Ph ơng pháp hàm số Phơng trình và hệ phơng trình bất phơng trình Bài 1 (KD_2006) CMR với mọi a>0 Hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất ln(1 ) ln(1 ) (1) (2) x x e e x y y x a = + + = HD ĐK x,y>-1 Từ (2) thay và (1) chỉ ra f(x)>0 khi a>0 và x>-1 F(x) đồng biến và liên tục (-1;+) 1 ( ) ( ) x x Limf x Limf x + = = + Kết luận phơng trình có nghiệm duy nhất Bài 2 (KD_2004) CMR phơng trình sau có đúng một nghiệm 5 2 2 1 0x x x = Bài 3 (Đề DB _2004) CMR phơng trình sau có đúng một nghiệm duy nhất 1 ( 1) x x x x + = + Bài 4 (Đề DB _2004) Cho hàm số 2 ( ) sin . 2 x x f x e x= + Tìm GTNN của hàm số và CMR ph- ơng trình f(x)=3 có đúng 2 nghiệm Bài 5 Giải phơng trình ( ) 1 cos (2 4 ) 3.4 cosx cosx x+ + = HD: Đặt cosx=y , -1y1 theo bài ra ta có phơng trình ( ) 1 (2 4 ) 3.4 y y y+ + = hay f(y)=0 với 3.4 ( ) 1 0 2 4 y y f y y= = + Tính f(y)=0 là phơng trình bậc 2 theo 4 y có không quá 2 nghiệm . Vởy theo định lý Rolle thì phơng trình f(y)=0 có không quá 3 nghiệm mặt khác ta có y=0; y=1/2; y=1 là 3 nghiệm của phơng trình f(y)=0 : suy ra phơng trình đã cho có nghiệm là . . . . Bài 6 (Đề DHQG _2000) Cho ( ) 2 ( ) 1 6 2 1 6 x x f x m m= + + Tìm m để [ ] 1 ( 6 ). ( ) 0 0;1 x x f x voi moi x HD: x=1 bất phơng trình thoả mãn không phụ thuộc vào m chỉ cần tìm m sao cho bất phơng trình thoả mãn với mọi x thuộc [0;1) Chú ý 1 1 ( ) 6 6 6 x x h x x x = = ữ là hàm số đồng biến và h(1)=0 thì h(x)<0 với mọi x thuộc miền đang xét . Do đó chỉ ccần tìm m sao cho f(x) 0 với mọi x Đặt t=6 x sử dụng BBT trên [1;6] dáp số m1/2 Bài 7 Cho phơng trình ( ) ( ) 1 3 3 1x x x x m+ + + + = 1) Giải phơng trình khi m=2 2) Tìm m để phơng trình có nghiệm HD 1 3 2 2 2 2x x m= = Bài 8 Cho phơng trình ( ) = + 2 2 1cos x m cos x tgx 1) Giải phơng trình khi m=1 2) Tìm m để phơng trình có nghiệm thuộc 0; 3 x HD Đặt t=tgx 0; 3t Đa phơng trình về dạng 2 1 ( ) 1 t f t m t = = + Chỉ ra f(t)<0 với t thuộc miền trên ĐS 2 1 1 3 m + Bài 9 Cho phơng trình 2 4 3 2 x x x m + = + Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình HD: ( ] [ ) ;1 3;D = + 2 ( ) 4 3 2 x f x x x m= + = Lập BBT: KL: m<-1/2 vô nghiệm 3 1 ; 2 2 m ữ có 1 nghiệm duy nhất 1 ; 2 m + ữ có 2 nghiệm Chứng minh bất ẳng thức Bài 1 Chứng minh rằng sin 2 sin sin sin 2 x nx x nx n + + + > trong đó n là số nghuyên lớn hơn 1 và 0 x n < < HD: Xét hàm số sin 2 sin ( ) sin sin 0; 2 x nx f x x nx voi x n n = + + + ữ Lấy đạo hàm = + + + '( ) cos cos2 cos cosf x x x n n nx Dễ thấy y=cost nghịch biến trên [0;) và cost=0 khi t=0 từ đó 1 '( ) (cos cos ) 0 n i f x ix nx = = > Suy ra hàm số f(x) tăng thực sự trên 0; n ữ nên f(x)>0 Bài toán cực trị Bài 1 (Đề DB _2004) Gọi (x;y) là nghiệm của hệ phơng trình 2 4 3 1 x my m mx y m = = = + Tìm GTLN của biểu thức 2 2 2A x y x= + khi m thay đổi Bài 2 (KB_2006) Cho x,y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2A x y x y y= + + + + + HD Xét M(1-x;y) và N(1+x;y) ta có OM+ONMN Suy ra ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 4 4x y x y y + + + + + xày ra khi x=0 2 2 1 2 ( )A y y f y + + = Lập Bảng biến thiên khi y>2 và y<2 Qua BBT suy ra 1 min 2 3 ( ; ) 0; 3 A khi x y = + = ữ Bài 3 (Đề DB _2004) Cho hàm số 2 ( ) sin . 2 x x f x e x= + Tìm GTNN của hàm số và CMR ph- ơng trình f(x)=3 có đúng 2 nghiệm Bài 4: Tìm GTNN của hàm số 4 2 ( ) sin cos .sinf x cos x x x x= + + HD 2 sin 2 sin 2 ( ) 1 sin 2 4 2 x x f x Dat t x= + + = ĐS ẳ Bài 5 Tìm GTNN, GTLN của hàm số 4 2 ( ) sin cos .sinf x cos x x x x= + + HD 2 sin 2 sin 2 ( ) 1 sin 2 4 2 x x f x Dat t x= + + = với t thuộc [-1;1] 2 3 ( ) 1 4 2 a f t t t= + + Tìm GTLN,GTNN của f(t) theo tham số a Vì f(t) có nghiệm t=a/3 so sánh với 1 ĐS 2 1 3 12 LN a a y f = = + ữ [ ] 1 3 0 4 2 min (1); ( 1) 1 0 3 4 2 NN a neu a y f f a neu a + = = Dùng đạo hàm để tính giới hạn của hàm số Chú ý Nêu định nghĩa của đạo hàm Bài 1 Tính giới hạn 3 2 2 1 5 7 lim 1 x x x A x + = (ĐHTCKT 2001) HD : ( ) 3 2 ( ) 5 7 1 0f x x x f= + = ( ) ( ) 2 2 3 1 2 5 ' ' 1 12 2 5 3 ( 7) x f x f x x = = + Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 lim ' 1 5 1 lim 1 2 24 x x f x f f x A x = = = + Bµi 2 TÝnh giíi h¹n 3 2 0 2 1 1 lim sin x x x A x → + − + = (§HQGHN 2000) HD : ( ) 3 2 ( ) 2 1 1 0 0f x x x f= + − + ⇒ = ( ) ( ) 2 2 3 1 2 ' ' 0 1 2 1 3 ( 1) x f x f x x = − ⇒ = + + v× 0 sin lim 1 x x x → = Suy ra ( ) ( ) ( ) 0 0 ' 0 0 lim 0 1 x f x f f x A sinx x → − − = = = Bµi 3 TÝnh giíi h¹n 0 1 2 1 lim 3 4 2 x x sinx A x x → − + + = + − − (§H GTVT 1998) HD : ( ) ( ) ( ) 1 2 1 0 0, ' 0 0f x x sinx f f= − + + ⇒ = = ( ) ( ) ( ) 1 3 4 2 0 0, ' 0 4 g x x x g g= + − − => = = − Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ' 0 0 lim 0 0 ' 0 0 x f x f f x A g x g g x → − − = = = − − Bµi 4 TÝnh giíi h¹n sin 2 sin 0 lim sin x x x e e A x → − = (§H Hµng H¶i 1999) HD : ( ) sin 2 sin ( ) 0 0, x x f x e e f= − ⇒ = Suy ra ( ) sin 2 sin 0 ' 0 0 lim 1 sin 1 x x x e e f x A x x → − − = = = Bµi 5 TÝnh giíi h¹n 3 2 4 1 lim 2sin 1 x tgx A x π → − = − (§H Hµng H¶i 1999) HD : 3 ( ) 1 0, 4 f x tgx f π   = − ⇒ =  ÷   ( ) 2 2sin 1 0, 4 g x x g π   = − => =  ÷   Suy ra 2 ' 1 4 3 2 3 ' 4 f A g π π    ÷   = = =    ÷   Bµi 6 TÝnh giíi h¹n ( ) 2 9 0 2001 1 5 2001 lim x x x A x → + − − = (§H Hµng H¶i 1999) HD : ( ) ( ) 2 9 ( ) 2001 1 5 2001 0 0,f x x x f= + − − ⇒ = ( ) ( ) ( ) 0 0 5.2001 lim ' 0 0 9 x f x f A f x → − − = = = − Bµi 7 TÝnh c¸c giíi h¹n sau lim ( 0) x a x a a x a x a → − > − 3 1 2 2 2 6 lim 2 2 x x x x x − − − → + − − 3 2 3 3 0 1 1 lim x x x x x → + + − + 2 2 0 3 cos lim x x x x → − (§HSP2 2000) 2 2 3 2 0 1 lim ln(1 ) x x e x x − → − + + 3 2 0 1 2 1 3 lim x x x x → + − + (§H Thuû Lîi) . = ữ Bài 3 (Đề DB _2004) Cho hàm số 2 ( ) sin . 2 x x f x e x= + Tìm GTNN của hàm số và CMR ph- ơng trình f(x)=3 có đúng 2 nghiệm Bài 4: Tìm GTNN của hàm số 4 2 ( ) sin cos .sinf x cos. 1) x x x x + = + Bài 4 (Đề DB _2004) Cho hàm số 2 ( ) sin . 2 x x f x e x= + Tìm GTNN của hàm số và CMR ph- ơng trình f(x)=3 có đúng 2 nghiệm Bài 5 Giải phơng trình ( ) 1 cos (2 4 ) 3.4 cosx. 2 NN a neu a y f f a neu a + = = Dùng đạo hàm để tính giới hạn của hàm số Chú ý Nêu định nghĩa của đạo hàm Bài 1 Tính giới hạn 3 2 2 1 5 7 lim 1 x x x A x + = (ĐHTCKT 2001) HD :