Bài 1: Các bài toán chứng minh tính vuông góc – Khóa LTĐH Đảm bảo -Thầy Phan Huy Khải. BTVN BÀI CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH TÍNH VUÔNG GÓC Bài 1: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và SA SB SC a = = = . 1. Chứng minh mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD). 2. Chứng minh SBD ∆ vuông tại S. HDG : 1. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, vì SA SB SC a = = = nên ( ) SO mp ABCD ⊥ . Mà AC BD⊥ vì ABCD là hình thoi, nên O BD ∈ Có: ( ) ( ) ( ) ( ) ,SO SBD SO ABCD SBD ABCD ∈ ⊥ ⇒ ⊥ 2. Các em tự chứng minh. Bài 2: Tứ diện SABC có ( ) .SA mp ABC⊥ Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. 1. Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và ( ) ( ) SAC BHK ⊥ 2. Chứng minh ( ) HK SBC⊥ và ( ) ( ) .SBC BHK⊥ HDG : 1. Vì H là trực tâm tam giác ABC BH AC∆ ⇒ ⊥ , theo giả thiết ( ) SA mp ABC BH SA⊥ ⇒ ⊥ . Nên ( ) BH mp SAC SC BH⊥ ⇒ ⊥ Do K là trực tâm SBC BK SC∆ ⇒ ⊥ Từ đó suy ra ( ) ( ) ( ) SC mp BHK mp BHK mp SAC⊥ ⇒ ⊥ (đpcm) 2. Tương tự như trên ta cũng chứng minh được: ( ) SB mp CHK SB HK⊥ ⇒ ⊥ Mà ( ) SC mp BHK SC HK⊥ ⇒ ⊥ . Do đó: ( ) ( ) ( ) HK mp SBC mp SBC mp BHK⊥ ⇒ ⊥ Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA vuông góc với (ABCD). Giả sử (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC. 1. Chứng minh ( ) ( ) .SBD SAC⊥ 2. Chứng minh ( ) ||BD mp P Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 Bài 1: Các bài toán chứng minh tính vuông góc – Khóa LTĐH Đảm bảo -Thầy Phan Huy Khải. HDG : 1. Vì ABCD là hình vuông tâm O nên AC và BD vuông góc với nhau tại O, vì SA vuông góc với (ABCD) nên ( ) ( ) ( ) SA BD BD SAC SBD SAC⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ 2. Từ giả thiết suy ra: ( ) ( ) P SAC⊥ , mà ( ) ( ) ||BD SAC BD P⊥ ⇒ Bài 4: Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD. Qua A dựng đường thẳng Ax vuông góc với (P). lấy S là một điểm tùy ý trên Ax ( S A≠ ). Qua A dựng mặt phẳng (Q) vuông góc với SC. Giả sử (Q) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. CMR : ' , 'AB SB AD SD⊥ ⊥ và . ' . ' . 'SB SB SC SC SD SD = = HDG : Từ giả thiết suy ra: ( ) , 'SA BC AB BC BC SAB BC AB⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ Mà ( ) 'SC Q SC AB⊥ ⇒ ⊥ . Do đó ( ) ' 'AB SBC AB SB⊥ ⇒ ⊥ Ngoài ra ta cũng có , ' ' ' 'BC SB SC B C SBC SC B⊥ ⊥ ⇒ ∆ ∆: nên: . ' . ' ' ' SB SC SB SB SC SC SC SB = ⇒ = Chứng minh tương tự ta được 'AD SD ⊥ và . ' . 'SD SD SC SC = Vậy ta có đpcm. Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, BC= 3a , mặt bên (SBC) vuông tại B và (SCD) vuông tại D có SD= 5a . a. Chứng minh: ( )SA ABCD ⊥ . Tính SA=? b. Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB,CD lần lượt tại I,J. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Hãy xác định các giao điểm K,L của SB,SD với mặt phẳng (HIJ). CMR: ( )AK SBC⊥ ; ( )AL SCD⊥ . c. Tính diện tích tứ giác AKHL=? Giải: Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 2 Page 2 of 3 Bài 1: Các bài toán chứng minh tính vuông góc – Khóa LTĐH Đảm bảo -Thầy Phan Huy Khải. a) Ta có: ( ) ( ) ( ) BC BA BC SAB BC SA BC BS SA ABCD DC DA DC SAD DC SA DC DS ⊥   ⇒ ⊥ ⇒ ⊥   ⊥   ⇒ ⊥  ⊥   ⇒ ⊥ ⇒ ⊥   ⊥   . Ta có: 2SA a= b) Trong (SBC) gọi: { } ( )SB HI K K SB HIJ∩ = ⇒ = ∩ Trong (SAD) gọi: { } ( )SD HJ L L SD HIJ∩ = ⇒ = ∩ . Ta có: (1)BC AK⊥ mà: IJ IJ ( ) IJ SC ( IJ) (2) AC IJ SC SA SAC SC H SC AK AH ⊥   ⇒ ⊥ ⇒ ⊥   ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥    ⊥  Từ (1) và (2) ta có: ( )AK SBC⊥ . Tương tự cho ( )AL SCD⊥ c) Tứ giác AKHL có: ;AL KH AL LH⊥ ⊥ nên: 1 ( . . ) 2 AKHL AK KH AL LHS = + . Vậy : 2 8 15 a AKHL S = ………………….Hết………………… Nguồn: Hocmai.vn Page 3 of 3 . Bài 1: Các bài toán chứng minh tính vuông góc – Khóa LTĐH Đảm bảo -Thầy Phan Huy Khải. BTVN BÀI CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH TÍNH VUÔNG GÓC Bài 1: Hình chóp S.ABCD có. Việt 1 Bài 1: Các bài toán chứng minh tính vuông góc – Khóa LTĐH Đảm bảo -Thầy Phan Huy Khải. HDG : 1. Vì ABCD là hình vuông tâm O nên AC và BD vuông góc với nhau tại O, vì SA vuông góc với (ABCD). ⊥ 2. Các em tự chứng minh. Bài 2: Tứ diện SABC có ( ) .SA mp ABC⊥ Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. 1. Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và ( ) ( ) SAC BHK ⊥ 2. Chứng