Trần Văn Thảo VLLT-VLT khóa 19 Lý Thuyết Trường Lượng Tử Bài tập về nhà ngày nộp: 20/12/2010 Bài 1: Tìm phương trình Lagrange-Euler cho các trường L sau: 1 1 ) 4 a L F F µυ µυ = − trong đó F A A µυ µ υ υ µ = ∂ −∂ ; A µ là thế vector 2 2 2 2 L m µ φ φ = ∂ − trong đó φ là hàm vô hướng phức, 2 * φ φ φ = BÀI LÀM Bài 1: a) Ta đi khai triển 1 1 4 L F F µυ µυ = − Bởi vì F F µν νµ = − và F F µν νµ = − nên ( F µν Phản xứng): + 00 11 22 33 0F F F F= = = = (1) + F F F F µν νµ µν νµ = (2) (1) và (2)Ta chỉ còn lại: 01 02 03 12 13 23 1 01 02 03 12 13 23 1 [2 2 2 2 2 2 ] 4 L F F F F F F F F F F F F= − + + + + + 01 02 03 12 13 23 1 01 02 03 12 13 23 1 [ ] 2 L F F F F F F F F F F F F= − + + + + + Ta còn có: F F µν µν = − nếu một trong µ hoặc ν có một hệ số bằng 0, và F F µν µν = + nếu cả hai hệ số i và j không có hệ số nào bằng 0, vì thế ta có: 2 2 2 2 2 2 1 01 02 03 12 13 23 1 [ ] 2 L F F F F F F= + + − − − Thế F A A µυ µ υ υ µ = ∂ −∂ vào biểu thức trên ta được: 2 2 2 2 2 2 1 0 1 1 0 0 2 2 0 0 3 3 0 1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 3 2 1 [( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] 2 L A A A A A A A A A A A A= ∂ − ∂ + ∂ − ∂ + ∂ −∂ − ∂ − ∂ − ∂ −∂ − ∂ −∂ Vì thế ta được: + 1 0 L A υ ∂ = ∂ 1 Trần Văn Thảo VLLT-VLT khóa 19 Lý Thuyết Trường Lượng Tử + 1 ( ), 0 ( ), 0 ( ) A A L A A A µ υ υ µ µ υ υ µ µ υ µυ µυ + ∂ −∂ =  ∂  =  − ∂ −∂ ≠ ∂ ∂   F F µυ υµ = − = Vì vậy phương trình Lagrange-Euler là 1 ( ) 0 ( ) L F A A A A A υµ υ µ µ υ υ µ µ υ µ µ µ µ µ µ υ ∂ ∂ = ∂ = ∂ ∂ − ∂ = ∂ ∂ −∂ ∂ = ∂ ∂ b) Ta phân tích Lagrangian 2 2 2 2 L m µ φ φ = ∂ − 2 * *m µ µ φ φ φφ = ∂ ∂ − Suy ra: 2 2 * L m φ φ ∂ = − ∂ 2 * ( ) L µ µ φ φ ∂ = ∂ ∂ ∂ 2 [ ] * ( ) L µ µ µ µ φ φ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ Từ phương trình 2 2 [ ] 0 ( ) L L µ µ φ φ ∂ ∂ −∂ = ∂ ∂ ∂ ta thu được phương trình Lagrange-Euler 2 ( ) * 0m µ µ φ ∂ ∂ + = hay 2 ( ) 0m µ µ φ ∂ ∂ + = Bài tập lý thuyết trường lượng tử nộp 27/12/2010 ĐỀ:Bài 1: Chứng minh a) † 3 ' [ , ] (2 ) ( ') p p a a p p π δ = − b) † † ' ' [ , ] [ , ] 0 p p p p a a a a= = Bài 2: Chứng minh a) 3 † † 3 1 ( [ , ]) (2 ) 2 p p p p p d p H a a a a ω π = + ∫ b) 3 3 † † 3 1 ( ) ( ) ( [ , ]) (2 ) 2 p p p p d p P d x x x p a a a a π φ π = − ∇ = + ∫ ∫ ur 2 Trần Văn Thảo VLLT-VLT khóa 19 Lý Thuyết Trường Lượng Tử Với 3 † . 3 1 ( ) ( ) (2 ) 2 ip x p p p d p x a a e φ π ω − = + ∫ 3 ' † '. ' ' 3 ' ( ) ( ) ( ) (2 ) 2 p ip y p p d p x i a a e ω π π − = − − ∫ [ ( ), ( )] ( )x y i x y φ π δ = − [ ( ), ( )] [ ( ), ( )] 0x y x y φ φ π π = = BÀI LÀM Bài 1: a) Ta có: [ ( ), ( )] ( )x y i x y φ π δ = − Thế 3 † . 3 1 ( ) ( ) (2 ) 2 ip x p p p d p x a a e φ π ω − = + ∫ 3 ' † '. ' ' 3 ' ( ) ( ) ( ) (2 ) 2 p ip y p p d p x i a a e ω π π − = − − ∫ Ta được: [ ( ), ( )] ( ) ( ) ( ) ( )x y x y y x φ π φ π π φ = − { } 3 3 ' † † † † ( . '. ) ' ' ' ' 6 ( ) ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 (2 ) p i p x p y p p p p p p p p p i d pd p x y y x a a a a a a a a e ω φ π π φ π ω + − − − − − − = + − − − + ∫ 3 3 ' † † † † † † † † ( . '. ) ' ' ' ' ' ' ' ' 6 ( ) ' ( ) 2 (2 ) p i p x p y p p p p p p p p p p p p p p p p p i d pd p a a a a a a a a a a a a a a a a e ω π ω + − − − − − − − − − = − + − − − + + ∫ { } 3 3 ' † † † † ( . '. ) ' ' ' ' 6 ( ) ' [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] 2 (2 ) p i p x p y p p p p p p p p p i d pd p a a a a a a a a e ω π ω + − − − − − = + + + ∫ Tính chất của hàm δ Dirac: 3 3 ( . '. ) (3) 3 ' ( ) (2 ) i p x p y d pd p ie i x y δ π + = − ∫ và theo đề [ ( ), ( )] ( )x y i x y φ π δ = − nên ta có: { } 3 3 ' † † † † ' ' ' ' 3 1 ' [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] 1 2 (2 ) p p p p p p p p p p d pd p a a a a a a a a ω π ω − − − − − + + + = ∫ 3 Trần Văn Thảo VLLT-VLT khóa 19 Lý Thuyết Trường Lượng Tử Phương trình trên chỉ thỏa mãn khi: † † ' ' [ , ] [ , ] 0 p p p p a a a a − − = = và † 3 (3) ' [ , ] (2 ) ( ') p p a a p p π δ − = + ta kiểm tra lại { } { } 3 3 3 3 ' † † † ' ' 3 3 ' 1 ' 1 0 0 [ , ] [ , ] 0 0 2[ , ] 1 2 (2 ) 2 (2 ) p p p p p p p p p p p p d pd p d pd p a a a a a a ω ω π ω π ω − − =− − + + + = − + − = ∫ ∫ Bài 2: a) Ta có 3 2 2 2 2 1 1 1 [ ( ) ( ( )) ( )] 2 2 2 H d x x x m x π φ φ = + ∇ + ∫ (1) 3 2 2 2 2 1 [ ( ) ( ( )) ( )] 2 d x x x m x π φ φ = + ∇ + ∫ Thế 3 † 3 1 ( ) ( ) (2 ) 2 ipx p p p d p x a a e φ π ω − = + ∫ 3 † 3 ( ) ( ) ( ) (2 ) 2 p ipx p p d p x i a a e ω π π − = − − ∫ Vào (1) ( ta được: 3 3 ' 2 † † ( ') ' ' 6 ' ( ) ( ) ( )( ) (2 ) 4 p p ix p p p p p p d pd p x a a a a e ω ω π π + − − = − − − ∫ ( ) 3 3 ' † † † † ( ') ' ' ' ' 6 ' ( ) (2 ) 4 p p ix p p p p p p p p p p d pd p a a a a a a a a e ω ω π + − − − − = − − − + ∫ (2) 3 † 3 1 ( ) ( ) (2 ) 2 ipx ipx p p p d p x a e a e φ π ω − ∇ = ∇ + ∫ 3 † 3 1 ( ) (2 ) 2 ipx ipx p p p d p ipa e ipa e π ω − = − ∫ 3 † 3 1 ( ) (2 ) 2 ipx p p p d p ip a a e π ω = − ∫ 3 3 2 † † † † ( ') ' ' ' ' 6 ' ' 1 ( ( )) ( ) '( ) (2 ) 4 ix p p p p p p p p p p p p d pd p x pp a a a a a a a a e φ π ω ω + − − − − ∇ = − − − + ∫ (3) 4 Trần Văn Thảo VLLT-VLT khóa 19 Lý Thuyết Trường Lượng Tử 3 3 2 † † ( ') ' ' 6 ' ' 1 ( ) ( )( ) (2 ) 4 ix p p p p p p p p d pd p x a a a a e φ π ω ω + − − = + + ∫ 3 3 † † † † ( ') ' ' ' ' 6 ' ' 1 ( ) (2 ) 4 ix p p p p p p p p p p p p d pd p a a a a a a a a e π ω ω + − − − − = + + + ∫ (4) Từ (1),(2),(3),(4) ( ) ( ) ' † † † † ' ' ' ' 3 3 ' 3 ( ') 6 2 † † † † ' ' ' ' ' ' 4 4 1 ' 2 (2 ) 4 p p p p p p p p p p p p ix p p p p p p p p p p p p pp a a a a a a a a d pd p d x e m a a a a a a a a ω ω ω ω π ω ω − − − − + − − − −     −  ÷  ÷ − − + −  ÷  ÷   =  ÷  ÷ + + + +  ÷  ÷   ∫ ∫ Tính chất hàm delta Dirac 3 3 ( . '. ) (3) 3 ' ( ) (2 ) i p x p y d pd p ie i x y δ π + = − ∫ Với điều kiện † † 0 p p p p a a a a − − = = ; Áp dùng biểu thức 2 2 2 2 2 p p p m p m ω ω = + ⇒ = + ur ta được: ( ) 3 † † 3 1 2 (2 ) p p p p p d p H a a a a ω π − − = + ∫ Ta biến đổi † † † † † † † 2 2 [ , ] p p p p p p p p p p p p p p a a a a a a a a a a a a a a− − = − − + = − − ( ) 3 † † 3 1 2 [ , ] 2 (2 ) p p p p p d p H a a a a ω π = + ∫ 3 † † 3 1 [ , ] (2 ) 2 p p p p p d p H a a a a ω π   = +  ÷   ∫ b) 3 ( ) ( )P d x x x π φ = − ∇ ∫ Thế 3 † 3 1 ( ) ( ) (2 ) 2 ipx p p p d p x a a e φ π ω − = + ∫ 3 † 3 ( ) ( ) ( ) (2 ) 2 p ipx p p d p x i a a e ω π π − = − − ∫ 5 Trần Văn Thảo VLLT-VLT khóa 19 Lý Thuyết Trường Lượng Tử 3 † 3 1 ( ) ( ) (2 ) 2 ipx ipx p p p d p x a e a e φ π ω − ∇ = ∇ + ∫ 3 † 3 1 ( ) (2 ) 2 ipx ipx p p p d p ipa e ipa e π ω − = − ∫ 3 † 3 1 ( ) (2 ) 2 ipx p p p d p ip a a e π ω = − ∫ Ta được 3 3 3 ( ) † † 6 1 ( ) ( )( ) (2 ) 2 ix p k k k k p p p d pd k P d x p e a a a a ω π ω + − − = − − − ∫ 3 3 3 (3) † † 6 1 ( ) ( )(2 ) ( )( )( ) (2 ) 2 k k k p p p d pd k p p k a a a a ω π δ π ω − − = − + − − ∫ 3 † † 3 1 ( )( ) (2 ) 2 p p p p d p p a a a a π − − = − − − ∫ Do tính chất đối xưng và † † 0 p p p p a a a a − − = = 3 † † 3 1 ( ) (2 ) 2 p p p p d p P p a a a a π = + ∫ Ta biến đổi † † † † † † † 2 2 [ , ] p p p p p p p p p p p p p p a a a a a a a a a a a a a a− − = − − + = − − 3 † † 3 1 ( [ , ]) (2 ) 2 p p p p d p P p a a a a π = + ∫ † 1 [ , ] 2 p p a a gọi là năng lượng chân không. Khi không có hạt thì ta xem năng lương chân không là mức nền, nên † 1 [ , ] 0 2 p p a a = , nên 3 † 3 (2 ) p p d p P pa a π = ∫ ur Ý NGHĨ VẬT LÝ CỦA CÁC THAM SỐ 6 Trần Văn Thảo VLLT-VLT khóa 19 Lý Thuyết Trường Lượng Tử 1) 2 2 2 p p m E p µ µ = = − uur so sánh với 2 2 2 2 2 p p p m p m ω ω = + ⇒ = + ur ta có p E ω = , có nghĩa là p ω là năng lượng của trường. 2) P là xung lượng toàn phần khi ta nhìn vào biểu thức 3 † 3 (2 ) p p d p P pa a π = ∫ ur , p ur là xung lượng của một hạt. 3) Đồng thời từ các biểu thức 3 † 3 ( ) (2 ) p p p d p H a a ω π = ∫ và 3 † 3 (2 ) p p d p P pa a π = ∫ ur , ta thấy H là toán tử năng lượng nên p ω là năng lượng của một hạt, p ur là động lượng của một hạt và trong lúc đó † a tương ứng với toán tử sinh hạt, khi ta tác dụng † a vào chân không thì chân không sinh ra một hạt; a là toán tử hủy hạt, khi ta tác dụng a vào hạt thì làm hạt bị hủy mật. Bài tập về nhà ngày 10//01/2011 Đề: Câu 1: Chứng minh a) 3 2 (2 ) ( ) q p q E p q π δ = − b) 0 p a p C= xác định C Câu 2: Tính a) ( ) 0x φ b) 0 ( )x p φ c) [ ] ( , ) ( , ),i x t x t H t φ φ ∂ = ∂ d) [ ] ( , ) ( , ),i x t x t H t π π ∂ = ∂ BÀI LÀM Câu 1: a) Ta có 2 0 p p p E a= † 2 0 q q q E a= Suy ra † 2 2 0 0 p q p q p q E E a a= (1) Mà † † † 3 [ , ] (2 ) ( ) p q p q q p a a a a a a p q π δ = − = − † 3 † (2 ) ( ) p q q p a a p q a a π δ ⇒ = − + † 3 † 0 (2 ) ( ) 0 p q q p a a p q a a π δ ⇒ = − + † 3 0 (2 ) ( ) p q a a p q π δ = = − (vì † 0 0 0 0 p q p a a a= ⇒ = ) 7 Trần Văn Thảo VLLT-VLT khóa 19 Lý Thuyết Trường Lượng Tử † 3 0 0 (2 ) ( ) p q a a p q π δ ⇔ = − thế vào (1) 3 2 2 (2 ) ( ) p q p q E E p q π δ = − b) Ta có † 2 0 p p p E a= † 2 0 p p p p a p E a a⇔ = Vậy C cần tìm là † 2 p p p C E a a= Câu 2: a) Ta có 3 † 3 1 ( ) ( ) (2 ) 2 ipx ipx p p p d p x a e a e φ π ω − = + ∫ Suy ra 3 † 3 1 ( ) 0 ( ) 0 (2 ) 2 ipx ipx p p p d p x a e a e φ π ω −     = +     ∫ 3 † 3 1 ( 0 0 ) (2 ) 2 ipx ipx p p p d p a e a e π ω − = + ∫ 3 † 3 1 ( 0 0 ) (2 ) 2 ipx ipx p p p d p e a e a π ω − = + ∫ 3 † 3 1 0 (2 ) 2 ipx p p d p e a π ω − = ∫ (do 0 0 p a = ) 3 3 1 1 (2 ) 2 2 ipx p q d p e p E π ω − = ∫ ( do † 2 0 q q p E a= † 1 0 2 q q p a E ⇒ = ) • q p E ω = nên 3 3 1 ( ) 0 (2 ) 2 ipx q d p x e p E φ π − = ∫ b) Ta có 3 † 3 1 ( ) ( ) (2 ) 2 ipx ipx p p p d p x a e a e φ π ω − = + ∫ Suy ra 3 † 3 1 0 ( ) 0 ( ) (2 ) 2 ipx ipx p p p d p x p a e a e p φ π ω − = + ∫ 3 3 † 3 3 1 1 0 (2 ) (2 ) 2 2 ipx ipx p p p p d p d p a e a e p π π ω ω −     = +     ∫ ∫ 3 3 † 3 3 1 1 0 0 (2 ) (2 ) 2 2 ipx ipx p p p p d p d p a e p a e p π π ω ω − = + ∫ ∫ 8 Trần Văn Thảo VLLT-VLT khóa 19 Lý Thuyết Trường Lượng Tử 3 3 † † † 3 3 1 1 0 2 0 0 2 0 (2 ) (2 ) 2 2 ipx ipx p p p q p p p p d p d p e E a a e E a a π π ω ω − = + ∫ ∫ (do † 2 0 p p p p a p E a a= và † 2 0 q q p E a= ) Và do q p E ω = ta có: 3 3 † † † 3 3 0 ( ) 0 0 0 0 (2 ) (2 ) ipx ipx p p p p d p d p x p e a a e a a φ π π − = + ∫ ∫ Bởi vì † † 0 0 0 p p a a = nên 3 † 3 0 ( ) 0 0 (2 ) ipx p p d p x p e a a φ π = ∫ Và do † 3 0 0 (2 ) ( ) p q a a p q π δ = − nên 0 ( ) 0 0 ipx ipx x p e e φ = = c) Ta có ( , ) ( ) iHt iHt x t e x e φ φ − = [ ] ( , ) ( , ), ( , ) ( , )i x t x t H x t H H x t t φ φ φ φ ∂ = = − ∂ (1) Mà 3 † 3 1 ( , ) ( ) (2 ) 2 iHt ipx ipx iHt p p p d p x t e a e a e e φ π ω − − = + ∫ 3 † 3 1 ( ) (2 ) 2 iHt iHt ipx iHt iHt ipx p p p d p e a e e e a e e π ω − − − = + ∫ (2) Đi tính iHt iHt p e a e − và †iHt iHt p e a e − , p p p H a Ha a H   = −   3 † 3 ( ) (2 ) p p p d p H a a ω π = ∫ nên 3 3 † † 3 3 , ( ) ( ) (2 ) (2 ) p p p p p p p p p p p d p d p H a Ha a H a a a a a a ω ω π π   = − = −   ∫ ∫ ( ) 3 † † 3 ( ) ( ) (2 ) p p p p p p p d p a a a a a a ω π = − ∫ ( ) 3 † † 3 (2 ) p p p p p p d p a a a a a ω π = − ∫ 3 † 3 [ , ] (2 ) p p p p d p a a a ω π = ∫ Bởi vì † 3 ' [ , ] (2 ) ( ') p p a a p p π δ = − − nên , p p p p p H a a E a ω   = − = −   p p p p Ha a H E a⇔ − = − ( ) p p p p p p Ha a H E a a H E⇔ = − = − (3) 9 Trần Văn Thảo VLLT-VLT khóa 19 Lý Thuyết Trường Lượng Tử Ta khai triển hàm mũ 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ! ! ! iHt n n n n n p p p p p n n n e a iHt a it H a it a H E n n n = = = − ∑ ∑ ∑ Khai triển ngược lại ta có ( ) 1 1 ( ) ( ) [ ( )] ! ! ! p i H E t p iHt n n n n p p p p p n n n a e a iHt a it H a it H E a e n n n − = = = − = ∑ ∑ ∑ Suy ra ( ) ( ) p p p i H E t i H E H t iE t iHt iHt iHt p p p p e a e a e e a e a e − − − − − − = = = (4) Tương tự cho † † † † , ( ) p p p p p p H a E a Ha a H E   = → = +   nên † ( ) † † † † 1 1 ( ) ( ) [ ( )] ! ! ! p i H E t p iHt n n n n p p p p p n n n a e a iHt a it H a it H E a e n n n + = = = + = ∑ ∑ ∑ Suy ra ( ) ( ) † † † † p p p i H E t i H E H t iE t iHt iHt iHt p p p p e a e a e e a e a e + + − − − = = = (5) Thế (4), (5) vào (2) ta thu được 3 3 † † 3 3 1 1 ( , ) ( ) ( ) (2 ) (2 ) 2 2 p p iE t iE t iHt iHt ipx iHt iHt ipx ipx ipx p p p p p p d p d p x t e a e e e a e e a e e a e e E E φ π π − − − − − = + = + ∫ ∫ Ta thay động lượng 4 chiều với ( p x px µ µ = ) 0 p p E= ta được 3 . † . 3 1 ( , ) ( ) (2 ) 2 ip x ip x p p p d p x t a e a e E φ π − = + ∫ 3 † 3 1 ( , ) ( ) (2 ) 2 p p iE t iE t ipx ipx p p p d p x t a e e a e e t t E φ π − −   ∂ ∂   = + ∂ ∂     ∫ 3 † 3 ( ) (2 ) 2 p p iE t iE t p ipx ipx p p p iE d p a e e a e e E π − − = − + ∫ 3 † 3 ( ) ( ) (2 ) 2 p p p iE t iE t ipx ipx p p E d p i a e e a e e π − − = − ∫ 3 † 3 ( , ) ( ) ( ) ( , ) (2 ) 2 p p p iE t iE t ipx ipx p p E d p x t i a e e a e e x t t φ π π − − ∂ = − = ∂ ∫ d) Tương tự câu (c) Bài tập lý thuyết trường lượng tử, nộp ngày 24/01/2011 Đề: Chứng minh 4 ( ) 4 2 2 0 ( ) lim (2 ) ip x y F d p i G x y e p m i η π η − − → − = − + ∫ Đồng thời 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 F G x y x y x y y x y x T x y θ φ φ θ φ φ φ φ − = − + − ≡ BÀI LÀM Ta có: 10 [...]...   ÷   E + p 3 (1 + σ ) + E − p 3 (1 − σ )  ξ ÷  2 2  ÷    p.σ ξ  ÷ =  p.σ ξ ÷   Kết quả tổng quát của phương trình Dirac được viết dạng tổ hợp tuyến tính của các sóng phẳng ψ ( x) = u ( p)e − ip.x Có hai nghiệm u ( p ) độc lập tuyến tính nên ta có thể viết nghiệm u ( p ) dưới dạng tổng quát  p.σ ξ s  ÷ ; s=1,2 u ( p) =   p.σ ξ s ÷   s Ngoài ra chúng ta có thể chọn dấu ngược lại... ( p) =      • p.σ ξ 1  ÷ p.σ ξ 2 ÷ ÷ p.σ ξ 1 ÷ ÷ p.σ ξ 2 ÷  ( p.σ )( p.σ ) = p 2 = m 2 BÀI LÀM Do ψ của trường Dirac thỏa mãn phương trình Klein-Gordon nên chúng ta có thể viết theo dạng tổ hợp tuyến tính của các sóng phẳng: ψ ( x) = u ( p)e− ip x r Trong đó do hạt đứng yên nên p µ = ( p0 , 0)  m 2 = p 2 Chúng ta chỉ tập trung giải với tần số dương p 0 > 0 , như thế thì ma trận cột u ( p ) phải . của trường Dirac thỏa mãn phương trình Klein-Gordon nên chúng ta có thể viết theo dạng tổ hợp tuyến tính của các sóng phẳng: . ( ) ( ) ip x x u p e ψ − = Trong đó do hạt đứng yên nên 0 ( ,0)p