TRẦN ĐỨC NGỌC * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN http://violet.vn/tranducngoctk http://violet.vn/ducngoct http://violet.vn/truongmamnon_anhsao HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN TRẦN ĐỨC NGỌC * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (1) I-Nguyên hàm các hàm hữu tỷ 1/Nguyên hàm các hàm số Đa thức : Dựa vào định nghĩa,tính chất và công thức nguyên hàm các hàm số thường gặp để tính Ví dụ 1 : Tính I = = 2/Nguyên hàm các hàm số phân thức :Ta tìm cách tính các nguyên hàm dạng I = Trong đó h(x) , g(x) là các đa thức biến số x . *1.Nếu bậc của tử thức cao hơn hay bằng bậc mẫu thức thì chia đa thức ,tách hàm số thành tổng hai hàm số : một hàm số đa thức và một hàm phân thức có bậc của tử thức nhỏ hơn bậc mẫu thức ,hoặc tử thức là hằng số : = q(x) + .Trong đó q(x) , r(x) là các đa thức .Bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x) là hằng số.Hàm số y = nếu có thể được thì biến đổi y = = + với bậc p(x) bé hơn bậc r(x) họăc p(x) là hằng số.Ta có : = + = + Như vậy ta chỉ cần phải nghiên cứu cách tính các nguyên hàm I = , I = Bậc r(x) , bậc p(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x) . p(x) là hằng số. *2. Tính các nguyên hàm I = .Bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x) là hằng số. + Dạng I: với a .(Đổi biến số - đặt U = ax+b). I 1 = = = ln + C . Ví dụ2 : I = = = ln(5x+3) + C + Dạng II: với a .( đặt U = ax+b ) . I 2 = = = + C Ví dụ3 : I = = = + C . + Dạng III: với a , h(x) là nhị thức bậc nhất hoặc là hằng số I 3 = .Tùy vào sự có nghiệm hay vô nghiệm của g(x) = ax 2 +bx+c .Ta chỉ cần xét với a = 1 .Vì nếu a thì ở mẫu thức lấy a làm nhân tử ,đưa hằng số ra ngoài dấu tích TRẦN ĐỨC NGỌC * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN http://violet.vn/tranducngoctk http://violet.vn/ducngoct http://violet.vn/truongmamnon_anhsao HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN TRẦN ĐỨC NGỌC * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (2) phân.Có I 3 = = Với b 1 = , c 1 = Xét I 3 = a -Nếu x 2 +bx+c = (x- x 1 )(x- x 2 ) Thì dùng phương pháp “hệ số bất định” tìm 2 số A , B sao cho : = + . Do đó : I 3 = = A + = Aln(x-x 1 )+Bln(x-x 2 ) + C Ví dụ 4: I = = - = ln + C Vídụ 5: I = = dx = = - ( - ) = ln - .ln + C b -Nếu x 2 +bx+c = (x- x 0 ) 2 .(x 0 là nghiệm kép của mẫu thức ) Hai trường hợp : * Trường hợp h(x) là hằng số a,ta có : I 3 = = = - + C (Dạng I 2 khi = 2 Dạng đặc biệt,hay gặp ,nên nhớ) *Trường hợp h(x) = px+ q là nhị thức bậc nhất (Với p 0) . Biến đổi: = = + . Do đó ta có: I 3 = = + (q - ) = + ( - q). + C Vídụ 6: I = = .dx = - 8 = - 8 = 3.ln + + C c -Nếu x 2 +bx+c = 0 vô nghiệm . TRẦN ĐỨC NGỌC * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN http://violet.vn/tranducngoctk http://violet.vn/ducngoct http://violet.vn/truongmamnon_anhsao HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN TRẦN ĐỨC NGỌC * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (3) Ta biến đổi: = = + Do đó: = + (q - ) = + C + (q - ) Nguyên hàm : J = dạng I = , với u = x + và a = Nguyên hàm I = . Đặt u = atant ,Thì: du = a(1 + tan 2 t)dt và u 2 +a 2 = a 2 (1 + tan 2 t) Ta có: I = = = = + C Vídụ 7: I= = - 8 = - 8 + Dạng IV : I 4 = .Trong đó h(x) là đa thức có bậc nhỏ hơn 3 hoặc h(x) là hằng số a-Nếu g(x) = x 3 +ax 2 +bx+c có 3 nghiệm phân biệt , x 3 +ax 2 +bx+c = (x – x 1 )(x – x 2 )(x – x 3 ) Bằng phương pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho : = + + Do đó : I 4 = = + + = A.ln +B.ln + C.ln +D b-Nếu g(x) = x 3 +ax 2 +bx+c = (x- x 1 )(x- x 0 ) 2 với x 1 x 0 (1 nghiệm kép và 1 nghiệm đơn) Thì bằng phương pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho : = + Do đó : I 4 = = + = + .dx = A + + TRẦN ĐỨC NGỌC * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN http://violet.vn/tranducngoctk http://violet.vn/ducngoct http://violet.vn/truongmamnon_anhsao HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN TRẦN ĐỨC NGỌC * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (4) = A.ln + .ln + (Bx 0 -C). + D c-Nếu g(x) = x 3 +ax 2 +bx+c = (x- x 1 )(x 2 +px + q) , trong đó x 2 +px+q = 0 vô nghiệm Thì Bằng phương pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho : = + Ta có : = + = + + Do đó : I 4 = = A + . + . = A.ln + .ln + (C - ) + D Nguyên hàm : J = = (Đã nói rõ ở Dạng III:c-Nếu mẫu thức vô nghiệm) d-Nếu g(x) = x 3 +ax 2 +bx+c = (x – x 0 ) 3 .Bằng phương pháp hệ số bất định tìm các số A. B, C sao cho : = + + . Do đó ta có : = + + = - + C.ln + D -Nếu h(x) là hằng số A thì : = = A = + C Trƣờng hợp tử thức là bậc 2 thì có thể biến đổi = Do đó: I 4 = = + .Với p 1 = p- ; q 1 = q - Nguyên hàm dạng : j = đã nêu rõ ở trên Bài tập: Tính nguyên hàm 1. I = ; I = ; I = ; I = ; I = ; I = ; I = TRẦN ĐỨC NGỌC * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN http://violet.vn/tranducngoctk http://violet.vn/ducngoct http://violet.vn/truongmamnon_anhsao HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN TRẦN ĐỨC NGỌC * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (5) 2. I = ; I = ; I = ; I = ; I = 3. I = ; I = ; I = ; I = ; ; I = 4. I = ; I = ; I = I = ; 5. I = ; I = ; I = I = 6. a/ I = Chú ý: =(x-1)(x-2)(x-3) b/ Tính nguyên hàm của f(x) = 1:( ) .Chú ý: c/ I = Chú ý: = (2x-1)(x 2 +4x+4) d/ I = Chú ý: = (3x-2)(x 2 +2x+3) e/ I = = + + g/ I= Chú ý: = (x-2)(x 2 +4x+4) 7. a/ I = Chú ý: = (2x-1)(x 2 +4x+4) b/ I = Chú ý: = (2x-1)(x 2 +4x+4) c/ I = Chú ý: =(x-1)(x-2)(x-3) d/ I = Chú ý : = (x+1)(x 2 -x+1) 8. I = Hướng dẫn : Tìm các số A,B,C,D,E để = + + 9. I = = .dx ( , đặt x = tant ) TRẦN ĐỨC NGỌC * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN http://violet.vn/tranducngoctk http://violet.vn/ducngoct http://violet.vn/truongmamnon_anhsao HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN TRẦN ĐỨC NGỌC * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (6) 10.I = (Hd:I = +3 - 2 ) 11. I = I = I = I = 12.I = I = I = = - 3 + 13. I = (Hd : I= 3 - + 5 ) 14. I = (Hd : I= 3 + 2 - 2 ) 15. I = (Hd : I= 3 + 5 - 7 ) 16. I = (Hd : I = 2 + 5 - 3 ) 17. (Hd : I = -4 + - ) II.Nguyên hàm các hàm số Lƣợng giác 1.Nguyên hàm hàm hợp 1/ I = = = sin(ax+b) +C 2/ I = = = - cos(ax+b) +C 3/ I = = = tan(ax+b) + C 4/ I = = = cot(ax+b) + C 2. Nguyên hàm của hàm số f(x) = cos m x.sin n x .Trong đó m,n là các số nguyên dƣơng 1/ Nếu số mũ của cosx lẻ (m là số lẻ) thì đặt sinx = t .Ngược lại nếu số mũ của sinx lẻ (n là số lẻ) thì đặt cosx = t.(Nếu m và n đều là số lẻ thì đặt cosx = t hoặc sinx = t đều được) Ví dụ 1 : I = . - Đặt sinx = t Ta có I = = = - + C TRẦN ĐỨC NGỌC * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN http://violet.vn/tranducngoctk http://violet.vn/ducngoct http://violet.vn/truongmamnon_anhsao HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN TRẦN ĐỨC NGỌC * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (7) - Chú ý :Có thể hạ bậc biến đổi tích thành tổng đưa nguyên hàm của f(x) = cos m x.sin n x về nguyên hàm hàm hợp.Chẳng hạn ví dụ 1 ở trên ta giải cách 2: I = = I = = = = - cos3x - cosx + C Ví dụ 2 : I = - Đặt sinx = t Ta có I = = I = = = Ví dụ 3 : I = (Mặc dù đặt sinx = t cũng được nhưng cosx ở mẫu thức ,đặt cosx = t) -Đặt cosx = t.Ta viết I = = I = = I = = = t 2 - ln +C Ví dụ 4 : I = = = - = - ln + C (Đã đặt cosx = t) 2/Nếu số mũ của cả cosx và sinx đều là số chẵn (m và n đều chẵn) *Nếu f(x) = cos m x.sin n x Trong đó m và n đều là số tự nhiên chẵn thì hạ bậc biến đổi tổng thành tích đƣa về nguyên hàm hàm hợp. Ví dụ 5: I = = I = = .2cos 2 xdx = dx = dx = - = x + sin2x - sin4x - sin6x - sin2x + C = x + sin2x - sin4x - sin6x + C *Nếu f(x) = , đặt tanx = t ;Nếu f(x) = . Đặt cotx = t (Với m và n đều là sỗ chẵn ) Ví dụ 6 : I = -Ta có : I = = : I = = : I = - = - = tanx – x + C (Đã đặt tanx = t) TRẦN ĐỨC NGỌC * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN http://violet.vn/tranducngoctk http://violet.vn/ducngoct http://violet.vn/truongmamnon_anhsao HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN TRẦN ĐỨC NGỌC * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (8) Ví dụ 7 : I = (Vì mẫu thức là sin 2 x,chính là mẫu thức của cot 2 x nên ta đặt cotx = t) -Ta có : I = = I = = - .d(cotx) = - . cot 3 x + C (Thực chất đã đặt cotx = t nhưng viết tắt cho gọn thôi) Ví dụ 8 : I = (Vì mẫu thức là cos 2 x,chính là mẫu thức của tan 2 x nên ta đặt tanx = t) -Ta có : I = = I = = = - = + = tanx + sin2x - x + C 3.Nguyên hàm của hàm số f(x) = Với h(x) và g(x) là các biểu thức bậc nhất của sinx,cosx *Nếu thay cosx bởi (-cosx) mà hàm số đổi dấu thì đặt sinx = t *Nếu thay sinx bởi (-sinx) mà hàm số đổi dấu thì đặt cosx = t *Nếu thay cosx bởi (-cosx) và sinx bởi (-sinx) mà hàm số không đổi thì đặt tanx = t hoặc cotx = t -Có những bài dùng phương pháp liên kết. 1/ Nếu thay cosx bởi (-cosx) mà hàm số đổi dấu thì đặt sinx = t Ví dụ 9 : I = = = = = - = … (Nguyên hàm Hàm số hữu tỷ) 2/ Nếu thay sinx bởi (-sinx) mà hàm số đổi dấu thì đặt cosx = t Ví dụ 10 : I = = -2 = -2 = -2 =… 3/Nếu thay cosx bởi (-cosx)và sinx bởi(-sinx) mà hàm số không đổi thì đặt tanx = t hoặc cotx = t Ví dụ11: I = (Đặt tanx = t thì dx = , sinx = cosx = ) -Ta có I = = TRẦN ĐỨC NGỌC * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN http://violet.vn/tranducngoctk http://violet.vn/ducngoct http://violet.vn/truongmamnon_anhsao HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN TRẦN ĐỨC NGỌC * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (9) = = (Dạng .Với u = 1 + tanx) 4/Nếu không thỏa mãn một trong 3 dấu hiệu trên thì đặt t = tan .Ta có dt = (1+ tan 2 ).dx Nên dx = , và có sinx = , cosx = Ví dụ 12 : Tính nguyên hàm I = . Đặt t = tan .Ta có : dt = (1+ tan 2 ).dx Nên dx = , và có sinx = ,cosx = . Do đó : I = = I = = = - + C 5/Tính nguyên hàm : I = -Tách tử thức thành một tổng: có một số hạng là đạo hàm của mẫu thức .Ta viết : I = = . dx = + = + .dx = ln + .dx . Tính : J = .dx . xét các dấu hiệu như đã trình bày ở trên .Nếu không thỏa mãn dấu hiệu nào(trong 1/ , 2/ , 3/) thì đặt t = tan Ví dụ 13 : I = J = k = 6/ Nguyên hàm của f(x) = cosax.cosbx , f(x) = cosax.sinbx , f(x) = sinax.sinbx : -Biến đổi tích thành tổng , đưa về nguyên hàm của hàm hợp Ví dụ 14 : Tính I = = .sin8x + .sin2x) +C TRẦN ĐỨC NGỌC * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN http://violet.vn/tranducngoctk http://violet.vn/ducngoct http://violet.vn/truongmamnon_anhsao HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN TRẦN ĐỨC NGỌC * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (10) Ví dụ 15 : Tính I = = = = = - .cos9x + cos7x - cos3x + cosx + C ****************************************************************************** III.Nguyên hàm của hàm số Vô tỷ (Hàm số có chứa căn thức) Bằng cách đổi biến số, đưa nguyên hàm của hàm số vô tỷ về nguyên hàm hàm số hữu tỷ hoặc hàm số lượng giác.Ta tiến hành với một số dạng sau đây 1.Nguyên hàm của hàm số chỉ chứa x và một căn thức : - Thông thường: Đặt căn đó là t hoặc biểu thức trong căn là t Ví dụ 1 : I = .dx - Đặt = t Ta có x + 2 = t 2 nên dx = 2t.dt và = (t 2 – 1).t Do đó : I = .dx = I = = 2 Cách 2 : Đặt (x+2) = t thì dx = dt , (x + 1) = (t – 1) Do đó : I = = = - + C Ví dụ 2 : I = -Đặt = t , x + 1 = t 2 nên dx = 2t.dt và = . -Do đó : I = 2. = 2. = …(Đây là nguyên hàm của hàm hữu tỷ) Ví dụ 3 : I = . Đặt = t 2.Nguyên hàm của hàm số phân thức chứa nhiều căn,bậc khác nhau :bậc m, n …mà biểu thức trong căn giống nhau : Đặt căn bậc r là t với r là BSCNN của m,n … Ví dụ 4 : I = . Đặt = t , ta có x + 1 = t 6 nên dx = 6 t 5 dt, = t 3 , = t 2 [...]... NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN Do đó : I = (đây là nguyên hàm hàm hàm số hữu tỷ) =6 3.Nguyên hàm của hàm số phân thức chỉ chứa x và với a,b,c R , a 0: -Đổi biến số đƣa về nguyên hàm của hàm số Lƣợng giác (Đã nói trên) -Ta có Gọi (x + = ) = u và = = Hai trường hợp : 1/Nếu 0: Thì = = (a > 0 , vì < 0 nên a > 0 căn thức mới có nghĩa ) Như vậy , bao giờ cũng đưa được về một trong 3 trường hợp sau : *1 Hàm số chứa... thức biến số x ,bậc (n-1) và là số thực bất kỳ Lấy vi phân hai vế của (*) và đồng nhất các hệ số của những đa thức do vi phân có được, ta sẽ tìm được các hệ số của đa thức Qn-1(x) và hệ số Cuối cùng chỉ cần phải tính I1 = (đặt t = t = x + + như đã nói rõ ở trên ) Ví dụ 8 : (Ở đây P2(x) = x2-1 Vì n = 2, Q1(x) = ax + b ) Tính tích phân I = Lời giải: Gỉa sử : = (ax+b) + - Ta phải tìm các hệ số: a, b,... http://violet.vn/truongmamnon_anhsao HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN ; Tìm nguyên hàm của f(x) = 14/ ; 15/ -sinxcosx-co x).dx ; 16/Chứng minh rằng : < ; dx < 2 ; cos4x.dx dx ; , ;Tính: BÀI TẬP VỀ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ 1/Chứng minh rằng : Nếu y = f(x) là hàm số chẵn , a > 0 thì =2 Bài giải : Xét I = Đặt t = -x thì : dx = -dt Do f(x) là hàm chẵn nên f(-x) = f(x) tức là f(t) = f(x) Vậy f(x)dx = -... > 0 căn thức mới có nghĩa ) Như vậy , bao giờ cũng đưa được về một trong 3 trường hợp sau : *1 Hàm số chứa u và , đặt u = tant 2/Nếu 0 thì: Bài giải : =0 Đặt t = -x thì : dx = -dt Do f(x) là hàm lẻ nên f(-x) = -f(x) tức là f(x) = -f(t) Xét I1 = Vậy f(x)dx = f(t)dt Khi x = - a thì t = a , Khi x = 0 thì t = 0 Suy ra : Vì thế = = Áp dụng : Tính I1 = =- =- + =- + = 0 (đpcm) (Hàm chẵn) Tính I2 = 3/Chứng minh rằng : Nếu y = g(x) là hàm số chẵn ,a > 0 thì : (Hàm lẻ) dx = dx Bài giải : Xét... http://violet.vn/truongmamnon_anhsao HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN (Trong đó: I1 = Ví dụ 6 : I = Đặt t = x + + = dx = = - = I3 = Ví dụ 7 : Tính : Đặt x-2 = - = ln - Xem ví dụ 5 ngay phía trên) (Tính 3/Tính nói ở trên ) Đặt (x – d ) = đưa về dạng I1 nói trên I= thì dx = - = dz , (x -2) Do đó : I = = = (Giả sử z > 0,Nếu z 0) + >0... -dt Vì g(x) là hàm chẵn nên g(-x) = g(x) Tức là g(t)=g(x) Vậy g(x)dx = - g(t)dt Ta có : = = Khi x = -a , t = a Khi x = 0 , t = 0 TRẦN ĐỨC NGỌC * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (14) TRẦN ĐỨC NGỌC http://violet.vn/tranducngoctk * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN http://violet.vn/ducngoct http://violet.vn/truongmamnon_anhsao HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN dx = Suy ra... http://violet.vn/ducngoct http://violet.vn/truongmamnon_anhsao HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN dx = Suy ra : I1 = Do đó dx = = dt = dx + = dx = dx dx + dx = dx (đpcm) Áp dụng : Cho g(x) = sinx.sin2x.cos5x Tìm họ nguyên hàm của y = g(x) Tính I = TRẦN ĐỨC NGỌC * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (15) . III.Nguyên hàm của hàm số Vô tỷ (Hàm số có chứa căn thức) Bằng cách đổi biến số, đưa nguyên hàm của hàm số vô tỷ về nguyên hàm hàm số hữu tỷ hoặc hàm số lượng giác.Ta tiến hành với một số dạng. NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN TRẦN ĐỨC NGỌC * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (11) Do đó : I = = 6 (đây là nguyên hàm hàm hàm số hữu tỷ) 3.Nguyên hàm của hàm số phân thức. HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN TRẦN ĐỨC NGỌC * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (1) I-Nguyên hàm các hàm hữu tỷ 1/Nguyên hàm các hàm số Đa thức : Dựa vào định