1 PHẦN I : MỞ ĐẦU Phương pháp tọa độ mặt phẳng học sinh học lớp 10 THPT đến chương trình 12 học sinh học phương pháp tọa độ khơng gian Bài tốn giải tam giác hệ tọa độ Oxy (ở lớp 10) hay hệ tọa độ Oxyz (ở lớp 12) thường gặp kỳ thi tốt nghiệp , tuyển sinh đại học Việc chọn lựa phương pháp giải dạng toán học sinh thường lúng túng , không định hướng phương pháp , học sinh học lớp 12 thường quên kiến thức lớp 10 chưa biết cách vận dụng kiến thức học Bài toán giải tam giác , giải biết tọa độ ba đỉnh (khi ta viết phương trình cạnh , trung tuyến , tính số đo góc , độ dài cạnh , chu vi , diện tích tam giác …) Ta đề cập đến trường hợp toán cho tọa độ đỉnh hai yếu tố còn lại phương trình đường cao phương trình đường trung tuyến phương trình đường phân giác phương trình đường cao , đường trung tuyến phương trình đường cao , đường phân giác phương trình đường trung tuyến đường phân giác Trong hệ tọa độ Oxy học sinh viết phương trình cạnh dạng tổng quát rồi suy tọa độ giao điểm cạnh để có tọa độ đỉnh Tuy nhiên chuyển sang hệ tọa độ Oxyz học sinh sẽ gặp nhiều lung túng Thực tiễn trình giảng dạy tơi nhận thấy phương pháp giải tốn tam giác hệ tọa độ Oxyz giải tương tự hệ tọa độ Oxy cách dùng phương trình tham số , tọa độ điểm hình chiếu điểm đối xứng Nếu học sinh nắm vững phương pháp giải hệ tọa độ Oxy dựa vào phương trình tham số dễ dàng giải hệ tọa độ Oxyz Tôi viết đề tài :”Dùng phương trình tham số để giải tam giác hệ tọa độ Oxy Oxyz “.Với mục đích giúp học sinh lớp 10 nắm vững phương pháp giải tam giác hệ tọa độ Oxy , sẽ không ngỡ ngàng tiếp cận kiến thức tương tự lớp 12 Đặc biệt giúp học sinh lớp 12 chuẩn bị ôn thi tốt nghiệp ôn thi đại học tốt GV : Trương Tử Trang t THPT Vĩnh Thạnh PHẦN II : NỘI DUNG I/ TÓM TẮT LÝ THUYẾT LIÊN QUAN 1/ Phương trình tham số đường thẳng mặt phẳng Trong hệ tọa độ Oxy phương trình tham số đường thẳng qua điểm r  x = x0 + at M ( x0 ; y0 ) có vectơ phương u (a; b) :  với : a + b ≠  y = y0 + bt 2/ Phương trình tham số đường thẳng không gian +Trong hệ tọa độ Oxyz, phương trình tham số đường thẳng qua điểm  x = x0 + at r  M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ phương u (a; b; c ) :  y = y0 + bt  z = z + ct  với : a + b + c ≠ * Chú ý : Nếu biết tọa độ hai điểm A , B ta lập phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm A , B 3/Điều kiện để hai đường thẳng cắt mặt phẳng Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường thẳng d1 , d có phương trình tham số :  x = x1 + a1t1  x = x2 + a2t2 d1 :  d2 :   y = y1 + b1t1  y = y2 + b2t2  x1 + a1t1 = x2 + a2t2  y1 + b1t1 = y2 + b2t2 xét hệ :  + Nếu hệ có nghiệm (t1 ; t2 ) hai đường thẳng cắt điểm , thay t1 vào d1 t2 vào d2 ta tọa độ giao điểm 4/Điều kiện để hai đường thẳng cắt không gian Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d1 , d có phương trình  x = x1 + a1t1  tham số : d1 :  y = y1 + b1t1 z = z + c t 11   x = x2 + a2t2  d :  y = y2 + b2t2 z = z + c t 2   x1 + a1t1 = x2 + a2t2  xét hệ :  y1 + b1t1 = y2 + b2t2 z + c t = z + c t 2  11 Nếu hệ có nghiệm (t1 ; t2 ) hai đường thẳng cắt điểm GV : Trương Tử Trang t THPT Vĩnh Thạnh 5/ Tọa độ điểm đối xứng điểm qua điểm : Nếu C1 điểm đối xứng C qua điểm M mặt phẳng Oxy :  xC1 = xM − xC    yC1 = yM − yC  Nếu C1 điểm đối xứng C qua điểm M khơng gian Oxyz :  xC1 = xM − xC    yC1 = yM − yC   zC1 = zM − zC  6/ Các toán liên quan : Bài tốn : Tìm hình chiếu điểm M đường thẳng d : Cách : B1 : Gọi H hình chiếu M d suy tọa độ H theo t u ur uu r B2 : Tìm tọa độ vectơ MH theo t , tìm VTCP u d u ur r uu B3 : Giải phương trình MH u = có t suy tọa độ H Cách : B1 : Viết phương trình đường thẳng qua d’ qua M vng góc với d d có tọa độ điểm H d ' B2 : Giải hệ :  Bài tốn : Tìm điểm đối xứng điểm M qua đường thẳng d B1 : Tìm hình chiếu H M d B2 : gọi M’ hình điểm đối xứng cửa M qua d H trung điểm đoạn MM’ , dựa vào công thức tọa độ trung điểm suy tọa độ M’ Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy cho điểm C(3;2) , hai đường thẳng d d2  x = + t1  x = + t2 có phương trình d1 :  , d2   y = + t1  y = − 2t2 a) b) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc M C d N C d2 Tìm tọa độ điểm đối xứng C C qua d1 điểm đối xứng C2 C qua d2 GV : Trương Tử Trang t THPT Vĩnh Thạnh Giải : a) C * Tìm tọa độ điểm M M∈d1 ⇒ M (2 + t1;3 + t1 ) uu uu r CM = (−1 + t1;1 + t1 ) N M u r d1 có vectơ phương u1 = (1;1) uu u uu r r Ta có CM u1 = ⇔ −1 + t1 + + t1 = ⇔ t1 = A B Vậy M(2;3) *Tìm tọa độ N : N∈d2 ⇒ N (1 + t2 ;4 − 2t2 ) uu ur CN = (−2 + t2 ;2 − 2t ) u u r d2 có vectơ phương u2 = (1; −2) uu u ur u r Ta có CN u2 = ⇔ −2 + t2 − + 4t2 = ⇔ t2 =  11  Vậy N  ; ÷  5 b) C1 điểm đối xứng C qua d1 suy M trung điểm CC1  xC1 = xM − xC = − =   yC1 = yM − yC = − =  Do  Vậy C1(1;4) C2 điểm đối xứng C qua d2 suy N trung điểm CC2 22   xC2 = xN − xC = − =  Do   y = y − y = 16 − = N C  C2 5  7 6 Vậy C2 =  ; ÷ 5 5 Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy cho điểm C(3;2;3) , hai đường thẳng d1  x = + t1  x = + t2   d2 có phương trình d1 :  y = + t1 , d2 :  y = − 2t2  z = − 2t z = + t   a) b) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc M C d1 N C d2 Tìm tọa độ điểm đối xứng C C qua d1 điểm đối xứng C2 C qua d2 GV : Trương Tử Trang t THPT Vĩnh Thạnh Giải : a) C * Tìm tọa độ điểm M N M∈d1 ⇒ M (2 + t1;3 + t1;3 − 2t1 ) uu uu r CM = ( −1 + t1;1 + t1 − 2t1 ) u r d1 có vectơ phương u1 = (1;1; −2) A uu u uu r r Ta có CM u1 = ⇔ −1 + t1 + + t1 + 4t1 = ⇔ t1 = M B Vậy M(2;3;3) *Tìm tọa độ điểm N : N∈d2 ⇒ N (1 + t2 ;4 − 2t2 ;3 + t2 ) uu ur CN = (−2 + t2 ; − 2t2 ; t2 ) u u r d2 có vectơ phương u2 = (1; −2;1) uu u ur u r Ta có CN u2 = ⇔ −2 + t2 − + 4t2 + t2 = ⇔ t2 = Vậy N ( 2;2;4 ) b) C1 điểm đối xứng C qua d1 suy M trung điểm CC1  xC1 = xM − xC = − =   Do  yC1 = yM − yC = − =   zC1 = zM − zC = − =  Vậy C1(1;4;3) C2 điểm đối xứng C qua d2 suy N trung điểm CC2  xC2 = xN − xC = − =   Do  yC2 = y N − yC = − =   zC2 = z N − zC = − =  Vậy C2 = ( 1;2;5 ) II/GIẢI TAM GIÁC TRONG HỆ TỌA ĐỘ Oxy Bài toán tổng quát : Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết điểm C(a;b) hai đường thẳng cắt d1 , d không qua C có phương trình tham số :  x = x1 + a1t1  x = x2 + a2t2 d1 :  d2 :   y = y1 + b1t1  y = y2 + b2t2 Hãy tìm tọa độ đỉnh A, B trường hợp : GV : Trương Tử Trang t THPT Vĩnh Thạnh 1.1/ d1 , d hai đường cao 1.2/ d1 , d hai đường trung tuyến 1.3/ d1 , d hai đường phân giác góc A , B 1.4/ d1 đường cao , d trung tuyến 1.5/ d1 đường cao , d phân giác 1.6/ d1 trung tuyến , d phân giác Phương pháp C M N 1.1/ d1 , d hai đường cao Giả sử d1 đường cao AM , d2 đường cao BN + Viết phương trình tham số CB : d2 d1 A B Cách 1: - Tìm hình chiếu M C d1 uu ur - CB có VTCP CB qua C suy phương trình tham số CB Cách : - CB có VTCP VTPT d1 qua C  BC + Giải hệ  có tọa độ điểm B d Tương tự : + Viết phương trình tham số CA Cách 1: - Tìm hình chiếu N C d2 uu ur - CA có VTCP CN qua C suy phương trình tham số CA Cách : CA có VTCP VTPT d2 qua C  AC + Giải hệ  có tọa độ điểm A d1  C 1.2/ d1 , d hai đường trung tuyến M Giả sử d1: trung tuyến AM ; d2 trung tuyến BN N + M∈d1 suy tọa độ M theo t1 + M trung điểm CB suy tọa độ B theo t1 d1 d2 A + B∈ d2 nên có hệ theo t1 t2 Giải hệ có t1 suy tọa độ điểm B Tương tự : GV : Trương Tử Trang t THPT Vĩnh Thạnh B + N∈d2 suy tọa độ N theo t2 + N trung điểm CA suy tọa độ A theo t2 + A∈ d1 nên có hệ theo t1 t2 Giải hệ có t2 suy tọa độ điểm A * Chú ý : Có thể giải theo cách khác : + Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ;+ Tìm điểm đối xứng D C qua G + Viết phương trình đường thẳng qua d’1 qua D song song với d2 + Viết phương trình đường thẳng qua d’2 qua D song song với d1 d '1 + Giải hệ  có tọa độ A ; Giải hệ d1 d '2 có tọa độ B  d 1.3/ d1 , d hai đường phân giác góc A , B + Tìm tọa độ điểm C1 điểm đối xứng C qua d1 ; C1 ∈ AB + Tìm tọa độ điểm C2 điểm đối xứng C qua d1 ; C2 ∈ AB +Viết phương trình tham số C1C2 phương trình AB C C1C2 + Tọa độ A nghiệm hệ :  d1 N C1C2 + Tọa độ B nghiệm hệ :  d1 d d2 A C 1.4/ d1 đường cao , d trung tuyến C1 C Giả sử d1: đường cao AM ; d2 trung tuyến BN + Viết phương trình cạnh CB (như trên) CB + Giải hệ  tìm tọa độ điểm B d M B M N d1 d2 A B + Dùng tính chất trung điểm N thuộc BN , N trung điểm AC A thuộc AM suy tọa độ điểm A C 1.5/ d1 đường cao , d phân giác M Giả sử d1: đường cao AM ; N d2 phân giác BN d1 A + Viết phương trình cạnh CB GV : Trương Tử Trang t THPT Vĩnh Thạnh C1 d2 B CB tìm tọa độ điểm B d + Giải hệ  + Tìm tọa độ điểm C2 điểm đối xứng C qua d2 ( C2 thuộc AB) + Viết phương trình BC2 (BA)  BA + Giải hệ  có tọa độ điểm A d1 1.6/ d1 trung tuyến , d phân giác Giả sử d1: đường trung tuyến AM ; d2 phân giác BN + M thuộc d2 , C ⇒ tọa độ B M trung điểm AC , C thuộc d1 ta suy tọa độ điểm B N + Tìm C2 điểm đối xứng C qua d2 d1 + Viết phương trìnhtham số BC2 (BA) M d2  BA có tọa độ điểm A d1 A + Giải hệ  B C2 * Nhận xét : + Học sinh cần nắm vững ba tốn 1.1 , 1.2 , 1.3 việc giải toán 1.4 , 1.5 , 1.6 đơn giản 2.Bài tập áp dụng Bài tập 1.1 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm C(3;2) , đường cao d có phương  x = + t1  x = + t2 trình :  , đường cao d2 có phương trình   y = + t1  y = − 2t2 Tìm tọa độ đỉnh A,B C Giải :(tóm tắt) Gọi d1 đường cao qua A ; d2 đường cao qua B *Tìm tọa độ điểm B M N +Tìm hình chiếu vng góc M d1 M(2;3) (Ví dụ 1a) uu uu r +CB có VTCP CM (−1;1) qua C(3;2) A x = − t nên CB có PTTS :  y = + t GV : Trương Tử Trang t THPT Vĩnh Thạnh d1 d2 B uu ur u r ( cách khác BC có VTCP uBC = n1 = (−1;1) ) 1 + t2 = − t t2 + t = t = ⇔ ⇔2 + B = BC ∩ d giải hệ :  t = 4 − 2t2 = + t 2t2 + t = Suy B(1;4) *Tìm tọa độ điểm A :  11  +Tìm hình chiếu vng góc N d2 : N  ; ÷ (Ví dụ 1a)  5 ur uu +CA có VTCP − CN = (2;1) qua C(3;2) Nên AC có phương trình tham số uu u ur u r  x = + 2t  (Cách khác :CA có VTCP u AC = n2 = (2;1) ) y = + t 2 + t1 = + 2t t1 − 2t = t = −3 ⇔ ⇔1 + A = AC ∩ d1 giải hệ :  3 + t1 = + t t1 − t = −1 t = −2 Suy A(-1;0) Vậy A(-1;0) ; B(1;4) Bài tập 1.2 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm C(3;2) , trung tuyến d có  x = + t1  x = + t2 phương trình :  , trung tuyến d2 có phương trình   y = + t1  y = − 2t2 C Tìm tọa độ đỉnh A , B Giải : Gọi d1 trung tuyến AM , d2 trung tuyến BN N *Tìm tọa độ điểm B M + M thuộc AM nên M (2 + t1;3 + t1 ) , +M trung điểm BC Nên B(1 + 2t1;4 + 2t1 ) +B thuộc BN nên có hệ A d1 d2 B 1 + 2t1 = + t2  2t1 − t2 = t1 = ⇔ ⇔ suy B(1;4)  4 + 2t1 = − 2t2  2t1 + 2t2 = t = *Tìm tọa độ điểm A +N thuộc BN nên N (1 + t2 ;4 − 2t2 ) , N trung điểm AC nên A(−1 + 2t2 ;6 − 4t2 ) −1 + 2t2 = + t1 2t − t = t = −1 ⇔ ⇔1 A thuộc AM nên có hệ  6 − 4t2 = + t1 4t2 + t1 = t2 = Suy A(1;2) Vậy A(1;2) ; B(1;4) GV : Trương Tử Trang t THPT Vĩnh Thạnh 10 Bài tập 1.3 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm C(3;2) , phân giác AM có phương  x = + t1  x = + t2 trình d1 :  , phân giác BN có phương trình d2 :   y = + t1  y = − 2t2 Tìm tọa độ đỉnh A , B Giải : C +Gọi C1 điểm đối xứng C qua d1 Ta có C1 ( 1;4 ) (Ví dụ 1b) N +Gọi C2 điểm đối xứng C d2 M 7 6 Ta có C2  ; ÷ (Ví dụ 1b) 5 5 A u u r  14  uu C uu uur ur uu + C1C2 =  ; − ÷ AB có VTCP u AB = C1C2 = (1; −7) 2 5  + x = 1+ t Phương trình AB :   y = − 7t B C1  t= 2 + t1 = + t t1 − t = −1   ⇔ ⇔ + A = AB ∩ AM xét hệ  3 + t1 = − 7t t1 + 7t = t = − 1  5 9 Suy A  ; ÷ 4 4 1 + t2 = − t t + t = t = ⇔2 ⇔ t2 = 4 − 2t2 = + 7t 2t2 + 7t = + B = AB ∩ BN xét hệ  5 9 Suy B ( 1;4 ) Vậy : A  ; ÷; B ( 1;4 ) 4 4 Bài tập 1.4 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm C(3;2) , đường cao d1 có phương trình :  x = + t1  x = + t2 d1 :  , trung tuyến d2 có phương trình d2 :   y = + t1  y = − 2t2 Tìm tọa độ đỉnh A , B Giải : Áp dụng tập 1.1 có B(1;4); Áp dụng tập 1.2 có A(1;2) GV : Trương Tử Trang t THPT Vĩnh Thạnh 11 Bài tập 1.5 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm C(3;2) , đường cao AM có phương trình  x = + t1  x = + t2 d1 :  , đường phân giác BN có phương trình d2 :   y = + t1  y = − 2t2 C Tìm tọa độ đỉnh A , B Giải : +Gọi C2 điểm đối xứng C qua d2 7 6 Áp dụng ví dụ 1.b có C2  ; ÷ 5 5 M N + Áp dụng tập 1.1 có B(1;4) d2 A u ur  14  uu u u u ur ur uu + BC2 =  ; − ÷ AB có VTCP u AB = BC2 = (1; −7) 5  B C2 x = 1+ t Phương trình AB :   y = − 7t  t= 2 + t1 = + t t1 − t = −1   ⇔ ⇔ + A = AB ∩ AM xét hệ  3 + t1 = − 7t t1 + 7t = t = − 1  5 9 5 9 suy A  ; ÷ Vậy A  ; ÷;B(1;4) 4 4 4 4 Bài tập 1.6 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm C(3;2) , đường trung tuyến AM có  x = + t1 phương trình d1 :  , đường phân giác BN có phương trình d 2:  y = + t1  x = + t2 C Tìm tọa độ đỉnh A , B   y = − 2t2 Giải : N Áp dụng tập 1.2 có B(1;4) 5 9   Áp dụng tập 1.5 có A  ; ÷ 4 GV : Trương Tử Trang t THPT Vĩnh Thạnh A M B C1 12 *Từ toán rút kinh nghiệm giải tam giác hệ tọa độ Oxy : + Nếu tốn có liên quan đến đường cao cần ý đến điểm hình chiếu đỉnh biết đường cao VTPT đường cao tìm để VTCP cạnh viết phương trình tham số cạnh tam giác + Nếu toán có liên quan đến trung tuyến cần lưu ý đến tính chất trung điểm + Nếu tốn có yếu tố đường phân giác cần lưu ý đến điểm đối xứng đỉnh biết qua đường phân giác III/GIẢI TAM GIÁC TRONG HỆ TỌA ĐỘ Oxyz Bài tốn tổng qt : Trong khơng gian Oxyz cho tam giác ABC biết điểm C(a;b;c) hai đường thẳng cắt d1 , d không qua C có phương trình tham số :  x = x1 + a1t1  d1 :  y = y1 + b1t1 z = z + c t 11   x = x2 + a2t2  d :  y = y2 + b2t z = z + c t 2  Hãy tìm tọa độ đỉnh A, B trường hợp : 1.1/ d1 , d hai đường cao tam giác 1.2/ d1 , d hai đường trung tuyến tam giác 1.3/ d1 , d hai đường phân giác góc A , B 1.4/ d1 đường cao , d trung tuyến tam giác 1.5/ d1 đường cao , d phân giác tam giác 1.6/ d1 trung tuyến , d phân giác tam giác Phương pháp giải: Tương tự giải toán tam giác hệ tọa tọa độ Oxy ta dùng PTTS đường thẳng không gian để giải 2.Bài tập áp dụng Bài tập 2.1 Trong mặt không Oxyz cho điểm C(3;2;3)  x = + t1  phương trình :  y = + t1 , đường cao d2 có phương trình  z = − 2t  Tìm tọa độ đỉnh A , B GV : Trương Tử Trang t THPT Vĩnh Thạnh , đường cao d có  x = + t2   y = − 2t2 z = + t  13 Giải : Giả sử d1 đường cao qua A d2 đường cao qua B A *Tìm tọa độ đỉnh B : + Tìm hình chiếu M C d1 B M N M(2;2;3) ( ví dụ 2a) u ur uu +CB có VTCP CM = ( −1;1;0) qua C(3;2;3) x = − t  Do phương trình tham số CB :  y = + t z =  C 1 + t2 = − t t2 =  + B = BC ∩ BN nên xét hệ : 4 − 2t2 = + t ⇔  suy B(1;4;3) t = 3 + t =  *Tìm tọa độ A : +Gọi N hình chiếu vng góc C d2 suy N(2;2;4) (ví dụ 2a) x = − t uu ur  +CA có VTCP CN = (−1;0;1) qua C nên có PTTS :  y = z = + t  2 + t1 = − t t = −1  ⇔1 + A = AC ∩ AM nên xét hệ : 3 + t1 = suy A(1;2;5) t = 3 − 2t = + t  Vậy : A(1;2;5) , B(1;4;3) *Nhận xét : tìm VTCP CB , CA theo cách : u r u u r + AM có VTCP u1 = (1;1; −2) ; BN có VTCP u2 = (1; −2;1) r r u r u u u r uu u r ur r  BC ⊥ u1  r ⇒ BC có VTCP u BC = [u1 , n] = (1; −1;0)   BC ⊥ n  u r uu u r ur u r  AC ⊥ u1  r ⇒ AC có VTCP u AC = [u2 , n] = (−1;0;1) +  AC ⊥ n  Mặt phẳng (ABC) có VTPT n = − [u1 , u2 ] = (1;1;1) Rõ ràng cách làm học sinh khó hiểu rắc rối Học sinh cần nắm vững cách tìm hình chiếu điểm đường thẳng dựa vào PTTS giải tốn cách tự nhiên GV : Trương Tử Trang t THPT Vĩnh Thạnh 14 Bài tập 2.2 Trong mặt không Oxyz cho điểm C(3;2;3) , hai đường trung  x = + t1  x = + t2   tuyến AM , BN có phương trình d1 :  y = + t1 , d2 :  y = − 2t2  z = − 2t z = + t   Tìm tọa độ đỉnh A,B Giải : *Tìm tọa độ đỉnh B : (dựa vào tính chất trung điểm) + M thuộc AM nên M (2 + t1;3 + t1;3 − 2t1 ) A B + M trung điểm BC nên B(1 + 2t1;4 + 2t1;3 − 4t1 ) N + B thuộc BN nên có hệ : 1 + 2t1 = + t2  2t1 − t2 = t1 =   + 2t1 = − 2t2 ⇔ 2t1 + 2t2 = ⇔  suy B(1;4;3)  t2 = 3 − 4t = + t  4t + t =   M C *Tìm tọa độ đỉnh A : (dựa vào tính chất trung điểm ) +N thuộc BN nên N (1 + t2 ;4 − 2t2 ;3 + t2 ) , +N trung điểm AC nên A(−1 + 2t2 ;6 − 4t2 ;3 + 2t2 ) −1 + 2t2 = + t1 2t2 − t1 = t1 = −1   − 4t2 = + t1 ⇔ 4t2 + t1 = ⇔  +A thuộc AM nên có hệ  t2 = 3 + 2t = − 2t t + t =  2 Suy A(1;2;5) Vậy A(1;2;5) , B(1;4;3) Bài tập 2.3 Trong mặt không gian Oxyz cho điểm C(3;2;3) , hai đường phân  x = + t1  x = + t2   giác AM BN có phương trình d1 :  y = + t1 , d2 :  y = − 2t2  z = − 2t z = + t   Tìm tọa độ đỉnh A , B A Giải : C2 +Gọi C1 điểm đối xứng C qua d1 N C1 ( 1;4;3) (Ví dụ 2b) +Gọi C2 điểm đối xứng C qua d2 GV : Trương Tử Trang t THPT Vĩnh Thạnh C1 D C B M 15 C2 ( 1;2;5 ) (Ví dụ 2b) uur uu uu ur uu uur + C1C2 = ( 0;2; −2 ) AB có VTCP u AB = C1C2 = (0;1; −1) x =  Phương trình tham số AB :  y = + t z = − t  2 + t1 = t1 = −1 t = −2   + A = AB ∩ AM xét hệ 3 + t1 = + t ⇔ t1 − t = ⇔  t1 = −1 3 − 2t = − t 2t − t =   Suy A ( 1;2;5 ) 1 + t2 = t2 = t =   + B = AB ∩ BN xét hệ 4 − 2t2 = + t ⇔  2t2 + t = ⇔  t2 = 3 + t = − t t + t =  2 Suy B ( 1;4;3) Vậy A ( 1;2;5 ) , B ( 1;4;3) Bài tập 2.4 Trong mặt khơng Oxyz cho điểm C(3;2;3) , đường cao AM có  x = + t1  x = + t2   phương trình d1 :  y = + t1 , trung tuyến BN d2 :  y = − 2t2  z = − 2t z = + t   Tìm tọa độ đỉnh A , B A Giải : + Áp dụng tập 2.1 có B(1;4;3) B M N + Áp dụng tập 2.2 có A(1;2;5) C Bài tập 2.5 Trong không gian Oxyz cho điểm C(3;2;3)  x = + t1  đường cao AM có phương trình d 1:  y = + t1 , đường phân giác BN  z = − 2t   x = + t2  có phương trình d2 :  y = − 2t2 Tìm tọa độ đỉnh A , B z = + t  GV : Trương Tử Trang t THPT Vĩnh Thạnh 16 Giải + Áp dụng tập 2.1 có B(1;4;3) A C2 +Gọi C2 điểm đối xứng C qua d2 B M N C2 ( 1;2;5 ) (Ví dụ 2b) C u ur uu u u u ur ur uu + C2 B = ( 0;2; −2 ) AB có VTCP u AB = C2 B = (0;1; −1) x =  Phương trình AB :  y = + t z = − t  2 + t1 = t1 = −1 t = −2   + A = AB ∩ AM xét hệ 3 + t1 = + t ⇔ t1 − t = ⇔  t1 = −1 3 − 2t = − t 2t − t =   suy A ( 1;2;5 ) Vậy A ( 1;2;5 ) , B(1;4;3) Bài tập 2.6 Trong mặt khơng Oxyz cho điểm C(3;2;3) , trung tuyến AM có  x = + t1  phương trình d1 :  y = + t1 , đường phân giác BN có phương trình d 2:  z = − 2t   x = + t2   y = − 2t2 Tìm tọa độ đỉnh B , C z = + t  Giải +Áp dụng tập 2.2 có B(1;4;3) A C2 B +Áp dụng tập 2.5 có A ( 1;2;5 ) M N Vậy A ( 1;2;5 ) , B(1;4;3) C *Nhận xét : Phương pháp giải tam giác hệ tọa độ Oxyz hoàn toàn tương tự hệ tọa độ Oxy Học sinh cần nắm vững cách giải toán tương tự mặt phẳng suy toán 2.1, 2.2,2.3 Từ tốn giải 2.4 , 2.5 ,2.6 GV : Trương Tử Trang t THPT Vĩnh Thạnh 17 PHẦN III : KẾT LUẬN Có thể có nhiều phương pháp giải toán tam giác hệ tọa độ Oxy , hay hệ tọa độ Oxyz Nhưng theo , với việc chọn lựa phương trình tham số để giải toán thật đơn giản , tự nhiên , minh bạch dễ sử dụng Hơn toán cho d d2 dạng tắc tởng qt ta chuyển về dạng PTTS để giải Đặc biệt chuyển từ phương pháp tọa độ mặt phẳng sang phương pháp tọa độ không gian , học sinh vận dụng không hề lúng túng , học sinh dễ dàng nhớ cách làm mặt phẳng để suy cách làm không gian Qua thực tế giảng dạy nhiều năm , học sinh cần nắm vững phương pháp giải tốn 1.1,1.2,1.3 giải toán 1.4, 1.5 ,1.6 , 2.1 , 2.2 , 2.3 , 2.4 , 2.5 , 2.6 hồn tồn cách tương tự Nói chung giải lớp toán tam giác hệ tọa độ Oxy Oxyz dựa vào phương trình tham số Đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót , mong góp ý đờng nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO : 1/ Sách giáo khoa hình học lớp 10 2/ Sách giáo khoa hình học lớp 12 MỤC LỤC 1) Phần mở dầu : Trang 2) Tóm tắt lý thuyết liên quan Trang 3) Giải tam giác hệ tọa độ Oxy Trang 4) Giải tam giác hệ tọa độ Oxyz Trang 13 5) Phần kết luận Trang 17 GV : Trương Tử Trang t THPT Vĩnh Thạnh ... phân giác III/GIẢI TAM GIÁC TRONG HỆ TỌA ĐỘ Oxyz Bài toán tổng quát : Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC biết điểm C(a;b;c) hai đường thẳng cắt d1 , d khơng qua C có phương trình tham số :... đường cao , d phân giác tam giác 1.6/ d1 trung tuyến , d phân giác tam giác Phương pháp giải: Tương tự giải toán tam giác hệ tọa tọa độ Oxy ta dùng PTTS đường thẳng không gian để giải 2.Bài tập áp... 1;2;5 ) II/GIẢI TAM GIÁC TRONG HỆ TỌA ĐỘ Oxy Bài toán tổng quát : Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết điểm C(a;b) hai đường thẳng cắt d1 , d khơng qua C có phương trình tham số :  x =