ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THANH GIANG QUỸ TÍCH KHÔNG COHEN-MACAULAY VÀ QUỸ TÍCH KHÔNG COHEN-MACAULAY SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THANH GIANG QUỸ TÍCH KHÔNG COHEN-MACAULAY VÀ QUỸ TÍCH KHÔNG COHEN-MACAULAY SUY RỘNG CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học:PGS. TS. LÊ THỊ THANH NHÀN Thái Nguyên – 2014 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là hoàn toàn trung thực và không trùng lặp với đề tài khác. Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn đã được sự đồng ý của cá nhân và tổ chức. Các thông tin, tài liệu trong luận văn này đã được ghi rõ nguồn gốc. Tác giả luận văn Trần Thanh Giang Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Kiến thức cơ sở 6 1.1 Chiều Krull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Dãy chính quy và độ sâu của môđun trong một iđêan . . 11 1.4 Tính catenary cho các vành Noether . . . . . . . . . . . 16 1.5 Biểu diễn thứ cấp cho các môđun Artin . . . . . . . . . . 18 2 Quỹ tích không Cohen - Macaulay và không Cohen - Macaulay suy rộng 23 2.1 Vành và môđun Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Tập giả giá và một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . 27 2.4 Vành và môđun Cohen-Macaulay suy rộng . . . . . . . . 33 2.5 Giá suy rộng và một số tính chất . . . . . . . . . . . . . 34 2.6 Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 1 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn tận tình của PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn. Cô đã dành nhiều thời gian hướng dẫn và giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô. Tôi xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán, Khoa Sau đại học Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa học 2012-2014, lời cảm ơn sâu sắc nhất về công lao dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục, đào tạo của nhà trường. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và người thân quan tâm, tạo điều kiện, động viên, cổ vũ để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình. 2 3 Lời nói đầu Cho (R, m) là vành giao hoán Noether địa phương với iđêan cực đại duy nhất m. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d. Lớp môđun Cohen-Macaulay là lớp môđun quan trọng trong đại số giao hoán. Kí hiệu depth M là độ sâu của M trong m. Ta luôn có dim M ≥ depth M. Ta nói M là môđun Cohen-Macaulay nếu depth M = dim M. Quỹ tích không Cohen-Macaulay của M, kí hiệu nCM(M), là tập tất cả các iđêan nguyên tố p của R sao cho M p không là môđun Cohen- Macaulay. Năm 2002, M. Brodmann và R. Y. Sharp (Xem [BS1] ) đã giới thiệu khái niệm tập giả giá của một môđun hữu hạn sinh nhằm xây dựng công thức bội cho các môđun đối đồng điều địa phương. Cho i ≥ 0 là một số nguyên. Giả giá thứ i của môđun M, kí hiệu là Psupp i R (M) được cho bởi công thức: Psupp i R (M) = {p ∈ Spec(R)|H i−dim(R/p) pR p (M p ) = 0}. Năm 2010, trong [CNN], Nguyễn Tự Cường, Lê Thanh Nhàn, Nguyễn Thị Kiều Nga đã mô tả tập nCM(M) qua tập Psupp i R (M): nCM(M) =  0i<jd (Psupp i R (M) ∩Psupp j R (M)). Hơn nữa, nếu M đẳng chiều và vành R/ Ann R M là catenary thì tập giả giá Psupp i R (M) đóng với i = 0, 1, d và nCM(M) =  d−1 i=0 Psupp i R (M). Lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng được xem như sự mở rộng của môđun Cohen-Macaulay. Kí hiệu e(x, M) là số bội của M ứng với hệ tham số x. Chú ý rằng  R (M/xM) −e(x, M) ≥ 0 với mọi hệ tham số x. Hơn nữa, M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu  R (M/xM)−e(x, M) = 0 với mọi hệ tham số x. Một môđun M được gọi là môđun Cohen-Macaulay suy rộng nếu: sup x ( R (M/xM) −e(x, M)) < ∞, trong đó x chạy trên tất 4 cả các hệ tham số của M. Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của M, được kí hiệu là nGCM(M), là tập các iđêan nguyên tố p sao cho M p không là Cohen- Macaulay suy rộng. Giá suy rộng thứ i của M, được kí hiệu Lsupp i R (M) được định nghĩa bởi: Lsupp i R (M) = {p ∈ Spec(R)| pR p (H i−dim(R/p) pR p (M p )) = ∞}. Cũng giống như quỹ tích Cohen-Macaulay, quỹ tích không Cohen- Macaulay suy rộng được biểu diễn qua tập Lsupp i R (M) qua bài báo [NNK] của Lê Thanh Nhàn, Nguyễn Thị Kiều Nga, Phạm Hữu Khánh: nGCM(M) =  1i<jd (Lsupp i R (M) ∩Lsupp j R (M)). Hơn nữa, nếu M là đẳng chiều và R là catenary thì nGCM(M) =  1i<d Lsupp i R (M). Mục đích của luận văn là trình bày lại chi tiết một số kết quả trong hai bài báo: Nguyễn Tự Cường, Lê Thanh Nhàn, Nguyễn Thị Kiều Nga [CNN], On pseudo supports and non-Cohen-Macaulay locus of finitely generated modules, Journal of Algebra, (2010) và bài báo Lê Thanh Nhàn, Nguyễn Thị Kiều Nga, Phạm Hữu Khánh [NNK], Non Cohen- Macaulay locus and non generalized Cohen-Macaulay locus, Comm. Al- gebra, (2014). Để thuận tiện cho việc diễn giải, trong luận văn còn trình bày một số vấn đề như lý thuyết biểu diên thứ cấp của I. G. Macdonald trong bài báo [Mac], một số tính chất cơ sở của môđun đối đồng điều địa phương trong cuốn sách [BS] của Brodmann và Sharp. Luận văn gồm 2 chương. Chương 1 trình bày một số vấn đề về chiều Krull, môđun đối đồng điều địa phương, dãy chính quy và độ sâu 5 của môđun trong một iđêan, tính catenary cho các vành Noether, biểu diễn thứ cấp của môđun Artin. Chương 2 là phần chính của luận văn trình bày khái niệm vành và mô đun Cohen-Macaulay, vành và môđun Cohen-Macaulay suy rộng, mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay qua tập giả giá, mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng qua giá suy rộng. Chương 1 Kiến thức cơ sở Trong suốt chương này, luôn giả thiết R là một vành giao hoán Noether và M là một môđun hữu hạn sinh. Mục đích của Chương này là trình bày những kiến thức cơ sở về chiều, độ sâu, môđun đối đồng điều địa phương, biểu diễn thứ cấp, phục vụ cho chứng minh các kết quả của chương sau. 1.1 Chiều Krull Định nghĩa 1.1.1. Một dãy p 0 ⊂ p 1 ⊂ ⊂ p n các iđêan nguyên tố của R thỏa mãn điều kiện p i = p i+1 với mọi i được gọi là một dãy iđêan nguyên tố độ dài n của R. Chiều Krull của vành R là cận trên đúng của tất cả độ dài của dãy các iđêan nguyên tố trong R. Chiều Krull của R được kí hiệu là dim R. Một vành giao hoán R được gọi là vành Noether nếu mọi dãy tăng các iđêan của R đều dừng. Chú ý rằng R là vành Noether nếu và chỉ nếu mọi iđêan của R là hữu hạn sinh. Một vành giao hoán R được gọi là vành Artin nếu mọi dãy giảm các iđêan của R đều dừng. Chú ý rằng nếu R là vành Artin thì R là vành Noether và mỗi iđêan nguyên tố của 6 7 R đều là iđêan tối đại. Ví dụ 1.1.2. a) Với k là một trường, ta có vành đa thức vô hạn biến X 1 , X 2 , , X n , là R = k[X 1 , X 2 , , X n , ]. Ta có dim R = ∞ vì xích các iđêan nguyên tố: (X 1 ) ⊂ (X 1 , X 2 ) ⊂ ⊂ (X 1 , X 2 , , X n ). sẽ có độ dài n tùy ý. b) Nếu R là vành Artin thì dim R = 0, vì mỗi iđêan nguyên tố của R đều là một iđêan cực đại. c) Vành các số nguyên Z có dim Z = 1, vì 0 là một iđêan nguyên tố, còn mọi iđêan nguyên tố khác không là cực đại và có dạng pZ với p là số nguyên tố. Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết nếu tồn tại một phần tử m ∈ M sao cho p = Ann R m. Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là Ass R M. Chú ý rằng tập các iđêan nguyên tố tối thiểu chứa Ann R M chính là tập các iđêan tối thiểu trong Ass R M. Vì thế ta có công thức tính chiều qua chiều của các iđêan nguyên tố liên kết như sau. Bổ đề 1.1.3. dim M = max{dim(R/p)|p ∈ Ass R M}. Mệnh đề 1.1.4. ([Mat, Định lí 15.4]). Gọi R[X 1 , . . . , X n ] là vành đa thức của n biến với hệ số trong vành R. Gọi R[[X 1 , . . . , X n ]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức của n biến với hệ số trong R, khi đó ta có công thức tính chiều của vành đa thức và vành các chuỗi lũy thừa hình thức: (i) dim R[x 1 , , x n ] = n + dim R. (ii) dim R[[x 1 , , x n ]] = n + dim R. [...]... là Cohen -Macaulay thì Mp là Rp -môđun Cohen -Macaulay với mọi iđêan nguyên tố p của R (iii) M là Cohen -Macaulay khi và chỉ khi mọi hệ tham số của M đều là M -dãy (iv) R là vành Cohen -Macaulay khi và chỉ khi vành các chuỗi lũy thừa hình thức R[[x1 , , xn ]] là vành Cohen -Macaulay Mệnh đề 2.1.3 Các điều kiện sau là tương đương (i) M là môđun Cohen -Macaulay (ii) M là Cohen -Macaulay (iii) M/xM là Cohen -Macaulay. .. 2.1 Vành và môđun Cohen -Macaulay Trong tiết này chúng ta nhắc lại khái niệm và một số kết quả thường sử dụng trong luận văn về lớp môđun Cohen -Macaulay Ta luôn có bất đẳng thức depth M ≤ dim M Từ đó, ta có định nghĩa vành và môđun Cohen -Macaulay như sau: Định nghĩa 2.1.1 M là môđun Cohen -Macaulay nếu M = 0 hoặc M = 0 và depth M = dim M Nếu R là môđun Cohen -Macaulay trên chính nó thì ta nói R là vành... ta nói R là vành Cohen -Macaulay Ví dụ quan trọng về vành Cohen -Macaulay là vành K[[x1 , , xn ]] 23 24 các chuỗi lũy thừa hình thức n biến trên một trường K Vành này có chiều là n và có độ sâu cũng là n vì ta có dãy chính quy x1 , , xn của R = K[[x1 , , xn ]] Sau đây là một số tính chất của môđun Cohen -Macaulay Mệnh đề 2.1.2 Các khẳng định sau đây là đúng (i) Giả sử M là Cohen -Macaulay Khi đó... không catenary nên R không / Cohen -Macaulay Do đó nCM(M ) = {m} là tập đóng Tiếp theo chúng ta nghiên cứu quĩ tích không Cohen -Macaulay trong mối quan hệ với tính catenary của vành R/ AnnR M và tính không trộn lẫn của các vành địa phương R/p với các iđêan nguyên tố p ∈ SuppR (M ) Nhắc lại rằng, M gọi là tựa không trộn lẫn nếu M đẳng chiều, nghĩa là dim(R/p) = d với mọi p ∈ min AssR M Ta nói M là không. .. dụng, Psupp2 (M ) không đóng và do đó theo R Hệ quả 2.3.4 quĩ tích không Cohen -Macaulay của R không đóng Nếu R/ AnnR M không catenary thì phát biểu ngược lại của Hệ quả 2.3.3 còn đúng không? Câu trả lời là không đúng Trước khi đưa ra phản ví dụ Chúng ta có tính chất sau đây Hệ quả 2.3.5 Giả sử dim M = 3 và dim(R/p) = 3 với mọi p ∈ AssR M Giả sử R/ AnnR M không catenary Khi đó Psupp3 (M ) không đóng Hơn... hóa và đóng với Tô pô Zariski Bổ đề 2.2.4 (i) Nếu R là catenary thì Psuppi (M ) là đóng với phép R đặc biệt hóa (ii) Nếu vành R/ AnnR M là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức i là Cohen -Macaulay thì Psuppi (M ) = Var(AnnR (Hm (M ))) với mọi số R nguyên i Đặc biệt, Psuppi (M ) là đóng R 27 2.3 Mô tả quỹ tích không Cohen -Macaulay Kết quả chính thứ nhất của chương là đưa ra công thức biểu diễn quỹ tích. .. (iv) Hm (M ) = 0 với mọi i = 0, , d − 1 Chứng minh Vì depth M = depth M và dim M = dim M nên ta có (i)⇔(ii) Vì x là M -chính quy nên depth(M/xM ) = depth M − 1 và ta có dim M/xM = dim M − 1 Do đó M là Cohen -Macaulay nếu và chỉ nếu M/xM là Cohen -Macaulay Do đó ta có (i) tương đương với (iii) Nếu M là Cohen -Macaulay thì depth M = d Suy ra d là số nguyên d i bé nhất để Hm (M ) = 0 Do đó Hm (M ) = 0 với... nên Γ có phần tử cực tiểu L Vì L ∈ Γ nên 22 L = 0 và L không là môđun thứ cấp Theo bổ đề trên thì L viết được thành tổng của hai môđun con thực sự L1 , L2 biểu diễn được Vì thế L = L1 + L2 cũng biểu diễn được Điều này là vô lí Chương 2 Quỹ tích không Cohen - Macaulay và không Cohen - Macaulay suy rộng Trong suốt chương này, ta luôn giả thiết (R, m) là vành Noether địa phương với m là iđêan cực đại duy... địa phương Noetherian R chiều 3 thỏa mãn quĩ tích không Cohen -Macaulay của R đóng nhưng Psupp2 R và Psupp3 R không là các tập đóng 32 Chứng minh Theo [BS1] Ví dụ 3.2, tồn tại (R, m) là miền nguyên địa phương Noetherian có chiều 3 thỏa mãn R không catenary, Psupp2 R và Psupp3 R không đóng và Psupp2 (R) \ {m, 0} = {p ∈ Spec R | ht(p) + dim(R/p) = 2}, và Psupp3 (R) = {p ∈ Spec R | ht(p) + dim(R/p) = 3}... sau là đúng (i) Nếu vành R/ AnnR M là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen -Macaulay thì nCM(M ) = T (M ) (ii) Nếu nCM(M ) = T (M ) thì vành R/ AnnR M là catenary phổ dụng và R/p là không trộn lẫn với mọi p ∈ min AssR (M ) 33 Chứng minh (i) Khẳng định được suy ra từ Bổ đề 2.2.4(ii) và Định lý 2.3.1 (ii) (ii) Lấy p ∈ min AssR (M ) Đặt dim(R/p) = t Ta chỉ ra rằng R/p là không trộn lẫn Thật . niệm vành và mô đun Cohen -Macaulay, vành và môđun Cohen -Macaulay suy rộng, mô tả quỹ tích không Cohen -Macaulay qua tập giả giá, mô tả quỹ tích không Cohen -Macaulay suy rộng qua giá suy rộng. Chương. không Cohen -Macaulay . . . . . . . . . . 27 2.4 Vành và môđun Cohen -Macaulay suy rộng . . . . . . . . 33 2.5 Giá suy rộng và một số tính chất . . . . . . . . . . . . . 34 2.6 Mô tả quỹ tích không. ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THANH GIANG QUỸ TÍCH KHÔNG COHEN -MACAULAY VÀ QUỸ TÍCH KHÔNG COHEN -MACAULAY SUY RỘNG CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 LUẬN