trung tâm luyện thi đại học: trí đức - 32/2 Núi Thành Đà nẵng ĐT: 0905.100.499 - 0511.624925 1 hai phơng pháp tính nguyên hàm I. Phơng pháp đổi biến: Phơng pháp đổi biến đợc sử dụng khá phổ biến trong việc tính các tích phân bất định. Phơng pháp đổi biến số để xác định các nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau: Định lý: a) Nếu f(x)dx = F (x) + C và u = (x) là hàm có đạo hàm thì: f(u)du = F (u) + C b) Nếu hàm f (x) liên tục thì khi ta đặt x = (t) trong đó (t) cùng với đạo hàm (t) của nó là những hàm số liên tục, ta sẽ đợc: f(x)dx = f[(t)]. (t)dt Từ đó ta có hai dạng đổi biến sau: Dạng 1. Thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Chọn x = (t), là hàm số thích hợp. Bớc 2: Lấy vi phân dx = (t)dt. Bớc 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt. Bớc 4: Khi đó I = g(t)dt. Lu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn biến phụ: Dấu hiệu a 2 x 2 , a > 0: chọn x = a sin t với t [ 2 , 2 ] hoặc x = a cos t với t [0, ]. Dấu hiệu x 2 a 2 , a > 0: chọn x = a sin t với t [ 2 , 2 ] \ {0} hoặc x = a cos t với t [0, ] \{ 2 }. Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh trung tâm luyện thi đại học: trí đức - 32/2 Núi Thành Đà nẵng ĐT: 0905.100.499 - 0511.624925 2 Dấu hiệu a 2 + x 2 , a > 0: chọn x = a tg t với t ( 2 , 2 ) hoặc x = a cotg t với t (0, ). Dấu hiệu a + x a x hoặc a x a + x , a > 0: chọn x = a cos 2t với t [0, 2 ]. Dấu hiệu (x a)(b x): chọn x = a + (b a) sin 2 t. Ví dụ 1. Tính tích phân: dx (1 x 2 ) 3 . Đặt x = sin t, t ( 2 , 2 ), tích phân thành: I = dt cos 2 t = tg t + C = x 1 x 2 + C. Chú ý: Do t ( 2 , 2 ) = cos t > 0 = (1 x 2 ) 3 = cos 3 t x 1 x 2 = tg t. Ví dụ 2: Tính tích phân bất định: I = x 2 dx x 2 1 . Vì điều kiện |x| > 1, ta xét hai trờng hợp: Với x > 1: Đặt x = 1 sin 2t , 0 < t < 4 , suy ra: x 2 x 2 1 = 2dt sin 3 2t = (cos 2 t + sin 2 t)dt 8 sin 3 t cos 3 t = 1 4 (cotg t. 1 sin 2 t + tg t. 1 cos 2 t + 2 sin t. cos t )dt. Từ đó có I = 1 8 (cotg 2 t tg 2 t) 1 2 ln |tg t|+ C = 1 2 x x 2 1 1 2 ln |x x 2 1| + C. Với x < 1, tơng tự nh trờng hợp trên. Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh trung tâm luyện thi đại học: trí đức - 32/2 Núi Thành Đà nẵng ĐT: 0905.100.499 - 0511.624925 3 Chú ý: ở lời giải trên, ta có kết quả cotg 2 t tg 2 t = 4x x 2 1 và tg t = x x 2 1, vì: cotg 2 t tg 2 t = cos 4 t sin 4 t cos 2 t. sin 2 t = 4 cos 2t sin 2 2t = 4 1 sin 2 2t sin 2 2t = 4 sin 2t 1 sin 2 2t 1 = 4x x 2 1. tg t = sin t cos t = 1 cos 2t sin 2t = 1 sin 2t 1 sin 2 2t 1 = x x 2 1. Ví dụ 3. Tính tích phân bất định: I = dx (1 + x 2 ) 3 . Đặt x = tg t, t ( 2 , 2 ), khi đó I = cos tdt = sin t + C = x 1 + x 2 + C. Dạng 2. Thực hiện các bớc sau: Bớc 1: Chọn t = (x), là hàm số thích hợp, rồi xác định x = (t) (nếu có thể). Bớc 2: Lấy vi phân dt = (x)dt. Bớc 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt. Bớc 4: Khi đó I = g(t)dt. Lu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn biến phụ: Dấu hiệu hàm có mẫu số: chọn t là mẫu số. Dấu hiệu f(x, (x)): chọn t = (x). Dấu hiệu f(x) = a sin x + b cos x c sin x + d cos x + e : chọn t = tg x 2 với cos x 2 = 0. Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh trung tâm luyện thi đại học: trí đức - 32/2 Núi Thành Đà nẵng ĐT: 0905.100.499 - 0511.624925 4 Dấu hiệu f(x) = 1 (x + a)(x + b) : + Với x + a > 0, x + b > 0 chọn t = x + a + x + b. + Với x + a < 0, x + b < 0 chọn t = x a + x b. Ví dụ 4. Tính tích phân bất định: I = cos x sin 3 x 1 + sin 2 x dx. Đặt t = 1 + sin 2 x, khi đó: I = 1 2 (1 1 t )dt = 1 2 (tln |t|)+C = 1 2 [1+sin 2 xln(1+sin 2 x)]+C. Ví dụ 5. Tính tích phân: I = x 2 1 x dx. Đặt t = 1 x = x = 1 t 2 , lúc đó I = 2 (t 4 2t 2 + 1)dt = 2 15 (3t 4 10t 2 + 15)t + C = 2 15 (3x 2 + 4x + 8) 1 x + C. Ví dụ 6. Tính tích phân: I = x 5 3 (1 2x 2 ) 2 dx. Đặt t = 3 1 2x 2 = x 2 = 1 t 3 2 , khi đó: I = 3 8 (t 7 t 4 )dt = 3 8 ( t 8 8 t 5 5 ) + C = 3 320 (20x 4 4x 2 3) 3 (1 2x 2 ) 2 + C. Ví dụ 7. Tính tích phân sin 3 x cos xdx. Đặt t = cos x = t 2 = cos x, khi đó: I = 2 (t 6 t 2 )dt = 2 21 (3t 6 7t 2 )t + C = 2 21 (cos 3 x 7 cos x) cos x + C. Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh trung tâm luyện thi đại học: trí đức - 32/2 Núi Thành Đà nẵng ĐT: 0905.100.499 - 0511.624925 5 Ví dụ 8. Tính tích phân: I = dx 1 + e x . Đặt t = 1 + e x t 2 = 1 + e x , khi đó: I = 2 dt t 2 1 = ln t 1 t + 1 + C = ln 1 + e x 1 1 + e x + 1 + C. Có thể đặt t = e x 2 , lúc ấy I = 2 ln |e x 2 + e x + 1| + C. Ví dụ 9. Tính tích phân bất định: I = dx (x + 1)(x + 2) . Ta xét hai trờng hợp: Với x > 1 x + 1 > 0 x + 2 > 0 , Đặt t = x + 1 + x + 2, khi đó: I = 2 dt t = 2 ln |t|+ C = 2 ln | x + 1 + x + 2| + C. Với x < 2 x + 1 < 0 x + 2 < 0 . Đặt t = (x + 1) + (x + 2), khi đó: I = 2 dt t = 2 ln | (x + 1) + (x + 2)| + C. II. Phơng pháp tích phân từng phần: Từ công thức đạo hàm của hàm tích suy ra: udv = uv vdu. Sử dụng công thức nầy ta có các bớc tính tích phân I = f(x)dx, nh sau: Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh trung tâm luyện thi đại học: trí đức - 32/2 Núi Thành Đà nẵng ĐT: 0905.100.499 - 0511.624925 6 Bớc 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng: I = f(x)dx = f 1 (x).f 2 (x)dx. Bớc 2: Đặt: u = f 1 (x) dv = f 2 (x)dx = du v. Bớc 3: Khi đó: I = uv vdu. Lu ý: Khi sử dụng phơng pháp tích phân từng phần ta cần tuân thủ nguyên tắc sau: Lựa chọn phép đặt dv sao cho v đợc xác định một cách dễ dàng. Tích phân vdu tính đợc dễ hơn so với f(x)dx. Ví dụ 10: Tính tích phân: I = x ln(x + x 2 + 1) x 2 + 1 dx. Viết lại I = ln(x + x 2 + 1). x x 2 + 1 dx Đặt: u = ln(x + x 2 + 1) dv = x x 2 + 1 dx = du = 1 + x x 2 +1 x + x 2 + 1 dx = dx x 2 + 1 v = x 2 + 1. Khi đó: I = x 2 + 1. ln(x + x 2 + 1) dx = = x 2 + 1. ln(x + x 2 + 1) x + C. Ví dụ 11: Tính tích phân bất định: I = cos(ln x)dx. Tích phân từng phần với u = cos(ln x), sau hai bớc nhận đợc: I = x 2 [cos(ln x) + sin(ln x)] + C. Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh trung tâm luyện thi đại học: trí đức - 32/2 Núi Thành Đà nẵng ĐT: 0905.100.499 - 0511.624925 7 Chú ý: Nếu bài toán yêu cầu tính cả hai tích phân: sin(ln x)dx; cos(ln x)dx, ta sử dụng công thức tích phân từng phần cho cả hai tích phân rồi cộng vế và trừ vế để suy ra tích phân cần tính. Ví dụ 12: Tính tích phân bất định: I = ln(cos x) cos 2 x dx. Đặt u = ln(cos x) dv = dx cos 2 x , đợc: I = ln(cos x). tg x + tg x x + C. Chú ý: Một số dạng hàm cơ bản sau đây có cách tính cho riêng từng loại. Loại 1. Tích phân I = P (x) sin xdx hoặc P (x). cos xdx. Có hai cách: Cách 1: Đặt u = P (x) dv = sin xdx , bằng cách nầy ta phải tích phân từng phần nhiều lần (số lần ít nhất bằng bậc của đa thức P (x)). Cách 2: Phơng pháp hằng số bất định Thực hiện các bớc sau: + Bớc 1. Ta có: I = P (x) cos xdx = A(x) sin x + B(x) cos x + C. (1) trong đó A(x) và B(x) là hai đa thức cùng bậc với P (x). + Bớc 2. Lấy đạo hàm hai vế của (1), đựơc: P (x). cos x = [A (x) + B(x)] sin x + [A(x) + B (x)] cos x (2) Sử dụng phơng pháp hệ số bất định ta xác định đợc các đa thức A(x), B(x). + Bớc 3. Kết luận. Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh trung tâm luyện thi đại học: trí đức - 32/2 Núi Thành Đà nẵng ĐT: 0905.100.499 - 0511.624925 8 Nhận xét. Nếu bậc của đa thức P (x) lớn hơn hoặc bằng 3 thì cách 1 cồng kềnh hơn cách 2. Do đó ta đi tới nhận định sau: Nếu bậc của P (x) nhỏ hơn hoặc bằng 2, ta lựa chọn cách 1 Nếu bậc của P (x) lớn hơn 2, ta chọn cách 2. Ví dụ 13: Tính tích phân: x sin 2 xdx Biến đổi tích phân I = x 1 cos 2x 2 dx = 1 4 x 2 1 2 x cos 2xdx. Tích phân từng phần vào tích phân x cos 2xdx, đợc kết quả: I = 1 4 x 2 + x 4 sin 2x + 1 8 cos 2x + C Ví dụ 14: Tính: I = (x 3 x 2 + 2x 3) sin xdx. Ta có: I = (x 3 x 2 + 2x 3) sin xdx = P 3 (x) cos x + Q 3 (x) sin x Với P 3 (x) = a 1 x 3 + b 1 x 2 + c 1 x + d 1 , Q 3 (x) = a 2 x 3 + b 2 x 2 + c 2 x + d 2 . Lấy đạo hàm hai vế rồi đồng nhất đợc hệ: a 2 = 0 3a 1 = b 2 = 0 2b 1 + c 2 = 0 c 1 + d 2 = 0 và a 2 = 1 3a 2 b 1 = 1 2b 2 c 2 = 2 c 2 + d 1 = 3. Giải hai hệ đó đợc a 1 = 1; b 1 = 1, c 1 = 4, d 1 = 1, a 2 = 0, b 2 = 3, c 2 = 2, d 2 = 4. Vậy I = (x 3 + x 2 + 4x + 1) cos x + (3x 2 2x 4) sin x + C. Loại 2. Tích phân I = e ax sin bxdx hoặc e ax . cos bxdx. Ta cũng có thể chọn một trong hai cách tơng tự nh loại 1 trên. Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh trung tâm luyện thi đại học: trí đức - 32/2 Núi Thành Đà nẵng ĐT: 0905.100.499 - 0511.624925 9 Cách 1. Ta đặt u = cos bx dv = e ax dx. Cách 2. I = e ax cos bxdx = [A cos bx + B sin bx]e ax + C với A, B hằng số. Chú ý: a) Nếu bài toán yêu cầu tính giá trị của một cặp tích phân trên ta có thể tích phân từng phần vào cả hai tích phân rồi cộng vế và trừ vế để đợc kết quả cả hai tích phân. b) Phơng pháp trên cũng áp dụng đợc cho tích phân: J 1 = e ax sin 2 bxdx, J 2 = e ax cos 2 bxdx. Loại 3. Tích phân I = P (x).e ax dx hoặc P (x). cos xdx. Cũng chọn một trong hai cách nh hai loại trên Cách 1. Đặt u = P (x) dv = e ax dx. Cách 2. I = P (x).e ax dx = A(x)e ax + C trong đó A(x) là đa thức cùng bậc với P (x). Nhận xét Nếu bậc của đa thức P (x) lớn hơn hoặc bằng 3 thì cách 1 cồng kềnh hơn cách 2. Do đó ta đi tới nhận định sau: Nếu bậc của P (x) nhỏ hơn hoặc bằng 2, ta lựa chọn cách 1. Nếu bậc của P (x) lớn hơn 2, ta chọn cách 2. Loại 4. Tích phân I = x ln xdx, với = 1 Đặt u = ln x dv = x dx Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh trung tâm luyện thi đại học: trí đức - 32/2 Núi Thành Đà nẵng ĐT: 0905.100.499 - 0511.624925 10 Ví dụ 15: Tính tích phân I = e x . cos 2 xdx. Hạ bậc cos 2 x rồi đa về tích phân loại 2, nếu sử dụng phơng pháp đồng nhất ta viết: I = 1 2 e x .(1 + cos 2x)dx = (a + b cos 2x + c sin 2x)e x + C. Lấy đạo hàm hai vế rồi đồng nhất ta đợc hệ phơng trình: 2a = 1 2(2c + b) = 1 2(c 2b) = 0 a = 1 2 b = 1 10 c = 1 5 . Vậy I = 1 10 (5 + cos 2x + 2 sin 2x)e x + C. Ví dụ 16: Tính tích phân I = xe 3x dx. Tích phân từng phần đợc: I = 1 3 xe 3x 1 9 e 3x + C. Ví dụ 17: Tính tích phân I = (2x 3 + 5x 2 2x + 4)e 2x dx. Dùng phơng pháp đồng nhất đợc I = (x 3 + x 2 2x + 3)e 2x + C. Ví dụ 18: Tính tích phân I = x 2 ln 2xdx. Tích phân từng phần đợc I = x 3 3 ln 2x x 3 9 + C. III. Dùng hàm phụ: ý tởng của phơng pháp dùng hàm phụ là tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) g(x) dễ xác định hơn so với f(x), từ đó suy ra nguyên hàm của f(x), cụ thể ta thực hiện các bớc sau: Bớc 1: Tìm kiếm hàm số g(x). Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh [...]... 2: Xác định nguyên hàm của hàm số f (x) g(x), tức là: F (x) + G(x) = A(x) + C1 F (x) G(x) = B(x) + C2 (1) Bớc 3: Cộng vế (1) nhận đợc nguyên hàm của f (x) là F (x) = 1 [A(x) + B(x)] + C 2 Ví dụ 19: Tính I = sin x dx; J = sin x cos x cos4 x dx sin4 x + cos4 x cos x sin4 x Hàm phụ cho I là g(x) = và J là g(x) = sin x cos x sin4 x + cos4 x Ví dụ 20: Tính tích phân: ex dx ex ex ex Dùng hàm số phụ... x+b ba 1 Ví dụ 1 Tính I = 0 dx (x + 3)2(x + 1)2 1 2 7x 4 dx x3 3x + 2 1 1 2 2 7x 4 = + Chú ý 3 x 3x + 2 (x 1)2 x 1 x + 2 Ví dụ 2 Tính I = Phơng pháp đổi biến 1 Ví dụ 1 Tính I = 2 Ta có 1+x = 1 + x4 6+ 10 2 1+ 1 + x2 dx 1 + x4 1 x2 Đổi biến t = x 1 x Đổi biến t = x + 1 x 1 2 +2 x 1 2 x 1 Ví dụ 2 Tính J = dx 1 x4 + 1 2 2 Ta có x 1 = x4 + 1 x 1 x+ 1 x 1 x2 2 2 Chú ý Cả hai tích phân này... đại học: trí đức - 32/2 Núi Thành Đà nẵng ĐT: 0905.100.499 - 0511.624925 16 3 liên tục trên R Từ đó tính f (x)dx 2 II Hai phơng pháp cơ bản 1 Đổi biến số: Gồm 2 dạng; dạng 1 và dạng 2 nh tích phân bất định, b chỉ cần thêm cận vào thích hợp: I = f (x)dx a Dạng 1: i) Chọn x = (t) ii) Tính dx = (t)dt iii) Tính các cận , tơng ứng với a, b iv) Biểu thị f (x)dx theo t và dt : f (x)dx = g(t)dt v) Kết luận... = 1 141 10 1 bài tập 3 a) Tính I = 6 cos xdx sin2 x 5 sin x + 6 3(6 3) đổi biến t = sin x đáp số: I = ln 5(4 3) 3 b) Tính I = sin3 xdx cos x + 2 o đổi biến t = cos x đáp số: I = 2 c) Tính I = 5 5 + 3 ln 2 6 1 + ln2 x dx x 1 đổi biến t = ln x, đáp số: I = 4 3 ln 2 d) Tính I = dx ex + 2 ex 1 + 2 đáp số: I = ln (6 4 2)(5 + 2 6) 2 2 o đổi biến t = 2 Phơng pháp tích phân từng phần: Nhắc... 1 f (x) liên tục và là hàm lẻ trên [a, a] thì I = f (x) dx = 0 a 1 2 Ví dụ 1 Tính I = cos x ln 1x dx 1+x 1 2 Hàm f (x) = cos x ln 1x 1 1 liên tục trên [ , ] và 1+x 2 2 1x 1+x + cos(x) ln 1+x 1x 1x 1+x = ln + ln cos x = ln 1 cos x = 0 1+x 1x = f (x) = f (x) f (x) + f (x) = cos x ln Vậy f (x) là hàm lẻ, do đó I = 0 Chú ý: Khi gặp dạng tích phân này thờng ta nghĩ ngay tới phơng pháp tích phân từng phần,... nghĩ ngay tới phơng pháp tích phân từng phần, tuy nhiên đó cha phải là giải pháp tốt Điều này Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh trung tâm luyện thi đại học: trí đức - 32/2 Núi Thành Đà nẵng ĐT: 0905.100.499 - 0511.624925 24 cho thấy việc nhìn nhận tính chất cận và đặc tính của hàm số dới dấu tích phân để từ đó lựa chọn phơng pháp giải là rất quan trọng Tuy nhiên khi làm bài thi nên trình bày nh sau:... tơng đối phức tạp a a2 x2dx; a > 0 Ví dụ 3 Tính I = a Hàm số y = a2 x2 = y0 2 2 2 x +y =a là hàm liên tục không âm 1 đờng tròn nên theo ý nghĩa hình học của tích phân thì I 2 là diện tích của nửa đờng tròn này: I = a2 có đồ thị là bài tập 1 Tính các tích phân: 3 4 |x 2| dx; I= 3 2 |x2 3x + 2| dx; J= 1 max {x2, 2 x}dx K= o cos x khi |x| 1 2 2 Tìm a, b để hàm f (x) = |x 1| khi |x| > 1 Biên soạn:... ĐT: 0905.100.499 - 0511.624925 13 tích phân xác định I Định nghĩa và các tính chất: b f (x) dx = F (x) 1 Định nghĩa: b a = F (b) F (a) với F (x) là một a nguyên hàm của f (x) b f (x) dx chỉ phụ thuộc f, a, b không phụ thuộc cách Chú ý: Tích phân a ký hiệu biến lấy tích phân: b b f (x) dt = ã ã ã = F (b) F (a) f (x) dx = a a 2 Các tính chất: b f (x)dx = 0 i) a b a f (x)dx = ii) a f (x) dx b b b kf (x)dx... ln x2 + x 2 + 1 2 2 2(x 1) Còn là nguyên hàm của f (x) = x4 + 1 1 + x2 1 1 1 f (x) = = + 1 + x4 2 x2 x 2 + 1 x2 + x 2 + 1 2 1 Ví dụ 3 Tính I = 0 1 + x4 dx 1 + x6 Ta có 1 + x4 1 x2 x4 x2 + 1 + x2 = + = 1 + x6 (1 + x2)(x4 x2 + 1) x2 + 1 x6 + 1 1 1 dx x2 + 1 + Đổi biến x = tg t vào tích phân 0 1 3 + Đổi biến x = tg t vào tích phân 0 x2 dx x6 + 1 Bài tập Tính các tích phân sau 1 dx 2 0 x x2 1... 2 2 1 Bài tập làm thêm Tính các tích phân sau 2 2 0 x x2 + 1dx I= J= 1 0 dx 2+x+1 x 2 Dùng lợng liên hiệp để trục căn ở mẫu 1 Ví dụ 4 Tính I = 0 1 I= x+1 0 dx x+1+ x 6 Ví dụ 5 Tính I = 2 6 I= 2 6 2 xdx 2 x2 4 6 = 0 4 = ( 2 1) 3 x2 dx x+2 x2 dx = x2 4 x2 1 3 3 2 x dx = (x + 1) 2 x 2 3 4 2 ln |x + x2 4| 6 2 dx x2 4 = 4 2 2 ln(3 + 2 2) 2 Bài tập làm thêm Tính các tích phân sau . 1 hai phơng pháp tính nguyên hàm I. Phơng pháp đổi biến: Phơng pháp đổi biến đợc sử dụng khá phổ biến trong việc tính các tích phân bất định. Phơng pháp đổi biến số để xác định các nguyên hàm. x 3 9 + C. III. Dùng hàm phụ: ý tởng của phơng pháp dùng hàm phụ là tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) g(x) dễ xác định hơn so với f(x), từ đó suy ra nguyên hàm của f(x), cụ. yêu cầu tính cả hai tích phân: sin(ln x)dx; cos(ln x)dx, ta sử dụng công thức tích phân từng phần cho cả hai tích phân rồi cộng vế và trừ vế để suy ra tích phân cần tính. Ví dụ 12: Tính tích