http://thaytoan.net Số phức Trang 1 1. Khái niệm số phức  Tập hợp số phức: C  Số phức (dạng đại số) : z a bi   (a, b R  , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vò ảo, i 2 = –1)  z là số thực  phần ảo của z bằng 0 (b = 0) z là thuần ảo  phần thực của z bằng 0 (a = 0) Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.  Hai số phức bằng nhau: ' ’ ’ ( , , ', ' ) ' a a a bi a b i a b a b R b b           2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b ) R  được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi ( ; ) u a b   trong mp(Oxy) (mp phức) 3. Cộng và trừ số phức:          ’ ’ ’ ’ a bi a b i a a b b i                 ’ ’ ’ ’ a bi a b i a a b b i         Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi  u  biểu diễn z, ' u  biểu diễn z' thì ' u u    biểu diễn z + z’ và ' u u    biểu diễn z – z’. 4. Nhân hai số phức :          ' '  ’– ’ ’ ’ a bi a b i aa bb ab ba i       ( ) ( ) k a bi ka kbi k R     5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z a bi    1 1 2 2 ; ' '; . ' . '; z z z z z z z z z z z z z z             ; 2 2 . z z a b    z là số thực  z z  ; z là số ảo  z z   6. Môđun của số phức : z = a + bi  2 2 z a b zz OM       0, , 0 0 z z C z z        . ' . ' z z z z   ' ' z z z z   ' ' ' z z z z z z      7. Chia hai số phức:  1 2 1 z z z   (z  0)  1 2 ' '. '. ' . z z z z z z z z z z z      ' ' z w z wz z    I. SỐ PHỨC CHƯƠNG IV SỐ PHỨC Số phức http://thaytoan.net Trang 2 8. Căn bậc hai của số phức:  z x yi   là căn bậc hai của số phức w a bi    2 z w   2 2 2 x y a xy b        w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0  w 0  có đúng hai căn bậc hai đối nhau  Hai căn bậc hai của a > 0 là a   Hai căn bậc hai của a < 0 là . a i   9. Phương trình bậc hai Az 2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A 0  ). 2 4 B AC     0   : (*) có hai nghiệm phân biệt 1,2 2 B z A     , (  là 1 căn bậc hai của )  0   : (*) có 1 nghiệm kép: 1 2 2 B z z A    Chú ý: Nếu z 0  C là một nghiệm của (*) thì 0 z cũng là một nghiệm của (*). 10. Dạng lượng giác của số phức:  (cos sin ) z r i    (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (z  0) 2 2 cos sin r a b a r b r                   là một acgumen của z, ( , ) Ox OM    1 cos sin ( ) z z i R         11. Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác Cho (cos sin ) , ' '(cos ' sin ') z r i z r i        :    . ' '. cos( ') sin( ') z z rr i            cos( ') sin( ') ' ' z r i z r       12. Công thức Moa–vrơ:    (cos sin ) (cos sin ) n n r i r n i n      , ( * n N  )    cos sin cos sin n i n i n       13. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:  Số phức (cos sin ) z r i     (r > 0) có hai căn bậc hai là: cos sin 2 2 cos sin cos sin 2 2 2 2 r i và r i r i                                               Mở rộng: Số phức (cos sin ) z r i     (r > 0) có n căn bậc n là: 2 2 cos sin , 0,1, , 1 n k k r i k n n n                http://thaytoan.net Số phức Trang 3 VẤN ĐỀ 1: Thực hiện các phép toán cộng – trừ – nhân – chia Áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, căn bậc hai của số phức. Chú ý các tính chất giao hoán, kết hợp đối với các phép toán cộng và nhân. Bài 1. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau: a) i i i (4 – ) (2 3 ) –(5 )    b) 1 2 2 3 i i          c)   2 5 2 3 3 4 i i          d) 1 3 1 3 2 3 2 2 i i i                  e) 3 1 5 3 4 5 4 5 i i                 f) i i (2 3 )(3 )   g) i i i i     2 1 3 h) i 2 1 3  i) i i   1 1 k) mi m l) aia aia   m) )1)(21( 3 ii i   o) 1 2 i i   p) ai bia  q) 2 3 4 5 i i   Bài 2. Thực hiện các phép toán sau: a) i i 2 2 (1 ) (1– )   b) i i 3 3 (2 ) (3 )    c) i 2 (3 4 )  d) 3 1 3 2 i        e) 22 22 )2()23( )1()21( ii ii   f) i 6 (2 )  g) 3 3 ( 1 ) (2 ) i i    h) 100 (1 ) i  i) 5 (3 3 ) i  Bài 3. Cho số phức z x yi   . Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau: a) 2 2 4 z z i   b) z i iz 1   Bài 4. Phân tích thành nhân tử, với a, b, c  R: a) 2 1 a  b) 2 2 3 a  c) 4 2 4 9 a b  d) 2 2 3 5 a b  e) 4 16 a  f) 3 27 a  g) 3 8 a  h) 4 2 1 a a   Bài 5. Tìm căn bậc hai của số phức: a) 1 4 3 i   b) 4 6 5 i  c) 1 2 6 i   d) 5 12 i   e) 4 5 3 2 i   f) 7 24 i  g) 40 42 i   h) i 11 4 3.  i) 1 2 4 2 i  k) 5 12 i   l) 8 6 i  m) 33 56 i  VẤN ĐỀ 2: Giải phương trình trên tập số phức Giả sử z = x + yi. Giải các phương trình ẩn z là tìm x, y thoả mãn phương trình. Bài 1. Giải các phương trình sau (ẩn z): a) 0 2  zz b) 0 2 2  zz c) izz 422  d) 0 2  zz e) 2 1 8 z z i     f) i z i (4 5 ) 2    Số phức http://thaytoan.net Trang 4 g) 1 4          iz iz h) i i z i i       2 31 1 2 i) 2 3 1 12 z z i    k) i z i i 2 (3 2 ) ( ) 3    l)   i z i iz i 1 (2 ) 3 0 2            m) 1 1 3 3 2 2 z i i          o) 3 5 2 4 i i z    p) z i z z 2 ( 3 )( 2 5) 0     q) z z z 2 2 ( 9)( 1) 0     r) 3 2 2 3 5 3 3 0 z z z i      Bài 2. Giải các phương trình sau (ẩn x): a) 01.3 2  xx b) 02.32.23 2  xx c) x i x i 2 (3 ) 4 3 0      d) 2 3 . 2 4 0 i x x i     e) 2 3 2 0 x x    f) 2 . 2 . 4 0    i x i x g) 3 3 24 0 x   h) 4 2 16 0 x   i) 5 ( 2) 1 0 x    k) 2 7 0 x   l) x i x i 2 2(1 ) 4 2 0      m) x i x i 2 2(2 ) 18 4 0      o) 2 4 4 0 ix x i     p) x i x 2 (2 3 ) 0    Bài 3. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng lần lượt là: a) 2 3 1 3 i và i    b) 2 4 4 i và i   Bài 4. Tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận  làm nghiệm: a) 3 4 i    b) 7 3 i    c) 2 5 i    d) 2 3 i     e) 3 2 i    f) i    g) (2 )(3 ) i i     h) 51 80 45 38 2 3 4 i i i i      i) 5 2 i i     Bài 5. Tìm tham số m để mỗi phương trình sau đây có hai nghiệm z 1 , z 2 thoả mãn điều kiện đã chỉ ra: a) 2 2 2 1 2 1 2 1 0, : 1 z mz m đk z z z z        b) 2 3 3 1 2 3 5 0, : 18 z mz i đk z z      c) 2 2 2 1 2 3 0, : 8 x mx i đk z z      Bài 6. Cho 1 2 , z z là hai nghiệm của phương trình   i z i z i 2 1 2 (3 2 ) 1 0       . Tính giá trò của các biểu thức sau: a) 2 2 1 2 A z z   b) 2 2 1 2 1 2 B z z z z   c) 1 2 2 1 z z C z z   Bài 7. Giải các hệ phương trình sau: a)      izz izz 25 4 2 2 2 1 21 b)      izz izz .25 .55. 2 2 2 1 21 c) 3 5 1 2 2 4 1 2 0 .( ) 1 z z z z         d) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 . . 1 z z z z z z z z z             e) 12 5 8 3 4 1 8 z z i z z              f) 1 1 3 1 z z i z i z i              http://thaytoan.net Số phức Trang 5 g) 2 2 1 2 1 2 5 2 4 z z i z z i            h) 2 1 z i z z i z           i) 2 2 1 2 1 2 1 2 4 0 2 z z z z z z i           Bài 8. Giải các hệ phương trình sau: a) 2 1 2 3 x y i x y i          b) 2 2 5 8 8 x y i x y i          c) 4 7 4 x y xy i        d) 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 i x y x y i            e) 2 2 6 1 1 2 5 x y x y           f) 3 2 1 1 17 1 26 26 x y i i x y            g) 2 2 5 1 2 x y i x y i          h) 3 3 1 2 3 x y x y i          VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm Giả sử số phức z = x + yi được biểu diển điểm M(x; y). Tìm tập hợp các điểm M là tìm hệ thức giữa x và y. Bài 1. Xác đònh tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau: a) 3 4 z z    b) 1 2 z z i     c) 2 2 z z i z i     d) 2 . 1 2 3    i z z e) 2 2 2 1 i z z    f) 3 1 z   g) 2 3 z i z i     h) 3 1 z i z i    i) 1 2 z i    k) 2 z i z    l) 1 1 z   m) 1 2 z i    Bài 2. Xác đònh tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau: a) 2 z i  là số thực b) 2 z i   là số thuần ảo c) . 9 z z  VẤN ĐỀ 4: Dạng lượng giác của số phức Sử dụng các phép toán số phức ở dạng lượng giác. Bài 1. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau: a) i.322  b) 4 – 4i c) 1 3. i  d) 4 sin. 4 cos   i e) 8 cos. 8 sin   i f) )1)(3.1( ii  Bài 2. Thực hiện các phép tính sau: a)     3 cos20 sin20 cos25 sin25 o o o o i i  b) 5 cos .sin .3 cos .sin 6 6 4 4 i i                   c)     3 cos120 sin120 cos 45 sin 45   o o o o i i d) 5 cos sin 3 cos sin 6 6 4 4                   i i Số phức http://thaytoan.net Trang 6 e)     2 cos18 sin18 cos 72 sin 72   o o o o i i f) cos85 sin85 cos40 sin 40 i i       g) )15sin.15(cos3 )45sin.45(cos2 00 00 i i   h) 2(cos 45 sin 45 ) 3(cos15 sin15 ) i i       i) ) 2 sin. 2 (cos2 ) 3 2 sin. 3 2 (cos2   i i   k) 2 2 2 cos sin 3 3 2 cos sin 2 2                   i i Bài 3. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau: a) 31 i b) 1 i  c) )1)(31( ii  d) )3.(.2 ii  e) i i   1 31 f) i 2 2 1  g)   cos.sin i  h) 2 2 i  i) 1 3 i  k) 3 i  l) 3 0 i  m) 5 tan 8 i   Bài 4. Viết dưới dạng đại số các số phức sau: a) cos 45 sin 45 o o i b) 2 cos sin 6 6          i c)   3 cos120 sin120  o o i d) 6 (2 ) i  e) 3 (1 )(1 2 ) i i i    f) 1 i g) 1 2 1 i i   h)   60 1 3 i  i) 40 7 1 3 (2 2 ) . 1 i i i          k) 1 3 3 cos sin 4 4 2 i          l) 100 1 cos sin 1 4 4 i i i                  m)   17 1 3 i  Bài 5. Tính: a)   5 cos12 sin12 o o i b)   16 1 i  c) 6 )3( i d)   7 0 0 2 cos30 sin30i      e) 5 (cos15 sin15 ) o o i f) 2008 2008 (1 ) (1 )i i   g) 21 321 335           i i h) 12 2 3 2 1          i i) 2008 1        i i k) 5 7 (cos sin ) .(1 3 ) 3 3 i i i     l) 2008 2008 1 1 , 1 z biết z z z    Bài 6. Chứng minh: a) 5 3 sin5 16sin 20sin 5sin t t t t    b) 5 3 cos5 16cos 20cos 5cos t t t t    c) 2 3 sin3 3cos sin t t t   d) 3 cos3 4cos 3cos t t t   http://thaytoan.net Số phức Trang 7 Bài 1. Thực hiện các phép tính sau: a) (2 )( 3 2 )(5 4 ) i i i     b) 6 6 1 3 1 7 2 2 i i                 c) 16 8 1 1 1 1 i i i i                  d) 3 7 5 8 2 3 2 3 i i i i      e) (2 4 )(5 2 ) (3 4 )( 6 ) i i i i       f) 2 3 2009 1 i i i i      g) 2000 1999 201 82 47 i i i i i     h) 2 1 , ( 1) n i i i n      i) 2 3 2000 . . i i i i k) 5 7 13 100 94 ( ) ( ) ( ) i i i i i          Bài 2. Cho các số phức 1 2 3 1 2 , 2 3 , 1 z i z i z i        . Tính: a) 1 2 3 z z z   b) 1 2 2 3 3 1 z z z z z z   c) 1 2 3 z z z d) 2 2 2 1 2 3 z z z   e) 1 2 3 2 3 1 z z z z z z   f) 2 2 1 2 2 2 2 3 z z z z   Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau: a) 4 3 2 (1 2 ) 3 1 3 , 2 3 A z iz i z z i với z i          b)   B z z z z z với z i 2 3 2 1 ( 2 )(2 ), 3 2        Bài 4. Tìm các số thực x, y sao cho: a) (1 2 ) (1 2 ) 1 i x y i i      b) 3 3 3 3 x y i i i       c) 2 2 2 2 1 (4 3 ) (3 2 ) 4 (3 2 ) 2 i x i xy y x xy y i        Bài 5. Tìm các căn bậc hai của các số phức sau: a) 8 6 i  b) 3 4 i  c) 1 i  d) 7 24 i  e) 2 1 1 i i         f) 2 1 3 3 i i           g) 1 2 2 2 i  h) i, –i i) 3 1 3 i i   k) 1 1 2 2 i  l)   2 1 3 i  m) 1 1 1 1 i i    Bài 6. Tìm các căn bậc ba của các số phức sau: a) i  b) –27 c) 2 2 i  d) 18 6 i  Bài 7. Tìm các căn bậc bốn của các số phức sau: a) 2 12 i b) 3 i  c) 2 i  d) 7 24 i   Bài 8. Giải các phương trình sau: a) 3 125 0 z   b) 4 16 0 z   c) 3 64 0 z i   d) 3 27 0 z i   e) 7 4 3 2 2 0 z iz iz     f) 6 3 1 0 z iz i     g) 10 5 ( 2 ) 2 0 z i z i      Bài 9. Gọi 1 2 ; u u là hai căn bậc hai của 1 3 4 z i   và 1 2 ; v v là hai căn bậc hai của 2 3 4 z i   . Tính 1 2 u u  1 2 v v   ? II. ÔN TẬP SỐ PHỨC Số phức http://thaytoan.net Trang 8 Bài 10. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) 2 5 0 z   b) 2 2 2 0 z z    c) 2 4 10 0 z z    d) 2 5 9 0 z z    e) 2 2 3 1 0 z z     f) 2 3 2 3 0 z z    g) ( )( ) 0 z z z z    h) 2 2 0 z z    i) 2 2 z z   k) 2 3 2 3 z z i    l)     2 2 +2 2 3 0 z i z i     m) 3 z z  n) 2 2 4 8 8 z z   o) 2 (1 2 ) 1 0 iz i z     p) 2 (1 ) 2 11 0 i z i     Bài 11. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) 2 4 4 5 6 0 z i z i z i z i              b)      2 5 3 3 0 z i z z z      c)     2 2 2 6 2 16 0 z z z z      d)     3 2 1 3 3 0 z i z i z i       e)     2  2 2 0 z i z z     f) 2 2 2 1 0 z iz i     g) z i z i 2 (5 14 ) 2(12 5 ) 0      h) 2 80 4099 100 0 z z i     i) z i z i 2 ( 3 ) 6( 3 ) 13 0        k) z i z i 2 (cos sin ) cos sin 0         Bài 12. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) x i x i 2 (3 4 ) 5 1 0      b) x i x i 2 (1 ) 2 0      c) 2 3 2 0 x x    d) 2 1 0 x x    e) 3 1 0 x   Bài 13. Giải các phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo: a) 3 2 2 2 0 z iz iz     b) z i z i z i 3 2 ( 3) (4 4 ) 4 4 0        Bài 14. Tìm m để phương trình sau:     2 2 2 2 0 z i z mz m m      a) Chỉ có đúng 1 nghiệm phức b) Chỉ có đúng 1 nghiệm thực c) Có ba nghiệm phức Bài 15. Tìm m để phương trình sau: 3 2 (3 ) 3 ( ) 0 z i z z m i       có ít nhất một nghiệm thực Bài 16. Tìm tất cả các số phức z sao cho ( 2)( ) z z i   là số thực. Bài 17. Giải các phương trình trùng phương: a) z i z i 4 2 8(1 ) 63 16 0      b) z i z i 4 2 24(1 ) 308 144 0      c) 4 2 6(1 ) 5 6 0 z i z i      Bài 18. Cho 1 2 , z z là hai nghiệm của phương trình:   z i z i 2 1 2 2 3 0      . Tính giá trò của các biểu thức sau: a) 2 2 1 2 z z  b) 2 2 1 2 1 2 z z z z  c) 3 3 1 2 z z  d) 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 z z z z z z                    e) 3 3 2 1 1 2 z z z z  f) 1 2 2 1 z z z z  Bài 19. Cho 1 2 , z z là hai nghiệm của phương trình: 2 1 0 x x    . Tính giá trò của các biểu thức sau: a) 2000 2000 1 2 x x b) 1999 1999 1 2 x x c) 1 2 , n n x x n N   Bài 20. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thoả mãn hệ thức sau: http://thaytoan.net Số phức Trang 9 a) 3 z z i   b) 2 2 1 z z   c) 1 z z  Bài 21. Hãy tính tổng 2 3 1 1 n S z z z z       biết rằng 2 2 cos sinz i n n     . Bài 22. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau: a) 4 3 2 1 i i i i     b) (1 )(2 ) i i   c) 2 1 i i   d) 1 sin cos , 0 2 i         e) 3 cos sin 6 6 i           f) cot , 2 i        g) sin (1 cos ), 0 2 i         Bài 23. Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau: a)     8 6 6 8 2 3 2 (1 ) (1 ) 2 3 2 i i i i      b)     4 10 4 ( 1 ) 1 3 2 3 2 i i i      c)     1 3 1 3 n n i i   d) sin cos 8 8 i    e) cos sin 4 4 i   f) 2 2 3 i   g) 1 sin cos , 0 2 i         h) 1 cos sin , 0 1 cos sin 2 i i             i) 4 3 i  Bài 24. Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau: a)     8 6 6 8 2 3 2 (1 ) (1 ) 2 3 2 i i i i      b)     4 10 4 ( 1 ) 1 3 2 3 2 i i i      c)     1 3 1 3 n n i i   Bài 25. Chứng minh các biểu thức sau có giá trò thực: a)     7 7 2 5 2 5 i i   b) 19 7 20 5 9 7 6 n n i i i i                  c) 6 6 1 3 1 3 2 2 i i                  d) 5 5 1 3 1 3 2 2 i i                  e) 6 6 3 3 2 2 i i                Bài 26. Trong các số phức z thoả mãn điều kiện 3 2 3 2 z i    . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. Bài 27. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức sau: 4 2 6 ; (1 )(1 2 ); 1 3 i i i i i i      a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân. b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông. Bài 28. Giải các phương trình sau, biết chúng có một nghiệm thuần ảo: a) 3 2 (2 2 ) (5 4 ) 10 0 z i z i z i       b) 3 2 (1 ) ( 1) 0 z i z i z i       c) 3 2 (4 5 ) (8 20 ) 40 0 z i z i z i       Bài 29. Cho đa thức 3 2 ( ) (3 6) (10 18 ) 30 P z z i z i z i       . Số phức http://thaytoan.net Trang 10 a) Tính ( 3 ) P i  b) Giải phương trình ( ) 0 P z  . Bài 30. Giải phương trình 2 1 2 7 z z z           , biết 3 4 z i   là một nghiệm của phương trình. Bài 31. Giải các phương trình sau: a) 4 3 2 2 2 1 0 z z z z      b) 4 3 2 2 2 1 0 z z z z      c)       4 3 2 1 2 2 2 1 2 1 0 z z z z         d) 4 3 2 4 6 4 15 0 z z z z      e) 6 5 4 3 2 13 14 13 1 0 z z z z z z        Bài 32. Giải các phương trình sau: a) 2 2 2 2 ( 3 6) 2 ( 3 6) 3 0 z z z z z z        b) 3 8 z i z i          c) 2 4 2 2 2 4 ( 1) 6 ( 1) 5 0 z z z z z z        d) 3 2 1 0 z i z i z i z i z i z i                             Bài 33. Chứng minh rằng: nếu 1 z  thì 2 1 2 z i iz    . Bài 34. Cho các số phức 1 2 3 , , z z z . Chứng minh: a) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 3 z z z z z z z z z z z z            b)     2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1z z z z z z      c)     2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1z z z z z z      d) Nếu 1 1 z z c   thì 2 2 2 1 2 1 2 4 z z z z c     . [...].. .Chuyên đề: SỐ PHỨC Lời giải:  .             Bài 26. Trong các số phức z thoả mãn điều kiện 3 2 3 2 z i    . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. Bài 27. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu. y). Tìm tập hợp các điểm M là tìm hệ thức giữa x và y. Bài 1. Xác đònh tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau: a) 3 4 z z    b) 1 2 z.  k) 2 z i z    l) 1 1 z   m) 1 2 z i    Bài 2. Xác đònh tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau: a) 2 z i  là số thực b)