Trong bài viết này tôi xin giới thiệu phần mềm maple 14, nó hỗ trợ hầu hết các khía cạnh của Toán học như Phương pháp tính, Đại số, Giải tích, Quy hoạch tuyến tính, Phương trình vi phân, Phương trình đạo hàm riêng, Xác suất thống kê,…Do đó, các công việc như tìm giới hạn, tính tích phân, đạo hàm, giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình, vẽ đồ thị hàm số,…đều được giải quyết rất thuận tiện. Các kết quả xử lý các lệnh do người sử dụng yêu cầu được Maple đưa ra dưới dạng rất chính xác như dưới dạng phân số, căn thức,…và trong trường hợp cần thiết, Maple cũng cho phép ta chuyển các kết quả chính xác đó sang dạng thập phân như cách biểu diễn của phần lớn các ngôn ngữ lập trình. Một tính năng nữa mà Maple cung cấp là chúng ta có thể lập trình để giải các bài toán. Các bạn có thể download trên link này: http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=12454 Hướng dẫn Crack: 32-Bit: Sau khi cài đặt xong các bạn tắt hẳn CT, copy file license.dat paste vào C: \ Program Files \ Maple 14 \ license copy file maple.dll paste đè vào C: \ Program Files \ Maple 14 \ bin.win 64-Bit: Sử dụng Serial đính kèm. Sau đây tôi xin giới thiệu ứng dụng maple trong chương trình toán phổ thông II.1. Maple với các phép tính số học II.1.1. Tính toán với các số nguyên Ở mức đơn giản nhất, có thể sử dụng Maple như một calculator có đầy đủ tính năng. Chẳng hạn, cần tính giá trị của biểu thức 17.15, thực hiện lệnh. [> 17*15; Maple có khả năng nhận biết được nhiều toán tử (operator) như giai thừa, tìm ước chung lớn nhất (greatest common divisor-gcd), bội chung nhỏ nhất (least common multiple-lcm) và tính toán trên các số nguyên modulo m. Dòng lệnh dưới đây tìm ước số chung lớn nhất của hai số nguyên 10 và 15. [> gcd(10,15); Bội số chung nhỏ nhất của 10 và 15 được tính thông qua lệnh. [> lcm(10,15); Tính giá trị của 20!. [> 20!; Nếu trong câu lệnh sau cần sử dụng kết quả của biểu thức được tính toán ngay trước đó thì chúng ta nên sử dụng toán tử “ditto” được kí hiệu bằng dấu %, toán tử “ditto” sẽ tham chiếu tới biểu thức cuối cùng được tính toán bởi Maple. Việc sử dụng toán tử “ditto” đặc biệt có ý nghĩa trong trường hợp biểu thức hay kết quả mà ta cần sử dụng lại quá dài. [> %; Số tự nhiên n được gọi là số nguyên tố nếu n chỉ có hai ước là 1 và chính nó. Để nhận biết được một số tự nhiên có phải là số nguyên tố hay không, Maple cung cấp cho ta hàm isprime(…). [> isprime(2); Hàm ithprime(n) cho ta xác định được số nguyên tố thứ n, số 2 được xem là số nguyên tố thứ nhất. [> ithprime(5); Hai hàm prevprime(n) và nextprime(n) tương ứng cho ta số nguyên tố lớn nhất nhỏ hơn n và nhỏ nhất lớn hơn n. [> prevprime(100); [> nextprime(100); Lệnh ifactor(…)-phân tích ra thừa số nguyên tố. [> ifactor(20!); Muốn trở lại kết quả ban đầu, sử dụng lệnh expand(…). [> expand(%); . II.1.2. Số học dấu phẩy động Một trong những điểm mạnh chủ yếu của Maple là khả năng chính xác hoá rất cao. Các phân số và các căn thức không được chuyển về dạng thập phân tương đương trong quá trình tính toán, do đó tránh được các lỗi về làm tròn số. Khi cần sử dụng dạng thập phân, Maple cung cấp cho ta lệnh evalf(…) để thực hiện điều này. [> (2^30/3^20)*sqrt(3); Lệnh evalf(…) cho giá trị xấp xỉ của biểu thức trên. [> evalf(%); Có thể yêu cầu Maple đưa ra ngay kết quả ở dạng thập phân bằng cách báo cho Maple biết trong biểu thức cần tính giá trị có chứa số ở dạng thập phân. Thay 3 bởi 3.0 ta có. [> (2^30/3^20)*sqrt(3.0); II.1.3. Tổng, tích hữu hạn và vô hạn Với Maple, để tính tổng, tích hữu hạn cũng như vô hạn rất đơn giản bằng cách sử dụng các lệnh sum(…), product(…) tương ứng. Tổng hữu hạn. [> Sum((1+i)/(1+i^4),i=1 10); [> sum((1+i)/(1+i^4),i=1 10); Tổng vô hạn. [> Sum( 1/k^2, k=1 infinity ); [> sum( 1/k^2, k=1 infinity ); Tích hữu hạn. [> Product( ((i^2+3*i-11)/(i+3)), i=0 10 ); [> product( ((i^2+3*i-11)/(i+3)), i=0 10 ); Tích vô hạn. [> Product( ((i+3)/(i^2+3)), i=0 infinity ); [> product( ((i+3)/(i^2+3)), i=0 infinity ); Như vậy, để tính được các tổng, tích vô hạn ta chỉ cần thay giá trị của cận trên bằng infinity. Có thể ước lượng độ chính xác cho giá trị cần tính bằng cách báo cho Maple biết số chữ số (digit) cần phải lấy. Maple sẽ chuyển giá trị cần ước lượng sang dạng thập phân với số chữ số được chỉ ra. Trên phần lớn các hệ điều hành, số chữ số thể hiện độ chính xác có thể lên đến hàng trăm nghìn chữ số, một lần nữa chúng ta lại thấy thế mạnh của Maple. Lệnh sau tính số Pi với độ chính xác tới 20 chữ số. [> evalf[20](Pi); II.1.4. Số phức và các hàm đặc biệt Maple cũng hỗ trợ tính toán trên các số phức, đơn vị phức được Maple kí hiêu bởi chữ cái in hoa I. [> ((I+1)/(I+2)); Việc chuyển một số phức sang dạng toạ độ cực (polar-coordinate form) được thực hiện dễ dàng nhờ sử dụng hàm chuyển convert(…). [> convert(I+2,polar); Giá trị số của các hàm sơ cấp (elementary function) và nhiều hàm, hằng đặc biệt (special) đều tính được nhờ Maple. Ví dụ: Tính giá trị của hằng số e (cơ số logarit tự nhiên) chính xác tới 15 chữ số. [> evalf[15](exp(1.0)); Dưới đây là một ví dụ về hàm Gamma. [> GAMMA(2.5); II.1.5. Miền thực Theo mặc định, Maple thực thi yêu cầu của người sử dụng và đưa ra kết quả trả lời có giá trị trong trường số phức. Điều này có thể khiến cho các sinh viên bỡ ngỡ nếu họ chưa được trang bị kiến thức về số phức. Ví dụ: Giải phương trình. [> solve(x^2+2*x+3,x); Để hạn chế miền làm việc, chỉ thực hiện tính toán trên trường số thực, ta sử dụng lệnh. [> with(RealDomain); II.2. Maple với các phép tính đại số II.2.1. Làm việc với các biểu thức Maple cung cấp nhiều cách thức khác nhau để thao tác và hiển thị các biểu thức, tạo điều kiện cho việc sử dụng chúng có hiệu quả. Tính mềm dẻo này cho ta thực hiện một số công việc như khai triển, thu gọn các biểu thức, đơn giản hoá các biểu thức lượng giác, gán các giá trị hoặc biểu thức cho các tên biến và chuyển các biểu thức về các dạng tương đương khác nhau. II.2.1.1. Khai triển và thu gọn các biển thức Để khai triển một biểu thức, sử dụng lệnh expand(…). [> expand((a+b)^6); Sau khi xem kết quả nhận được, muốn thu gọn lại ta dùng lệnh factor(…). [> factor(%); Cần chú ý rằng ta cũng có thể đưa trực tiếp biểu thức cần rút gọn vào trong câu lệnh factor(…) như sau. [> factor(x^2+2*x*y+y^2); II.2.1.2. Đơn giản các biểu thức Maple có thể áp dụng những tính chất đồng nhất (identities) để đơn giản hoá các biểu thức Toán học dài, chẳng hạn như các biểu thức lượng giác. Lệnh sau đơn giản hoá biểu thức. [> simplify( cos(x)^5 + sin(x)^4 + 2*cos(x)^2 - 2*sin(x)^2 - cos(2*x) ); Một cách khác để đơn giản hoá các biểu thức là sử dụng lệnh normal(…), lệnh này sẽ đưa biểu thức về dạng một phân số và bỏ đi các thừa số có ở cả tử số và mẫu số. [> normal( (x^3-y^3)/(x^2+x-y-y^2) ); II.2.1.3. Gán các kết quả cho các tên biến Có thể gán các kết quả của một lần tính toán cho một đối tượng do ta đặt tên (tất nhiên phải tuân theo quy tắc đặt tên của Maple), đối tượng được đặt tên này đôi khi được tham chiếu tới như một biến. Mục đích của việc gán này là cơ sở cho việc quản lý một số lượng lớn các biểu thức và các kết quả tính toán, đặc biệt có ích nếu trong một phiên làm việc ta muốn sử dụng lại các biểu thức và các kết quả đã tính toán trước đó cho những tính toán về sau. Lưu biểu thức vào đối tượng được đặt tên expr1. [> expr1 := (41*x^2+x+1)^2*(2*x-1); Sử dụng lệnh expand đối với expr1 và lưu kết quả vào biến expr2. [> expr2 := expand( expr1 ); Ước lượng giá trị của expr2 với x=1. [> eval( expr2 , x=1 ); Trong ví dụ tiếp theo, answer được gán bằng thương số của hai biểu thức đã khai triển top và bottom sau khi được đơn giản hoá. [>top := expr2; [>bottom := expand( (3*x+5)*(2*x-1) ); [>answer := normal( top/bottom ); II.2.1.4. Đưa các biểu thức về các dạng tương đương khác nhau Lệnh convert(…) cho phép biến đổi các biểu thức về các dạng khác nhau tương đương với chúng. Ví dụ: Chuyển biểu thức về dạng tổng các phân thức. [>my_expr := (a*x^2+b)/(x*(-3*x^2-x+4)); [>convert( my_expr, parfrac, x ); Chuyển biểu thức lượng giác cos(x) về dạng hàm mũ (exponential expression). [> convert( cot(x), exp ); II.2.2. Kí hiệu hàm Maple cung cấp một số cách để định nghĩa hàm. Một trong các cách đó là sử dụng kí hiệu mũi tên (→) rất gần gũi với kí hiệu Toán học chuẩn cho một ánh xạ. Ngoài ra, cũng có thể sử dụng lệnh unapply(…) như dưới đây. Xem định nghĩa hàm f: x→x 2 +1/2. [> f := x -> x^2+1/2 ; Tính giá trị hàm khi x nhận một giá trị số hoặc một giá trị biểu tượng (symbolic). [> f(2); [> f(a+b); Sử dụng lệnh unapply(…). [> g := unapply( x^2 + 1/2, x ); II.2.3. Về một số lệnh liên quan tới đa thức Phân tích đa thức thành nhân tử. [>factor(-x^2-3*x+4); Cũng như trong phần số học, để tìm ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của hai đa thức, ta sử dụng lệnh gcd(…) và lcm(…). [>gcd(x^2-x*3^(1/2)-2^(1/2)*x+2^(1/2)*3^(1/2),x^2-2); [>lcm(x^2-y^2,x^3-y^3); Viết đa thức dưới dạng bình phương của tổng. [>with(student): [>completesquare(9*x^2 + 24*x + 16); [>completesquare(x^2 - 2*x*a + a^2 + y^2 -2*y*b + b^2 = 23, x); [>completesquare(%, y); [...]... phương trình trong Maple Giải hệ bất phương trình: x2 eqn := x^3-1/2*a*x^2+13/3*x^2 = 13/6*a*x+10/3*x-5/3*a; [>solve( eqn, {x} ); Để xác nhận một giá trị xem nó có phải là một nghiệm của phương trình không, ta dùng [> eval( eqn , x=a/2 ); II.2.4.2 Giải hệ phương trình Maple có thể giải... hiện, ta có thể thay đổi hàm số f, đoạn [a, b] và báo cho Maple biết vật thể được quay quanh trục tung hay trục hoành [> with(Student[Calculus1]): [> VolumeOfRevolutionTutor(f,var=a b); [> SurfaceOfRevolutionTutor(); II.4.6 Đồ thị của hàm phân thức [> with(Student[Precalculus]): [> RationalFunctionTutor(); II.5 Ứng dụng Maple trong hình học Maple cung cấp hai gói công cụ để xử lý các bài toán trong... tính toán hoặc yêu cầu Maple đưa ra kết quả thực hiện từng bước Trong trường hợp muốn tính tích phân, ta phải đặc tả giá trị của cận trên và cận dưới cho tích phân cần tính [> with(Student[Calculus1]): [> IntTutor(x^2*cos(x),x); II.4.5 Thể tích và diện tích của vật thể tròn xoay Với câu lệnh VolumeOfRevolutionTutor(f,var=a b) và câu lệnh SurfaceOfRevolutionTutor(f,var=a b) của Maple chứa trong gói công... trên, xuống dưới hoặc sang trái, sang phải theo ý muốn II.4 Maple với giải tích Toán học Giải tích Toán học nằm trong chương trình Toán ở bậc trung học phổ thông, bao gồm các kiến thức về giới hạn, đạo hàm, khảo sát hàm số, tìm nguyên hàm, tích phân, tính thể tích các vật thể tròn xoay,…Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét một số tiện ích mà Maple hỗ trợ để giải các bài toán có liên quan tới các vấn... phẳng…Nhìn chung, để giải được một bài toán hình học trong Maple, trong phần lớn các trường hợp, ta phải kết hợp các hàm xử lý cơ bản lại với nhau để giải quyết yêu cầu của bài toán Trong phần dưới đây, tác giả sẽ không trình bày về cách thức sử dụng các hàm trong các gói công cụ trên mà chỉ đưa ra một số ví dụ để chúng ta thấy được khái quát về ứng dụng của Maple trong hình học Ví dụ 1: Kiến thức về các đường... lệnh dưới đây khắc phục nhược điểm này bằng cách cung cấp một hộp thoại trên đó có mô tả từng bước tính toán [> with(Student[Calculus1]): [> LimitTutor((x^2-1)/(x-1),x=1); Một khẳ năng tuyệt vời nữa mà Maple hỗ trợ cho việc tìm giới hạn của hàm số f(x) khi x→a là chúng ta còn có thể thấy được dạng đồ thị biểu diễn hàm f cùng với giá trị của hàm này tại một lân cận nào đó của điểm giới hạn a Chúng ta... một điều quan trọng đối với các thầy cô giáo là giúp cho học sinh, sinh viên hiểu được từng bước của quá trình giải Việc tính đạo hàm cũng vậy, các thầy cô có thể sử dụng câu lệnh dưới đây để thấy được Maple cũng hỗ trợ việc tính toán đạo hàm theo từng bước [> with(Student[Calculus1]):DiffTutor(2*x^5+3*x^4,x); II.4.3 Tìm nguyên hàm của một hàm số Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) theo biến số x, ta sử... nhiều hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ như minh họa dưới đây [> plot( [sin(x), 2*sin(x), sin(x/2), sin(2*x)], x=-2*Pi 2*Pi, y=-2 2, color=[red, black, green, blue] ); Để vẽ đồ thị của các hàm ẩn trong Maple, ta dùng lệnh implicitplot Chẳng hạn lệnh sau mô phỏng đồ thị của đường tròn đơn vị và của hàm mũ y=exp(x) [> implicitplot( [ x^2+y^2=1, y=exp(x) ], x=-Pi Pi, y=-Pi Pi, scaling=CONSTRAINED, color=[blue, . Program Files Maple 14 license copy file maple. dll paste đè vào C: Program Files Maple 14 bin.win 64-Bit: Sử dụng Serial đính kèm. Sau đây tôi xin giới thiệu ứng dụng maple trong chương. mạnh của Maple. Lệnh sau tính số Pi với độ chính xác tới 20 chữ số. [> evalf[20](Pi); II.1.4. Số phức và các hàm đặc biệt Maple cũng hỗ trợ tính toán trên các số phức, đơn vị phức được Maple. thể dùng Maple để biết một biểu thức có giá trị đúng hay sai bằng cách sử dụng lệnh is. [>expr := 2*sqrt(-1-i)*sqrt(-1+i); [>is( expr <> 0 ); II.3. Maple với đồ thị hàm số Maple cho