1 ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN HÌNH HỌC VI PHÂN 2 2 CHƯƠNG 1 Mặt chính qui (đa tạp 2 chiều) Số tiết: 15 (lý thuyết: 12 tiết; bài tập: 03 tiết) A. MỤC TIÊU - Sinh viên hiểu được các khái niệm mới: Mặt chính qui, mặt khả vi, mặt tiếp xúc, vi phân của một ánh xạ, cách đổi tham số hóa, các phương pháp chứng minh mặt chính qui, dạng cơ bản thứ nhất. - Sinh viên vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học giải các bài tập về mặt chính qui, vi phôi và cách xác định tham số hóa. - Sinh viên hiểu rõ vai trò của môn hình học vi phân đối với các môn học khác, tích cực, chủ động tham gia các hoạt động của môn học, có phương pháp học tập tích cực sáng tạo. B. NỘI DUNG 1.1. Mặt chính qui Có thể hình dung mặt chính qui trong 3 ℝ như sau: Lấy một số mảnh mặt phẳng. B iến dạng chúng và “dán” lại sao cho hình nhận được không có các điểm nhọn, không có các cạnh hoặc không có tính tự cắt để tại mỗi điểm có thể nói đến mặt phẳng tiếp xúc của mặt. Các mặt cũng sẽ được giả thiết đủ trơn để có thể mở rộng các khái niệm cũng như các kết quả của giải tích lên chúng. Định nghĩa sau đây thỏa mãn các yêu cầu trên. Định nghĩa 1.1. Một tập hợp con 3 S ⊂ ℝ được gọi là mặt chính qui nếu p S ∀ ∈ tồn tại lân cận 3 V ⊂ ℝ của p và ánh xạ : X U V S → ∩ v ớ i U là m ộ t t ậ p con m ở c ủ a 2 ℝ th ỏ a mãn 3 đ i ề u ki ệ n sau: (i). Ánh x ạ X là kh ả vi, có ngh ĩ a là ( , ) ( ( , ), ( , ), ( , )), ( , ) X u v x u v y u v z u v u v U = ∈ v ớ i x, y, z là các hàm có đạ o hàm riêng m ọ i c ấ p. (ii). Ánh x ạ X là m ộ t đồ ng phôi t ừ U vào V S ∩ . Vì X là liên t ụ c theo đ i ề u ki ệ n (i), nên X là m ộ t đồ ng phôi có ngh ĩ a là X có ánh x ạ ng ượ c 1 : X V S U − ∩ → liên t ụ c. Nói cách khác, 1 X − là h ạ n ch ế c ủ a m ộ t ánh x ạ liên t ụ c 3 2 : W F ⊂ → ℝ ℝ xác đị nh trên m ộ t t ậ p m ở ch ứ a V S ∩ . (iii). ( Tính chính qui ) V ớ i m ọ i q U ∈ , đạ o hàm 2 3 : q dX → ℝ ℝ là m ộ t đơ n ánh. Ánh x ạ X đượ c g ọ i là m ộ t tham s ố hóa ( đị a ph ươ ng ) c ủ a S , c ặ p (U,X) đượ c g ọ i là m ộ t h ệ t ọ a độ đị a ph ươ ng hay m ộ t b ả n đồ c ủ a S còn lân c ậ n V S ∩ c ủ a p trong S g ọ i là m ộ t lân c ậ n t ọ a độ . Chúng ta phân tích rõ h ơ n v ề đ i ề u ki ệ n (iii) b ằ ng cách xét ma tr ậ n Jacobi c ủ a X t ạ i q. Gi ả s ử 0 0 ( , ) q u v = . Xét đườ ng tham s ố 0 0 0 ( ( , ), ( , ), ( , )) u x u v y u v z u v ֏ Đườ ng cong này, đượ c g ọ i là đườ ng cong t ọ a độ 0 , v v = n ằ m trên m ặ t S đ i qua p = X(q) và có vec t ơ ti ế p xúc t ạ i p là , , X x y z u u u u ∂ ∂ ∂ ∂   =   ∂ ∂ ∂ ∂   Ở đ ây các đạ o hàm riêng đượ c tính t ạ i 0 0 ( , ) q u v = . Theo đị nh ngh ĩ a c ủ a đạ o hàm ta có 1 , , ( ) q X x y z dX e u u u u ∂ ∂ ∂ ∂   = =   ∂ ∂ ∂ ∂   3 v ớ i 1 e là vec t ơ ti ế p xúc c ủ a đườ ng tham s ố 0 ( , ) u u v ֏ trong 2 ℝ t ạ i đ i ể m q. Đườ ng t ọ a độ 0 v v = là ả nh c ủ a đườ ng cong này qua ánh x ạ X. T ươ ng t ự ta có 2 e là vec t ơ ti ế p xúc c ủ a đườ ng tham s ố 0 ( , ) v u v ֏ trong 2 ℝ t ạ i đ i ể m q. Đườ ng t ọ a độ 0 u u = là ả nh c ủ a đườ ng cong này qua ánh x ạ X và 2 , , ( ) q X x y z dX e v v v v ∂ ∂ ∂ ∂   = =   ∂ ∂ ∂ ∂   Khi đ ó ta có ma tr ậ n Jacobi ' q q x x u v y y X dX u v z z u v ∂ ∂     ∂ ∂   ∂ ∂   = =   ∂ ∂   ∂ ∂     ∂ ∂   V ớ i phân tích này ta th ấ y đ i ề u ki ệ n (iii) t ươ ng đươ ng v ớ i m ộ t trong các đ i ề u ki ệ n sau (i'). Hai c ộ t c ủ a ma tr ậ n ' q X là độ c l ậ p. (ii'). 0 X X u v ∂ ∂ ∧ ≠ ∂ ∂ (iii'). Các đị nh th ứ c ( , ) , ( , ) x x x y u v y y u v u v ∂ ∂     ∂ ∂ ∂ =   ∂ ∂ ∂     ∂ ∂   ( , ) , ( , ) x x x z u v z z u v u v ∂ ∂     ∂ ∂ ∂ =   ∂ ∂ ∂     ∂ ∂   ( , ) ( , ) y y y z u v z z u v u v ∂ ∂     ∂ ∂ ∂ =   ∂ ∂ ∂     ∂ ∂   không đồ ng th ờ i b ằ ng không. Để thu ậ n ti ệ n ta vi ế t u X thay cho X u ∂ ∂ và v X thay cho X v ∂ ∂ . Nhận xét 1.1 +) Nh ư v ậ y có th ể xem m ặ t chính quy đượ c ph ủ b ở i m ộ t h ọ các lân c ậ n t ọ a độ , t ứ c là ả nh c ủ a m ộ t h ọ ánh x ạ X (tham s ố hóa) th ỏ a mãn các đ i ề u ki ệ n (i), (ii), (iii). +) Đ i ề u ki ệ n (i) cho phép chúng ta có th ể s ử d ụ ng công c ụ c ủ a gi ả i tích (phép tính vi tích phân) để nghiên c ứ u các m ặ t chính qui. +) Đ i ề u ki ệ n (ii) nh ằ m ng ă n c ả n tính t ự c ắ t c ủ a m ặ t và do đ ó có th ể nói đế n m ặ t ph ẳ ng ti ế p xúc c ủ a m ặ t t ạ i m ọ i đ i ể m. +) Đ i ề u ki ệ n (iii) b ả o đả m t ạ i m ọ i đ i ể m đề u có m ặ t ph ẳ ng ti ế p xúc. Ví dụ 1.1. Xét m ặ t ph ẳ ng 2 ℝ . Ta ch ọ n 2 U = ℝ và . X Id = Theo đị nh ngh ĩ a 2 ℝ là m ặ t chính qui v ớ i ch ỉ m ộ t b ả n đồ duy nh ấ t 2 ( , ). Id ℝ Ví dụ 1.2 . Xét m ặ t c ầ u ( ) { } 2 3 2 2 2 , , : 1 S x y z x y z = ∈ + + = ℝ Chúng ta s ẽ ch ứ ng t ỏ S 2 là m ộ t m ặ t chính qui. Xét ánh x ạ X 1 : 2 3 1 U + ⊂ → ℝ ℝ đượ c cho b ở i ( ) ( ) 2 2 1 1 ( , ) , , 1 , , X x y x y x y x y U + + = − − ∈ V ớ i 2 ℝ ( ) { } ( ) { } 3 2 2 2 1 , , : 0 , , : 1 x y z z U x y x y + = ∈ = = ∈ + < ℝ ℝ và ( ) ( ) { } 3 2 2 2 1 1 , , : 1, 0 X U x y z x y z z + + = ∈ + + = > ℝ là n ử a m ặ t c ầ u trên. Do x 2 +y 2 <1 nên hàm 2 2 1 x y − − có các đạ o hàm riêng liên t ụ c m ọ i c ấ p. Do đ ó đ i ề u ki ệ n (i) đượ c th ỏ a mãn. 4 D ễ th ấ y hàm 1 X + là đơ n ánh và ( 1 X + ) -1 là h ạ n ch ế c ủ a phép chi ế u ( ) , , x y z π = (x,y) t ừ 3 ℝ đế n 2 ℝ nên c ũ ng liên t ụ c. V ậ y đ i ề u ki ệ n (ii) c ũ ng đượ c th ỏ a mãn. Do ( ) ( ) , 1 0 1 0 1 , x y x y ∂ = = ∂ nên đ i ề u ki ệ n (iii) c ũ ng đượ c th ỏ a mãn. Nh ư v ậ y 1 X + là m ộ t tham s ố hóa c ủ a S 2 . Có th ể d ễ dàng nh ậ n th ấ y S 2 đượ c ph ủ đị nh b ở i 6 m ả nh lân c ậ n t ọ a độ đượ c xác đị nh t ươ ng t ự nh ư v ậ y. Ta có th ể d ễ dàng xác đị nh lân c ậ n t ọ a độ t ươ ng ứ ng v ớ i các tham s ố hóa. D ướ i đ ây là các tham s ố hóa đ ó ( ) ( ) ( ) ( ) { } 2 2 2 2 2 1 1 , , , 1 , , , : 1 ; X x y x y x y x y U x y x y − − = − − − ∈ = ∈ + <ℝ ( ) ( ) ( ) ( ) { } 2 2 2 2 2 2 2 , , 1 , , , , : 1 ; X x z x x z z x y U x y x z + + = − − ∈ = ∈ + < ℝ ( ) ( ) ( ) ( ) { } 2 2 2 2 2 2 2 , , 1 , , , , : 1 ; X x z x x z z x z U x z x z − − = − − − ∈ = ∈ + <ℝ ( ) ( ) ( ) ( ) { } 2 2 2 2 2 3 3 , 1 , , , , , : 1 ; X y z x z y z y z U y z y z + + = − − ∈ = ∈ + <ℝ ( ) ( ) ( ) ( ) { } 2 2 2 2 2 3 3 , 1 , , , , , : 1 ; X y z x z y z y z U y z y z − − = − − − ∈ = ∈ + <ℝ Để d ễ kh ả o sát m ặ t c ầ u S 2 , ng ườ i ta s ử d ụ ng h ệ t ọ a độ c ầ u để tham s ố hóa. L ấ y ( ) { } , : 0 ,0 2 V θ ϕ θ π ϕ π = < < < < và xét X :V 3 → ℝ xác đị nh b ở i ( ) ( ) , sin os ,sin sin , os X c c θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ = . Ta có X(V) ⊂ S 2 . Tham s ố θ đượ c g ọ i là colatude (ph ầ n ph ụ c ủ a v ĩ độ ) và ϕ là kinh độ . Rõ ràng X kh ả vi vì các hàm sin os , sin sin , os c c θ ϕ θ ϕ θ là kh ả vi. H ơ n n ữ a các đị nh th ứ c 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) os sin , sin sin , sin os ( , ) ( , ) ( , ) x y x z y z c c θ θ θ ϕ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ ∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂ Không th ể đồ ng th ờ i b ằ ng không vì 2 2 4 2 4 2 2 os sin sin sin sin os sin 0 c c θ θ θ ϕ θ ϕ θ + + = ≠ do 0< θ π < . Nh ư v ậ y, đ i ề u ki ệ n (i) và (iii) đượ c th ỏ a mãn. L ấ y C là n ử a đườ ng tròn ( ) { } 2 , , : 0, 0 . x y z S y x ∈ = ≥ V ớ i m ỗ i (x,y,z) ∈ S 2 – C, chúng ta xác đị nh đượ c duy nh ấ t 1 os c z θ − = vì 0< θ π < . Bi ế t θ chúng ta s ẽ xác đị nh đượ c ϕ t ừ sin os , sin sin x c y θ ϕ θ ϕ = = và do đ ó xác đị nh đượ c duy nh ấ t ϕ . V ậ y X có ánh x ạ ng ượ c X -1 và có th ể ki ể m tra d ễ dàng X -1 là liên t ụ c t ứ c là X là m ộ t tham s ố hóa. Chúng ta nh ậ n xét r ằ ng X(V) =S 2 – C nên có th ể ph ủ S 2 b ở i hai tham s ố hóa ki ể u nh ư trên. Nh ữ ng m ệ nh đề ti ế p sau s ẽ cho ta nh ữ ng ph ươ ng pháp có th ể ki ể m tra ho ặ c xây d ự ng m ộ t s ố m ặ t chính qui d ễ dàng h ơ n. Mệnh đề 1.1. N ế u :f U → ℝ là hàm kh ả vi trên t ậ p m ở 2 U ⊂ ℝ . Khi đ ó đồ th ị c ủ a f ( ) { } 3 , , : ( , ) f G x y z z f x y = ∈ = ℝ là m ộ t m ặ t chính qui. Chứng minh. Đ i ề u ki ệ n (i) hi ể n nhiên đượ c tho ả mãn. Do ( , ) 1 ( , ) x y x y ∂ = ∂ , nên đ i ề u ki ệ n (iii) c ũ ng đượ c th ỏ a mãn. Chúng ta ch ỉ c ầ n ch ứ ng minh cho đ i ề u ki ệ n 2. Ta có X(x,y) = (x, y, f(x,y)) là đơ n 5 ánh nên có ánh x ạ ng ượ c X -1 . Ánh x ạ ng ượ c X -1 chính là h ạ n ch ế lên G f c ủ a phép chi ế u t ừ 3 ℝ lên 2 ℝ nên liên t ụ c. Ta có đ i ề u ph ả i ch ứ ng minh. Định nghĩa 1.2. Cho ánh x ạ kh ả vi : n m f U ⊂ → ℝ ℝ , v ớ i U là t ậ p m ở . Ta nói p U ∈ là m ộ t đ i ể m t ớ i h ạ n c ủ a f n ế u đạ o hàm : n m p df → ℝ ℝ không ph ả i là toàn ánh. Ả nh ( ) m f p ∈ ℝ c ủ a m ộ t đ i ể m t ớ i h ạ n g ọ i là giá tr ị t ớ i h ạ n c ủ a f. M ộ t đ i ể m c ủ a m ℝ mà không ph ả i là giá tr ị t ớ i h ạ n đượ c g ọ i là m ộ t giá tr ị chính qui c ủ a f. Chú ý r ằ ng b ấ t k ỳ đ i ể m ( ) a f U ∉ đề u là các giá tr ị chính qui c ủ a f. Trong tr ườ ng h ợ p :f U ⊂ → ℝ ℝ , các đ i ể m t ớ i h ạ n chính là các đ i ể m x U ∈ mà f ’ (x) = 0. N ế u 3 :f U ⊂ → ℝ ℝ là hàm kh ả vi, ta có '( ) ( ), ( ), ( ) f f f f p p p p x y z   ∂ ∂ ∂ =   ∂ ∂ ∂   Tính ch ấ t p df không là toàn ánh t ươ ng đươ ng v ớ i ( ) ( ) ( ) 0. f f f p p p x y z ∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂ Do đ ó, n ế u a là giá tr ị chính qui thì , , f f f x y z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ không đồ ng th ờ i tri ệ t tiêu trên t ậ p { 1 ( ) ( , , ) f a x y z − = 3 : ( , , ) }. f x y z a ∈ = ℝ Mệnh đề 1.2. N ế u 3 : , f U ⊂ → ℝ ℝ là hàm kh ả vi và a ( ) f U ∈ là giá tr ị chính qui c ủ a f thì 1 ( ) f a − , n ế u khác r ỗ ng, là m ộ t m ặ t chính qui trong 3 ℝ . Chứng minh. L ấ y p = ( 0 0 0 , , x y z ) 1 ( ) f a − ∈ , vì a là giá tr ị chính qui nên không m ấ t tính t ổ ng quát ta có th ể gi ả s ử ( ) f p z ∂ ∂ ≠ 0. Đặ t 3 3 :F U ⊂ → ℝ ℝ xác đị nh b ở i F(x,y,z) = (x, y, f(x, y, z)) Ta có 1 0 0 ' 0 1 0 p x y z F f f f     =       Do ' ( ) 0, p f F p z ∂ = ≠ ∂ nên theo Đị nh lí hàm ng ượ c, t ồ n t ạ i lân c ậ n V c ủ a p và W c ủ a ( ) a f p = sao cho : F V W → là m ộ t vi phôi. Đ i ề u này cho th ấ y các hàm t ọ a độ c ủ a 1 F − có d ạ ng x= u, y = v, z = g(u, v, t), (u, v, t) W ∈ là các hàm kh ả vi. Đặ c bi ệ t z = g(u, v, a) = h(x, y) là hàm kh ả vi xác đị nh trong hình chi ế u c ủ a V lên m ặ t ph ẳ ng xOy. Do ( ) ( ) ( ) { } 1 3 W , , : F f a V u v t t a − ∩ = ∩ ∈ = ℝ , ta suy ra r ằ ng đồ th ị c ủ a h là f -1 (a) ∩ V. Theo m ệ nh đề 1.1, f -1 (a) ∩ V là m ộ t hàm lân c ậ n t ọ a độ ch ứ a p. Do đ ó, f -1 (a) s ẽ đượ c ph ủ b ở i nh ữ ng lân c ậ n t ọ a độ nên f -1 (a) là m ộ t m ặ t chính qui. Ví dụ 1.3. Ellipsoid E 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = là m ộ t m ặ t chính qui. E chính là t ậ p f -1 (0), v ớ i f(x, y, z) = 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + − là hàm kh ả vi và 0 là m ộ t giá tr ị chính qui c ủ a nó. Th ậ t v ậ y, ta có 6 2 2 f x x a ∂ = ∂ , 2 2 f x y b ∂ = ∂ , 2 2 f x z c ∂ = ∂ đồ ng th ờ i tri ệ t tiêu t ạ i đ i ể m (0,0,0). Do đ ó giá tr ị t ớ i h ạ n duy nh ấ t c ủ a f là -1, nên 0 là m ộ t giá tr ị chính qui. Trong tr ườ ng h ợ p a = b =c, ta có m ặ t c ầ u x 2 + y 2 +z 2 = a 2 c ũ ng là m ộ t m ặ t chính qui. M ộ t m ặ t S đượ c g ọ i là liên thông n ế u b ấ t k ỳ hai đ i ể m nào c ủ a S đề u có th ể n ố i b ở i m ộ t đườ ng cong liên t ụ c trong S. Trong nhi ề u tài li ệ u, khái ni ệ m này đượ c g ọ i là liên thông cung hay liên thông đườ ng để phân bi ệ t v ớ i khái ni ệ m liên thông trong tôpô. Ví d ụ sau đ ây cho ta th ấ y các m ặ t chính qui xác đị nh b ở i m ệ nh đề 1.2 có th ể không liên thông. Ví dụ 1.4. Heperboloid hai t ầ ng H: -x 2 + y 2 +z 2 = 1 là m ặ t chính qui vì H =f -1 (0) v ớ i 0 là giá tr ị chính qui c ủ a hàm f (x, y, z) = -x 2 + y 2 +z 2 – 1. Ta th ấ y r ằ ng H không liên thông, vì hai đ i ể m n ằ m ở hai t ầ ng khác nhau không th ể n ố i v ớ i nhau b ằ ng m ộ t đườ ng cong liên t ụ c đượ c. Chúng ta có tính ch ấ t sau đ ây c ủ a m ộ t m ặ t liên thông : "Cho 3 : f S ⊂ → ℝ ℝ là m ộ t hàm s ố liên t ụ c xác đị nh trên m ộ t m ặ t liên thông S. N ế u f(p) ≠ 0, p S ∀ ∈ , thì hàm f không đổ i d ấ u trên S". Th ậ t v ậ y, gi ả s ử ta có f(p) >0 và f(q) < 0, v ớ i , p q S ∈ . Do S liên thông, t ồ n t ạ i đườ ng cong liên t ụ c [ ] : , a b S α → , v ớ i ( ) ( ) , a p b q α α = = . Xét [ ] : , . f a b α →  ℝ Theo đị nh lí giá tr ị trung bình, t ồ n t ạ i c ∈ (a, b), ( ) 0 f c α =  . Đ i ề u này ch ứ ng t ỏ f = 0 t ạ i đ i ể m ( ) c α . Ví dụ 1.5. M ặ t xuy ế n (torus) T là m ặ t sinh ra b ằ ng cách quay đườ ng tròn bán kính r quanh m ộ t đườ ng th ẳ ng thu ộ c m ặ t ph ẳ ng ch ứ a đườ ng tròn và cách tâm đườ ng trong m ộ t kho ả ng a > r. L ấ y S 1 là đườ ng tròn tâm I(0, a, 0) bán kính r trong m ặ t ph ẳ ng yOz. Khi đ ó ph ươ ng trình c ủ a S 1 là 2 2 2 ( ) 0 y a z r x  − + =  =  và ph ươ ng trình c ủ a T là ( ) 2 2 2 2 2 x y a z r + − + = . Xét hàm 3 : ( ) f Oz − → ℝ ℝ xác đị nh b ở i 2 2 2 2 ( , , ) ( ) f x y z x y a z = + − + . Khi đ ó T là ánh x ạ ng ượ c f -1 (r 2 ) c ủ a hàm f t ạ i giá tr ị r 2 . Hàm f là hàm kh ả vi. Ta tính các đạ o hàm riêng 2 2 2 2 2 ( ) x x y a f x x y + − ∂ = ∂ + , 2 2 2 2 2 ( ) y x y a f y x y + − ∂ = ∂ + , 2 f z z ∂ = ∂ , T ừ đ ây, ta tìm đượ c t ậ p các đ i ể m t ớ i h ạ n c ủ a f là đườ ng tròn 2 2 0 x y a z  + =  =  Và do đ ó f ch ỉ có m ộ t giá tr ị t ớ i h ạ n duy nh ấ t là 0. Nh ư vây, r 2 là m ộ t giá tr ị chính qui nên T là m ộ t m ặ t chính qui. 7 Mệnh đề 1.3. Gi ả s ử 3 S ⊂ ℝ là m ộ t m ặ t chính qui và p S ∈ . Khi đ ó t ồ n t ạ i lân c ậ n V c ủ a p trong S sao cho V là đồ th ị c ủ a m ộ t hàm kh ả vi có m ộ t trong ba d ạ ng sau : z = f(x, y), y = g(x, z), x = h(y, z). Chứng minh. Gi ả s ử X : U S → là m ộ t tham s ố hóa c ủ a S t ạ i p, X(u, v) =(x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ U. Theo đ i ề u ki ệ n (iii) c ủ a đị nh ngh ĩ a m ặ t chính qui, m ộ t trong các đị nh th ứ c sau ph ả i khác không t ạ i X -1 (p) = q ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , , , , x y x z y x u v u v u v ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ . Gi ả s ử ( ) ( ) , , x y u v ∂ ∂ (q) ≠ 0. Xét ánh x ạ 2 : X U π →  ℝ v ớ i π là phép chi ế u ( , , ) ( , ) x y z x y π = , khi đ ó ( , ) ( ( , ), ( , )) X u v x u v y u v π =  Do ( ) ( ) , , x y u v ∂ ∂ (q) ≠ 0 nên theo đị nh lí hàm ng ượ c t ồ n t ạ i lân c ậ n V 1 c ủ a q và V 2 c ủ a ( ) ( ) X q π  sao cho X π  là vi phôi t ừ V 1 lên V 2 . T ừ đ ây suy ra h ạ n ch ế c ủ a π lên V=X(V 1 ) là đơ n ánh và t ồ n t ạ i hàm ng ượ c: ( ) 1 2 1 : X V V π − →  Do X là đồ ng phôi ta ruy ra X(V 1 ) là lân c ậ n c ủ a p trong S. Bây gi ờ xét h ợ p c ủ a ánh x ạ ( ) ( ) 1 , X x y π −  = (u(x, y), v(x, y)) v ớ i hàm ( ) ( ) , , u v z u v ֏ , ta th ấ y V là đồ th ị c ủ a hàm h ợ p này z = z(u(x, y),v(x, y)) = f (x, y). Các tr ườ ng h ợ p còn l ạ i ch ứ ng minh hoàn toàn t ươ ng t ự . Ví dụ 1.6. Nón m ộ t t ầ ng C cho b ở i 2 2 z x y = + , (x, y) 2 ∈ ℝ không ph ả i là m ặ t chính qui. Ánh x ạ (x, y) ( ) 2 , , x y x y + ֏ là không kh ả vi t ạ i (0, 0). Chúng ta ch ư a có th ể kh ẳ ng đị nh r ằ ng C không ph ả i là m ặ t chính qui vì đ ây ch ỉ m ớ i là m ộ t ánh x ạ t ừ 2 ℝ vào C. Trên C có th ể có nh ữ ng tham s ố hóa khác. Chúng ta s ẽ ch ứ ng t ỏ C không chính qui t ạ i đỉ nh c ủ a nó. N ế u C là m ặ t chính qui thì có m ộ t lân c ậ n c ủ a đ i ể m (0, 0, 0) ∈ C là đồ th ị c ủ a m ộ t hàm kh ả vi có m ộ t trong ba d ạ ng sau: z = f( x, y), y = g( x, z), x = h( y, z). Hai d ạ ng sau cùng không th ỏ a mãn vì phép chi ế u c ủ a C lên các m ặ t ph ẳ ng xOz và yOz không là đơ n ánh. Xét hàm có d ạ ng th ứ nh ấ t 2 2 z x y = + . Hàm này không kh ả vi t ạ i (0, 0) nên c ũ ng không phù h ợ p. Do đ ó C không ph ả i là m ặ t chính qui. N ế u b ỏ đ i đ i ể m đỉ nh (0, 0, 0) thì t ậ p còn l ạ i C – {(0, 0, 0)} là m ặ t chính qui. Mệnh đề 1.4. Cho S là m ặ t chính qui và ánh x ạ X : ( ) 2 3 , U X U S ⊂ → ⊂ ℝ ℝ . N ế u X là đơ n ánh th ỏ a mãn đ i ề u ki ệ n (i) và (iii) trong đị nh ngh ĩ a 1 thì X -1 là liên t ụ c, có ngh ĩ a là X th ỏ a mãn đ i ề u ki ệ n (ii) và do đ ó X là m ộ t tham s ố hóa. Chứng minh. L ấ y ( ) p X U ∈ . Do S là m ặ t chính qui nên t ồ n t ạ i lân c ậ n W ⊂ S c ủ a p sao cho W là đồ th ị c ủ a m ộ t hàm kh ả vi trên t ậ p m ở V (có th ể gi ả s ử ) c ủ a m ặ t ph ẳ ng xOy. L ấ y N = X -1 (W) ⊂ U và đặ t h = : X N V π →  , v ớ i ( ) ( ) , , , x y z x y π = . Khi đ ó dh = dX π  là không suy bi ế n t ạ i X -1 (p)= q. Theo đị nh lí hàm s ố ng ượ c t ồ n t ạ i lân c ậ n N Ω ⊂ sao cho h : ( ) h Ω → Ω 8 là vi phôi. Chú ý r ằ ng X( Ω ) là t ậ p m ở trong S và X -1 = h -1 π  h ạ n ch ế lên X( Ω ) là h ợ p c ủ a các hàm kh ả vi. Nh ư v ậ y X -1 là liên t ụ c t ạ i p. Do p đượ c ch ọ n tùy ý nên X -1 liên t ụ c tr ên X(U). Ví dụ 1.7. M ộ t tham s ố hóa c ủ a m ặ t xuy ế n T đượ c cho b ở i ( ) ( ) ( ) ( ) , cos cos , cos sin , sin X u v r u a v r u a v r u = + + v ớ i 0< u, v< 2 π . 1.2. Đổi tham số - hàm khả vi trên mặt Đị nh ngh ĩ a c ủ a m ặ t chính qui cho th ấ y v ớ i m ọ i p S ∈ đề u thu ộ c vào m ộ t lân c ậ n t ọ a độ ( đị a ph ươ ng) nào đ ó c ủ a m ặ t. Đ i ề u này cho phéo chúng ta s ử d ụ ng h ệ to ạ độ đị a ph ươ ng để mô t ả m ộ t s ố tính ch ấ t đị a ph ươ ng c ủ a m ặ t trong lân c ậ n c ủ a đ i ể m p và m ở r ộ ng m ộ t s ố khái ni ệ n nh ư hàm kh ả vi trên m ặ t chính qui, ánh x ạ kh ả vi t ừ m ặ t chính qui vào m ặ t chính qui và đạ o hàm c ủ a chúng M ộ t đ i ể m p S ∈ có th ể thu ộ c vào nhi ề u lân c ậ n t ọ a độ khác nhau nên có th ể có nhi ề u t ọ a độ đị a ph ươ ng khác nhau và do đ ó chúng ta có các phép đổ i t ọ a độ ( đị a ph ươ ng). Để các đị nh ngh ĩ a liên quan đế n tính kh ả vi đượ c h ợ p lí, các phép đổ i to ạ độ ph ả i kh ả vi. M ệ nh đề sau cho th ấ y yêu c ầ u trên đượ c đ áp ứ ng. Mệnh đề 1.5 ( Đổ i tham s ố ). Cho 3 S ⊂ ℝ là m ộ t m ặ t chính qui, p S ∈ , X : 2 U S ⊂ → ℝ và Y : 2 V S ⊂ → ℝ là hai hàm s ố hóa đị a ph ươ ng c ủ a S sao cho ( ) ( ) W p X U Y V ⊂ ∩ = . Khi đ ó phép đổ i t ọ a độ h = ( ) ( ) 1 1 1 : W W X Y Y X − − − →  là vi phôi, t ứ c là h kh ả vi và hàm ng ượ c 1 1 h Y X − − =  (c ũ ng là m ộ t phép đổ i t ọ a độ ) c ũ ng kh ả vi. Chứng minh. Ta có 1 h X Y − =  là đồ ng phôi do X và Y là các đồ ng phôi. L ấ y r ( ) 1 w Y − ∈ và đặ t q = h(r). Do X(u, v) =(x( u, v), y( u, v), z( u, v)) là tham s ố hóa c ủ a m ặ t chính qui, ta có th ể gi ả s ử ( ) ( ) ( ) , 0 u, v x y q ∂ ≠ ∂ Chúng ta m ở r ộ ng X thành ánh x ạ 3 : F U × → ℝ ℝ xác đị nh nh ư sau: F(u, v, t) =(x( u, v), y( u, v), z( u, v) + t), (u, v) , U t ∈ ∈ ℝ Có th ể hình dung F là ánh x ạ t ừ hình tr ụ C xác đị nh trên U và chính hình tr ụ xác đị nh trên X(U) bi ế n thi ế t di ệ n c ủ a C v ớ i độ cao t thành m ặ t X(u, v) +te 3 v ớ i e 3 là vec t ơ đơ n v ị đị nh h ướ ng c ủ a tr ụ c Oz. Rõ ràng F là kh ả vi và { } 0 U F × =X. Ta có đị nh th ứ c c ủ a ma tr ậ n Jacobi F’(q) 0 ( , ) 0 ( ) 0 ( , ) 1 x x u v y y x y q u v u v z z u v ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ≠ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ . Do đ ó đị nh lý hàm ng ượ c, t ồ n t ạ i lân c ậ n M c ủ a p = X(q) trong 3 ℝ sao cho F -1 t ồ n t ạ i và kh ả vi trên M. Do Y liên t ụ c, t ồ n t ạ i lân c ậ n N c ủ a r trong V sao cho Y(N) M S ⊂ ∩ . T ừ đ ây ta có 1 1 N N N F Y X Y h − − = =   9 Vì F -1 và Y là các ánh x ạ kh ả vi nên ta suy ra h kh ả vi trên N. Nói riêng, h kh ả vi t ạ i r. Do r là đ i ể m b ấ t k ỳ ta suy ra h kh ả vi trên Y -1 (W). M ộ t cách hoàn toàn t ươ ng t ự , ch ứ ng ta có th ể ch ứ ng minh h -1 c ũ ng là hàm kh ả vi. Nhận xét 1.2 Gi ả s ử X và Y đượ c xác đị nh b ở i X(u, v) =(x( u, v), y( u, v), z( u, v)) Y(w, t) =(x(w, t) y(w, t), z(w, t)). Khi đ ó ta có h((w, t) = (u(w, t),v(w, t)), trong đ ó u, v là các hàm hai bi ế n (w, t) có đạ o hàm riêng m ọ i c ấ p. T ươ ng t, h -1 (u, v) =(w(u, v),t(u, v)), trong đ ó w, t là các hàm hai bi ế n (u, v) có đạ o hàm riêng m ọ i c ấ p. D ễ th ấ y ( ) ( ) ( ) ( ) , , . 1 w, , u v w t t u v ∂ ∂ = ∂ ∂ Có ngh ĩ a là, đị nh th ứ c c ủ a ma tr ậ n Jacobi c ủ a h và h -1 khác 0 m ọ i n ơ i. M ộ t cách t ự nhiên là chúng ta ph ả i xây d ự ng các khái ni ệ m gi ả i tích cho các m ặ t chính qui. D ướ i đ ây là các đị nh ngh ĩ a c ủ a hàm s ố kh ả vi trên m ặ t chính qui và ánh x ạ kh ả vi gi ữ a hai m ặ t chính qui. Các khái ni ệ m đ ã bi ế t tr ướ c đ ây là các tr ườ ng h ợ p riêng c ủ a các khái ni ệ m này. Định nghĩa 1.3. Cho : f V S ⊂ → ℝ là hàm xác đị nh trên m ộ t t ậ p m ở V c ủ a m ặ t chính qui S. Hàm f đượ c g ọ i là kh ả vi t ạ i p V ∈ n ế u v ớ i tham s ố hóa X: 2 U S ⊂ → ℝ , p ( ) X U ∈ , thì hàm h ợ p : f X U →  ℝ là hàm kh ả vi t ạ i X -1 (p). Hàm f đượ c g ọ i là kh ả vi t ạ i m ọ i đ i ể m c ủ a V. Nhận xét 1.3 1. Gi ả s ử Y: W , S → v ớ i p W ∈ , là m ộ t tham s ố hóa khác. Do h = X -1 Y  là kh ả vi t ạ i Y -1 (p) nên f Y  = f X h   c ũ ng kh ả vi t ạ i Y -1 (p). Do đ ó, đị nh ngh ĩ a trên không ph ụ thu ộ c vào tham s ố hóa đượ c ch ọ n. 2. Chúng ta có th ể đồ ng nh ấ t m ộ t đ i ể m (u, v) c ủ a U v ớ i X(u, v) c ủ a X(U) S ⊂ . Do đ ó t ừ đ ây v ề sau thay vì vi ế t ( ) ( ) ( ) ( ) , , f X u v f X u v =  , chúng ta s ẽ vi ế t m ộ t cách đơ n gi ả n là f(u, v) và nói r ằ ng f(u,v) là m ộ t bi ể u di ễ n đị a ph ươ ng c ủ a f trong lân c ậ n t ọ a độ X. Ví dụ 1.8. Cho S là m ặ t chính qui, S V ⊂ v ớ i 3 V ⊂ ℝ là m ộ t t ậ p m ở và : f V → ℝ là m ộ t hàm kh ả vi. Khi đ ó s f là m ộ t hàm kh ả vi. Th ậ t vây, v ớ i m ọ i p S ∈ và v ớ i tham s ố hóa 2 : X U S ⊂ → ℝ t ạ i p, hàm : f X U →  ℝ là kh ả vi t ạ i p. Ví dụ 1.9. Các hàm sau đ ây là các hàm kh ả vi. 1. Hàm độ cao đố i v ớ i m ộ t vec t ơ đơ n v ị v 3 ∈ ℝ : , h S → ℝ h(p) =p.v, p S ∀ ∈ . h(p) là độ cao c ủ a p S ∈ so v ớ i m ặ t ph ẳ ng vuông góc v ớ i v đ i qua O trong 3 ℝ . 2. Cho S là m ặ t chính qui và 0 p S ∈ là m ộ t đ i ể m c ố đị nh. Hàm s ố : f S → ℝ xác đị nh b ở i f(p) = d(p, p 0 ) 2 là m ộ t hàm kh ả vi. Nhận xét 1.4. Chúng ta đ ã dùng m ệ nh đề 1.1 để xây d ự ng khái ni ệ m hàm kh ả vi trên m ộ t m ặ t chính qui. Trong ch ứ ng minh m ệ nh đề 1.1 chúng ta l ạ i s ử d ụ ng tính ch ấ t là ánh x ạ ng ượ c c ủ a m ộ t tham s ố hóa liên t ụ c. N ế n đ i ề u ki ệ n th ứ hai trong đị nh ngh ĩ a c ủ a m ặ t chính qui là không th ể thay th ế . 10 T ươ ng t ự đị nh ngh ĩ a trên cho chúng ta có th ể đị nh ngh ĩ a ánh x ạ kh ả vi t ừ m ộ t m ặ t chính qui vào m ộ t m ặ t chính qui. Định nghĩa 1.4. Cho S 1 , S 2 là các m ặ t chính qui, V là m ộ t t ậ p m ở trong S 1 và 1 2 : V S S ϕ ⊂ → là ánh x ạ liên t ụ c. Ánh x ạ ϕ đượ c g ọ i là kh ả vi t ạ i p ∈ V n ế u v ớ i các tham s ố hóa đ ã ch ọ n nào đ ó 1 1 1 : , X U S → 2 2 2 : X U S → , trong đ ó p ∈ X 1 (U 1 ) V ⊂ và ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 X U X U ϕ ⊂ , ánh x ạ 1 2 1 1 2 : X X U U ϕ − →   là kh ả vi t ạ i X -1 (p). Ánh x ạ ϕ đượ c g ọ i là kh ả vi trên V n ế u nó kh ả vi t ạ i m ọ i đ i ể m c ủ a V. Ánh x ạ 1 2 1 X X ϕ −   g ọ i là bi ể u di ễ n đị a ph ươ ng c ủ a ánh x ạ ϕ đố i v ớ i hai b ả n đồ (U 1 , X 1 ) và (U 2 , X 2 ). Ánh x ạ 1 2 : S S ϕ → đượ c g ọ i là m ộ t vi phôi c ủ a ϕ là kh ả vi trên S 1 và t ồ n t ạ i ánh x ạ ng ượ c 1 2 1 : S S ϕ − → c ũ ng kh ả vi. Khi đ ó ta nói hai m ặ t chính qui S 1 và S 2 là vi phôi v ớ i nhau. Nhận xét 1.5 1. T ươ ng t ự nh ư hàm kh ả vi trên m ộ t m ặ t chính qui, đị nh ngh ĩ a ánh x ạ kh ả vi gi ữ a các m ặ t chính qui c ũ ng không ph ụ thu ộ c vào các tham s ố hóa đ ã ch ọ n. 2. Theo đị nh ngh ĩ a, ánh x ạ ϕ là kh ả vi khi và ch ỉ khi các đạ o hàm thành ph ầ n c ủ a bi ể u di ễ n đị a ph ươ ng c ủ a ϕ trong các lân c ậ n t ọ a độ đị a ph ươ ng có đạ o hàm riêng liên t ụ c m ọ i c ấ p. 3. T ươ ng t ự nh ư đẳ ng c ấ u tuy ế n tính g ữ a các không gian vec t ơ , ánh x ạ đẳ ng c ự gi ữ a các không gian Euclid, các vi phôi đ óng vai trò quan tr ọ ng trong vi ệ c nghiên c ứ u các tính ch ấ t liên quan đế n tính kh ả vi c ủ a m ặ t chính qui. Hai m ặ t chính qui vi phôi v ớ i nhau đượ c xem là nh ư nhau. Ví dụ 1.10. M ọ i tham s ố hóa c ủ a m ặ t chính qui S 2 : X U S ⊂ → ℝ là ánh x ạ kh ả vi gi ữ a các m ặ t chính qui ( xem U là m ộ t m ặ t chính qui). Th ậ t v ậ y, v ớ i m ọ i p ∈ X(U) v ớ i tham s ố hóa 2 : Y V S ⊂ → ℝ t ạ i p, ta có: 1 1 1 : (W) (W) X Y Y X − − − →  là kh ả vi, trong đ ó W = X(U) ∩ Y(U). T ươ ng t ự ta c ũ ng có X -1 kh ả vi, do đ ó U và X(U) là vi phôi v ớ i nhau. Do m ỗ i đĩ a m ở trong 2 ℝ là vi phôi v ớ i m ặ t ph ẳ ng 2 ℝ , nên ta có th ể nói “ M ỗ i m ặ t chính qui là vi phôi đị a ph ươ ng v ớ i m ộ t m ặ t ph ẳ ng” . Ví dụ 1.11. Cho S 1 và S 2 là các m ặ t chính qui. Gi ả s ử 3 1 S V ⊂ ⊂ ℝ , v ớ i V là m ộ t t ậ p m ở trong 3 ℝ , 3 : V ϕ → ℝ là ánh x ạ kh ả vi và ( ) 1 2 S S ϕ ⊂ . Khi đ ó ánh x ạ h ạ n ch ế 1 1 2 : S S S ϕ → là ánh x ạ kh ả vi. Th ậ t v ậ y, gi ả s ử 1 1 1 1 , : p S X U S ∈ → và 2 2 2 : X U S → là hai tham s ố hóa v ớ i ( ) 1 1 p X U ∈ và ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 X U X U ϕ ⊂ . Chúng ta có ánh x ạ 1 2 1 1 2 : X X U X ϕ − →   là kh ả vi. Các tr ườ ng h ợ p sau đ ây là các tr ườ ng h ợ p đặ c bi ệ t c ủ a ví d ụ này. [...]... Ta tính A( Rε ) A ( Rε ) = ∫∫ r ( r cos u + a ) dudv = Qε 2 − ε ∫ε ( r 2 cos u + ra )du 0+ 2 π −ε ∫ε dv 0+ 2 = r ( 2 − 2 ) ( sin ( 2 − ε − sin ε ) ) + ra ( 2 − 2 ) 2 Cho ε → 0 , ta có A(T) = 4π 2 ra C TÀI LIỆU HỌC TẬP [1] Đỗ Ngọc Diệp (20 01), Hình học vi phân, Vi n toán học [2] Đoàn Thế Hiếu (20 09), Giáo trình hình học vi phân, Đại học Huế [3] Manfredo P do Carmo (1999), Differential Geometry... a21 X v , X u = a11 E + a21 F , Từ − f = N u , X v = a11 X u + a21 X v , X v = a11 F + a21G = N v , X u = a 12 X u + a 22 X v , X u = a 12 E + a 22 F , − g = N v , X v = a 12 X u + a 22 X v , X v = a 12 F + a22G, Ta có e − f f   a11 = g   a 12 a21   E  a 22   F F ; G và do đó  a11   a 12 a21  e  = − a 22  f −1 f  E F    g  F G  Với chú ý rằng −1 E F  G −F  1   =  2. .. dạng cơ bản thứ nhất thì E t = E + 2th X u , N u + t 2 h 2 N u , N u + t 2 hu2 , F t = F + 2th xu , N v + t 2 h2 N u , N v + t 2 hu hv , G t = G + 2th xu , N v + t 2 h 2 N v , N v + t 2 hv2 , Thay xu , N u = −e, xu , N v = xv , N u = − f , xv , N v = − g và 2H EG − F 2 = Eg − 2 fF + Ge, Ta nhận được 2 E t G t − ( F t ) = Eg − F 2 − 2th ( Eg − 2 fF + Ge ) + R = ( EG − F 2 ) (1 − 4thH ) + R, R Với lim... định bởi A( x, y, z ) = (− x, − y, − z ) Chứng minh rằng A là một vi phôi 1. 12 Cho S là một mặt chính qui và π : S → ℝ 2 là phép chiếu lên mặt phẳng xOy Ánh xạ π có khả vi không? 1.13 Chứng minh rằng mặt parabolid z = x 2 + y 2 là vi phôi với một mặt phẳng 19 x2 y2 z2 + 2 + 2 = 1 và mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 1 2 a b c 1.14 Xây dựng 1 vi phôi giữa ellipsoid 1.15 Cho S ⊂ ℝ 3 là một mặt chính qui và xét... sin v, c cos u ) với 0 < u < π , 0 < v < 2 , a, b, c > 0 là một tham số hoá của mặt ellipsoid x2 y2 z2 + + =1 a2 b2 c 2 Mô tả các đường cong toạ độ u = const trên ellipsoid 1.10 Tìm một tham số hoá cho mặt hyperboloid hai tầng {( x, y, z ) ∈ ℝ 3 : − x 2 − y 2 + z 2 = 1} 1.11 Cho S 2 = {( x, y, z ) ∈ ℝ 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1} là mặt cầu đơn vị và A : S 2 → S 2 là ánh xạ (antipodal) xác định bởi A(... u X u − v X v + gN  2E 2G 2E 2G     Eu E G G X u − v X u + eN − u X u − v X v + gN 2E 2G 2E 2G e+ g  = (e + g ) N = 2 E   N = (2 EH ) N  2E  2. 7 Các đường đặc biệt trên mặt 2. 7.1 Đường chính (line of curvature) Định nghĩa 2. 10 Đường chính qui C ⊂ S mà tại mọi điểm p ∈ C phương tiếp xúc tại p của C là = một phương chính của S tại mọi p gọi là một đường chính Mệnh đề 2. 6 (Olinde Rodrigues)... = , a 12 = , a21 = , a 22 = 2 2 2 EG − F EG − F EG − F EG − F 2 và công thức tính độ cong Gauss, độ cong trung bình eg − f 2 1  eG − 2 fF + gE  , H=   2 EG − F 2  EG − F 2  Ví dụ 2. 8 Chúng ta sẽ tính độ cong Gauss và độ cong trung bình của những điểm nằm trên mặt xuyến được phủ bởi tham số hóa như sau: K= X ( u , v ) = ( ( a + r cos u ) cos v, ( a + r cos u ) sin v, r sin u ) , 0 < u , v < 2 Chúng... bình K= eg − f 2 1  eG − 2 fF + gE  , H=   2 EG − F 2  EG − F 2  Ta dễ dàng nhận thấy các điểm thuộc vào các đường tròn u = Gauss K = 0 , các điểm thuộc vào miền vào các miền 0 < u < 2 và π 2 0 2 2.6 Mặt kẻ và mặt cực tiểu 2. 6.1 Mặt kẻ Cho α , w : I → ℝ 3 là hai hàm khả vi với I là một... số c được lấy tuỳ ý nên ta suy ra rằng  N ( x, y , z ) =    fy fx f x2 + f y2 + f z2 f x2 + f y2 + f z2 ,   2 2 2  fx + f y + fz  fz Xác định trên toàn bộ S Do a là điểm chính qui nên f x2 + f y2 + f z2 > 0 tại mọi điểm của mặt Do đó N là liên tục Ta có điều phải chứng minh 22 Rất dễ nhận thấy rằng mọi mặt chính qui đều định hướng được một cách địa phương Điều này có nghĩa là cho dù mặt chính... = 1 2 ( w + 1 + q 2 , − pq, p ( w + 1 + q 2 ) + q (− pq )), 2 (− pq, w + 1 + q 2 , q( w + 1 + q 2 ) + p (− pq )) (1 + w ) 1 (1 + w ) Do đó E =G = w2 (1 + w ) 2 và F = 0 Nhận xét 2. 6 Định lí trên cũng đúng cho một mặt chính qui bất kì Định lí 2. 5 Nếu X (u , v) là trực giao thì ∆X = X uu + X vv = (2 EH ) N Chứng minh Chúng ta có 35 Eu E X u − v X u + eN 2E 2G Gu G X vv = − X u − v X v + gN 2E 2G X . ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN HÌNH HỌC VI PHÂN 2 2 CHƯƠNG 1 Mặt chính qui (đa tạp 2 chiều) Số tiết: 15 (lý thuyết: 12 tiết; bài tập: 03 tiết) A. MỤC TIÊU - Sinh vi n hiểu được. f -1 (r 2 ) c ủ a hàm f t ạ i giá tr ị r 2 . Hàm f là hàm kh ả vi. Ta tính các đạ o hàm riêng 2 2 2 2 2 ( ) x x y a f x x y + − ∂ = ∂ + , 2 2 2 2 2 ( ) y x y a f y x y + − ∂ = ∂ + , 2 f z z ∂ = ∂ ,. m ặ t parabolid 2 2 z x y = + là vi phôi v ớ i m ộ t m ặ t ph ẳ ng. 20 1.14. Xây d ự ng 1 vi phôi gi ữ a ellipsoid 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = và m ặ t c ầ u 2 2 2 1 x y z + + = .