1 Dãy số có qui luật I > Phơng pháp dự đoán và quy nạp : Trong một số trờng hợp khi gặp bài toán tính tổng hữu hạn Sn = a 1 + a 2 + a n (1) Bằng cách nào đó ta biết đợc kết quả (dự đoán , hoặc bài toán chứng minh khi đã cho biết kết quả). Thì ta nên sử dụng phơng pháp này và hầu nh thế nào cũng chứng minh đợc . Ví dụ 1 : Tính tổng S n =1+3+5 + + (2n -1 ) Thử trực tiếp ta thấy : S 1 = 1 S 2 = 1 + 3 =2 2 S 3 = 1+ 3+ 5 = 9 = 3 2 Ta dự đoán Sn = n 2 Với n = 1;2;3 ta thấy kết quả đúng giả sử với n= k ( k 1) ta có S k = k 2 (2) ta cần phải chứng minh S k + 1 = ( k +1 ) 2 ( 3) Thật vậy cộng 2 vế của ( 2) với 2k +1 ta có 1+3+5 + + (2k 1) + ( 2k +1) = k 2 + (2k +1) vì k 2 + ( 2k +1) = ( k +1) 2 nên ta có (3) tức là S k+1 = ( k +1) 2 theo nguyên lý quy nạp bài toán đợc chứng minh vậy Sn = 1+3=5 + + ( 2n -1) = n 2 Tơng tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phơng pháp quy nạp toán học . 1, 1 + 2+3 + + n = 2 )1( nn 2, 1 2 + 2 2 + + n 2 = 6 )12)(1( nnn 3, 1 3 +2 3 + + n 3 = 2 2 )1( nn 4, 1 5 + 2 5 + + n 5 = 12 1 .n 2 (n + 1) 2 ( 2n 2 + 2n 1 ) II > Phơng pháp khử liên tiếp : Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta có thể biểu diễn a i , i = 1,2,3 ,n , qua hiệu hai số hạng liên tiếp của 1 dãy số khác , chính xác hơn , giả sử : a 1 = b 1 - b 2 a 2 = b 2 - b 3 2 a n = b n – b n+ 1 khi ®ã ta cã ngay : S n = ( b 1 – b 2 ) + ( b 2 – b 3 ) + + ( b n – b n + 1 ) = b 1 – b n + 1 VÝ dô 2 : tÝnh tæng : S = 100.99 1 13.12 1 12.11 1 11.10 1  Ta cã : 11 1 10 1 11 . 10 1  , 12 1 11 1 12 . 11 1  , 100 1 99 1 100 . 99 1  Do ®ã : S = 100 9 100 1 10 1 100 1 99 1 12 1 11 1 11 1 10 1   D¹ng tæng qu¸t S n = )1( 1 3.2 1 2.1 1   nn ( n > 1 ) = 1- 1 1 1    n n n VÝ dô 3 : tÝnh tæng S n = )2)(1( 1 5.4.3 1 4.3.2 1 3.2.1 1   nnn Ta cã S n =                           )2)(1( 1 )1( 1 2 1 4.3 1 3.2 1 2 1 3.2 1 2.1 1 2 1 nnnn S n =             )2)(1( 1 )1( 1 4.3 1 3.2 1 3.2 1 2.1 1 2 1 nnnn S n = )2)(1(4 )3( )2)(1( 1 2.1 1 2 1              nn nn nn VÝ dô 4 : tÝnh tæng S n = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + + n .n! ( n! = 1.2.3 n ) Ta cã : 1! = 2! -1! 2.2! = 3 ! -2! 3.3! = 4! -3! n.n! = (n + 1) –n! VËy S n = 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! + + ( n+1) ! – n! = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 1 VÝ dô 5 : tÝnh tæng S n =   222 )1( 12 )3.2( 5 )2.1( 3    nn n Ta cã :   ; )1( 11 )1( 12 222     ii ii i i = 1 ; 2 ; 3; ; n Do ®ã S n = ( 1-                  22222 )1( 11 3 1 2 1 ) 2 1 nn = 1- 22 )1( )2( )1( 1     n nn n 3 III > Phơng pháp giải phơng trình với ẩn là tổng cần tính: Ví dụ 6 : Tính tổng S = 1+2+2 2 + + 2 100 ( 4) ta viết lại S nh sau : S = 1+2 (1+2+2 2 + + 2 99 ) S = 1+2 ( 1 +2+2 2 + + 2 99 + 2 100 - 2 100 ) => S= 1+2 ( S -2 100 ) ( 5) Từ (5) suy ra S = 1+ 2S -2 101 . Vậy S = 2 101 -1 Ví dụ 7 : tính tổng S n = 1+ p + p 2 + p 3 + + p n ( p 1) Ta viết lại S n dới dạng sau : S n = 1+p ( 1+p+p 2 + + p n-1 ) S n = 1 + p ( 1+p +p 2 + + p n-1 + p n p n ) =>S n = 1+p ( S n p n ) S n = 1 +p.S n p n+1 =>S n ( p -1 ) = p n+1 -1 =>S n = 1 1 1 p P n Ví dụ 8 : Tính tổng S n = 1+ 2p +3p 2 + + ( n+1 ) p n , ( p 1) Ta có : p.S n = p + 2p 2 + 3p 3 + + ( n+ 1) p n +1 = 2p p +3p 2 p 2 + 4p 3 p 3 + + (n+1) p n - p n + (n+1)p n p n + ( n+1) p n+1 = ( 2p + 3p 2 +4p 3 + +(n+1) p n ) ( p +p + p + p n ) + ( n+1) p n+1 = ( 1+ 2p+ 3p 2 +4p 3 + + ( n+1) p n ) ( 1 + p+ p 2 + + p n ) + ( n +1 ) p n+1 p . S n =S n - 1 1 )1( 1 1 n n Pn P P ( theo VD 7 ) Lại có (p-1)S n = (n+1)p n+1 - 1 1 1 P p n =>S n = 2 11 )1( 1 1 )1( P p p Pn nn IV > Phơng pháp tính qua các tổng đã biết Các kí hiệu : n n i i aaaaa 321 1 Các tính chất : 1, n i n i n i iiii baba 1 1 1 )( ; 2, n i i n i i aaaa 11 . Ví dụ 9 : Tính tổng : S n = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n( n+1) Ta có : S n = n i n i n i n i iiiiii 11 1 22 1 )()1( Vì : 6 )12)(1( 2 )1( 321 1 2 1 nnn i nn ni n i n i (Theo I ) cho nên : S n = 3 )2)(1( 6 )12)(1( 2 )1( nnnnnnnn 4 Ví dụ 10 : Tính tổng : S n =1.2+2.5+3.8+ +n(3n-1) ta có : S n = n i n i iiii 1 1 2 )3()13( = n i n i ii 11 2 3 Theo (I) ta có : S n = )1( 2 )1( 6 )12)(1(3 2 nn nnnnn Ví dụ 11 . Tính tổng S n = 1 3+ +2 3 +5 3 + + (2n +1 ) 3 ta có : S n = [( 1 3 +2 3 +3 3 +4 3 + +(2n+1) 3 ] [2 3 +4 3 +6 3 + +(2n) 3 ] = [1 3 +2 3 +3 3 +4 3 + + (2n +1 ) 3 ] -8 (1 3 +2 3 +3 3 +4 3 + + n 3 ) S n = 4 )1(8 4 )22()12( 2222 nnnn ( theo (I) 3 )=( n+1) 2 (2n+1) 2 2n 2 (n+1) 2 = (n +1 ) 2 (2n 2 +4n +1) V/ Vận dụng trực tiếp công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều ( Học sinh lớp 6 ) Cơ sở lý thuyết : + để đếm số hạng của 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp của dãy cách nhau cùng 1 số đơn vị , ta dùng công thức: Số số hạng = ( số cuối số đầu 0) : ( khoảng cách ) + 1 + Để tính tổng các số hạng của một dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách nhau cùng 1 số đơn vị , ta dùng công thức: Tổng = ( số đầu số cuối ) .( số số hạng ) :2 Ví dụ 12 : Tính tổng A = 19 +20 +21 + + 132 Số số hạng của A là : ( 132 19 ) : 1 +1 = 114 ( số hạng )m A = 114 ( 132 +19 ) : 2 = 8607 Ví dụ 13 : Tính tổng B = 1 +5 +9 + + 2005 +2009 số số hạng của B là ( 2009 1 ) : 4 + 1 = 503 B = ( 2009 +1 ) .503 :2 = 505515 VI / Vân dụng 1 số công thức chứng minh đợc vào làm toán Ví dụ 14 : Chứng minh rằng : k ( k+1) (k+20 -9k-1)k(k+1) = 3k ( k +1 ) Từ đó tính tổng S = 1 2+2.3 + 3.4 + + n (n + 1) Chứng minh : cách 1 : VT = k(k+1)(k+2) (k-1) k(k+1) = k( k+1) )1()2( kk = k (k+1) .3 = 3k(k+1) Cách 2 : Ta có k ( k +1) = k(k+1). 3 )1()2( kk = 3 )1)(1( 3 )2)(1( kkkkkk * 3k ( k-1) = k (k+1)(k+2) (k-1) k(k+1) 5 => 1.2 = 1.2.3 0.1.2 3 3 2.3.4 1.2.3 2.3 3 3 ( 1)( 2) ( 1) ( 1) ( 1) 3 3 n n n n n n n n S = 1.2.0 ( 2) ( 1) ( 1) ( 2) 3 3 3 n n n n n n Ví dụ 15 : Chứng minh rằng : k (k+1) (k+2) (k+3) (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2) từ đó tính tổng S = 1.2 .3 + 2.3 .4 +3.4.5 + + n(n+1) (n+2) Chứng minh : VT = k( k+1) (k+2) )1()3( kk = k( k+1) ( k +2 ) .4 Rút ra : k(k+1) (k+2) = 4 )2)(1()1( 4 )3)(2)(1( kkkkkkkk áp dụng : 1.2.3 = 4 3.2.1.0 4 4.3.2.1 2.3.4 = 4 4.3.2.1 4 5.4.3.2 n(n+1) (n+2) = 4 )2)(1()1( 4 )3)(2)(1( nnnnnnnn Cộng vế với vế ta đợc S = 4 )3n)(2n)(1n(n * Bài tập đề nghị : Tính các tổng sau 1, B = 2+ 6 +10 + 14 + + 202 2, a, A = 1+2 +2 2 +2 3 + + 2 6.2 + 2 6 3 b, S = 5 + 5 2 + 5 3 + + 5 99 + 5 100 c, C = 7 + 10 + 13 + + 76 3, D = 49 +64 + 81+ + 169 4, S = 1.4 + 2 .5 + 3.6 + 4.7 + + n( n +3 ) , n = 1,2,3 , 5, S = 100 . 99 1 4 . 3 1 3 . 2 1 2 . 1 1 6, S = 61 . 59 4 9 . 7 4 7 . 5 4 6 7, A = 66 . 61 5 26 . 21 5 21 . 16 5 16 . 11 5 8, M = 2005210 3 1 3 1 3 1 3 1 9, S n = )2)(1( 1 4.3.2 1 .3.2.1 1 nnn 10, S n = 100 . 99 . 98 2 4 . 3 . 2 2 3 . 2 . 1 2 11, S n = )3)(2)(1( 1 5.4.3.2 1 4.3.2.1 1 nnnn 12, M = 9 + 99 + 999 + + 99 9 50 chữ số 9 13, Cho: S 1 = 1+2 S 3 = 6+7+8+9 S 2 = 3+4+5 S 4 = 10 +11 +12 +13 + 14 Tính S 100 =? Trong quá trình bồi dỡng học sinh giỏi , tôi đã kết hợp các dạng toán có liên quan đến dạng tính tổng để rèn luyện cho các em , chẳng hạn dạng toán tìm x : 14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) + + ( x+100 ) = 5070 b, 1 + 2 + 3 + 4 + + x = 820 c, 1 + 1991 1989 1 )1( 2 10 1 6 1 3 1 xx Hay các bài toán chứng minh sự chia hết liên quan 15, Chứng minh : a, A = 4+ 2 2 +2 3 +2 4 + + 2 20 là luỹ thừa của 2 b, B =2 + 2 2 + 2 3 + + 2 60 3 ; 7; 15 c, C = 3 + 3 3 +3 5 + + 3 1991 13 ; 41 d, D = 11 9 + 11 8 +11 7 + + 11 +1 5 7 Chuyên đề 1: dãy các số nguyên phân số viết theo quy luật (1). Dãy 1: Sử dụng công thức tổng quát na 1 a 1 n)a.(a n - - - Chứng minh - - - naanaa a naa na naa ana naa n 11 ).().().( )( ).( Bài 1.1: Tính a) 2009 . 2006 3 14 . 11 3 11 . 8 3 8 . 5 3 A b) 406 . 402 1 18 . 14 1 14 . 10 1 10 . 6 1 B c) 507 . 502 10 22 . 17 10 17 . 12 10 12 . 7 10 C d) 258 . 253 4 23 . 18 4 18 . 13 4 13 . 8 4 D Bài 1.2: Tính: a) 509 . 252 1 19 . 7 1 7 . 9 1 9 . 2 1 A b) 405 . 802 1 17 . 26 1 13 . 18 1 9 . 10 1 B c) 405 . 401 3 304 . 301 2 13 . 9 3 10 . 7 2 9 . 5 3 7 . 4 2 C Bài 1.3: Tìm số tự nhiên x, thoả mãn: a) 8 5 120 1 21 1 15 1 10 1 2008 x b) 45 29 45 . 41 4 17 . 13 4 13 . 9 4 9 . 5 47 x c) 93 15 )32)(12( 1 9.7 1 7.5 1 5.3 1 xx Bài 1.4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta đều có: a) 46)23)(13( 1 11.8 1 8.5 1 5.2 1 n n nn b) 34 5 )34)(14( 5 15.11 5 11.7 5 7.3 5 n n nn Bài 1.5: Chứng minh rằng với mọi 2; nNn ta có: 15 1 )45)(15( 3 24.19 3 19.14 3 14.9 3 nn Bài 1.6: Cho 403 . 399 4 23 . 19 4 19 . 15 4 A chứng minh: 80 16 81 16 A Bài 1.7: Cho dãy số : ; 25 . 18 2 ; 18 . 11 2 ; 11 . 4 2 a) Tìm số hạng tổng quát của dãy b) Gọi S là tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy. Tính S. Bài 1.8: Cho 2222 9 1 4 1 3 1 2 1 A . Chứng minh 9 8 5 2 A 8 Bµi 1.9: Cho 2222 2007 2 7 2 5 2 3 2 A . Chøng minh: 2008 1003 A Bµi 1.10: Cho 2222 2006 1 8 1 6 1 4 1 B . Chøng minh: 2007 334 B Bµi 1.11: Cho 222 409 1 9 1 5 1 S . Chøng minh: 12 1 S Bµi 1.12: Cho 2222 305 9 17 9 11 9 5 9 A . Chøng minh: 4 3 A Bµi 1.13: Cho 2 201 202.200 49 48 25 24 9 8 B . Chøng minh: 75,99  B Bµi 1.14: Cho 1764 1766 25 27 16 18 9 11 A . Chøng minh: 21 20 40 43 20 40  A Bµi 1.15: Cho 100 . 98 99 6 . 4 5 5 . 3 4 4 . 2 3 3 . 1 2 22222 B . T×m phÇn nguyªn cña B. Bµi 1.16: Cho 2500 2499 16 15 9 8 4 3 C . Chøng minh C > 48 Bµi 1.17: Cho 59 3 2 1 1 4 3 2 1 1 3 2 1 1      M . Chøng minh 3 2 M Bµi1.18: Cho 100 . 99 101.98 5 . 4 6.3 4 . 3 5.2 3 . 2 4.1 N . Chøng minh 97 < N < 98.  Më réng víi tÝch nhiÒu thõa sè: )2)(( 1 )( 1 )2)(( 2 nananaananaa n      Chøng minh: )2)(( 1 )( 1 )2)(()2)(( 2 )2)(( )2( )2)(( 2 nananaananaa a nanaa na nanaa ana nanaa n               )3)(2)(( 1 )2)(( 1 )3)(2)(( 3 nananananaanananaa n      Bµi 1.19: TÝnh 39 . 38 . 37 2 4 . 3 . 2 2 3 . 2 . 1 2 S Bµi 1.20: Cho 20 . 19 . 18 1 4 . 3 . 2 1 3 . 2 . 1 1 A . Chøng minh 4 1 A Bµi 1.21: Cho 29 . 27 . 25 36 7 . 5 . 3 36 5 . 3 . 1 36 B . Chøng minh B < 3 Bµi 1.22: Cho 308 . 305 . 302 5 14 . 11 . 8 5 11 . 8 . 5 5 C . Chøng minh 48 1 C 9 Bài 1.23: Chứng minh với mọi n N; n > 1 ta có: 4 11 4 1 3 1 2 1 3333 n A Bài 1.24: Tính 30 . 29 . 28 . 27 1 5 . 4 . 3 . 2 1 4 . 3 . 2 . 1 1 M Bài 1.25: Tính 100.99 1 6.5 1 4.3 1 2.1 1 100 1 52 1 51 1 P Bài 1.26: Tính: 2007.2005 1004.1002 )12)(12( )1)(1( 9.7 5.3 7.5 4.2 5.3 3.1 nn nn Q Bài 1. 27: Tính: 2007 . 2005 2006 5 . 3 4 4 . 2 3 3 . 1 2 2222 R Bài 1.28: Cho 12005 2 12005 2 12005 2 12005 2 12005 2 20052 2 2006 2 1 2 3 2 2 n n S So sánh S với 1002 1 Hng dn: 1 k m2 1k m 1k m 1 k m2 )1k)(1k( mmkmmk 1k m 1k m 22 p dng vo bi toỏn vi m {2; 2 2 , ., 2 2006 } v k { 2005, 2005 2 , 2006 2 2005 } ta cú: 1 2005 2 12005 2 12005 2 2 2 1 2005 2 12005 2 12005 2 2 2 3 2 2 2 2 (2). Dãy 2: Dãy luỹ thừa n a 1 với n tự nhiên. Bài 2.1: Tính : 10032 2 1 2 1 2 1 2 1 A 10 Bµi 2.2: TÝnh: 10099432 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 B Bµi 2.3: TÝnh: 9953 2 1 2 1 2 1 2 1 C Bµi 2.4: TÝnh: 581074 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 D Bµi 2.5: Cho n n A 3 13 27 26 9 8 3 2   . Chøng minh 2 1  nA Bµi 2.6: Cho 98 98 3 13 27 28 9 10 3 4  B . Chøng minh B < 100. Bµi 2.7: Cho 9932 4 5 4 5 4 5 4 5 C . Chøng minh: 3 5 C Bµi 2.8: Cho 22222222 10 . 9 19 4 . 3 7 3 . 2 5 2 . 1 3 D . Chøng minh: D < 1. Bµi 2.9: Cho 10032 3 100 3 3 3 2 3 1 E . Chøng minh: 4 3 E Bµi 2.10: Cho n n F 3 13 3 10 3 7 3 4 32   víi n  N * . Chøng minh: 4 11 F Bµi 2.11: Cho 10032 3 302 3 11 3 8 3 5 G . Chøng minh: 2 1 3 9 5 2  G Bµi 2.12: Cho 10032 3 601 3 19 3 13 3 7 H . Chøng minh: 5 9 7 3  H Bµi 2.13: Cho 10032 3 605 3 23 3 17 3 11 I . Chøng minh: I < 7 Bµi 2.14: Cho 10132 3 904 3 22 3 13 3 4 K . Chøng minh: 4 17 K Bµi 2.15: Cho 10032 3 403 3 15 3 11 3 7 L . Chøng minh: L < 4,5. (3). D·y 3: D·y d¹ng tÝch c¸c ph©n sè viÕt theo quy luËt: Bµi 3.1: TÝnh: 2500 2499 25 24 . 16 15 . 9 8 A . Bµi 3.2: Cho d·y sè: , 35 1 1, 24 1 1, 15 1 1, 8 1 1, 3 1 1 [...]... 1 1 ;1 4 ;1 8 ;1 16 ; 2 3 3 3 3 3 Bài 3.28: Cho dãy số: 1 ;1 a) Tìm số hạng tổng quát của dãy b) Gọi A là tích của 11 số hạng đầu tiên của dãy Chứng minh c) Tìm chữ số tận cùng của B 1 là số tự nhiên 3 2A 3 3 2A 12 n 5 13 97 32 2 2 Bài 3.29: Cho A 2 4 n 6 6 6 62 a) Chứng minh : M n và B 1 6 2 n 1 1 với n N A là số tự nhiên ; b) Tìm n để M là số nguyên tố B n 7 37 1297 62 1 Bài 3.30: Cho...a) Tìm số hạng tổng quát của dãy b) Tính tích của 98 số hạng đầu tiên của dãy 1 1 1 1 1 Bài 3.3: Tính: B 1 1 1 1 1 3 6 10 15 780 1 3 5 2 4 6 199 1 Chứng minh: C 2 200 201 1 3 5 2 4 6 99 1 1 Chứng minh: D 100 15 10 Bài... b) Tìm n để M là số nguyên tố B n 7 37 1297 62 1 Bài 3.30: Cho A 2 4 2n 3 3 3 3 1 1 1 1 1 B 1 1 2 1 4 .1 8 1 2n với n N 3 3 3 3 3 a) Chứng minh : 5A 2B là số tự nhiên b) Chứng minh với mọi số tự nhiên n khác 0 thì 5A 2B chia hết cho 45 n n 5 13 97 3 2 2 2 Bài 3.31: Cho A 2 4 .( với n N ) Chứng minh: A < 3 n 3 3 3 32 (4) Tính hợp lí các biểu thức có nội dung phức tạp: . Chuyên đề 1: dãy các số nguyên phân số viết theo quy luật (1). Dãy 1: Sử dụng công thức tổng quát na 1 a 1 n)a.(a n - - - Chứng minh - - - naanaa a naa na naa ana naa n 11 ).().().( )( ).( . 1.2.3 n ) Ta cã : 1! = 2! -1 ! 2.2! = 3 ! -2 ! 3.3! = 4! -3 ! n.n! = (n + 1) –n! VËy S n = 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! + + ( n+1) ! – n! = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 1 VÝ dô 5 : tÝnh tæng. 2 99 ) S = 1+2 ( 1 +2+2 2 + + 2 99 + 2 100 - 2 100 ) => S= 1+2 ( S -2 100 ) ( 5) Từ (5) suy ra S = 1+ 2S -2 101 . Vậy S = 2 101 -1 Ví dụ 7 : tính tổng S n = 1+ p + p 2 + p 3