LỜI MỞ ĐẦU Tối ưu hóa lĩnh vực việc tất yếu cần thiết nhằm mục đích đạt kết cao, tốn tối ưu công cụ hữu hiệu giúp có giải pháp đơn giản để giải vấn đề dù đơn giản hay phức tạp Các toán tối ưu mà chất tốn giải tìm cực trị hàm ràng buộc nên có nhiều thuật tốn thích hợp để giải Ngày nay, với phát triển khoa học kĩ thuật tin học, phạm vi ứng dụng tối ưu hóa ngày mở rộng, toán tối ưu giải nhanh xác Ngành Hệ Thống Điện lĩnh vực mà tốn tối ưu hóa ứng dụng nhiều như: Tối ưu hóa cơng suất nhà máy, tối ưu nhiên liệu phát, tối ưu truyền tải, phân phối… mơn học: “ Tối ưu hóa Hệ Thống Điện” chọn mơn học áp dụng cho sinh viên ngành Với hướng dẫn thầy Lã Minh Khánh, chủ nhiệm môn: Tối ưu hóa Hệ Thống Điện, em bạn lớp hoàn Báo cáo chuyên đề tối ưu hóa thành chun đề tối ưu hóa Chun đề em làm : Bài toán tổng quát tối ưu hóa cơng suất nhà máy nhiệt điện với phương pháp hệ số Lagrange Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ tận tình Thầy! Hà nội, ngày ,tháng , năm2011 Sinh viên thực Báo cáo chun đề tối ưu hóa BÀI TỐN TỐI ƯU HĨA CƠNG SUẤT GIỮA CÁC NHÀ MÁY NHIỆT ĐIỆN VỚI PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ LAGRANGE PHẦN I LÝ THUYẾT CHUNG I.Mục đích tối ưu hóa 1.1 Đặt vấn đề Một vấn đề phổ biến tính tốn tìm giá trị cực đại , cực tiểu hàm số Nhưng vấn đề trở nên khó khăn phát sinh mong muốn tối đa hóa hay giảm thiểu chức ràng buộc điều kiện hạn Báo cáo chuyên đề tối ưu hóa chế cho trước Hai vấn đề tìm giá trị max, vấn đề tìm giá trị tối ưu hồn tồn khác Ví dụ câu hỏi: Làm để giảm thiểu lượng nhôm cần thiết để làm ấm nhôm? Với câu hỏi: Làm để giảm thiểu lượng nhôm để làm ấm nhơm lít? Hoặc tương tự với câu hỏi: Làm để tối đa hóa lợi nhuận nhà máy điện tơi có vốn đầu tư 15.000$? Để trả lời cho câu hỏi đưa phương pháp hệ số Lagrange Phương pháp phương pháp tổng hợp để giải yêu cầu vấn đề mà không cần phải xét rõ ràng điều kiện sử dụng để loại bỏ biến 1.2.Ví dụ cụ thể để đưa phương pháp Cho người đứng điểm M, người phải qua dịng sơng có đường mô tả hàm g(x,y) = 0, người phải tới điểm C Vấn đề tốn tìm điểm P g(x,y) = cho đường người đến C ngắn nhất.Giả sử địa hình phẳng Báo cáo chun đề tối ưu hóa a.Phương pháp tốn học Lời giải cho tốn phải tìm tồn điểm P thuộc g(x,y) = mà khoảng cách d(M,P) từ M đến P cộng với khoảng cách d(P,C) từ P tới C tối thiểu Vì địa hình coi phẳng nên đường thẳng khoảng cách ngắn điểm Điều kiện ràng buộc điểm P thuộc đường g(x,y) = Chính đặt hàm tương đương f(P) = d(M,P) Báo cáo chun đề tối ưu hóa +d(P,C) tìm cách để giảm thiểu hàm với điều kiện ràng buộc g(P) =0 b.Phương pháp hình học Cách thứ hai để giải vấn đề dựa hình vẽ đề bài: từ hai tiêu điểm M C ta dựng quỹ tích ellipse f(P) với độ lệch tâm khác Tiến hành tính tổng khoảng cách từ tiêu điểm M C đến điểm P nằm ellipse Có nhiều đáp án cho việc M qua P tới C với khoảng cách ngắn ( với P điểm thuộc ellipse), toán bị ràng buộc điểm P thuộc đường cong g(x,y)=0 Với ràng buộc để tìm điểm P mong muốn g(x,y) = đơn giản tìm ellipse nhỏ tiếp tuyến với đường cong g(x,y) = P (hình vẽ) Cách giải vấn đề lí thuyết, thực tế tốn phức tạp nhiều ( giả sử mơ hình tốn khơng phẳng? ) Vậy để giải cho toán chung ứng dụng thực tế ta phải giải nào? Chúng ta đưa phương pháp hệ số Lagrange Báo cáo chun đề tối ưu hóa II Phương pháp tốn học hệ số Lagrange (Lagrange multipliers) 2.1 Bài toán chung Bài toán phát biểu sau: Cần phải xác định ẩn số x1, x2 ,…,xp ,…,xn cho đạt cực trị hàm mục tiêu: F( x1, x2 ,…xp ,…,xn) → min( max ) (2-1) Và thỏa mãn m điều kiện ràng buộc : (m < n) g1(x1, x2 ,…xp ,…xn) ≥ g2(x1, x2 ,…xp ,…,xn) ≥ g3(x1, x2 ,…xp ,…,xn) ≥0 (2-2) ……………………… gm(x1, x2 ,…xp ,…,xn) ≥ Trong trường hợp hàm mục tiêu (2-1) giải tích, khả vi, hệ ràng buộc (2-2) gồm tồn đẳng thức số nghiệm khơng lớn ta dung phương pháp trực tiếp để giải bình thường Khi hệ Báo cáo chuyên đề tối ưu hóa (2-1), (2-2) tuyến tính x1 ≥ ta dung thuật tốn quy hoạch tuyến tính để giải phương pháp hình học, vận tải… Ví dụ tìm giá trị x1, x2 cho Thỏa mãn F ( x1 , x2 ) = x12 + x2 → x1 x2 + =1 Lời giải Từ x1 x2 + =1 suy x2 = − x1 Thay vào hàm mục tiêu F ta có  − x1  F ( x1 , x2 ) = x + x = x +  ÷ →   2 2 Điều kiện cực trị ∂F =0 ∂x1 ∂F 18 = x1 − (2 − x1 ) = ∂x1 Giải rat a x1 = 18 /13 x2 = 12 /13 Xét đạo hàm cấp 2: ∂2 F 18 26 = 2+ = >0 ∂x1 4 Nên hàm F đạt cực trị * x1 = 18 13 2.2.Nộ dung phương pháp * x2 = 12 13 Báo cáo chuyên đề tối ưu hóa a Hệ ràng buộc tuyến tính số lượng không lớn Cần phải xác định ẩn số x1, x2 ,…xp ,…xn cho thỏa mãn (2-1) với điều kiện (2-2), m < n Thành lập hàm Lagrange m L(x1, x2 ,…xp ,…,xn) = F(x1, x2 ,…xp ,…,xn) + ∑ λi gi (x1 , x , , x n ) i =1 (2-3) Trong λi i = l , m hệ số không xác định Nghiệm tối ưu X *opt hàm mục tiêu F nghiệm tối ưu cùa hàm Lagrange L(X) ngược lại gi(x1, x2 ,…xp ,…,xn) = với i = l…m Vì cần lời giải tối ưu cho hàm L(x1, x2 ,…xi ,…,xn ) Bài toán Lagrange phát biểu sau Hãy xác định (x1, x2 ,…xi ,…,xn) ( λ1 , λ2 ,……… λm ) cho ∂g ( X ) ∂L( X ) ∂F ( X ) m = + ∑ λi j =0 ∂x j ∂x j ∂x j i =1 (2- 4) Với j= l….n thỏa mãn điều kiện ràng buộc gi(x1, x2 (2-5) ,…,xn) =0 với i = l, m Báo cáo chuyên đề tối ưu hóa Từ (2-4) ta có n phương trình từ (2-5) có m phương trình nên giải (n+m) ẩn số xj λi Để xác định hàm L(X) đạt cực tiểu hay cực đại ta cần phải xét thêm đạo hàm cấp hai hàm L(X) F(X) điểm dừng giải Nếu d 2L < d 2L > hàm F(X) L(X) đạt cực đại ngược lại hàm mục tiêu đạt cực tiểu b.Hệ ràng buộc hàm tương quan Trong trường hợp hàm đạt mục tiêu F(X) ràng buộc g(X) phiếm hàm ( tồn tương quan hàm) tìm cực trị phiếm hàm phải sử dụng toán biến phân.Ví dụ trường hợp tính phân bố tối ưu cơng suất nhà máy thủy điện phải xét chu kì điều tiết Bài tốn phát biểu sau Cần phải xác định ẩn số x1, x2 ,…,xp ,…,xn thời gian t cho hàm mục tiêu phiếm hàm đạt cực trị t1 ' ' V = ∫ F (t , x1 , x2 , , xn , x1' , x2 , , xn ).dt → t0 min(max) 6) 10 (2- Báo cáo chuyên đề tối ưu hóa Và thỏa mãn điều kiện ràng buộc g1(t,x1, x2 ,…xj ,…xn) =0 g2(t,x1, x2 ,…xj ,…,xn) =0 g3(t,x1, x2 ,…xj ,…,xn) =0 (2-7) ……………………… gm(t,x1, x2 ,…xj ,…,xn) =0 Trong x 'j = dx j dt với j = l, m (2-8) Thành lập hàm Lagrange m L(t , x ) = F (t , x) + ∑ [λi (t ).g i (t , x)] i =1 (2-9) Sau tìm cực trị phiếm hàm t1 V * = ∫ F * (t , x).dt → min(max) t0 (2-10) m F * (t , x) = F (t , x) + ∑ λi (t ).g i (t , x) i =1 (2-11) 11 Báo cáo chuyên đề tối ưu hóa Các giá trị với xj (t) với j =[1 n] hệ số nhân λi (t ) với i =[1 m] nhận cách giải hệ phương trình đạo hàm riêng hàm Lagrange viết dạng hệ phương trình Euler sau d * '  *   f ( x1 ) − dt f ( x1 ) =     f * ( x ) − d f * ( x' ) = 0   2 dt        f * ( x ) − d f * ( x ' ) = 0 n n   dt   (2-12) Trong f *(x j ) = ∂F * ∂xi ; j = 1, n (2-13) f * ( x 'j ) = ∂F * ∂x 'j ; j = 1, n (2-14) Kết hợp n phương trình hệ (2-12) m phương trình hệ (27) ta giải (m+n) giá trị hàm x j (t) λi (t ) với j=[1 n], i = [1 m] Ngoài để xác định 2n số tích phân ta sử dụng điều kiện đầu 12 Báo cáo chuyên đề tối ưu hóa x j (t0 ) = x j x j (t1 ) = x j1 ; ; j = 1, n (2-15) Áp dụng vào tốn ví dụ theo phương pháp Lagrange Thành lập hàm Lagrange m =1 L( x1 , x2 ) = F ( x1 + x2 ) + ∑ λi g i ( x1 , x2 ) i =1 L( x1 , x2 ) = x12 + x2 + λi g i ( x1 x2 + − 1) Xác định điểm dừng cách giải phương trình ∂L( X ) λ = x1 + = ∂x1 ∂L( X ) λ = x2 + = ∂x2 x1 x2 + −1 = Giải hệ phương trình ta * x1 = 18 13 * x2 = 12 13 Và giá trị hàm mục tiêu * Fopt = 36 13 kết nhận với phương pháp PHẦN II.ÁP DỤNG CHO BÀI TOÁN PHÂN BỐ TỐI ƯU CÔNG SUẤT GIỮA CÁC NHÀ MÁY NHIỆT ĐIỆN I.Bài toán tổng quát 13 Báo cáo chuyên đề tối ưu hóa Có n nhà máy nhiệt điện cung cấp cho phụ tải tổng hợp P pt cố định Biết số liệu đặc tính tiêu hao nhiên liệu nhà máy Cần phải xác định công suất phát tối ưu nhà máy P j với j=[1 n], cho chi phí nhiên liệu tổng hệ thống đạt cực tiểu, với ràng buộc cân cơng suất Mơ tả dạng tốn học Cần xác định nghiệm tối ưu P* ( P* , P2* , , Pn* ) cho hàm mục tiêu chi phí nhiên liệu tổng đạt cực tiểu n B = f ( P , P2 , , Pj , Pn ) = ∑ B j ( Pj ) → j =1 Thỏa mãn điều kiện cân công suất n g ( P ) = P + P2 + + Pj + + Pn − ∆P − Ppt = ∑ Pj − ∆P − Ppt = j =1 Với Pj ≥ j = 1, n;∆P = const; Ppt = const Ta giải phương pháp Lagrange Thành lập hàm Lagrange L( P ) = B ( P ) + λ g ( P ) Điều kiện để hàm số L(P) đạt cực trị 14 Báo cáo chuyên đề tối ưu hóa ∂g ( P )  ∂L( P) ∂B ( P )  ∂P = ∂P + λ ∂P = 1  ∂g ( P )  ∂L( P) ∂B ( P ) = +λ =0  ∂P2 ∂P2  ∂P2   ∂g ( P )  ∂L( P) ∂B ( P ) = +λ =0  ∂P ∂Pn ∂Pn n  Giả thiết : Khi B ( P ) = B1 ( P ) + B2 ( P ) + + Bn ( p) ∂B ∂B ∂B ∂B ( P ) ∂B1 ∂B2 = + + + j + + n = j = ε j ∂Pj ∂Pj ∂Pj ∂Pj ∂Pj ∂Pj ∂Bk = 0; k ≠ j ∂Pj Với giả thiết nghĩa chi phí nhiên liệu vào nhà máy thứ k không phụ thuộc vào công suất phát nhà máy thứ j Ta đặt ∂B j ∂Pj =εj gọi suất tăng tiêu hao nhiên liệu nhà máy thứ j, nói lên nhịp độ tăng tiêu hao nhiên liệu tăng công suất phát Pj ,ε j phụ thuộc vào đặc tính lò Turbine Từ điều kiện ràng buộc n g ( P ) = P + P2 + Pj + + Pn − ∆P − Ppt = ∑ Pj − ∆P − Ppt = j =1 Ta tính ∂P ∂ ( Ppt + ∆P ) ∂g ( P ) ∂P ∂P2 = 1+ + + n − =1 ∂P ∂P ∂P ∂Pn ∂P 1 1 Tổng quát 15 Báo cáo chuyên đề tối ưu hóa ∂P ∂P ∂ ( Ppt + ∆P ) ∂Pj ∂g ( P ) ∂P ∂P2 = 1+ + + j + + n − = =1 ∂Pj ∂Pj ∂Pj ∂Pj ∂Pj ∂Pj ∂Pj Thay vào điều kiện cực trị ta có hệ phương trình ∂g ( P )  ∂L( P ) ∂B ( P )  ∂P = ∂P + λ ∂P = ε1 + λ = 1  ∂g ( P )  ∂L( P ) ∂B ( P ) = +λ = ε2 + λ =  ∂P2 ∂P2  ∂P2   ∂g ( P )  ∂L( P ) ∂B ( P ) = +λ = εn + λ =  ∂P ∂Pn ∂Pn n  Do điều kiện cực trị ε1 + λ = ε + λ = = ε n + λ = = ε n + λ = hay: ε1 = ε = = ε n = = ε n (= −λ ) Đây nguyên lí tối ưu công suất nhà máy nhiệt điện hệ thống điện Khi xem Ppt =const, ∆P = const để chi phí nhiên liệu tổng hệ thống nhỏ nhà máy phải phát cơng suất Pj* tối ưu thỏa mãn nguyên lí cân công suất tiêu hao nhiên liệu εj =const Với đặc tính tiêu hao nhiên liệu εj khơng giảm tăng công suất phát 16 tổ máy phát hàm Pj ( thực tế vậy) ta Báo cáo chuyên đề tối ưu hóa chứng minh hàm mục tiêu B(P) đạt cực tiểu cách xét thêm đạo hàm cấp có ∂ L( P ) ≥0 ∂Pj2 hay d L( P) ≥ Nếu xét tổn thất công suất phụ thuộc vào công suất phát Pj nghĩa ∆P = ∆P ( P , P2 , , Pn ) Điều kiện cực tiểu hàm Lagrange viết ∂g ( P ) ∂∆P  ∂L( P) ∂B ( P )  ∂P = ∂P + λ ∂P = ε1 + λ (1 − ∂P ) = 1 1  ∂g ( P ) ∂∆P  ∂L( P) ∂B ( P ) = +λ = ε + λ (1 − )=0  ∂P2 ∂P2 ∂P2  ∂P2   ∂g ( P ) ∂∆P  ∂L( P) ∂B ( P ) = +λ = ε n + λ (1 − )=0  ∂P ∂Pn ∂Pn ∂Pn n  Khi ngun lí phân bố cơng suất tối ưu εn ε1 ε2 = = = ∂∆P ∂∆P ∂∆P 1− 1− 1− ∂P ∂P2 ∂Pn εi ∂∆P 1− ∂Pi gọi suất tiêu hao lượng có xét đến tổn thất P Qua ta thấy ∆P = const cho ta kết điều kiện phân bố tối ưu công suất trình bày Từ ngun lí cân suất tiêu hao nhiên liệu này, ta tìm nghiệm tối ưu P* = ( P* , P2* , , Pn* ) 17 Báo cáo chuyên đề tối ưu hóa II.Nhận xét 1.Việc phân bối tối ưu công suất nhà máy nhiệt điện tn theo ngun lí cân cơng suất tăng tiêu hao nhiên liệu ε Suất tăng ε thể nhịp độ tiêu tốn nhiên liệu tăng công suất P phát Vì theo ngun lí phân phối để đạt cực tiểu nhiên liệu tiêu hao tồn hệ thống, nhà máy có ε nhận phát nhiều cơng suất nhà máy có ε lớn( nghĩa làm việc không kinh tế) phát công suất Nguyên lí thể tính cân phân phối tối ưu 2.Cần phải phân biệt rõ suất tăng tiêu hao nhiên liệu ε suất tiêu hao nhiên liệu γ Ứng với nhà máy nhiệt điện xây dựng đường đặc tính tiêu hao nhiên liệu B phụ thuộc cơng suất phát Ba P hình Giả sử tổ máy làm việc điểm a: P = γ a = tg a a b Bkt Ba a ? P(MW) Pa Pkt H? nh 18 Báo cáo chuyên đề tối ưu hóa γa gọi suất tiêu hao nhiên liệu cuả nhà máy ứng với điểm a [kgn.liệu/kWh] εa = dB = tg β dPa [kgn.liệu/kWh] gọi suất tăng tiêu hao nhiên liệu Từ O vẽ tiếp tuyến Ob, điểm b gọi điểm làm việc kinh tế,tại điểm làm việc công suất phát P kt ứng với chi phí nhiên liệu Bkt Khi P>Pkt theo đặc tính ta thấy suất tăng tiêu hao nhiên liệu tăng nhanh, tiêu hao nhiều nhiên liệu Vì theo quan điểm kinh tế để tiết kiệm nhiên liệu vận hành với P