Bài dạy: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN §3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN 1. Phương trình bậc nhất và bậc hai với một hàm số lượng giác: 2.Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx. Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx là phương trình có dạng: asinx + bcosx = c trong đó a,b,c là các hằng số và 2 2 0.a b+ ≠ Giải pt: sinx + cosx =1. (1)Ví dụ 1: Giải: sinx cos 2 sin(x+ ) 4 x π + = Ta có: 1 (1) 2 sin( ) 1 sin( ) 4 4 2 x x π π ⇔ + = ⇔ + = Khi đó sin( ) sin 4 4 x π π ⇔ + = π π π π π π π π π π   = + = +   ⇔ ⇔ ∈   = +  + = − +     2 2 4 4 ( ). 2 2 2 4 4 x k x k k Z x k x k 2 2 2 2 os , sin . a b c a b a b α α = = + + ⇔ Khi đó pt : asinx+bcosx =c 2 2 2 2 sin( ) sin( ) . c a b x c x a b α α + + = ⇔ + = + Để giải pt: asinx + bcosx =c (1) (a và b khác 0). Ta làm như sau: Vì : nên có góc sao cho: 2 2 2 2 2 2 1 a b a b a b     + =  ÷  ÷  ÷  ÷ + +     α 2 2 2 2 asin cos ( os .sinx + sin .cos ) sin( ).x b x a b c x a b x α α α + = + = + + Do đó: 2 2 2 2 2 1 c c a b a b > ⇔ > + + *Nếu thì PT (1) vô nghiệm. 2 2 2 2 2 1 c c a b a b ≤ ⇔ ≤ + + *Nếu thì PT (1) luôn có nghiệm. Lưu ý:1 + = + + + 2 2 2 2 2 2 asin cos ( sinx+ cos ). a b x b x a b x a b a b Biến đổi vế trái: Lưu ý:2 β β + = + 2 2 asin cos (sin .sinx + cos .cos )x b x a b x Khi đó: 2 2 2 2 2 2 asin cos ( sinx+ cos ) a b x b x a b x a b a b + = + + + Trong phép biến đổi: Nếu ta chọn số sao cho: β 2 2 2 2 sin , os . a b c a b a b β β = = + + 2 2 2 2 2 2 1 a b a b a b     + =  ÷  ÷  ÷  ÷ + +     ( Vì: ) β = + − 2 2 os( ) .a b c x 2 2 2 2 2 2 asin cos ( sinx+ cos ) a b x b x a b x a b a b + = + + + Ví dụ 2: Giải PT: 3sinx+cos 1 (2)x = Giải: PT 3 1 (2) 2( sin cos ) 1 2 2 x x⇔ + = sin(x+ ) sin 6 6 π π ⇔ = x + 2 6 6 x + 2 6 6 k k π π π π π π π  = +   ⇔  = − +   π π π  =  ⇔ ∈  = +   2 ( ). 2 2 3 x k k Z x k 2( os sinx sin cos ) 1 6 6 c x π π ⇔ + = 2sin(x+ ) 1 6 π ⇔ = 1 sin(x+ ) 6 2 π ⇔ = ⇔ + = 2 5 (3) 3( sin3 cos3 ) 3 3 3 PT x x Ví dụ 3: Giải PT: =2sin3x + 5 cos3 3 (3)x Giải: π α α π ⇔ + = ⇔ + = + ∈sin(3 ) 1 3 2 ( ) 2 x x k k Z 2 2 2 2 2 2 asin cos ( sinx+ cos ) a b x b x a b x a b a b + = + + + α α α α ⇔ = = = 2 5 os sin3x+ sin cos3 1 ( os ,sin ) 3 3 c x c π α π ⇔ = − + ∈ 2 ( ). 6 3 3 k x k Z Ví dụ 4: Giải PT: sin3x - 3 cos3 3sinx+cos (4)x x= Giải π π ⇔ − =sin(3 ) sin(x+ ) 3 6 x π π π π  = +  ⇔ ∈   = +   4 ( ) 5 24 2 x k k Z k x π π π = − = −2( os sin3 sin cos3 ) 2sin(3 ). 3 3 3 c x x x   • = −  ÷  ÷   1 3 sin3x - 3 cos3 2 sin3 os3 2 2 x x c x Ta có π • =3sinx+ cos 2sin(x+ ). 6 x PT (4) 2sin(3 ) 2sin(x+ ) 3 6 x π π ⇔ − = Do đó: π π π π π π π  − +  ⇔   − +   3 =x+ 2 3 6 3 = -(x+ ) 2 3 6 x k x k Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: = m. (5) 3sinx+cos x Giải: Khi đó (5) ⇔ π =2sin(x+ ) . 6 m π =3sinx+ cos 2sin(x+ ). 6 x Ta có: Vì : nên pt có nghiệm π − ≤ + ≤2 2sin( ) 2 6 x ⇔ − ≤ ≤2 2 .m Ví dụ 6: Tìm GTLN,GTNN của hàm số: 5 3 sin 4 os4 2 y x c x= + + Giải TXĐ: D= R Ta có: 5 3 sin 4 os4 2 y x c x= + + π − ≤ + ≤2 2sin(4 ) 2 6 x Vì nên 5 5 2 2 2 2 y− + ≤ ≤ + Từ đó ta có : 5 min 2 . 2 y = − + 5 max 2 , 2 y = + 5 2sin(4 ) 6 2 x π = + + Cách khác : : Pt (5) có nghiệm: 2 2 2 ( 3) 1 4 2 2.m m⇔ ≤ + = ⇔ − ≤ ≤ Ví dụ 7: Giải pt: π   = − +  ÷   2 3sinx+cos 2. (6) 3 x x Giải: Do đó pt (6) được thỏa mãn khi và chỉ khi: 2 2 2sin(x+ ) 2 sin(x+ ) 1 6 6 2 2 0 3 3 x x π π π π   = =     ⇔         − + = − =  ÷  ÷         Vậy: Pt có nghiệm : 3 x π = Ta có: π • =3sinx+cos 2sin(x+ ) 6 x π   • − +  ÷   2 2 3 x ≥ 2 ≤ 2 2 2 ( ) 6 2 3 3 3 x k x k k Z x x π π π π π π π   + = + = + ∈     ⇔ ⇔     = =     3 x π ⇔ = Củng cố: + = + + + 2 2 2 2 2 2 asin cos ( sinx+ cos ). a b x b x a b x a b a b *Các em cần nắm vững các nội dung: -Cách biến đổi : -Pt : asinx + bcosx = c có nghiệm khi và chỉ khi: 2 2 2 .a b c+ ≥ -Tập giá trị của hàm số: y = asinx +bcosx là : 2 2 2 2 ; .T a b a b   = − + +   . ) 1 6 6 c x π π ⇔ + = 2sin( x+ ) 1 6 π ⇔ = 1 sin( x+ ) 6 2 π ⇔ = ⇔ + = 2 5 (3 ) 3( sin3 cos3 ) 3 3 3 PT x x Ví dụ 3: Giải PT: = 2sin3 x + 5 cos3 3 (3 ) x Giải: π α α π ⇔ + = ⇔ + = + sin (3 ) 1 3 2 (.  1 3 sin3 x - 3 cos3 2 sin3 os3 2 2 x x c x Ta có π • =3sinx+ cos 2sin( x+ ). 6 x PT (4 ) 2sin (3 ) 2sin( x+ ) 3 6 x π π ⇔ − = Do đó: π π π π π π π  − +  ⇔   − +   3 =x+ 2 3 6 3 = -(x+ ) 2 3. 2 asin cos ( sinx+ cos ) a b x b x a b x a b a b + = + + + α α α α ⇔ = = = 2 5 os sin3 x+ sin cos3 1 ( os ,sin ) 3 3 c x c π α π ⇔ = − + ∈ 2 ( ). 6 3 3 k x k Z Ví dụ 4: Giải PT: sin3 x - 3 cos3 3sinx+cos