UBND HUYỆN ĐĂK HÀ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2010 – 2011 MÔN TOÁN 9 Ngày thi: 01/3/2011 Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1(1,0 điểm): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. a) A = 3x 2 – 8x + 4 b) B = 4b 2 c 2 – (b 2 + c 2 – a 2 ) 2 . Câu 2 (1,5 điểm): So sánh - và Câu 3 (1,5 điểm): Tính A = khi a = + Câu 4 (1,0 điểm): Giải hệ phương trình sau. 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 185 ( ) 65 x xy y x y x xy y x y  + + + =   − + + =   (*) Câu 5 (1,0 điểm): Chứng minh rằng số N = 27195 8 – 10887 8 + 10152 8 chia hết cho 26460. Câu 6 (1,0 điểm): Cho tam giác ABC. Chứng minh: cos 4 B – sin 4 B = 2cos 2 B - 1 Câu 7 (3,0 điểm): Cho đường tròn (O,R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên AB lấy điểm E sao cho AE = R, vẽ dây CF đi qua E. Tiếp tuyến của đường tròn tại F cắt đường thẳng CD tại M, vẽ dây AF cắt CD tại N. Chứng minh rằng: a) MF // AC. b) CF là tia phân giác của góc BCD. c) MO 2 = OD 2 + MN 2 . ……………………… Hết……………………… Giám thị không giải thích gì thêm. HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9 Câu Nội dung Điểm Câu 1 a A = 3x 2 – 8x + 4 = 3x 2 – 6x – 2x + 4 0,25 0.5đ = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) 0.25 b B = (2bc) 2 – (b 2 + c 2 – a 2 ) 2 = (2bc – b 2 – c 2 + a 2 )(2bc + b 2 + c 2 – a 2 ) 0.25 0.5đ = [a 2 – (b – c) 2 ][(b + c) 2 – a 2 ] = (a – b + c) (a + b – c) (b + c + a)(b + c – a) 0,25 Câu 2 1.5đ - = - = - = - = - = = = Vậy - = 0,25 0.5 0.5 0.25 Câu 3 1.5đ A = = A = || Ta có: a = + = Nên A 8 15. 4 4 15 = − = 0,5 0,5 0,5 Câu 4 1đ Cộng theo từng vế của hệ phương trình (*), ta được: (x 2 + y 2 ) = 125 => x 2 + y 2 = 25. Từ đó ta có xy = 12 2 2 2 25 ( ) 49 12 12 x y x y xy xy   + = + = ⇔   = =   7 12 7 12 x y xy x y xy  + =    =  ⇔  + = −     =   Vậy hệ phương trình (*) có nghiệm: (3;4); (4;3); (-3;-4); (-4;-3). 0,25 0.5 0.25 Câu 5 1đ Ta có 26460 = 2 2 .3 3 .5.7 2 N = (27195 8 – 10887 8 ) + 10152 8 . Ta nhận thấy 10152 = 2 3 .3 3 .47 nên chia hết cho 2 2 .3 3 . Mà (27195 8 – 10887 8 ) chia hết cho (27195 – 10887) = 16308. Do 16308 = 2 2 .3 3 .151 nên (27195 8 – 10887 8 ) chia hết cho 2 2. 3 3 Suy ra N chia hết cho 2 2 .3 3 (1) N = 27195 8 – (10887 8 - 10152 8 ). Ta nhận thấy 27195 = 3.5.7 2 .37 nên chia hết cho 5.7 2 . Mà (10887 8 - 10152 8 ) chia hết cho (10887 – 10152) = 735. Do 735 = 3.5.7 2 nên (10887 8 - 10152 8 ) chia hết cho 5.7 2 Suy ra N chia hết cho 5.7 2 (2) Từ (1) và (2) suy ra N chia hết cho tích 2 2 .3 3 .5.7 2 = 26460. 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 6 1đ Ta có: cos 4 B – sin 4 B = (cos 2 B – sin 2 B)(cos 2 B + sin 2 B) Do cos 2 B + sin 2 B = 1 nên ta có cos 4 B – sin 4 B = cos 2 B – sin 2 B Mà sin 2 B = 1 – cos 2 B Nên cos 4 B – sin 4 B = cos 2 B – (1 – cos 2 B) = 2cos 2 B - 1 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 7 3đ a 1đ K x M N R F E O D C B A Vì OA = OC = R. Theo định lí Pi-ta-go, ta có AC = R= AE Tam giác ACE cân tại A => · ACE = · AEC Mặt khác · CFx = (sđ » BC + sđ » FB ) và · AEC = (sđ » AC + sđ » FB ) Mà AC = BC nên » AC = » BC Do đó nên · ACE = · CFx (so le trong) => MF//AC 0,25 0,25 0,25 0,25 b 1đ Vẽ tia FO cắt đường tròn (O) tại K. Vì MF//AC (cmt) và MF ⊥ OF => FK ⊥ AC => » KA = » KC và » FA = » FC Mặt khác » AD = » BC nên » FD = » FB => · FCD = · FCB Vậy CF là tia phân giác của góc BCD. 0,25 0,25 0,25 0,25 c 1đ Ta có: · AFM = (sđ » AD + sđ » FD ) · DNF = (sđ » AC + sđ » FD ) Mà » AC = » AD => · AFM = · DNF Nên tam giác MNF cân tại M => MF = MN Ta có OM, OF, MF là độ dài 3 cạnh của tam giác vuông MFO. Mà OD = OF = R; MN = MF Suy ra OM, OD, MN cũng là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông. Vậy MO 2 = OD 2 + MN 2 . 0,25 0,25 0,25 0,25 * Ghi chú: - Nếu HS làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa. - Làm tròn điểm tới 0,5đ (0,25 -> 0,5; 0,75 -> 1,0) . HÀ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2010 – 2011 MÔN TOÁN 9 Ngày thi: 01/3/2011 Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1(1,0 điểm): Phân. (27 195 8 – 10887 8 ) + 10152 8 . Ta nhận thấy 10152 = 2 3 .3 3 .47 nên chia hết cho 2 2 .3 3 . Mà (27 195 8 – 10887 8 ) chia hết cho (27 195 – 10887) = 16308. Do 16308 = 2 2 .3 3 .151 nên (27 195 8 . OD 2 + MN 2 . ……………………… Hết……………………… Giám thị không giải thích gì thêm. HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9 Câu Nội dung Điểm Câu 1 a A = 3x 2 – 8x + 4 = 3x 2 – 6x – 2x + 4 0,25 0.5đ = 3x(x – 2) –