ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HẢI HÀ BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm Thái Nguyên - Năm 2014 1 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm, người đã tận tình hướng dẫn về phương hướng, nội dung và phương pháp nghiên cứu trong suốt quá trình nghiên cứu, thực hiện và hoàn thành luận văn. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám Hiệu Trường Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên, phòng sau Đại Học đã tạo điều kiện rất thuận lợi về mọi mặt cho tác giả trong quá trình tác giả học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Thái Nguyên, tháng 10 năm 2014. Tác giả Nguyễn Thị Hải Hà 2 CÁC KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG R n không gian Euclid n-chiều x, y tích vô hướng của x , y . chuẩn Euclid trong R n intS miền trong của tập hợp S R n + nón orthan dương trong R n f : X → Y Ánh xạ từ X vào Y IMin(A) Tập hữu hiệu lý tưởng của A Min(A) Tập hữu hiệu của A W Min(A) Tập hữu hiệu yếu của A (MOLP ) Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính IS(X, f) Tập cực tiểu lý tưởng của (MOLP) S(X, f) Tập cực tiểu của (MOLP) W S(X, f) Tập cực tiểu yếu của (MOLP) 3 Mục lục Mở đầu 1 1 Những kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Tập lồi và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Tập affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Tập lồi đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Điểm trong và điểm trong tương đối . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6 Tính chất cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.7 Quan hệ thứ tự từng phần và điểm hữu hiệu . . . . . . . . 11 2 Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính 16 2.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Một số khái niệm nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4 Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.5 Vô hướng hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.6 Tính chất của tập nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Kết luận 33 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Tối ưu đa mục tiêu tuyến tính [2], [4], [5] có nhiều ứng dụng trong lý thuyết cũng như trong các bài toán thực tế. Lý thuyết tối ưu đa mục tiêu tuyến tính đã và đang được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu [4] và những tài liệu được trích dẫn trong đó. Sau một thời gian học Cao học, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về toán ứng dụng, tôi chọn đề tài: "Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính" để nghiên cứu. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu nhằm nắm được các định nghĩa, định lí, tính chất của "Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính" và các ứng dụng của bài toán liên quan đến các vấn đề thực tiễn. Qua đó, giúp củng cố các kiến thức đã được học như: giải tích lồi trong không gian R n , không gian affine, giải tích hàm,. . . 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống hoá các các kiến thức cơ sở liên quan đến bài toán. 2 Hệ thống hóa những nội dung cơ bản của bài toán "Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính”. 4. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kiến thức cơ bản của giải tích trong R n . 5. Đóng góp của luận văn Đã trình bày được một cách tương đối có hệ thống về nội dung Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính. 6. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn có 2 chương: Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về giải tích lồi, quan hệ thứ tự từng phần và một số khái niệm điểm hữu hiệu để sử dụng trong những phần sau. Chương 2: Trình bày một số nội dung của Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính bao gồm có sự tồn tại nghiệm, tính chất của tập nghiệm và vô hướng hóa. 3 Chương 1 Những kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày một số khái niệm và kết quả sẽ sử dụng trong các phần sau. Nội dung trong chương này được lấy từ [1],[2],[3] và [4]. 1.1 Tập lồi và tính chất Định nghĩa 1.1. Một tập M trong không gian R n được gọi là tập lồi nếu ∀a, b ∈ M, ∀λ ∈ [0; 1] thì: x = λa + (1 − λ) b ∈ M. Nói cách khác, nếu M là tập lồi thì nó chứa đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của nó. Nếu x ∈ R n , x = n  i=1 λ i x i , λ i  0, n  i=1 λ i = 1 thì x được gọi là tổ hợp lồi của x 1 , x 2 , , x n ∈ R n . Mệnh đề 1.1. Tập M ⊂ R n là lồi khi và chỉ khi nó chứa tất cả các tổ hợp lồi của các phần tử thuộc M. 4 Định lý 1.1. Nếu M, N là hai tập lồi trong R n thì các tập sau cũng là lồi: (i) M ∩ N; (ii) λM + βN := {x = λa + βb : a ∈ M, b ∈ N; λ, β ∈ R} . Dễ thấy, giao của một họ bất kỳ các tập lồi cũng là tập lồi. Định nghĩa 1.2. Cho S ⊂ R n . Giao của tất cả các tập lồi trong R n chứa S là một tập lồi và được gọi là bao lồi của S ký hiệu: convS. Rõ ràng, convS là tập lồi nhỏ nhất chứa S. Định lý 1.2. Bao lồi của tập S ⊂ R n chứa tất cả các tổ hợp lồi của các phần tử của nó. 1.2 Tập affine Định nghĩa 1.3. Tập M ⊂ R n được gọi là tập affine nếu ∀x, y ∈ M, t ∈ R ta có: tx + (1 − t)y ∈ M. Dễ thấy mọi tập affine đều là tập lồi. Định nghĩa 1.4. Đường thẳng đi qua 2 điểm a, b ∈ R n là tập hợp tất cả các điểm x trong R n có dạng: x = λa + (1 − λ) b, ∀λ ∈ R. 5 Đoạn thẳng đi qua 2 điểm a, b ∈ R n ký hiệu là [a, b], là tập: {x ∈ R n : x = λa + (1 − λ) b, 0  λ  1} . Định lý 1.3. Nếu M là tập affine khác rỗng trong R n thì tồn tại không gian véc tơ con W của R n sao cho M = a + W , trong đó a ∈ M. Định nghĩa 1.5. Nếu M là tập affine khác rỗng trong R n và W là không gian con của R n sao cho M = a + W, trong đó a ∈ M thì W được gọi là không gian con song song với M, số chiều của W được gọi là số chiều của tập affine M. Định nghĩa 1.6. Cho một tập S bất kỳ của R n . Giao của tất cả các tập affine trong R n chứa S là một tập affine. Ta gọi giao đó là bao affine của S, ký hiệu aff S. Dễ thấy aff S là tập affine nhỏ nhất chứa S. Định nghĩa 1.7. Cho a ∈ R n , a = 0 và α ∈ R. Ta gọi tập: H = {x ∈ R n : a, x = α} là một siêu phẳng (xác định bởi a và α). Siêu phẳng là một tập affine có số chiều bằng (n − 1) và có thể chứng minh được mọi tập affine có số chiều bằng (n − 1) đều là siêu phẳng xác định bởi a và α nào đó. Ví dụ 1.1. Trong R 2 , mọi đường thẳng đều là một siêu phẳng. Trong R 3 , mọi mặt phẳng đều là siêu phẳng. 6 Định nghĩa 1.8. Cho a ∈ R n \ {0}, α ∈ R. Tập hợp x = {(x 1 , x 2 , . . . , x n ) ∈ R n | a, x  α} được gọi là nửa không gian đóng. Tập hợp x = {(x 1 , x 2 , . . . , x n ) ∈ R n | a, x < α} được gọi là nửa không gian mở. 1.3 Tập lồi đa diện Định nghĩa 1.9. Tập lồi đa diện là giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng. Nói cách khác, tập lồi đa diện là tập nghiệm của một hệ bất đẳng thức tuyến tính có dạng: a i , x  b i , i = 1, 2, , n, trong đó a i ∈ R n , b i ∈ R. Một tập lồi đa diện bị chặn thì được gọi là đa diện lồi . Một tập lồi đa diện là bao lồi của một số hữu hạn điểm và một số hữu hạn đoạn thẳng. Một đa diện lồi là bao lồi của một số hữu hạn điểm. Cho một tập lồi đa diện M, tập con F ⊂ M được gọi là diện nếu: x ∈ F, a, b ∈ M, 0 < λ < 1, x = λa + (1 − λ) b ∈ F ⇒ a, b ∈ F. [...]... Như vậy chúng ta có bài toán tối ưu đa mục tiêu sau:    min f1 (x), min f2 (x), max f3 (x);   với các ràng buộc dinh dưỡng 2.2 Phát biểu bài toán Một bộ phận quan trọng của tối ưu đa mục tiêu là tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính được phát biểu như sau: Định nghĩa 2.1 Cho X là một tập lồi đa diện trong Rn 20 Ánh xạ f : Rn → Rm là ánh xạ tuyến tính, trong đó Rm... f (y) ∈ int(Rm ) + + 16 Chương 2 Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Chương này trình bày một số nội dung về bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Những kiến thức được trình bày trong chương được tham khảo chủ yếu từ [2] và [4] 2.1 Khái niệm Trong thực tế cùng một lúc người ta thường theo đuổi nhiều mục tiêu khác nhau Ví dụ khi lựa chọn mua nhà ở, chúng ta phải tính đến nhiều yếu tố: giá cả, môi... chúng ta phải tính đến nhiều yếu tố: giá cả, môi trường, tiện nghi Thường nhà rẻ hơn thì môi trường hay tiện nghi kém hơn Điều đó dẫn đến mô hình bài toán tối ưu đa mục tiêu Để hiểu rõ hơn về bài toán tối ưu đa mục tiêu, ta xét một số ví dụ sau: Ví dụ 1 (Tối ưu phương án thiết kế nhà ở) Giả sử trong thiết kế nhà ở, cách bố trí các phòng như một số thông số và ràng buộc được cho trước.Vấn đề phải xác... , x + y khi và chỉ khi y − x ∈ Rm + Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính ứng với X và f là tìm x ∈ X, gọi là nghiệm tối ưu (nghiệm hữu hiệu lí tưởng, hoặc nghiệm cực tiểu lí tưởng) sao cho: f (x) và được viết    f (y), ∀y ∈ X min f (x);   với điều kiện x ∈ X (M OLP ) Hàm f gọi là hàm mục tiêu, tập đa diện X gọi là tập ràng buộc Tập tất cả các nghiệm tối ưu của (MOLP) được kí hiệu là IS(X, f... bài toán (MOLP), nếu không tồn tại x ∈ X sao cho f (x) f (x0 ) , f (x) = f (x0 ) 21 Định nghĩa 2.3 Một điểm x ∈ X được gọi là nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (MOLP), nếu không tồn tại x ∈ X sao cho f (x) f (x) Tập các nghiệm hữu hiệu và tập các nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (MOLP) được kí hiệu lần lượt là S(X, f ) và W S(X, f ) Khi m = 1, bài toán ( MOLP) chính là bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến. .. 2.4 Bài toán (MOLP) Khi đó, x ∈ S(X, f ) (tương ứng, x ∈ W S(X, f )) khi và chỉ khi x là nghiệm tối ưu của biểu diễn tuyến tính (tương ứng, biểu diễn tuyến tính yếu) (SP) của (MOLP) với hàm mục tiêu có dạng s = ξ ◦ f với ξ ∈ C ∗ (tương ứng, ξ ∈ C ∗ \ {0}), trong đó C ∗ = {ξ ∈ Rm | ξ, x ≥ 0 ∀x ∈ Rm } + Chứng minh: Trước hết, lưu ý rằng với bất kỳ ξ ∈ C ∗ , bài toán (SP) với s = ξ ◦ f luôn là tuyến tính. .. (MOLP) nếu với mọi x, y ∈ X: f (y) f (x) suy ra s(y) < s(x); Dễ thấy i) ⇒ ii) ⇒ iii) Định nghĩa 2.5 Nếu biểu diễn vô hướng (SP) của (MOLP) là bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính thì ta gọi (SP) là biểu diễn tuyến tính của (MOLP) 25 Bổ đề 2.1 Cho A là một tập đa diện trong Rm sao cho A ∩ (Rm \ {0}) = ∅ + Khi đó, tồn tại ξ ∈ C ∗ với C ∗ = (Rm )∗ sao cho ξ + 0 với mọi a ∈ A Chứng minh: Không giảm tổng... tại nghiệm Định lý 2.1 Cho bài toán (MOLP) Khi đó, nếu X là đa diện lồi thì S(X, f ) khác rỗng Chứng minh: Vì X là đa diện nên f (X) cũng là đa diện và do đó f (X) compact Điều phải chứng minh suy ra từ Định lý 1.11 Định lý 2.2 Cho bài toán (MOLP) Khi đó, S(X, f ) khác rỗng khi và chỉ khi: Rec(f (X)) ∩ −Rm = {0} + Chứng minh: Vì f là ánh xạ tuyến tính nên f (X) cũng là tập đa diện Giả sử f (X) có biểu... Chứng minh Vì X là tập đa diện, f là ánh xạ tuyến tính, ta có f (X) là tập đa diện Do đó có thể phân hoạch f (X) thành hữu hạn các diện mở tương đối rời nhau: f (X) = {Xi | i = 1, , m} Vì Xi mở tương đối nên, nếu ánh xạ tuyến tính f đạt cực tiểu tại một điểm nào đó của Xi thì mọi điểm của Xi đều là điểm cực tiểu của f Kí hiệu X1 , , Xk là những diện của phân hoạch đang xét có tính chất: Hợp của... và (b − a) đều thuộc (C ∗ )∗ = Rm , nghĩa là a − b = 0, mâu thuẫn Như vậy, + s = ξ ◦ f cho ta một biểu diễn tuyến tính của (MOLP) Vì vậy, nếu x là lời giải tối ưu của (SP) thì, theo mệnh đề 2.2 trong [4], nó cũng là một lời giải tối ưu của (MOLP) Ngược lại, giả sử x ∈ S(X; f ) Khi đó, hai tập đa diện f (X) và f (x) − Rm \{0} không có điểm chung Theo một bổ đề trên, tồn tại véc tơ ξ ∈ intC ∗ + tách những . f(x) − f(y) ∈ int(R m + ). 16 Chương 2 Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Chương này trình bày một số nội dung về bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính. Những kiến thức được trình bày trong. nghi kém hơn. Điều đó dẫn đến mô hình bài toán tối ưu đa mục tiêu. Để hiểu rõ hơn về bài toán tối ưu đa mục tiêu, ta xét một số ví dụ sau: Ví dụ 1. (Tối ưu phương án thiết kế nhà ở) Giả sử trong. hơn về toán ứng dụng, tôi chọn đề tài: " ;Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính& quot; để nghiên cứu. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu nhằm nắm được các định nghĩa, định lí, tính chất của