. C¤NG TH¦C H×nh häc gi¶I tÝch TRONG KH«NG GIAN . I. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ .1 Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau với ba vectơ đơn vị r r ur , ,i j k ( ) r r r = = =i j k 1 . .2 ( ) ur ur r r ur ⇔ = + +; ; 1 2 3 1 2 3 a a a a a a i a j a k ; M(x;y;z)⇔ uuur r r ur = + +OM xi yj zk .3 Tọa độ của vectơ: cho r r ( ; ; ), ( '; '; ')u x y z v x y z 1. r r = ⇔ = = ='; '; 'u v x x y y z z 2. ( ) r r ± = ± ± ±'; '; 'u v x x y y z z 3. r = ( ; ; )ku kx ky kz 4. r r = + +. ' ' 'u v xx yy zz 5. r r ⊥ ⇔ + + =' ' 'u v xx yy zz 0 6. r = + + 2 2 2 u x y z 7. r r ,u v cùng phương⇔ r r r =[ , ]u v 0 9. ( ) ur r r r r r = . . cos , u v u v u v . .4 TÝch cã híng cho 1 2 3 1 2 3 ( ; ; ),b ( ; ; )a a a a b b b= = r r 2 3 3 1 1 2 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 1 1 2 a a a a a a , ; ; ( ; ; ) b b b b b b     = ∧ = = = − − −  ÷     n a b a b a b a b a b a b a b a b r r r r r Nếu (P) có cặp vtcp ,ba r r (không cùng phương và có giá // (P) hoặc ⊂ (P) ) thì vectơ pháp tuyến của (P) được xác định ,   = ∧ =   p n a b a b uur r r r r .5 Tọa độ của điểm: cho A(x A ;y A ;z A ), B(x B ;y B ;z B ) 1. uuur = − − −( ; ; ) B A B A B A AB x x y y z z 2. = − + − + −( ) ( ) ( ) 2 2 2 B A B A B A AB x x y y z z 3.G là trọng tâm ∆ ABC:x G = + + A B C x x x 3 ;y G = + + A B C y y y 3 ; z G = + + A B C z z z 3 4. M chia AB theo tỉ số k: − − − = = = − − − ; ; ; A B A B A B M M M x kx y ky z kz x y z 1 k 1 k 1 k Đặc biệt: M là trung điểm của AB: + + + = = =; ; . A B A B A B M M M y x x y y z z x z 2 2 2 5. ABC là một tam giác⇔ uuur uuur ∧AB AC ≠ r 0 khi đó S= uuur uuur ∧ 1 AB AC 2 6. ABCD là một tứ diện⇔ uuur uuur ∧AB AC . uuur AD ≠0, V ABCD = ( ) uuur uur uuur ∧ ,AC 1 AB AD 6 , II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG & MẶT A. Mặt phẳng Mặt phẳng α được xác định bởi: {M(x 0 ;y 0 ;z 0 ), r = ( ; ; )n A B C }. Cã pttq: hay A(x-x 0 )+B(y-y 0 )+C(z-z 0 )=0⇔ Ax+By+Cz+D=0. D=-(Ax 0 +By 0 +Cz 0 )  một số mặt phẳng thường gặp: 1. a/ Mặt phẳng (Oxy): z=0; b/ mặt phẳng (Oxz): y=0; c/ mặt phẳng (Oyz): x=0. 2. Mpđi qua 3điểm A,B,C: có r uuur uuur = ( ) [ , ] ABC n AB AC 3. α // β ⇒ uur uur α β =n n 4. α ⊥ β ⇒ uur uur α β =n u vµ ngîc l¹i 5. α //d ⇒ uur uur α = d u u 6. α ⊥ d ⇒ uur uur α = d n u . ( ) 1;0;0i r ( ) 0;1;0j r ( ) 0;0;1k r O z x y B. Đường thẳng IV.Đường cong +Đường thẳng ∆ được xác định bởi: {M(x 0 ;y 0 ;z 0 ), uur ∆ u =(a;b;c)} 1. .Phương trình tham số: = +   = +   = +  0 0 0 x x at y y bt z z ct ; 2. .Phương trình chính tắc: − − − = = 0 0 0 x x y y z z a b c 3. Đường thẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng: + + + =   + + + =  1 1 1 1 2 2 2 2 A x B y C z D 0 A x B y C z D 0 trong đó ur = ( ; ; ) 1 1 1 1 n A B C , uur = ( ; ; ) 2 2 2 2 n A B C là hai VTPT và VTCP uur uuruur ∆ = [ ] 1 2 u n n . +Chú ý: a/ Đường thẳng Ox: = =    y 0 z 0 ; Oy: = =    x 0 z 0 ; Oz: = =    x 0 y 0 b/ (AB): r uuur = AB u AB ; c/ ∆ 1 //∆ 2 ⇒ . 1 2 u k u ∆ ∆ = uur uur ; d/ ∆ 1 ⊥∆ 2 ⇒ . 1 2 u u 0 ∆ ∆ = uur uur . C. Góc Góc giữa 2 đ thẳng *cos(∆,∆’)=cos ϕ = ur uur r ur . ' . ' u u u u ; Góc giữa hai mp *cos( α , α ’)=cosϕ= ur uur r ur . ' . ' n n n n ; Góc giữa đ t và mp *sin(∆, α )=sinψ= ur r r r . . n u n u . III .KHOẢNG CÁCH Cho M (x M ;y M ;z M ), ( α ):Ax+By+Cz+D=0,∆:{M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ), r ∆ u },∆’ {M’ 0 (x 0 ';y 0 ';z 0 '), ur ∆ 'u } * Kh/ c từ M đến mp(α): d(M, α )= + + + + + M M M 2 2 2 Ax By CZ D A B C * K/ c từ M đến đ t ∆: d(M,∆)= uuuur r r [ , ] 1 MM u u * K/C giữa hai đường thẳng: d(∆,∆’)= r ur uuuuuur ur ur [ , ']. ' [ , '] 0 0 u u M M u u IV. PH¬ng tr×nh dêng vu«ng gãc chung • 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 H(x a h;y b h;z c h) d KH lµ ® êng vu«ng gãc chung cña d vµ d K(x a k;y b k;z c k) d + + + ∈   + + + ∈  d 1 d 2 KH.u 0 KH.u 0  =  ⇔  =   uuur r uuur r • d d 1 2 1 2 u u u lµ VTCP cña ® êng vu«ng goc chung cña 2 ®t chÐo nhau d vµ d= ∧ ∆ r r r • d 1 2 1 1 1 ®i qua A=(P) d trong®ã (P) lµ mp ®i qua M(x ;y ;z ) vµ cã c¨p vtcp lµ u vµ u∆ r r I • d 1 1 1 1 d 2 2 2 2 (P) lµ mp ®i qua M(x ;y ;z ) vµ cã c¨p vtcp lµ u vµ u =(P) (Q) trong ®ã (Q)lµ mp ®i qua M(x ;y ;z ) vµ cã c¨p vtcp lµ u vµ u   ∆    r r I r r V. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Mặt cầu (S){tâm I(a;b;c),bán kính R} Dạng 1: (x-a) 2 +(y-b) 2 +(z-c) 2 =R 2 (S) Dạng 2: x 2 +y 2 +z 2 -2ax-2by-2cz+d=0 ( ) 2 2 2 a b c d 0+ + − > khi đó R= + + − 2 2 2 a b c d 1. d(I, α )>R: α ∩ (S)=∅ 2. d(I, α )=R: α ∩ (S)=M (M gọi là tiếp điểm) *Điều kiện để mặt phẳng α tiếp xúc mặt cầu (S): d(I, α)=R ( tại M khi đó uur α n = uur IM ) 3. Nếu d( I , α )<R thì α sẽ cắt mc(S) theo đường tròn (C) có phương trình là giao của α và (S). Để tìm tâm H và bán kính r của (C) ta làm như sau: a. Tìm r = α - ( , ) 2 2 R d I b. Tìm H: +Viết phương trình đường thẳng ∆ qua I, vuông góc với α . C¤NG TH¦C H×nh häc gi¶I tÝch TRONG KH«NG GIAN . +H=∆ ∩ α (toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình ∆ với α ) . . C¤NG TH¦C H×nh häc gi¶I tÝch TRONG KH«NG GIAN . I. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ .1 Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau với ba vectơ. (P) có cặp vtcp ,ba r r (không cùng phương và có giá // (P) hoặc ⊂ (P) ) thì vectơ pháp tuyến của (P) được xác định ,   = ∧ =   p n a b a b uur r r r r .5 Tọa độ của điểm: cho A(x A ;y A ;z A ),. phương trình đường thẳng ∆ qua I, vuông góc với α . C¤NG TH¦C H×nh häc gi¶I tÝch TRONG KH«NG GIAN . +H=∆ ∩ α (toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình ∆ với α )