GV: NGUYỄN KHÁNH NAM SKKN: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN ĐƠN VỊ: THPT NGHÈN SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Chuyên đề phương trình bất phương trình vơ tỷ chun đề khó, gây nhiều trở ngại cho học sinh kì thi đại học cao đẳng tính đa dạng khơng có qui tắc tốn, đồng thời dạng tập rèn luyện tính tinh hoạt, sáng tạo cho học sinh Ngày máy tính cầm tay dụng cụ học tập thiếu học sinh phổ thơng tính tiện dụng giúp học sinh nhiều công việc tính tốn Trong tốn học giải phương trình bậc hai, bậc ba, hệ phương trình, đạo hàm, tích phân, số phức đặc biệt mơn trắc nghiệm Vật lý, Hố học Trong q trình giảng dạy tìm tịi tơi nhận thấy cơng cụ máy tính cầm tay hỗ trợ đắc lực việc giải tốn phương trình bất phương trình vơ tỷ, học sinh rèn luyện kĩ dùng máy tính thành thạo việc giải toán thuộc dạng trở nên rõ ràng Đó lí tơi chọn nghiên cứu chuyên đề: “SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC” Mục đích nghiên cứu: Đề tài nhằm mục đích rèn luyện cho học sinh kĩ sử dụng máy tính cầm tay việc xác định nghiệm, kết hợp với phép biến đổi phương trình, bất phương trình để giải trọn vẹn tốn phương trình, bất phương trình vơ tỷ Qua học sinh vận dụng vào chuyên đề khác tốn học mơn khoa học khác Phương pháp nghiên cứu: Tổng hợp kiến thức, kiểm nghiệm qua thực tế dạy học Thực hành giải toán máy tính cầm tay Tập hợp vấn đề nảy sinh, khó khăn học sinh trình giải phương trình, bất phương trình vơ tỷ Từ đề xuất phương án giải quyết, tổng kết thành kinh nghiệm Phạm vi nghiên cứu: Chuyên đề nghiên cứu tốn phương trình, bất phương trình vơ tỷ, nhiên đề tài đề cập đến tốn dùng cơng cụ máy tính GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN cầm tay hỗ trợ, cụ thể máy tính Casio fx 570ES Casio fx 570ES PLUS (được phép sử dụng kì thi) Các tốn tổng hợp q trình bồi dưỡng học sinh giỏi ơn thi đại học Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 10 lớp có học lực Các đề thi thức, thi thử đại học, viết diễn đàn toán học liên quan đên vấn đề phương trình bất phương trình vơ tỷ Điểm đề tài: Rèn luyện kỹ tìm nghiệm máy tính cho học sinh Với nội dung có trình bày tốn, cú pháp dãy phím bấm, ví dụ minh hoạ tập đề nghị Định hướng lời giải toán phương trình, bất phương trình vơ tỷ rõ ràng hơn, tạo thêm nhiều hứng thú cho học sinh gặp dạng toán GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN B NỘI DUNG I PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO THÀNH NHÂN TỬ 1.1 Kiến thức bản:   g  x   f  x  g  x     f  x  g  x  g  x   f  x  g  x    f  x  g  x   f  x  g  x   f  x  g  x  Do khuôn khổ chuyên đề, tơi khơng trình bày chức máy, phần xem tài liệu: “Hướng dẫn sử dụng máy tính CASIO fx- 570ES ” 1.2 Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình x  x  x   Giải: Điều kiện x   4 x  x   (1)  x   4 x  x    2 2 x    4 x  x  1 (2)  (2)  x   16 x  64 x   64 x3  x  16 x  8x  32 x3  28 x  x   Đến cần có hỗ trợ máy tính: B1: Nhập vào hình phương trình cách bấm phím x  32 x3  28 x  x  ALPHA  B2: Bấm phím SHIFT SOLVE B3: Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến X giá trị thuộc tập xác định, chẳng hạn Máy trả kết nghiệm X  0,1043560763 Bấm AC , Bấm ALPHA SHIFT STO A Nhập lại phương trình vào máy bấm tiếp SHIFT SOLVE Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến X =2 Kết X  1,780776404 Bấm AC , Bấm ALPHA SHIFT STO B Nhập lại phương trình vào máy bấm tiếp SHIFT SOLVE Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến X =-0,5 Kết X  0, 280776406 Bấm AC , Bấm ALPHA SHIFT STO B Nhận xét: ALPHA A  ALPHA B = 1,885132483 GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN ALPHA B  ALPHA C = , 2 phương trình bậc hai x  x   mà B C nghiệm phương trình x  32 x3  28 x  x   Vậy phương trình cho tương đương với  x  3x  1 x  10 x  1   x   21 , x   17  21  17 Đối chiếu với điều kiện, phương trình có nghiệm x  ,x  4 Bấm tiếp ALPHA B X ALPHA C =  Điều chứng tỏ B C nghiệm Như với hỗ trợ đắc lực máy tính, giải toán cách tự nhiên 1 Ví dụ 2: Giải phương trình  x   x  3x   3x   2  Bình Giải: phương vế phương trình ta có 1  1   x    x  3x    12 x  16 x  32 x  232 x  8x   2  4  Đến lại vận dụng máy tính tương tự ví dụ ta lại phân 5  3 2 ,x  2 5  3 2 Thử lại phương trình có nghiệm x  ,x  2 tích  x  20 x  1 x  12 x  1   x  Nhận xét: Việc nhập giá trị biến X từ đầu không cho kết mong muốn nên ta phải thử vài trường hợp Ví dụ 3: Giải phương trình  x   x  x   Ta nhận thấy phương trình có chứa hai dấu căn, giảm bậc phương trình cách đặt t   x Giải: Điều kiện: x  Đặt t   x với t  ta có x   t Phương trình cho trở thành t   2t  14t  23   t    2t  14t  23 Đến tiếp tục sử dụng kĩ thuật phân tích máy tính ta 1   129 ,t  1   129 Đối chiếu điều kiện ta t  ,t  1  1 Nếu 2x  x 2  129 53  129 Nếu  x  x   t  t  1 2t  3t  15    t  GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN Nhận xét: Trong chuyên đề đề cập đến số đưa phương trình bậc bốn phương pháp áp dụng cho phương trình bậc cao hơn, nhiên việc phân tích phức tạp 1.3 Một số toán tương tự: Giải phương trình sau Bài 1: x  x   x  x  3x  x  3 x 1  x   x  x  2x  Bài 2:  x   x    x     Bài 3:  x  3 Bài 4: x  x   x 11  x  x  Bài 5:  x  x    x3  Bài 6: x  x  x   x  Bài 7: x   x   x  x  II PHƯƠNG PHÁP NHÂN BIỂU THỨC LIÊN HỢP 2.1 Kiến thức bản: Một số đẳng thức hay dùng  x  y   x  y  x  y   x  y   x  y   x  xy  y   x  y   x  y   x  xy  y   x  y   x  y  x  y   x  y  Trong phần dùng chức tìm nghiệm phương trình máy tính SOLVE tìm cách phân tích nhân tử cách nhân liên hợp 2.2 Các ví dụ: Ví dụ 1: (ĐH Khối D 2006) x   x  3x   Dễ dàng nhẩm nghiệm phương trình x=1 Tuy nhiên tơi xin trình bày lại phương pháp nhẩm nghiệm máy tính Casio sau: B1: Nhập vào hình phương trình băng cách bấm phím: ALPHA X    ALPHA X x  ALPHA X  ALPHA  B2: Bấm phím SHIFT SOLVE B3: Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến X giá trị thuộc tập xác định, chẳng hạn Máy trả kết nghiệm Từ nghiệm phân tích phương trình thừa số Giải: ĐK x  Phương trình cho tương đương với GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN 2x 1  x  x  2x   x  ( x  1) 2   ( x  1)      1 2x 1  x  2x 1  x  Phương trình (1) tương đương với  x  x    x  x  x  Kết hợp điều kiện phương trình có nghiệm x  1, x   Nhận xét: Bài giải theo phương pháp bình phương đưa phương trình bậc bốn tìm nghiệm Ví dụ 2: (Dự bị D 2006) Giải phương trình: x   x  x    x  x   Nhập vào máy tính phương trình sau dùng chức SHIFT SOLVE : Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến x giá trị máy tính nghiệm x=5, tiếp tục bấm SHIFT SOLVE cho biến nhận giá trị máy tính tiếp nghiệm thứ hai x=4 Ta phân tích phương trình thành nhân tử Giải: Phương trình cho tương đương với x   x    x  ( x  1)(7  x)   x 1     x 1    x x 1     x 1    x 1   x   x 1  x    x   x 1   x  Thử lại hai nghiệm thỏa mãn Ví dụ 3: (ĐH Khối B 2010) Giải phương trình 3x    x  3x  14 x   B1: Nhập vào hình phương trình băng cách bấm tổ hợp phím: ALPHA X    ALPHA X    ALPHA X  ALPHA X x  14 B2: Bấm phím SHIFT SOLVE B3: Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến x giá trị thuộc tập xác định, chẳng hạn Máy trả kết nghiệm Rõ ràng để nhẩm nghiệm khơng phải dễ dàng khơng có cơng cụ máy tính Cách giải đáp án Bộ giáo dục Giải: Điều kiện   x  Phương trình cho tương đương với: GV: NGUYỄN KHÁNH NAM     THPT NGHÈN x      x  x  14 x   3( x  5) x 5   ( x  5)(3 x  1)  3x    x 1     x  5    x  1   x 1  3x      Do    3x   0x    ;  nên phương trình cho có 3x    x 1    nghiệm x=5 Ví dụ 4: (Thi Thử Đại học Sư phạm Hà Nội 2013) Giải phương trình x  x   x   3x  x   x  x  Dùng chức SHIFT SOLVE ta dễ dàng nhẩm nghiệm x=-3 Từ có cách giải sau: Giải: x   Điều kiện:   37 Phương trình cho tương đương với  x   3x  x   3x  x   x   x  3x    2x  3x  x   3x  x   3x  x   x  3x     x  2   2  3x  x   3x  x   x2 0  0 x   x  3x   (Thoả mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm x=2 Ví dụ 5: Giải phương trình x  x  20  x  10 Dùng chức SHIFT SOLVE ta dễ dàng nhẩm nghiệm x=-3 Từ có cách giải sau: Giải: Điều kiện x   x  x  18   10 Phương trình cho tương đương với  x  10    x  3 x      x  10   x  10  x  10   x  3(TM )   x  3 x     x   x  10   x  10    x  3 Với x  3 Với  3x  10   x   nên phương trình vơ nghiệm 10  x  3 tương tự có  x   nên phương trình vơ x  10  nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x=-3 Ví dụ 6: Giải phương trình x  12   3x  x  (1) GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN Nhập vào máy tính phương trình sau dùng chức SHIFT SOLVE : Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến x giá trị tìm nghiệm phương trình là: x0  Ta có x0  12  nên -4 số cần thêm vào cho x0   nên -3 số cần thêm vào cho x  12 x2  Giải: Phương trình tương đương với   x  12   x    x2   x2    x  12   3 x  2  x2  x2   Nếu x  thoả mãn Nếu Vì Vậy x2  x  12  x2   3 x2    (2) x  12  x  nên từ phương trình (1) suy  x  x  x2 x  12   x2 x 5 3  x2 3 x  12  x2  x    nên (2) vô nghiệm x 5 3 Vậy phương trình có nghiệm x  Ví dụ 7: Giải phương trình 12 x  46 x  15  x3  5x   2( x  1) Ta dễ dàng nhẩm nghiệm x=2, sử dụng kĩ thuật tách ẩn theo nghiệm dự đốn để nhân liên hợp Phương trình cho tương đương với: 12 x  46 x  15   x  1  x3  x    8 x3  40 x  16 2 x   3(2 x  1) 3  12 x  46 x  15      8( x  x  2) x3  x   0 0 1 3  x  5x     2  Mà  0 2 2 x   3(2 x  1) 1 3 3  12 x  46 x  15     x  5x      2   nên x  x    x  2, x  1  2 x   3(2 x  1) 3  12 x  46 x  15       1 3  x  5x     2  x  5x  Ví dụ : x  x  1   x  3x  1 x  3x Nhập vào máy tính phương trình sau dùng chức SHIFT SOLVE : Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến x giá trị 10 tìm nghiệm phương trình là: x  0, x  Thay x=1 vào x  3x kết nên tiếp tục dự đốn có nhân tử x  3x  x Giải: Đk x  3x  GV: NGUYỄN KHÁNH NAM Phương trình tương đương với THPT NGHÈN 2   x  x    x  3x  x  3x  1   2    x  x  3x   x   x  3x  x x  3x  1    x   x  x  3x   x          Cách 2: Có thể áp dụng phương pháp đạo hàm Phương trình tương đương với  x 3  x   x  3x  x  3x x  x  Xét f ( x)  x  x  f '( x)  3x   suy  x  x  3x   Ví dụ 9: Giải phương trình x   x   x  x  Dùng chức SOLVE ta có hai nghiệm x  0, x  1, ta dự đoán x  x thừa số chung cần phân tích Cần tìm a, b cho phương trình x    ax  b   (*)nhận x  0, x  làm b  b   Vậy  x  2a b  a 1   nghiệm Thay x  0, x  vào (*) ta có  biểu thức cần thêm vào cho cho x  Giải: 3x  , tương tự  x  biểu thức cần thêm vào x Phương trình tương  x    x  1    x    x      x  x      2 x  x x  x    3 x2  x  3x   x  5x   x  2 Nếu x  x   x  0, x  1 Nếu    Vô nghiệm 3x   x  5x   x  Vậy phương trình có hai nghiệm x  0, x  Điều kiện: đương với Ví dụ 10: Giải bất phương trình x   x3  x  x  Nghiệm phương trình x  Điều kiện:  x  4 2x 1  x ,  Bất phương    x  4 x2  x      x  4   x2  x     x   2x 1   Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm S    ;        trình tương đương với GV: NGUYỄN KHÁNH NAM Ví dụ 11: (Thi Thử Đại Học Vinh Khối A 2014) Giải bất phương trình sau: x   2 x    x  1  x   THPT NGHÈN Nhập vào máy tính phương trình sau dùng chức SHIFT SOLVE : Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến x giá trị máy tính nghiệm x=1, tiếp tục bấm SHIFT SOLVE cho biến nhận giá trị 10 máy tính tiếp nghiệm thứ hai x=3 Ta phân tích phương trình thành nhân tử Điều kiện: x  1 Nhận thấy x  1 nghiệm bất phương trình Xét x  1 bất phương trình tương đương với     x 1    x  3 x 1    x    x  x  x  12  x  3 2x      x  3 x  x    4    x  3     x  1    2x    x 1   Vì x 1  x  1 nên 1 2x   suy 4  3 x 1  2x   4     x  1   x 1  2x    x  1 Do bất phương trình (1)  x    x  Vậy tập nghiệm  x  Ví dụ 12: Giải phương trình x2  x  x   x4 x2  2 Dùng chức SOLVE ta tìm hai nghiệm X  1, 732050808 lưu vào biến nhớ A, X  1, 732050808 lưu vào biến nhớ B Tính A+B =0 AB=-3 Do X , X hai nghiệm phương trình x   Lại có nên -1 số cần thêm vào cho x2  1 X 12  Giải: Điều kiện x  4 10  X 12  X  1 X1  1 nên  số thêm vào 2 GV: NGUYỄN KHÁNH NAM Phương trình THPT NGHÈN đương với tương  x  x 1  x  1   1       0   2 2 x4 x2     x2  x2  x2     0 x  x2  x   x2  x2    1    x4   2   Ví dụ 13: Giải phương trình x3  3x    3x Đk:  6  x 3 , Trong tốn này, ta khơng thể nhẩm nghiệm phương trình để dùng lượng liên hợp Tuy nhiên với hỗ trợ đắc lực máy tính Casio fx570 Es chuyện dễ dàng hơn! Nhập vào máy tính phương trình sau dùng chức SHIFT SOLVE : Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến x giá trị tìm nghiệm phương trình là: x1  0, 6180339887 ; x2  1, 618033989 sau gán hai nghiệm vào hai biến A B Cách làm: Sau bấm SHIFT SOLVE tìm nghiệm x1  0, 6180339887 ta bấm tiếp SHIFT STO ALPHA A , tìm nghiệm x2  1, 618033989 bấm tiếp SHIFT STO B , Bây ta thử tìm xem A B có mối quan hệ với hay không cách bấm ALPHA A  ALPHA B ALPHA A x ALPHA B Ta có A  B  1, AB  1 Điều chứng tỏ A, B hai nghiệm phương trình: x  x   Và từ đây, ta dự đốn x  x  nhân tử phương trình Ta viết pt cho lại thành: x  3x    px  q    3x  px  q   x  x    px  q    x   p  3  px  q  p x 1 q   8  x   x  px  q   2  3 x  pqx  q  8  x  px  q 0 Đến đây, để xuất nhân tử x  x   p  3 x2  pqx  q   k  x  x  1 với k hệ số Chọn k = ta cặp (p, q) thỏa mãn (p, q) = (-1; 2) Khi (2) trở thành: x3  x   x2  x 1  3x   x 0     x  x  1  x   0  3x   x   11 GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN Xét f  x    x   x ta có: f '  x    f '( x )   3 x  3x 1 x   3 x  3x 1 Ta có bảng biến thiên:  f  x  64 64 kết hợp với x    f  x   3  1 0 f  x 64  3x   x 1 Vậy phương trình cho có nghiệm x  x    x   x 1  x 1  Ví dụ 14: Giải phương trình x  x    x   x  x  Cũng cách làm ví dụ ta phân tích sau: x2  2x    x  2   x  2 x2  2x      x2  x    x  2  x2  2x      x  x  7       x  1     x  1  x  2x    x  1    x  1 Ví dụ 15: Giải bất phương trình x3  1  x  3x  x  Nhập vào máy tính phương trình sau dùng chức SHIFT SOLVE : Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến x giá trị tìm nghiệm phương trình là: x  0, 41421356 Ta dự đoán nghiệm phương trình x 1 Bấm tiếp SHIFT STO ALPHA A gán x cho A Nhập vào máy tính A   , Kết 0, 4142135662 , tức    x , nên tiếp tục dự đốn có nhân tử x   x  12  Lại có GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN Ta có lời giải: Điều kiện x   2 x3   Bất phương trình tương đương với   x   2x  1  x  x   3x 2 x   2x   x  1  x  2x 1     1 2x  x      x   Ví dụ 16: Giải phương trình x3  18x  x    x  x   x  x   Nhập vào máy tính phương trình sau dùng chức SHIFT SOLVE : Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến x giá trị tìm nghiệm phương trình là: x  2, 414213562 Ta dự đốn nghiệm phương trình x 1 Bấm tiếp SHIFT STO ALPHA A gán x cho A Nhập vào máy tính A2  A   , Kết 2 , Lại có 2  x  , nên tiếp tục dự đốn có nhân tử x  x   x   Bằng phép biến đổi ta đến phương trình   x2  x   2x      x  x   x   1  Giải tiếp phương trình   2.3 Một số tốn tương tự: Bài 1:   x    x  x  Bài 2:  x x  x2  x  x2 Bài  x   3x    x  Bài x    x  x  5x  13 GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN x3 Bài x   3x   Bài x  16 x  18  x   x  Bài 10 x   x   x   x  Bài 3 x   x 3x   2 x  Bai x  x   x   x   x  Bài 10 x   x  x   x  x   x  x  Bài 11: x   x   x  x   Bài 12 x x   x   x3  x   Bài 13 x  x   x  27  Bài 14 x  10 x  61   x  3 x   x    Bài 15  x  3x   x   x  12  x  28 Bài 16 Bài 17 Bài 18 3  x  x  1 x  22 x  11x   x  12 x   x   7x  x3  7x   3x Bài 19 x  x  92  x  x  x   Bài 20 x3 x     3x   3x 3x C THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM Trong q trình giảng dạy khố, dạy khối cho học sinh lớp 10 tiến hành lồng ghép nội dung chuyên đề vào Qua thực tế cho thấy số vấn đề sau: Kỹ sử dụng máy tính: Việc sử dụng máy tính cá nhân học sinh chưa thật tốt, chuyên đề nhằm giúp học sinh rèn luyện thêm kĩ sử dụng máy tính Tính phổ biến phương pháp: 14 GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN Rõ ràng việc sử dụng máy tính giải nhiều tốn khó thuộc chủ đề nghiên cứu, nhiên lúc vận dụng phương pháp tính linh hoạt tốn, khơng nên q lạm dụng phương pháp mà làm linh hoạt tư học sinh Giáo viên cho học sinh tìm thêm lời giải khác bên cạnh phương pháp sử dụng máy tính Kiểm tra tính khả thi chuyên đề Sau đưa chuyên đề vào giảng dạy số lớp, tiến hành cho học sinh làm kiểm tra với thời gian 15 phút Lớp thực nghiệm: 10B2 Đã học chuyên đề Lớp đối chứng: 10B1 Chưa học chuyên đề Trình độ hai lớp tương đương có học lực Đề bài: Giải phương trình Lớp 10B1 Có 8/45 học sinh giải 20/45 học sinh biết sử dụng chức SOLVE tìm hai nghiệm 3x   x   3x  x  Lớp 10B2 Có 32/45 học sinh giải 45/45 học sinh biết sử dụng chức SOLVE tìm hai nghiệm x  0, x  x  0, x  học sinh biết cách thêm bớt vào để nhân liên hợp phận dựa vào khả phán đoán thân 20 học sinh giải phương pháp khác đặt ẩn phụ, bình phương … có học sinh đến kết 38 học sinh biết vận dụng phương pháp nhân liên hợp cách tìm a, b cho x    ax  b   , x    ax  b   32 học sinh giải xác tốn, học sinh biến đổi sai bước sau D KẾT LUẬN Ý nghĩa đề tài: Đề tài nghiên cứu dựa kinh nghiệm giảng dạy, tìm hiểu thân, hồn thành đề tài tơi thấy cá nhân tích luỹ thêm nhiều kỹ tốt phục vụ cho công tác giảng dạy, nội dung để đồng nghiệp đơn vị công tác thảo luận máy tính nội dung dạy sách giáo khoa mơn tốn ba ba khối THPT chưa có đề tài vấn đề Mục tiêu nghiên cứu hoàn thành 15 GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN Qua chuyên đề học sinh hứng thú việc giải tốn khó thuộc chủ đề phương trình bất phương trình vơ tỷ Một số hướng phát triển đề tài: Giải toán chứng minh phương trình bậc đa thức vơ nghiệm máy tính Kết hợp máy tính phương pháp chiều biến thiên để giải toán thuộc chuyên đề Triển khai chuyên đề tương tự phương trình lượng giác hệ phương trình, tích phân Để đề tài đến gần học sinh tác giả mong đóng góp ý kiến chân thành từ đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn! Hà Tĩnh, tháng năm 2014 MỤC LỤC A MỞ ĐẦU B NỘI DUNG I PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO THÀNH NHÂN TỬ 1.1 Kiến thức bản: 1.2 Các ví dụ: 16 GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN 1.3 Một số toán tương tự: II PHƯƠNG PHÁP NHÂN BIỂU THỨC LIÊN HỢP 2.1 Kiến thức bản: 2.2 Các ví dụ: 2.3 Một số toán tương tự: 13 C THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 14 D KẾT LUẬN 15 17 ... thú việc giải tốn khó thuộc chủ đề phương trình bất phương trình vơ tỷ Một số hướng phát triển đề tài: Giải toán chứng minh phương trình bậc đa thức vơ nghiệm máy tính Kết hợp máy tính phương pháp... kĩ sử dụng máy tính Tính phổ biến phương pháp: 14 GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN Rõ ràng việc sử dụng máy tính giải nhiều tốn khó thuộc chủ đề nghiên cứu, nhiên khơng phải lúc vận dụng phương. .. 1 Ví dụ 15: Giải bất phương trình x3  1  x  3x  x  Nhập vào máy tính phương trình sau dùng chức SHIFT SOLVE : Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến x giá trị tìm nghiệm phương trình là: x