Thầy giáo: Đào Huy Nam – THPT Mỹ Đức A BÀI TẬP ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Bài 1: Tính diện tích các hình phẳng sau: 1. y x x x x y 2 2 1, 2, 0 ì ï = - ï ï í ï ï =- = = ï î 2. x y x x x e y ln 2 1, , 0 ì ï ï = ï ï í ï ï ï = = = ï î 3. y y x cos x x x 2 2 1 1 , sin , 6 3 π π ì ï ï = = ï ï ï í ï ï ï = = ï ï î 4. x y y x x 2 3 , 0 ì ï = ï ï í ï ï = - = ï î 5. y x x y x x 2 2 2 4 ì ï = - ï ï í ï ï =- + ï î 6. y y x x y 2 2 0 0 ì ï - + = ï ï í ï ï + = ï î 7. x y x y 2 1 0 1 0 ì ï - + = ï ï í ï ï + + = ï î 8. y x x y x 2 3 3 2 2 ì ï ï = + - ï ï í ï ï ï = ï î 9. y x y xsin π ì ï = - ï ï í ï ï = ï î 10. x y x y y x 2 2 , 27 27 ì ï ï = = ï ï ï ï í ï ï ï = ï ï ï î 11. x y x y y x 2 2 , 8 8 ì ï ï = = ï ï ï ï í ï ï ï = ï ï ï î 12. y xcos x x x y 2 3 sin 0, , 0 2 π ì ï = ï ï ï í ï ï = = = ï ï î 13. x x y e y e x , 1 - ì ï = = ï ï í ï ï = ï î 14. x y e y x x 5 , ( 1) 1 ì ï = = + ï ï í ï ï = ï î 15. x x y y x x 2 3 12 1 2sin , 1 2 0, 2 π π ì ï ï = - = + ï ï ï ï í ï ï ï = = ï ï ï î 16. y x x y x 2 2 3 ì ï =- + ï ï í ï ï =- ï î 17. y x y x 2 2 ì ï = ï ï í ï ï =- ï î 18. y x y x 3 2 2 ì ï = ï ï í ï ï =- ï î 19. y x y x 2 2 16 16 ì ï = ï ï í ï ï = ï î 20. ( ) y x y x 3 2 2 4 4 ì ï = - ï ï í ï ï = ï î 21. x y x y 2 2 2 1 3 ì ï =- ï ï í ï ï = - ï î 22. y x y x 2 2 3 0 4 ì ï + = ï ï í ï ï =- - ï î 23. y x x y x 2 4 3 3 ì ï = - + ï ï í ï ï = - ï î 24. y x x y x x e 2 ln , 0 1, ì ï = = ï ï í ï ï = = ï î 25. x y y x x x e ln , 0 2 1, ì ï ï = = ï ï í ï ï ï = = ï î 26. { } x y y x x2 , 3 , 0= = - = 27. y y x x x x 3 1 , 0, 1, 2 (1 ) ì ü ï ï ï ï = = = = í ý ï ï + ï ï î þ 28. y x y x x lg , 0 1 10, 10 ì ï = = ï ï ï í ï ï = = ï ï î 29. y x x tiÕp tuyÕn t¹i A(0;-3), B(3;0) 2 4 3 ì ï = - + ï ï í ï ï ï î 30. y x y x 2 2 1 5 ì ï = - ï ï í ï ï = + ï î 31. y x x y x y x mx 2 2 2 , 2 ì ï =- + = ï ï í ï ï = + - ï î 32. y x y cos x x trôc Oy 3 3 sin , 0 , 4 π ì ï = = ï ï ï í ï ï £ £ ï ï î 33. ( ) { } y x x y y 2 1 ; sin ;0 1 π = + = £ £ 34. { } y x x y 2 2 2 6 ; 16= + = 35. x x y y x 4 1 ; ; 0 2 1 ì ü ï ï ï ï = = = í ý ï ï - ï ï î þ 1 Thầy giáo: Đào Huy Nam – THPT Mỹ Đức A Bài 2: Tính tỉ số mà (P): y 2 = 2px(p > 0) chia đường tròn (C): x 2 + y 2 = 8p 2 . Bài 3: Cho hàm số: y = x x 2 2 1+ (C). Tìm b để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường thẳng y = 1, x = 0, x = b bằng 4 π . Bài 4: Cho (P): y = x 2 + 2. Xét hình bị chặn dưới bởi một tiếp tuyến bất kỳ của (P) và các gt x = 0, x = 1 , y = 0. tìm các tiếp tuyến để hình nói trên có diện tích lớn nhất. Bài 5: Cho hình phẳng: y tgx y x x , 0 0, 3 π ì = = ï ï ï ï í ï = = ï ï ï î a. Tính diện tích hình phẳng trên. b. Tính thể tích vật tròn xoay khi cho hình trên quay quanh Ox. Bài 6: Tính thể tích vật tròn xoay khi cho hp { } y x x y x x eln , 0, 1,= = = = quay quanh Ox. Bài 7: Tính thể tích vật tròn xoay khi cho hp x y y y 2 , 2, 4 2 ì ü ï ï ï ï = = = í ý ï ï ï ï î þ quay quanh Oy. B ài 8: Tính thể tích vật tròn xoay khi cho đ ư ờng tr òn: x 2 + (y - 2) 2 = 1 quay quanh Ox. B ài 9: Tính thể tích vật tròn xoay khi cho hp { } y x y x 2 2 4 , 2= - = + quay quanh Ox. B ài 10: Tính thể tích vật tròn xoay khi cho các hp sau quay quanh Ox. 1. { } y x y x 2 ,= = 2. y y x x x x 4 4 0, 1 cos sin , , 2 π π ì ü ï ï ï ï = = + + = = í ý ï ï ï ï î þ 3. { } x y xe y x, 0,0 1= = £ £ 4. x y y x 2 2 1 , 21 ì ü ï ï ï ï = = í ý ï ï + ï ï î þ 5. y y x x x x 6 6 0, cos sin , , 0 2 π ì ü ï ï ï ï = = + = = í ý ï ï ï ï î þ 6. { } y x y x 2 2 , 2 4= = + Bài 11: Xét hàm số: y = x 2 trên [0; 1]. Cho m thuộc [0;1]. Gọi S 1 : { } y m y x x 2 2 , , 0= = = ; S 2 : { } y m y x x 2 2 , , 1= = = . Chứng minh: S S 1 2 1 2 4 3 £ + £ B ài 12: Cho (P): y = 8 – 3x + 2x 2 , (P’): y = 2+ 9x – 2x 2 . 1. Tìm a, b đ ể y = ax + b l à tiếp tuyến chung của 2 (P) tr ên. Xác định toạ độ tiếpđiểm 2. T ính di ện t ích hp gi ới h ạn b ởi 2 (P) v à tiếp tuyến tr ên. B ài 13: Cho (P): y 2 = x.(C) l à đ ư ờng tr òn t âm C(2; 0), bk R. 1. X đ R đ ể (P) ti ếp x úc (C). t ìm toạ độ ti ếp đi ểm T, T’. 2. Vi ết phương trình tiếp tuyến chung c ủa 2 đ ư ờng tren. 3. t ính di ện t ích tam giác cong ch ắn b ởi (P) v à 2 tiếp tuyến tr ên. B ài 14: Chứng minh r ằng đường thẳng x + 2 = 2y ti ếp x úc v ới y 2 = 2x. T ính di ện t ích hp g i ới h ạn b ởi 2 đ ư ờng tr ên v à Ox. B ài 15: Cho y = x 2 + 1 v à d: y = mx + 2 1. Chứng minh khi m bi ến thi ên d c ắt (P) t ại 2 đi ểm ph ân bi ệt 2. X đ m đ ể hp gi ới h ạn b ởi (P) v à d nh ỏ nh ất. 2 Thầy giáo: Đào Huy Nam – THPT Mỹ Đức A 3 . (P): y = 8 – 3x + 2x 2 , (P’): y = 2+ 9x – 2x 2 . 1. Tìm a, b đ ể y = ax + b l à tiếp tuyến chung của 2 (P) tr ên. Xác định toạ độ tiếpđiểm 2. T ính di ện t ích hp gi ới h ạn b ởi 2 (P) v à. X đ R đ ể (P) ti ếp x úc (C). t ìm toạ độ ti ếp đi ểm T, T’. 2. Vi ết phương trình tiếp tuyến chung c ủa 2 đ ư ờng tren. 3. t ính di ện t ích tam giác cong ch ắn b ởi (P) v à 2 tiếp tuyến tr ên. B