2: Giả sử: x → x0 lim cf ( x )  = cL; c: số   x → x0 lim f ( x ) = L đó: x → x0 a ) lim | f ( x ) |=| L | ; x → x0 b) lim x → x0 f ( x) = L ; c) Nếu f(x) ≥0 với x∈J\{x0}, J khoảng chứa x0 L≥0 lim f x = L x → x0 ( ) ⇐ Giới hạn hàm số điểm  Nhận xét: Nếu k số nguyên dương a số với mọi∀x0 ∈ R, ta có k lim ax k = ax0 a) Giới hạn hữu hạn b) Giới hạn vô cực Giới hạn hàm số vơ cực Một số định lí giới hạn hữu hạn x → x0 Ví dụ: lim x3 = 2.23 = 16 x→  Ví dụ 4: a) lim( x3 + 3x − x − 3) x →1 Giải x2 + x + b) lim x →−1 x2 + x x2 +  Ví dụ 5: xlim →+∞ x − x + Giải Giới hạn hàm số điểm a ) lim( x3 + x − x − 3) x →1 Ta có lim( x3 + x − x − 3) = x→1 a) Giới hạn hữu hạn b) Giới hạn vô cực Giới hạn hàm số vơ cực Một số định lí giới hạn hữu hạn = lim x + lim 3x − lim x − lim = x →1 x →1 x →1 x→1 = 13 + 3.12 − 2.1 − = − Vậy lim( x3 + x − x − 3) = − x→1 x + 2x +1 x →−1 x2 + x x + x + ( x + 1) x + Với x ≠ −1 , ta có = = x +x x( x + 1) x b) lim Do lim( x2 + 2x + x + x → −1 x + 1) − + lim = lim = = =0 x→ −1 x→ −1 x x +x lim x −1 x2 + 2x + Vậy lim =0 x →−1 x +x x→ −1 Giới hạn hàm số điểm a) Giới hạn hữu hạn b) Giới hạn vô cực Giới hạn hàm số vô cực Một số định lí giới hạn hữu hạn x2 +  Ví dụ 5: xlim →+∞ x − x + Giải Chia tử mẫu phân thức cho x2 ta 1+ x2 + x ,∀x ≠ = x2 − x + − + x x2 Ta có 1 lim (1 + ) = lim + lim = + = x → +∞ x → +∞ x → +∞ x x 1 1 lim (2 − + ) = lim − lim + lim = − + = x → +∞ x → +∞ x → +∞ x x → +∞ x x x Do ) x2 + 1 x → +∞ x lim = lim = = x → +∞ x − x + x → +∞ 1 1 − + lim (2 − + ) x x x → +∞ x x 1+ x2 lim (1 + ∞ Khử dạng vô định 0.∞ ∞ − ∞ ∞ ∞  Daïng hay 0.∞ ∞ Đặt bậc cao tử mẫu làm nhân tử chung Nếu bậc tử < bậc mẫu f(x)→0 Nếu bậc tử = bậc mẫu f(x)→số thực Nếu bậc tử > bậc mẫu f(x)→∞ + x  x = x = - x  neáu x ≥ x <  Dạng ∞ − ∞ dùng lượng liên hợp a − b = (a + b)(a − b) a − b = (a − b)(a + ab + b ) 16 Các tập ví dụ: x +3 lim x →3 x − x + x−6 lim x→2 x −4 1+ 2x −1 lim x →0 2x 4x lim x →0 9+ x −3 17 Giới hạn hàm số điểm a) Giới hạn hữu hạn CỦNG CỐ BÀI HỌC Theo định nghĩa, để tính giới hạn hàm số x0 ta thực ba bước: • B1: Xét hàm số f(x) tập xác định + Nếu f(x) xác định x0 thực bước b) Giới hạn vơ cực + Nếu f(x) khơng xác định x0 biến đổi tử mẫu f(x) thành tích, sau rút gọn • B2: : Với dãy số( xn ), xn ≠ x0 , ∀ n ∈ N * mà Giới hạn hàm số vô cực lim xn = x0 Một số định lí giới hạn hữu hạn + Tính lim f ( xn ) = L • B3: : Kết luậnlim f ( x) = L x→ x Giới hạn vô cực: PP: Tương tự giới hạn dãy số Tính giới hạn định lí § Nội dung Giới hạn hàm số điểm Giới hạn hàm số vô cực Một số định lí giới hạn hữu hạn  Củng cố ... dung Giới hạn hàm số điểm Giới hạn hàm số vô cực Một số định lí giới hạn hữu hạn  Củng cố Giới hạn hàm số điểm a) Giới hạn hữu hạn  ĐỊNH NGHĨA (sgk, tr 146) Giả sử (a;b) khoảng chứa điểm x0 f hàm. .. ⇐ Giới hạn hàm số điểm  Nhận xét: Nếu k số nguyên dương a số với mọi∀x0 ∈ R, ta có k lim ax k = ax0 a) Giới hạn hữu hạn b) Giới hạn vô cực Giới hạn hàm số vô cực Một số định lí giới hạn hữu hạn. .. ( x + 2) lim f ( xn ) = lim • Giới hạn hàm số điểm a) Giới hạn hữu hạn b) Giới hạn vô cực Giới hạn hàm số vô cực  ĐỊNH NGHĨA (sgk, tr 148) Giả sử hàm số f xác định (a; +∞), ta nói  ∀( xn )