sở gd & đt trờng thpt đề thi học kỳ ii năm học 2010-2011 môn thi: toán 12 ( Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ) Câu 1 (3 điểm ): Cho hàm số 2 1 1 + = x x y có đồ thị â. a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị â của hàm số. b/ Viết phơng trình tiếp tuyến tại điểm A thuộc â biết A có hoành độ bằng 2. c/ Tìm tất cả các điểm thuộc â có toạ độ nguyên. Câu 2 (3 điểm ): a/ Giải phơng trình : 2 1 2 2 3 9 = x x b/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng y = x 3 3x và y = x c/ Tính tích phân: 2 2 0 sin 2 (2 sin ) = + x I dx x Câu 3 ( 1 điểm ): Giải phơng trình sau trên tập số phức: x 2 4x + 9 = 0. Câu 4 ( 3 điểm ): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A( 3 ; 5 ; -1 ) mặt phẳng (P): 2x + 3y 4z + 4 = 0 và mặt cầu (S): x 2 +y 2 +z 2 2x+4y6z15 = 0. a/ Tìm toạ độ tâm và tính bán kính của mặt cầu (S). b/ Viết phơng trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mp (P). c/ Tìm toạ độ điểm A đối xứng với A qua mp(P). Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh Số báo danh Chữ kí của giám thị 1 Chữ kí của giám thị 2 đáp án và thang điểm đề thi học kỳ ii môn thi: toán 12 câu đáp án điểm Câu 1 (3 điểm) a/ ( 1,5 đ ) 1. TXĐ: { } \ 1Ă 0,25 2. SBT. CBT: 2 3 ' ( 1) y x = . y không xác định khi x = 1 luôn âm với mọi 1x . Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ) ;1 và ( ) 1;+ Cực trị: không có. Giới hạn: 1 2 1 lim 1 x x x + + = + ; 1 2 1 lim 1 x x x + = Do đó đờng thẳng x = 1 là tiệm cận đứng. 2 1 lim 2 1 x x x + = . Vậy đờng thẳng y = 2 là tiệm cận ngang BBT: 0,25 0,25 0,25 0,25 3. Đồ thị: Đồ thị cắt Oy tại điểm ( 0;-1 ), cắt Ox tại điểm 1 ( ;0) 2 f(x)=(2x+1)/(x-1) -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -5 5 x y 0,25 b/ ( 0,75đ ) Điểm A( 2 ; 5 ) y(2) = -3 suy ra PTTT cần tìm là: y 5 = -3( x 2 ) hay y = -3x +11 0,25 0,25 0,25 c/ (0,75đ) x 1 + y _ _ y 2 + 2 Điểm M(x;y) â có toạ độ nguyên tức là ( ) x y y f x = Â Â Với x Z ta có { } { } 2 1 3 3 2 1 1, 3 2,0,2,4 1 1 1 x y x x x x x + = = + Â Â Vậy các điểm thuộc â có toạ độ nguyên là (-2;1) , (0;-1) , (2;5) , (4;3) 0,5 0,25 Câu 2 (3 điểm) a/ (1 đ) Phơng trình đã cho 2 1 4 4 2 2 3 3 1 4 4 4 3 0 1, 3 x x x x x x x x = = + = = = Vậy PT có hai nghiệm là x = 1 và x = 3. 0,25 0,5 0,25 b/ (1 đ) Xét phơng trình x 3 3x = x x(x 2 4) = 0 x = -2, x = 0, x = 2 Vậy diện tích cần tính là 2 0 2 3 3 3 2 2 0 4 4 2 2 4 4 4 0 2 2 2 ( 4 8) (4 8 4 4 8 4 2 4 0 S x x dx x x dx x x dx x x x x = = + = + = + + = + = 0,25 0,25 0,5 c/ (1 đ) Đặt t = 2+sinx dt = cosxdx, sin2xdx = 2sinx.cosxdx = 2(t 2)dt 3 2 0 2 x t x t = = = = 3 3 3 2 2 2 2 2 3 3 2( 2) 2 2 2 2 ln 2 2 2 3 1 2 ln3 ln 2 1 2(ln ) 3 2 3 t dt dt dt I t t t t t = = = + = + = 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 3 (1 điểm) vậy PT đã cho có hai nghiệm 1 2 ' 5 2 5 2 5 x i x i = = = + 0,25 0,75 Câu 4 (3 điểm) a/ (1 đ) Tâm I(1 ; - 2 ; 3 ), bán kính R = 29 1,0 b/ (1 đ) Giả sử (Q) là mặt phẳng cần tìm. Vì (Q) song song với (P) nên ph- ơng trình của (Q) có dạng: 2x + 3y 4z + m = 0 (m 4) (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) d(I, (Q)) = R 2 6 12 29 4 9 16 16 29 45 13 m m m m + = + + = = = Vậy có hai mặt phẳng thoả mãn là: 2x +3y 4z + 45 = 0 và 2x + 3y 4z 13 = 0 0,25 0,25 0,25 0,25 c/ (1 đ) Giả sử d là đờng thẳng qua A và vuông góc với (P) khi đó vtpt của (P) (2;3; 4)n = r là vtcp của d suy ra PTTS của d là: 3 2 5 3 ( ) 1 4 x t y t t z t = + = + = Ă Tham số t ứng với giao điểm H của d và (P) là nghiệm PT 2.(3 +2t) + 3.( 5+3t) 4.(- 1- 4t) + 4 = 0 29t + 29 = 0 t = - 1 H(1 ; 2 ; 3 ) Ta có H là trung điểm của AA A(- 1 ; - 1 ; 7) 0,25 0,25 0,25 0,25 . dạng: 2x + 3y 4z + m = 0 (m 4) (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) d(I, (Q)) = R 2 6 12 29 4 9 16 16 29 45 13 m m m m + = + + = = = Vậy có hai mặt phẳng thoả mãn là: 2x +3 y 4z + 45 = 0 . 3 2 5 3 ( ) 1 4 x t y t t z t = + = + = Ă Tham số t ứng với giao điểm H của d và (P) là nghiệm PT 2.(3 +2 t) + 3.( 5+3 t) 4.(- 1- 4t) + 4 = 0 29t + 29 = 0 t = - 1 H(1 ; 2 ; 3 ) Ta. ( 4 8) (4 8 4 4 8 4 2 4 0 S x x dx x x dx x x dx x x x x = = + = + = + + = + = 0,25 0,25 0,5 c/ (1 đ) Đặt t = 2+sinx dt = cosxdx, sin2xdx = 2sinx.cosxdx = 2(t 2)dt 3 2 0