Nguyễn Tất Thu http://www.toanthpt.net Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai BẤT ðẲNG THỨC I. LÝ THUYẾT 1. ðịnh nghĩa : Cho a ; b ∈R. Mệnh ñề “ a > b” ; “a ≥ b” ; “a < b” ; “ a ≤ b” gọi là bất ñẳng thức 2.Tính chất : * a b > và b c a c > ⇒ > * a b a c b c > ⇔ + > + * a b > và c d a c b d > ⇒ + > + * khi 0 khi 0 ac bc c a b ac bc c > >  > ⇒  < <  * 0 a b a b > ≥ ⇒ > * 2 2 0 a b a b ≥ ≥ ⇔ ≥ * 0 n n a b a b > ≥ ⇒ > 3. Bất ñẳng thức về giá trị tuyệt ñối * | | x a a x a < ⇔ − < < ( Vớ i 0 a > ) * | | x a x a x a >  > ⇔  < −  ( V ớ i a > 0) 4 . B ấ t ñẳ ng th ứ c gi ữ a trung bình c ộ ng và trung bình nhân ( B ñ t Cauchy) a) Cho , 0 a b ≥ , ta có 2 a b ab + ≥ . D ấ u ‘=’ x ả y ra khi và ch ỉ khi a = b H ệ qu ả :*. Hai s ố d ươ ng có t ổ ng không ñổ i thì tích l ớ n nh ấ t khi 2 s ố ñ ó b ằ ng nhau *. Hai s ố d ươ ng có tích không ñổ i thì t ổ ng nh ỏ nh ấ t khi 2 s ố ñ ó b ằ ng nhau b) Cho , , 0 a b c ≥ , ta có 3 3 a b c abc + + ≥ . D ấ u ‘=’ x ả y ra khi và ch ỉ khi a = b = c 5. Phương pháp chứng minh bất ñẳng thức I. Phương pháp biến ñổi tương ñương ðể chứng minh BðT dạng A B ≥ ta thường dùng các cách sau : Cách 1 : Ta chứng minh 0 A B − ≥ . ðể là ñ i ề u này ta th ườ ng s ử d ụ ng các h ằ ng ñả ng th ứ c ñể phân tích A B − thành t ổ ng ho ặ c tích c ủ a nh ữ ng bi ể u th ứ c không âm. Chú ý : M ộ t s ố k ế t qu ả ta th ườ ng hay s ử d ụ ng * 2 0 x x ≥ ∀ và 2 0 0 x x = ⇔ = ; | | 0 x x ≥ ∀ và | | 0 0 x x = ⇔ = * 2 2 2 0 a b c + + ≥ . ðẳ ng th ứ c x ả y ra 0 a b c ⇔ = = = . Ví dụ 1 : Cho hai s ố th ự c , a b . Ch ứ ng minh r ằ ng : 2 2 2 a b ab + ≥ . Giải : Ta có 2 2 2 2 2 2 ( ) 0 2 a b ab a b a b ab + − = − ≥ ⇒ + ≥ . ðẳng thức có a b ⇔ = . Ví dụ 2 : Cho ba số thực , , a b c . Chứng minh rằng : 2 2 2 a b c ab bc ca + + ≥ + + (I). Giải : Ta có : 2 2 2 ( ) a b c ab bc ca + + − + + = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 2 2 2 a ab b b bc c c ca a = − + + − + + − + Nguyễn Tất Thu http://www.toanthpt.net Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) 0 2 a b b c c a a b c ab bc ca = − + − + − ≥ ⇒ + + ≥ + + ðẳng thức xảy ra a b c ⇔ = = . Ví dụ 3 : Cho 5 số thực , , , , a b c d e . Cmr : 2 2 2 2 2 ( ) a b c d e a b c d e + + + + ≥ + + + . Giải : Ta có : 2 2 2 2 2 ( ) a b c d e a b c d e + + + + − + + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 a a a a ab b ac c ad d ae e = − + + − + + − + + − + 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 2 a a a a b c d e = − + − + − + − ≥ ⇒ ñpcm. ðẳng thức xảy ra 2 a b c d e ⇔ = = = = . Nhận xét : 1) BðT ở Ví dụ 3 cũng ñúng với n số thực 1 5 n ≤ ≤ , còn 6 n ≥ thì không còn ñúng nữa, tức là BðT 2 2 2 1 2 1 1 1 ( ) n i i i n a a a a a a a a − + + + + ≥ + + + + + ñ úng v ớ i n s ố th ự c 5 n ⇔ ≤ . 2) S ử d ụ ng hàng ñẳ ng th ứ c 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 a b c a b c ab bc ca + + = + + + + + thì ta có th ể vi ế t B ð T (1) d ướ i các d ạ ng sau : 2 2 2 2 ( ) 3( ) (II) 3( ) ( ) (III) a b c ab bc ca a b c a b c + + ≥ + + + + ≥ + + . Các B ð T (I), (II), (III) có nhi ề u ứ ng d ụ ng trong ch ứ ng minh B ð T, ta xét các bài toán sau : Bài toán 1.2 : Cho ba s ố th ự c d ươ ng , , a b c . Ch ứ ng minh B ð T sau 3 3 3 a b c a b c bc ca ab + + ≥ + + (1) ( Vô dịch Toán Canaña 2002) Giải : BðT (1) 4 4 4 ( ) a b c abc a b c ⇔ + + ≥ + + (2) Áp dụng (I) hai lần ta có : 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b c a b c a b b c c a ab bc ca + + = + + ≥ + + = + + ≥ . . . ( ) abbc bc ca ca ab abc a b c ≥ + + = + + ⇒ ñ pcm. Nhận xét : * Nếu ta cho 1 abc = thì (2) trở thành : 4 4 4 a b c a b c + + ≥ + + ñây là bài toán 3 ñề thi HSG tỉnh ðồng Nai lớp 11 năm 2005. * Nếu ta cho 1 a b c + + = thì (2) trở thành : 4 4 4 a b c abc + + ≥ Bài toán 2.2 : Cho các số thực dương , , 0 x y z > có tổng bằng 1. Chứng minh rằng 4 1 4 1 4 1 21 x y z+ + + + + ≤ . Giải : Áp dụng BðT (III) với 4 1, 4 1, 4 1 a x b y c z = + = = = + ta có 2 2 2 3( ) 3(4 1 4 1 4 1) 21 VT a b c a b c x y z= + + ≤ + + = + + + + + = ðẳng thức xảy ra 1 3 x y z ⇔ = = = . Nguyễn Tất Thu http://www.toanthpt.net Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Bài toán 3.2: Gọi p là chu vi tam giác ABC. Cmr : 3 p a p b p c p − + − + − ≤ . Giải : Áp dụng BðT (III) ta có : 3( ) 3 VT p a p b p c p ≤ − + − + − = ñpcm. ðẳng thức có khi ABC ∆ ñều. Ví dụ 4 : Cho , 0 a b ≥ . Chứ ng minh r ằ ng : 3 3 2 2 a b a b b a + ≥ + . Giải : Ta có : 3 3 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 a b a b b a a a b b b a a b a b a b a b + − − = − + − = − − = − + ≥ 3 3 2 2 a b a b b a ⇒ + ≥ + . ðẳng thức xảy ra khi a b = . Nhận xét : * Qua chứng minh trên ta thấy chỉ cần ñiều kiện 0 a b + ≥ thì Bð T luôn ñ úng và ta còn có k ế t qu ả t ổ ng quát nh ư sau : m n m n m n n m a b a b a b + + + ≥ + . * S ử d ụ ng k ế t qu ả bài toán trên ta có th ể gi ả i quy ế t ñượ c m ộ t s ố bài toán sau : Bài toán 1.4 : Cho , , 0 a b c ≥ . Ch ứ ng minh r ằ ng : 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 abc a b abc b c abc c a abc + + ≤ + + + + + + . Giải : Theo bài toán trên ta có : 3 3 2 2 ( ) a b a b b a ab a b + ≥ + = + 3 3 3 3 1 1 ( ) ( ) ( ) c a b abc ab a b c ab a b c abc a b c a b abc ⇒ + + ≥ + + ⇒ ≤ = + + + + + + T ương tự : 3 3 3 3 1 1 ; ( ) ( ) a b abc a b c abc a b c b c abc c a abc ≤ ≤ + + + + + + + + Cộng ba BðT trên lại với nhau ta có ñpcm. Sau ñây ta xét bài toán ñược giới thiệu trong kì thi IMO năm 1995. Bài toán 2.4 : Cho , , 0 a b c ≥ và 1 abc = . Chứ ng minh r ằ ng : 5 5 5 5 5 5 1 ab bc ca a b ab b c bc c a ac + + ≤ + + + + + + . Giải : Ta có : 5 5 3 2 3 2 2 2 5 5 ( ) a b c a b a b b a a b a b a b ab ab c + + + ≥ + = + ⇒ + + ≥ 5 5 ab ab c a b c a b c a b ab ab c ⇒ ≤ = + + + + + + . T ươ ng t ự : 5 5 5 5 ; bc a ca b a b c a b c b c bc c a ac ≤ ≤ + + + + + + + + C ộ ng ba B ð T này l ạ i v ớ i nhau ta có ñ pcm. Bài toán 3.4 : Cho 0 a b + ≥ . Ch ứ ng minh : 2 2 2 m n m n m m n n a b a b a b + + + + + ≥ Giải : Ta có B ð T 2( ) ( )( ) m n m n m m n n m n m n m n n m a b a b a b a b a b a b + + + + ⇔ + ≥ + + ⇔ + ≥ + ð ây chính là B ð T trong nh ậ n xét trên. Nguyễn Tất Thu http://www.toanthpt.net Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Bài toán 4.4 : Cho các số thực a,b. Chứng minh rằng : 2 2 8 8 10 10 20 20 ( )( )( ) 4( ) a b a b a b a b + + + ≤ + . Giải : ðặt 2 2 , , 0 x a y b x y = = ⇒ ≥ và BðT trở thành : 4 4 5 5 10 10 ( )( )( ) 4( ) x y x y x y x y + + + ≤ + Áp dụng bài toán 3 ta có : 4 4 5 5 5 5 5 5 10 10 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y x y x y+ + + + + + ≤ ≤ ⇒ ñpcm. Bài toán 5.4 : Cho 0 a b + ≥ .Chứ ng minh r ằ ng : ( ) 2 2 n n n a b a b + + ≥ . Giải : Áp d ụ ng k ế t qu ả bài toán 3 ta có : 2 2 1 1 1 . . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b − − − + + + + + + + + + ≤ ≤ ≤ ≤   laàn laàn ( ) 2 2 n n n a b a b + + ⇒ ≤ ñ pcm. Ví dụ 5 : Cho 1 ab ≥ . Chứ ng minh r ằ ng : 2 2 1 1 2 1 1 1 ab a b + ≥ + + + . Giải : Ta có 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 ab ab ab a b a b + − = − + − + + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) . 1 1 ( 1)(1 ) ( 1)(1 ) 1 1 (1 )(1 ) ab a ab b a b b a a b b a a b b a ab ab a ab b ab b a b a − − − − − + − = + = − = + + + + + + + + + + 2 2 2 2 2 ( )( 1) ( ) ( 1) 0 1 (1 )(1 ) (1 )(1 )(1 ) a b a b ab a b ab ab b a ab b a − − − − − = = ≥ + + + + + + (Do 1) ab ≥ . Nhận xét : N ế u 1 1 ab − < ≤ thì B ðT có chiều ngược lại : 2 2 1 1 2 1 1 1 ab a b + ≤ + + + . Ví dụ 6 : Cho hai số thực x,y. Chứng minh : 2 3( 1) 1 3 x y xy + + + ≥ . Giải : Vì ta có : 2 1 ( ) 4 xy x y ≤ + nên ta ch ứ ng minh : 2 2 3 3( 1) 1 ( ) 4 x y x y + + + ≥ + Th ậ t v ậ y : 2 2 (*) 12( ) 24( ) 16 3( ) x y x y x y ⇔ + + + + ≥ + 2 2 9( ) 24( ) 16 0 (3 3 4) 0 x y x y x y ⇔ + + + + ≥ ⇔ + + ≥ ñ pcm ðẳ ng th ứ c xay ra khi : 2 3 x y = = − . Nguyễn Tất Thu http://www.toanthpt.net Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Cách 2 : Xu ấ t phát t ừ m ộ t B ð T ñ úng ta bi ế n ñổ i ñế n B ð T c ầ n ch ứ ng minh ðố i v ớ i cách này th ườ ng cho l ờ i gi ả i không ñượ c t ự nhiên và ta th ườ ng s ử d ụ ng khi các bi ế n có nh ữ ng ràng bu ộ c ñặ c bi ệ t Ví dụ 1 : Cho a,b,c là ñộ dài ba c ạ nh tam giác. Ch ứ ng minh r ằ ng : 2 2 2 2( ) a b c ab bc ca + + < + + . Giải : Vì a,b,c là ñộ dài ba c ạ nh tam giác nên ta có : 2 a b c ac bc c + > ⇒ + > . Tương tự 2 2 ; bc ba b ca cb c + > + > cộng ba BðT này lại với nhau ta có ñpcm Nhận xét : * Ở trong bài toán trên ta ñã xuất phát từ BðT ñúng ñó là tính chất về ñộ dài ba cạnh của tam giác. Sau ñó vì cần xuất hiện bình phương nên ta nhân hai vế của BðT với c. Tương tự thì xuất phát từ BðT | | a b c − < rồ i bình ph ươ ng hai v ế ta c ũ ng có ñượ c k ế t qu ả . * N ế u gi ả thi ế t các bi ế n ( 1;1) a ∈ − thì ta có : (1 ), (1 ) 0 a a − + > … Ví dụ 2 : Cho , , [0;1] a b c ∈ . Ch ứ ng minh : 2 2 2 2 2 2 1 a b c a b b c c a + + ≤ + + + Giải : Vì 2 2 2 , , [0;1] (1 )(1 )(1 ) 0 a b c a b c ∈ ⇒ − − − ≥ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 a b b c c a a b c a b c ⇔ + + + − ≥ + + (*) Ta có : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0; a b c a b b c c a a b b c c a ≥ + + ≤ + + nên từ (*) ta suy ra 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 a b c a b b c c a a b b c c a + + ≤ + + + ≤ + + + ñpcm. Ví dụ 3 : Cho các số thực a,b,c thỏa mãn : 2 2 2 1 a b c + + = . Chứng minh : 2(1 ) 0 a b c ab bc ca abc + + + + + + + ≥ . Giải : Vì 2 2 2 1 , , [ 1;1] a b c a b c+ + = ⇒ ∈ − nên ta có : (1 )(1 )(1 ) 0 1 0 a b c a b c ab bc ca abc + + + ≥ ⇔ + + + + + + + ≥ (*) Mặ t khác : 2 (1 ) 0 1 0 2 a b c a b c ab bc ca + + + ≥ ⇔ + + + + + + ≥ (**) C ộng (*) và (**) ta có ñpcm. Bài tập : Chứng minh các bñt sau: 1) 2 ( )( ) ( ) ax by bx ay a b xy + + ≥ + ( với , 0; , a b x y R > ∈ ) 2) 2 2 7 7 10 10 ( )( )( ) 4( ) a b a b a b a b + + + ≤ + với 0 a b + ≥ 3) 1 1 n n n n a b a b + + + ≤ + vớ i a+b 2 ≥ 8) 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( )( ) y x z x z x z y x z + + + ≤ + − v ớ i 0 z y x ≥ ≥ ≥ 9) 2 2 2 2 c a c b c a c b + + ≥ + + v ớ i 0; a b c ab > > > 10) 4 2 2 a b c b a b c b + + + ≥ − − v ớ i , , 0 a b c > và 1 1 2 a c b + = Nguyễn Tất Thu http://www.toanthpt.net Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai 11) 2 2 2 5 a b c + + ≤ với [ ] , , 0;2 ; 3 a b c a b c ∈ + + = 12) 3 2 2 3 2 2 3 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 a b c b c a c a b − + − + − < 13) 2 2 2 3 3 3 ( ) ( ) ( ) a b c b c a c a b a b c − + − + − > + + 14) 2 2 2 2 2 2 4 3 ( ) ( ) ( ) a b c S a b b c c a + + ≥ + − + − + − trong ñ ó a,b,c là ñộ dài 3 c ạ nh tam giác,S là di ệ n tích. 15*) Cho 0 x y z ≥ ≥ ≥ . Ch ứ ng minh: 2 2 2 2 2 2 x y y z z x x y z z x y + + ≥ + + . Nguyễn Tất Thu http://www.toanthpt.net Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Phương pháp sử dụng các Bất ñẳng thức cổ ñiển I. Bất ñẳng thức Côsi Tr ướ c h ế t ta nh ắ c l ạ i B ð T Côsi cho hai s ố : ðịnh lí 1 : V ớ i hai s ố th ự c không âm x,y ta có: (1) 2 x y xy + ≥ . ðẳ ng th ứ c x ả y ra ⇔ x=y. Vi ệ c ch ứ ng minh (1) r ấ t ñơ n gi ả n nên tôi không ch ứ ng minh. (1) còn có nhi ề u cách bi ể u di ễ n khác nhau nh ư : 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2 x y xy x y x y x y xy + ≥ + + ≥ + ≤ B ð T Côsi cho 3 s ố không âm. ðịnh lí 2 : V ớ i 3 s ố th ự c không âm x, y, z ta có: 3 (2) 3 x y z xyz + + ≥ . ðẳ ng th ứ c x ả y ra x y z ⇔ = = . Chứng minh: C1 : ðặ t 3 3 3 , , x a y b z c = = = . Khi ñ ó (2) tr ở thành: 3 3 3 3 a b c abc + + ≥ ( ∗ ). Ta có: 3 3 3 2 2 2 3 ( ) 0 , , 0 a b c abc a b c a b c ab bc ca a b c   + + − = + + + + − − − ≥ ∀ ≥   C2: Vì (2) là BðT thuần nhất nên ta chỉ cần chứng minh (2) với 1 x y z + + = . Khi ñó (2) 1 27 xyz⇔ ≤ (**) Áp d ụng BðT Côsi cho hai số ta có: 2 2 (1 ) ( ) 2 4 x y z xy + − ≤ = 2 3 2 ( 2 1) 2 ( ) 4 4 4 z z z z z z f z xyz − + − + ⇒ ≤ = = Ta có: 3 2 2 27 54 27 (3 1) (3 4) 4 4 ( ) 27 27 27 z z z z z f z − + − − + = = ≤ (vì z ∈ (0;1)) 1 ( ) 27 xyz ⇒ ≤ ⇒ ∗∗ ñ úng ⇒ ñ pcm. ðịnh lí 3: Cho n s ố th ự c không âm 1 2 , , n x x x .Ta có: 1 2 1 n n n a a a a a n + + ≥ (3) . ðẳ ng th ứ c x ả y ra 1 2 n a a a ⇔ = = = . M ộ t s ố chú ý khi s ử d ụ ng b ấ t ñẳ ng th ứ c côsi: *Khi áp d ụ ng b ñ t côsi thì các s ố ph ả i là nh ữ ng s ố không âm *B ð T côsi th ườ ng ñượ c áp d ụ ng khi trong b ñ t c ầ n ch ứ ng minh có t ổ ng và tích * ð i ề u ki ệ n x ả y ra d ấ u ‘=’ là các s ố b ằ ng nhau Nguyễn Tất Thu http://www.toanthpt.net Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Ví dụ 1: Cho hai s ố th ự c không âm a,b. Ch ứ ng minh: ( )(1 ) 4 a b ab ab + + ≥ . Giải: Áp dụng BðT Côsi cho hai số thực không âm ta có: 2 (1 )(1 ) 2 .2 4 1 2 a b ab b ab ab ab ab ab ab  + ≥  ⇒ + + ≥ =  + ≥   ñpcm. ðẳng thức xảy ra 1 a b ⇔ = = . Ví dụ 2: Cho , 0 a b > . Chứ ng minh: 1 1 ( )( ) 4 a b a b + + ≥ . Giải: Áp d ụ ng B ð T Côsi cho hai s ố th ự c không âm ta có: 2 1 1 1 ( )( ) 2 .2 4 1 1 1 2 a b ab a b ab a b ab a b ab  + ≥  ⇒ + + ≥ =  + ≥   ñpcm. ðẳng thức xảy ra a b ⇔ = . Nhận xét: BðT trên còn ñược viết lại như sau: 1 1 4 a b a b + ≥ + (I) . BðT này có nhiều ứng dụng trong chứng minh BðT. Ta xét một số bài toán sau: Bài toán 2.1: Cho a,b,c là ñộ dài ba cạnh tam giác, p là chu vi. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 2( ) p a p b p c a b c + + ≥ + + − − − . Giải: áp dụng Bñt (I) ta có: 1 1 4 4 p a p b p a p b c + ≥ = − − − + − . Tương tự ta cũng có : 1 1 4 1 1 4 ; p b p c a p c p a b + ≥ + ≥ − − − − . Cộng ba BðT này ta có ñpcm. Bài toán 2.2: Cho , 0 a b > và 1 a b + = . Chứ ng minh: 2 2 1 1 1 3 a b a b + ≥ + + . Giải: Ta có: 2 2 1 1 1 1 1 1 VT 1 1 1 1 1 1 1 a b a a b b a b − − = + + + = − + + + + + + + + M ặ t khác áp d ụ ng B ð T (I) ta có: 1 1 4 4 1 1 2 3 a b a b + ≥ = + + + + Do ñ ó: 4 1 VT 1 3 3 ≥ − + = ñ pcm. ðẳ ng th ứ c x ả y ra 1 2 a b ⇔ = = . Bài toán 2.3: Cho , , 0 x y z > . Ch ứ ng minh B ð T sau: 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 2 2 2 4 x y z x y z x y z x y z + + ≤ + + + + + + + + . Giải : Áp d ụ ng B ð T (I’) ta có: Nguyễn Tất Thu http://www.toanthpt.net Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai 1 1 1 1 1 1 2 1 1 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 4 16 x y z x y x z x y x z x y z = ≤ + ≤ + + + + + + + + + Tương tự: 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 ( ); ( ) 2 16 2 16 x y z x y z x y z x y z ≤ + + ≤ + + + + + + C ộng ba BðT trên ta có ñược ñpcm. ðẳng thức xảy ra x y z ⇔ = = . Bài toán 2.4: Cho các số thực dương , , a b c . Chứ ng minh r ằ ng: 1 1 1 1 1 1 3 3 3 2 2 2 a b b c c a a b c a b c a b c + + ≥ + + + + + + + + + + + . Giải: Áp d ụ ng B ð T (I) ta có: 1 1 4 2 3 2 2 4 2 2 a b a b c a b c a b c + ≥ = + + + + + + + . T ươ ng t ự 1 1 2 1 1 2 ; 3 2 2 3 2 2 b c a b c a b c c a a b c a b c + ≥ + ≥ + + + + + + + + + + C ộ ng ba B ð T trên ta có ñ pcm. ðẳ ng th ứ c x ả y ra a b c ⇔ = = . Ví dụ 3: Cho , 0 a b > . Ch ứ ng minh: 1 (1 ) (1 ) 2 n n n a b b a + + + + ≥ với * n ∈ ℕ . Giải: Áp dụng BðT Côsi cho hai số thực không âm ta có: 1 2 (1 ) 2 ( ) (1 ) (1 ) 2 1 2 (1 ) 2 ( ) n n n n n n n n n n n a a a a a b a b b b b b b a b a b b b b a a a a  + ≥ ⇒ + ≥           ⇒ + + + ≥ +               + ≥ ⇒ + ≥   mà 2 n n a b b a     + ≥         nên suy ra 1 (1 ) (1 ) 2 n n n a b b a + + + + ≥ pcm ðẳng thức xảy ra a b ⇔ = . Ví dụ 4: Cho , , 0 x y z > . Cmr: 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 y x z x y y z z x x y z + + ≤ + + + + + . Giải: Áp d ụ ng B ð T Côsi cho hai s ố th ự c d ươ ng ta có: 3 2 3 2 2 2 1 2 2 x x x y xy x xy xy x x y + ≥ ⇒ ≤ = + . Tương tự: 3 2 3 2 2 1 2 1 1 1 1 ; VT y z yz zx xy yz zx y z z x ≤ ≤ ⇒ ≤ + + + + . M ặ t khác: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b c ab bc ca xy yz zx x y z + + ≥ + + ⇒ + + ≤ + + V ậ y : 2 2 2 1 1 1 VT x y z ≤ + + ⇒ ñ pcm. ðẳ ng th ứ c x ả y ra 1 x y z ⇔ = = = . Nguyễn Tất Thu http://www.toanthpt.net Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Ví dụ 5 : Cho , , 0 a b c > . Chứ ng minh : 1 1 1 ( )( ) 9 a b c a b c + + + + ≥ ( II) . Giải : Áp dụng BðT Côsi cho ba số thực dương ta có : 3 3 3 3 3 1 1 1 1 ( )( ) 3 .3 9 1 1 1 1 3 a b c abc a b c abc a b c abc a b c abc  + + ≥  ⇒ + + + + ≥ =  + + ≥   ñpcm. ðẳng thức xảy ra a b c ⇔ = = . Nhận xét : * BðT trên còn ñược viết lại như sau : 1 1 1 9 a b c a b c + + ≥ + + ( II ) * T ươ ng t ự ta có B ð T t ổ ng quát c ủ a (I) và (II) nh ư sau : Cho n s ố th ự c d ươ ng 1 2 , , , n a a a khi ñ ó : 2 1 2 1 2 1 1 1 n n n a a a a a a + + + ≥ + + + ( III ). ðẳ ng th ứ c x ả y ra 1 2 n a a a ⇔ = = = . Các B ð T (I), (II), (III) ñượ c s ử d ụ ng nhi ề u trong các bài toán B ð T. Ta xét các bài toán sau Bài toán 5.1 : Cho ba s ố th ự c d ươ ng , , a b c . Cmr : 3 2 a b c b c c a a b + + ≥ + + + . Giải : C ộ ng hai v ế c ủ a B ð T v ớ i 3 thì B ð T c ầ n ch ứ ng minh tr ở thành 9 1 1 1 9 ( 1) ( 1) ( 1) ( )( ) 2 2 a b c a b c b c c a a b a b b c c a + + + + + ≥ ⇔ + + + + ≥ + + + + + + Áp d ụ ng B ð T (II) ta có : 1 1 1 9 9 2( ) a b b c c a a b b c c a a b c + + ≥ = + + + + + + + + + + 1 1 1 9 9 ( )( ) ( ). 2( ) 2 a b c a b c a b b c c a a b c ⇒ + + + + ≥ + + = + + + + + ñpcm. ðẳng thức xảy ra a b c ⇔ = = . Nhận xét : BðT trên có tên là BðT Nesbit cho ba số. Có nhiều cách ñể chứng minh BðT trên sau ñây ta xét một cách chứng minh cho BðT trên ðặt ; ; a b c b c a c a b A B C b c c a a b b c c a a b b c c a a b = + + = + + = + + + + + + + + + + + Khi ñ ó : 3 B C + = và 3 3 2 6 3 2 A B A B C A A C + ≥  ⇒ + + ≥ ⇒ ≥  + ≥  . ð ây là l ờ i gi ả i có l ẽ là hay nh ấ t cho bài toán này. Tuy nhiên vi ệ c tìm ñượ c l ờ i gi ả i nh ư v ậ y không ph ả i là vi ệ c ñơ n gi ả n. Bài toán 5.2 : Cho , , 0 a b c > và 1 a b c + + = . Cmr : 3 1 1 1 4 a b c a b c + + ≤ + + + . Giải : Ta có BðT 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 4 a b c a b c + − + − + − ⇔ + + ≤ + + + [...]... : 1 1 1 (1 + ) 4 + (1 + ) 4 + (1 + ) 4 ≥ 768 x y z 1 1 1 Gi i : ð t a = 1 + ; b = 1 + ; c = 1 + ⇒ a + b + c ≥ 12 x y z Ta có : a 4 + 44 + 44 + 44 ≥ 4 4 41 2 a 4 = 44 a ⇔ a 4 + 3 .44 ≥ 44 a Tương t b4 + 3 .44 ≥ 44 b; c 4 + 3 .44 ≥ 44 c c ng ba BðT trên l i v i nhau ta ñư c a 4 + b 4 + c 4 + 9 .44 ≥ 44 (a + b + c) ≥ 12 .44 ⇒ a 4 + b 4 + c 4 ≥ 3 .44 = 768 ñpcm 1 ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c = 4 ⇔ x = y = z =... (b + c) Gi i : Áp d ng BðT Côsi cho b n s th c dương ta có : a4 2 a4 b 2 (c + a ) ⇒ + b b c+a + + ≥ 4 2 2 4 a4 b (c + a ) 2 +b+ + 4 b4 2 + c4 2 ≥ b b c+a = 2a b 2 (c + a ) 2 2 4 a4 c+a ≥ 2a Tương t cũng có : 4 a+b c4 b+c +c+ ≥ 2b ; 2 +a+ ≥ 2c 2 4 4 c (a + b) a (b + c) C ng ba BðT trên l i v i nhau ta có ñpcm ð ng th c có ⇔ a = b = c b4 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai Nguy n T t... d 12 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 Ch ng minh r ng: 9(a 4 + b 4 + c 4 ) ≥ a 2 + b 2 + c 2 Gi i: Áp d ng BðT Côsi ta có: 1 2 1 2 1 2 a4 + ≥ a 2 ; b4 + ≥ b2 ; c 4 + ≥ b2 c ng ba BðT l i v i nhau 81 9 81 9 81 9 2 2 2 2 1 a +b +c a + b2 + c2 ⇒ a4 + b4 + c4 + ≥ + 27 9 9 1 1 M t khác: a 2 + b 2 + c 2 ≥ ( a + b + c) 2 = ⇒ 9(a 4 + b 4 + c 4 ) ≥ a 2 + b 2 + c 2 ñpcm 3 3 1 ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c... 1)(b + 1) (a + 1)(c + 1) 4 Gi i: Áp d ng BðT Côsi cho ba s th c dương ta có: a3 a +1 b +1 3 a3 a +1b +1 3 + + ≥3 = a (a + 1)(b + 1) 8 8 ( a + 1)(b + 1) 8 8 4 b3 c +1 b +1 3 c3 c +1 a +1 3 + + ≥ b; + + ≥ c Tương t : (c + 1)(b + 1) 8 8 4 (c + 1)( a + 1) 8 8 4 C ng ba BðT trên l i v i nhau ta ñư c: a+b+c+3 3 2(a + b + c) − 3 2.3 3 abc − 3 3 VT + ≥ (a + b + c) ⇒ VT ≥ ≥ = 4 4 4 4 4 ð ng th c x y ra ⇔ a =... + 2( ab + bc + ca) 1 1 1 1 + + + ≥ 9 + 21 = 30 ñpcm Suy ra : 2 2 2 ab bc ca a +b +c 1 ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c = 3 Bài toán 5 .4 : Cho x, y, z > 0 CMR: 1 1 1 1 1 1 1 + + ≤ ( + + ) 2x + y + z 2x + 2 y + z x + y + 2z 4 x y z HD: Áp d ng (III) v i n =4 ta có: 1 1 1 1 42 16 2 1 1 16 + + + ≥ = ⇒ + + ≥ 2x + y + z 2x + y + z x x y z x y z 2z + y + z Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai Nguy... 2 a b2 c2 a+b+c Ví d 6 : Cho a, b, c > 0 Cmr : + + ≥ b+c c+a a+b 2 Gi i : Áp d ng BðT Côsi cho hai s th c dương ta có : a2 b+c a2 b + c b2 c+a c2 a+b + ≥2 = a Tương t : + ≥ b; + ≥c b+c b+c 4 c+a 4 a+b 4 4 C ng ba BðT này l i v i nhau ta ñươc : a2 b2 c2 a+b+c a2 b2 c2 a+b+c + + + ≥a+b+c⇒ + + ≥ b+c c+a a+b 2 b+c c+a a+b 2 ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c Nh n xét :* Phương pháp mà chúng ta làm trong... Nai Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net Ví d 14 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 Ch ng minh r ng : (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8(1 − a )(1 − b)(1 − c) Gi i : Áp d ng BðT Côsi ta có : 2 − (a + b) 2 2 − (1 − c) 2 (1 + c) 2 (1 − a)(1 − b) ≤ ( ) =( ) = Tương t 2 2 4 (1 + a)2 (1 + b)2 (1 − b)(1 − c) ≤ ; (1 − c)(1 − a ) ≤ Nhân ba BðT l i v i nhau ta có 4 4 1 ñpcm ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c = 3 Ví d... làm m t các b+c 4 bi n m u do v ph i c a BðT là m t bi u th c không có bi n m u Vì sao ta l i b+c b+c mà không ph i là b + c hay … ñi u này xu t phát t ñi u ki n ñ gép 4 2 ñ ng th c x y ra Vì BðT ñã cho là m t BðT ñ i x ng (T c là khi ñ i v trí hai bi n b t kì cho nhau thì BðT không thay ñ i) nên ñ ng th c thư ng x y ra khi các bi n b+c a2 a b ng nhau và khi ñó = nên ta ph i gép v i 4 b+c 2 a2 b2 c2...Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net 1 1 1 3 1 1 1 9 ⇔3−( + + )≤ ⇔ + + ≥ a +1 b +1 c +1 4 a +1 b +1 c +1 4 1 1 1 9 9 + + ≥ = ñpcm Áp d ng BðT (II) ta có : a +1 b +1 c +1 a + b + c + 3 4 1 ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c = 3 Bài toán 5.3 : Cho a, b, c > 0 và a 2 + b 2 + c 2 = 3 Ch ng minh r ng 1 1 1 3 + + ≥ 1 + ab 1 + bc 1 + ca 2 Gi i :... 2 + 8ca) ≥ 3b ; + c(c 2 + 8ab) ≥ 3c Tương t : 2 2 b + 8ca c + 8ab C ng ba BðT trên l i v i nhau ta ñư c : 2 P + a3 + b3 + c3 + 24abc ≥ 3 M t khác ta l i có : 1 = ( a + b + c )3 = a3 + b3 + c3 + 3( a + b)(b + c)(c + a ) ≥ a 3 + b3 + c3 + 24abc ⇒ 2 P ≥ 3 − (a3 + b3 + c3 + 24abc) ≥ 3 − 1 = 2 ⇒ P ≥ 1 ñpcm Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net 1 ⇔ x = y . . a a a a a + + + ≥ = ⇔ + ≥ Tương tự 4 4 4 4 4 4 3 .4 4 ; 3 .4 4 b b c c + ≥ + ≥ cộng ba BðT trên lại với nhau ta ñược 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 9 .4 4 ( ) 12 .4 3 .4 768 a b c a b c a b c+ + + ≥ + + ≥. minh rằng : 4 4 4 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) 768 x y z + + + + + ≥ . Giải : ðặt 1 1 1 1 ; 1 ; 1 12 a b c a b c x y z = + = + = + ⇒ + + ≥ Ta có : 4 4 4 4 4 12 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 .4 4 . a a a. tổng bằng 1. Chứng minh rằng 4 1 4 1 4 1 21 x y z+ + + + + ≤ . Giải : Áp dụng BðT (III) với 4 1, 4 1, 4 1 a x b y c z = + = = = + ta có 2 2 2 3( ) 3 (4 1 4 1 4 1) 21 VT a b c a b c x y z=