PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TỔ HỢP LÊ HỒNG ĐỨC-LÊ BÍCH NGỌC-LÊ HỮU TRÍ BÀI TẬP Sử dụng tích phân để chứng minh đẳng thức nhị thức Newton Bài 1: Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng: a. (ĐHGTVT 2000): 1 2 k n n 1 0 n n n n n C C C C 2 1 C 1 1 1 2 1 k 1 n 1 n + − + + + + + + = + + + + + b. 1 2 n 0 n n n n n C C C 1 C ( 1) . 1 1 1 2 1 n 1 n − + − + − = + + + + Giải Với mọi x, và với n là số nguyên dương, ta có: (1+x) n = n k k n k 0 C x = ∑ (1) Lấy tích phân theo x hai vế của (1), ta được: t t n 1 k 1 n n n k k k n n k 0 k 0 0 0 k 1 k n 1 n n k 0 t t (1 x) x (1 x) dx C x C n 1 0 k 1 0 t C (1 t) 1 (2) n 1 k 1 + + = = + + = + + = ⇔ = + + + − ⇔ = + + ∑ ∑ ∫ ∫ ∑ a. Thay t=1 vào (2), ta được: k n 1 n n k 0 k 1 k k k n n n n k 0 k 0 C 2 1 , ®pcm. 1 n k 1 b. Thay t=-1 vµo (2), ta ® îc: ( 1) C ( 1) C 1 1 - , ®pcm. n 1 k 1 n 1 k 1 + = + = = − = + + − − = ⇔ = + + + + ∑ ∑ ∑ 2 n 0 n 0 2 1 3 2 n 1 n n n n n n 2 2 n 1 n n n 0 0 Bài 2 : Tính tích phân: I= (1 x) dx. Từ đó chứng minh rằng: 1 1 ( 1) 1 2C 2 C 2 C 2 C [1 ( 1) ]. 2 3 n 1 n 1 Gi ả i Ta có: 2 (1 x) 1 I= (1 x) dx (1 n) d(1 x) [( 1) 1]. (1) n 1 0 n 1 Với mọi + + + + + = + + + = = = + + + n n k k k n k 0 n x, và với n là số nguyên d ơng, ta có: (1-x) ( 1) C x (2) Lấy tích phân theo x hai vế của (2), ta đ ợc: (1 x) dx ( 1 = = = 2 2 k 1 n n k k k k k n n k 0 k 0 0 0 n 0 2 1 3 2 n 1 n n n n n 2 x ) C x ( 1) C k 1 0 1 1 ( 1) 2C 2 C 2 C 2 C . (3) 2 3 n 1 Từ (1) và (3) suy ra điều cần chứng minh. + = = + = + = + + + + 2 3 n 1 n 1 0 1 2 n n n n n n n k k n k 0 Bài 3: Với n là số nguyên d ơng, chứng minh rằng: 2 2 2 3 1 2C C C C 2 3 n 1 n 1 Gi ả i Với mọi x, và với n là số nguyên d ơng, ta có: (1+x) C x + + = + + + + = + + = t t n 1 n 1 n n n k k k n n k 0 k 0 0 0 k 1 k n 1 n (1) Lấy tích phân theo x hai vế của (1), ta đ ợc: t t (1 x) x (1 x) dx C x C n 1 0 k 1 0 t C (1 t) 1 n 1 k 1 + + = = + + + + = = + + + = + + n k 0 k k n 1 1 n n k 0 1 2 n n 0 1 2 n n 0 n n n n (2) Thay t=2 vào (2), ta đ ợc: 2 C 3 , đpcm. n 1 k 1 Bài 4: (ĐHQG TPHCM Khối A 97). Tính tích phân: I (1 x ) dx, với n N. Từ đó suy ra: C C ( 1) C 2.4 2n C 3 5 2n 1 35 (2n 1 = + = = + + = + + = + + n 2 n 2 n 1 1 1 2 n 2 n 1 2 2 n 1 2 n 0 0 2 n ) Gi ả i Ta xác định tích phân I bằng ph ơng pháp tích phân từng phần, với đặt: u (1 x ) du 2nx(1 x ) dx dv dx v x Khi đó: 1 I x(1 x ) 2n (1 x ) x dx 2n (1 x ) [(1 x ) 1]dx 0 2n (1 x ) dx ( = = = = = + = = 1 1 2 n 1 n n 1 0 0 1 n n 1 0 0 1 x ) dx 2n(I I ) 2n 2n 2(n 1) 2 2.4 2n I .I . I dx 2n 1 2n 1 2n 1 3 3.5 (2n 1) 2.4 2n . (1) 3.5 (2n 1) = = = = + + + = + n n n k k k 2 n k 2x n n k 0 k 0 1 1 2k 1 n n 2 n k k 2k k k n n k 0 k 0 0 0 1 2 0 n n n Ta có: (1-x) ( 1) C x (1 x ) C x (2) Lấy tích phân x theo hai vế của (2), ta đ ợc: 2 x (1 x ) dx ( 1) C x ( 1) C 2k 1 0 C C ( C 3 5 = = + = = = = = = + = + + n n n 1) C (3) 2n 1 Từ (1) và (3) suy ra điều phải chứng minh. + . PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TỔ HỢP LÊ HỒNG ĐỨC-LÊ BÍCH NGỌC-LÊ HỮU TRÍ BÀI TẬP Sử dụng tích phân để chứng minh đẳng. + + + = + + + + + b. 1 2 n 0 n n n n n C C C 1 C ( 1) . 1 1 1 2 1 n 1 n − + − + − = + + + + Giải Với mọi x, và với n là số nguyên dương, ta có: (1+x) n = n k k n k 0 C x = ∑ (1) Lấy tích. + n 2 n 2 n 1 1 1 2 n 2 n 1 2 2 n 1 2 n 0 0 2 n ) Gi ả i Ta xác định tích phân I bằng ph ơng pháp tích phân từng phần, với đặt: u (1 x ) du 2nx(1 x ) dx dv dx v x Khi đó: 1 I x(1 x ) 2n (1