Nguy ễn văn hoan trờng thcs sơn công ứng hòa - hà nội Bài tập định lý vi-ét Bài 1 !" #$% & ' ( ) * +$,$ # /$$% & +$,$$012 3%45$6 = =+ m xx m xx 37$8.9$%78"$) ) :#) ; :# :#) < !"# & ') 5=+$> ')$$% & ? @ ) ) ài! A A "$B.4 7C$01DE &"#"F& F A GH$ $% & +$-IJFK K LHM%45$6 A ) ) ) N ) O P7$8.9$%K  ⇒    K     <        K )* )  ⇒      K )*   ⇒         K )*     ( 5=QRR2       -(9$   Q$?$9$  − 7S    ( x x+ − =      * x x⇔ + + − =  ( )    x⇔ + − =  ( ) ( )   x x⇔ + + + − =  ( ) ( ) )  x x⇔ + − = )  )    x x x x + = = −   ⇔ ⇔   − = =   "T0717B$$%U"$%G7V $% "W"2$%X-C$ $$%U"$% ⇔ YF   #Z Q$?I[$$%-.&.  371-\5$6    . .  ..    + =   = −   ZZ ( ) ( )   ZZ  u u m u m  + =  ⇔  = −    ⇔     u u m u m  + =  = −   ( )      m m m u m  − + − =  ⇔  = −       m m u m  − = ⇔  = −    m m− =  ⇔  ( )    & m m m m− = ⇔ = = D@79Z 5=> -$$01] Lưu ý: Có thể giả sử phương trình có hai nghiệm, tìm m rồi thế vào PT(1) tìm hai nghiệm của phương trình , nếu hai nghiệm thỏa mãn yêu cầu thì trả lời. Ở trường hợp trên khi m = 0 PT (1) có hai nghiệm   & x x= − = thỏa mãn    x x= , m = 3 PT (1) có hai nghiệm   & )x x= = thỏa mãn    x x= . Bµi  !"=$ !4$W$%+$,$$012 ! F ( ) [ ] mm )) +$,$ / /$%+$,$$012 " $$%0$HE.9$^9$: :# : :#: 5=+$: $$%0$HE. Bài 5.: Cho phơng trình (2m-1)x 2 -2mx+1=0 Xác định m để phơng trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0) Giải: Phơng trình: ( 2m-1)x 2 -2mx+1=0 Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành x+1=0=> x=1 Xét 2m-10=> m 1/2 khi đó ta có G = m 2 -2m+1= (m-1) 2 0 mọi m=> pt có nghiệm với mọi m ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0) với m 1/2 pt còn có nghiệm x= + m mm = m pt có nghiệm trong khoảng (-1,0)=> -1< m <0 < >+ m m => < > m m m =>m<0 Vậy Pt có nghiệm trong khoảng (-1,0) khi và chỉ khi m<0 Bài 6: Cho phơng trình: x 2 -( 2m + 1)x + m 2 + m - 6= 0 (*) a.Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm âm. b.Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm x 1 ; x 2 thoả mãn xx =50 giải: Để phơng trình có hai nghiệm âm thì: ( ) ( )        <+=+ >−+= ≥−+−+=∆  ; ;)      mxx mmxx mmm      _ −<⇔        −< >+− >=∆ ⇔ m m mm b. Gi¶i ph¬ng tr×nh: ( ) _  =+−− mm          −− = +− = ⇔ =−+⇔=++⇔  _  _ _< _    m m mmmm  Bµi 7: Cho ph¬ng tr×nh: ax 2 + bx + c = 0 cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt x 1 , x 2 Chøng minh: a,Ph¬ng tr×nh ct 2 + bt + a =0 còng cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt t 1 vµ t 2 . b,Chøng minh: x 1 + x 2 + t 1 + t 2 ≥ 4 gi¶i: §Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m th×: ( ) ( )        <+=+ >−+= ≥−+−+=∆  ; ;)      mxx mmxx mmm     _ −<⇔        −< >+− >=∆ ⇔ m m mm b. Gi¶i ph¬ng tr×nh: ( ) _  =+−− mm        −− = +− = ⇔ =−+⇔=++⇔  _  _ _< _    m m mmmm Bµi 8: a. V× x 1 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: ax 2 + bx + c = 0 nªn ax 1 2 + bx 1 + c =0. . Vì x 1 > 0 => c. =++ a x b x Chứng tỏ x là một nghiệm dơng của phơng trình: ct 2 + bt + a = 0; t 1 = x Vì x 2 là nghiệm của phơng trình: ax 2 + bx + c = 0 => ax 2 2 + bx 2 + c =0 vì x 2 > 0 nên c. =+ + a x b x điều này chứng tỏ x là một nghiệm d- ơng của phơng trình ct 2 + bt + a = 0 ; t 2 = x Vậy nếu phơng trình: ax 2 + bx + c =0 có hai nghiẹm dơng phân biệt x 1 ; x 2 thì phơng trình : ct 2 + bt + a =0 cũng có hai nghiệm dơng phân biệt t 1 ; t 2 . t 1 = x ; t 2 = x b. Do x 1 ; x 1 ; t 1 ; t 2 đều là những nghiệm dơng nên t 1 + x 1 = x + x 1 2 t 2 + x 2 = x + x 2 2 Do đó x 1 + x 2 + t 1 + t 2 4 Bài 9: Cho phơng trình : x 2 -2(m - 1)x + m 2 - 3 = 0 ( 1 ) ; m là tham số. a/. Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm. b/. Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia. Giải :a/. Phơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi 0. (m - 1) 2 -m 2 -3 0 4 - 2m 0 m 2. b/. Với m 2 thì (1) có 2 nghiệm. Gọi một nghiệm của (1) là a thì nghiệm kia là 3a . Theo Viet ,ta có: a a m a a m + = = a= m 3( m ) 2 = m 2 3 m 2 + 6m 15 = 0 m = 3 2 ; ( thõa mãn điều kiện). Bai 10 : Cho phơng trình 2x 2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0 Không giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 thỏa mãn: 3x 1 - 4x 2 = 11 Giải: Để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 thì > 0 <=> (2m - 1) 2 - 4. 2. (m - 1) > 0 Từ đó suy ra m 1,5 (1) Mặt khác, theo định lý Viét và giả thiết ta có: = = =+ 114x3x 2 1m .xx 2 12m xx 21 21 21 = = = 11 8m-26 77m 4 7 4m-13 3 8m-26 77m x 7 4m-13 x 1 1 Giải phơng trình 11 8m-26 77m 4 7 4m-13 3 = ta đợc m = - 2 và m = 4,125 (2) Đối chiếu điều kiện (1) và (2) ta có: Với m = - 2 hoặc m = 4,125 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt t Bai 11: Cho pt =+ mmxx a. Chứng minh rằng pt luôn luôn có nghiệm với m . b. Gọi G xx là hai nghiệm của pt. Tìm GTLN, GTNN của bt. ( ) +++ + = xxxx xx P Giải . : cm m B (2 đ) áp dụng hệ thức Viet ta có: = =+ mxx mxx + + = m m P (1) Tìm đk đẻ pt (1) có nghiệm theo ẩn. == == mGTNN mGTLN P Bai 12: Cho phơng trình x 2 - mx + m 2 + 4m - 1 = 0 (1) a) Giải phơng trình (1) với m = -1 b) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm thoã mãn xx xx +=+ giải : a) m = -1 phơng trình (1) * * =+=+ xxxx += = x x b) Để phơng trình 1 có 2 nghiệm thì ) ( + mm ( * ) + Để phơng trình có nghiệm khác 0 + + ) ) ) m m mm ( * ) + = =+ =++=+ xx xx xxxxxx xx += = = =+ = *) *) ( m m m mm m Kết hợp với điều kiện (*)và (**) ta đợc m = 0 và *) =m Bài 13 : Tìm tất cả các số tự nhiên m để phơng trình ẩn x sau: x 2 - m 2 x + m + 1 = 0 có nghiệm nguyên. giải: Phơng trình có nghiệm nguyên khi = m 4 - 4m - 4 là số chính phơng Ta lại có: m = 0; 1 thì < 0 loại m = 2 thì = 4 = 2 2 nhận m 3 thì 2m(m - 2) > 5 2m 2 - 4m - 5 > 0 - (2m 2 - 2m - 5) < < + 4m + 4 m 4 - 2m + 1 < < m 4 (m 2 - 1) 2 < < (m 2 ) 2 không chính phơng Vậy m = 2 là giá trị cần tìm. Bài 14: Xác định các giá trị của tham số m để phơng trình x 2 -(m+5)x-m+6 =0 Có 2 nghiệm x 1 và x 2 thoã mãn một trong 2 điều kiện sau: a/ Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vị. b/ 2x 1 +3x 2 =13 ta có )))_;)_ ++=+++=++= mmmmmmm Để PT có hai nghiệm phân biệt sao cho khi m )< = và m )< =+ Giả sử x 2 >x 1 ta có HPT x 2 x 1 =1 X 1 +x 2 =m+5 X 1 x 2 =m+6 GiảI HPT ta đợc m=0 và m=-14 TMĐK Theo giả thiết ta có 2x 1 +3x 2 =13 X 1 +x 2 =m+5 X 1 x 2 =-m+6 GiảI HPT ta đợc m=0 và m=1 thỏa mãn ĐK Bài 15: Cho phơng trình x 2 - 2(m-1)x + m - 3 = 0 (1) a. Chứng minh phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. b. Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình (1) mà không phụ thuộc vào m. c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x 2 1 + x 2 2 (với x 1 , x 2 là nghiệm của phơng trình (1)) giai : a. ` = m 2 3m + 4 = (m - ) 2 + ) < >0 m. Vậy phơng trình có 2 nghiệm phân biệt b. Theo Viét: = =+ mxx mxx => = =+ ; mxx mxx <=> x 1 + x 2 2x 1 x 2 4 = 0 không phụ thuộc vào m a. P = x 1 2 + x 1 2 = (x 1 + x 2 ) 2 - 2x 1 x 2 = 4(m - 1) 2 2 (m-3) = (2m - _ ) 2 + m ) _ ) _ VậyP min = ) _ với m = ) _ ( ) 2 2 1 x - 2m+1 x+m + =0 2 !"!#$%&$' !"!#$%&$ 1 2 ,x x !&()*! ( ) ( ) 1 2 M = x -1 x -1 +, -.' Q$?$ GaB$%U"$%9$ ) # ) ) >> mm G5+$# ) $$%U"$%371-b$6 { } xx + T 9$7 c d ae4?9$D@7$8.9$%# ) 5=QRR2c- 9$ Bai17:. Cho phơng trình (2m-1)x 2 -2mx+1=0 Xác định m để phơng trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0) Phơng trình: ( 2m-1)x 2 -2mx+1=0 Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành x+1=0=> x=1 Xét 2m-10=> m 1/2 khi đó ta có G = m 2 -2m+1= (m-1) 2 0 mọi m=> pt có nghiệm với mọi m ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0) với m 1/2 pt còn có nghiệm x= + m mm = m pt có nghiệm trong khoảng (-1,0)=> -1< m <0 < >+ m m => < > m m m =>m<0 Vậy Pt có nghiệm trong khoảng (-1,0) khi và chỉ khi m<0 / !"=$fGIJ A A \$012G"$gW$$% G D@ 7$8.9$% Gii G"F& A F"F A A A A aB$$% G F 3%45$6 m x x x x m = + + = 378"$         ⇔  A ⇔   ⇔ ⇔=&-C$ 5= 0 !"=$fGIJ  A  A \$012G"$gW$$%  G  D@ 7$8.9$%          Giải:G"F&  A ∆F"F  A  A  A   A   aB$$%  G  ∆F≥ ⇔≥ ⇔ ≥ 3%45$6          m x x x x m = + +    = −   378"$         ⇔  A ⇔   ⇔ ⇔=&-C$ 1 !       x m x m m− + + + − = -fIJ  !4$W / /$%U"$% +$,$$012 & Q,$  G  -0$%27B"$B.4 I.7C$01-+Eh       x x x x+ −  23  ( )      ( ) )  _   ) m m m m m m m∆ = + − − + = + + = + + > ∀ i. / /$%U"$%+$,$ "           A [...]... 4 m = 1 / Vy vi m = -1 thỡ phng trỡnh(1) cú mt nghim l x = -2 Bai 22: Cho phng trinh : x 2 -2(m+1)x +2m +3 Giai : phng trinh vi m=-3 Tim m ờ PT co hai nghiờờm thoa man (x 1 -x 2 ) 2 =4 Vi m=-3 phng trinh tr thanh x 2 -2(-3+1) +2(-3)+3=0 Giai ra ta co x 1 =-2+ 7 x 2 = -2- 7 2 B, ( x 1 - x 2 ) = 4 =(m+1) 2 - (2m+3) = m 2 -2 ờ PT co hai nghiờờm thi en ta ln hn hoờc bng khụng Theo inh ly vi et x 1 +x... hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m TheoViet : x1 + x 2 = 2(m + 1) x1.x 2 = 2m M = x1 + x 2 - x 1.x 2 = 2(m + 1) - 2m = 2 Nên không phụ thuộc vào giá trị của m Bi 39 : Tìm s thc a phng trình sau có nghim nguyên x 2 ax + a + 2 = 0 điều kiện đẻ phơng trình có nghiệm 0 a 2 4a 8 0 Gọi x1.x2Là hai nghiệm của phơng trình giả sử x1>x2 Theo định lý vi ét ta có : x1 + x 2 = a x1 x 2 = a +... Bài 62 : Cho PT x2-2mx +(m-1)3 = 0(1) A, giảI PT với m= -1 B, xác định m để PT có hai nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng bình phơng của nghiệm kia GiảI a, khi m=-1 PT có dạng x2+2x-8 = 0 x1=-4 x2=2 B, Để PT có hai nghiệm phân biệt thì , > 0, , = m 2 (m 1) 3 > 0, (2) Theo giả thiết ta có 2 nghiệm của (1) x và x2 theo định lý vi ét ta có x + x 2 = 2m, (3) 2 3 x.x = (m 1) , (4) Từ (4) ta... trỡnh (1) cú 2 nghim x1 , x2 sao 2 c, c, cho biu thc: A = ( x12 9)( x2 4) t giỏ tr ln nht Tính = (m 1) 2 + 24 > 0m suy ra PT có hai nghiemj phân biệt x1x2 A =(x1.x2+6) 2 ((2 x1 + 3x 2 ) 2 theo định lý vi ét ta có A =x1x2=-6 A = (2 x1 + 3x 2 ) 2 0 vậy Amax=0 khi và chỉ khi 2 x1 + 3 x 2 = 0 x1 x 2 = 6 x + x = 1 m 2 1 x1 = 3 x 2 = 2 m=0 x1 = 3 va x 2 = 2 m=2 Vậy m =0 ; m =2 là các... tham s) a) Chng minh phng trỡnh trờn luụn cú 2 nghim phõn bit Cỏch 1: Ta cú: ' = m2 + 1 > 0 vi mi m nờn phng trỡnh trờn luụn cú hai nghim phõn bit Cỏch 2: Ta thy vi mi m, a v c trỏi du nhau nờn phng trỡnh luụn cú hai phõn bit b) Gi x1, x2 l hai nghim ca phng trỡnh trờn Tỡm m 2 x1 + x 2 x1x 2 = 7 2 Theo a) ta cú vi mi m phng trỡnh luụn cú hai nghim phõn bit Khi ú ta cú S = x1 + x2 = 2m v P = x1x2 =... trình có nghiệm 0 (-2)2 -1(m + 1) 0 4 - m -1 0 m 3 Vậy với m 3 thì phơng trình đã cho có nghiệm 3 Với m 3 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1, x2 Theo định lý Vi t ta có : x 1 + x2 = 4 (1), x1.x2 = m + 1 (2) Mặt khác theo gt : x 12 + x22 = 10 (x1 + x2)2 - 2 x1.x2 = 10 (3) Từ (1), (2), (3) ta đợc :16 - 2(m + 1) = 10 m = 2 < 3(thoả mãn) Vậy với m = 2 thì... +1+7=(m2-1)2+(2m-1)2+7 >0với mọi m vậy PT luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m B , (2x1-1)x1+(2x2-1)x2 = x12x22+55suy ra 2x1-x1+2x22-x2-x12x22-55=0 2(x1+x2)2-4x1x2-(x1+x2)-(x1x2)2-55 =0 (2) áp dụng định lý vi ét Ta có : x1+x2=- (m2+1) x1x2 = m-2 thay vào (2) ta có 2m4+4m2+2+8+1-4-55-4m +4m =0 suy ra 2m4+4m2-48 =0 đặt m2 = t 0 2t2+4t 48 = 0, , = 100 >0 suy ra t1=4 t2= -6 ( loại) Thay t = 4 suy ra m2... biểu thức A= x1x2-x1-x2 đật GTNN GiảI : a, Với m=1 thì PT trở thành x2-2x+1 =0 Vậy x = 1 B, , = m 2 (m 2 m + 1) = m-1 để PT có hai nghiệm phân biệt thì , 0 m 1 0 m 1 C, Với Đ/K m>1 áp dụng định lý vi ét ta có X1+x2= 2m x1x2=m2-m+1 A = x1x2-x1-x2=x1x2-(x1+x2)=m2-m+1-2m suy ra m2-3m+1 m 2 3m + 9 5 3 5 5 0 (m ) 4 4 2 4 4 Vậy giá trị NN khi m=3/2 thì A= -5/4 Bài 52 : Cho PT x2 -2(m-1)x+2m-4... thỏa mãn điều kiện m của bài toán là m = 9 3 2 vậy các giá trị của m thỏa mãn điều kiện 3 4 3 Bài 35: Cho phng trình x2 - 2mx + m2 - m + 1 = 0 vi m là tham s với x là n s a) Giai phng trình vi m = 1 b) Tìm m ờ phng trình có hai nghim phân bit x1 ,x2 c) Vi iu kin ca câu b hãy tìm m ờ biờu thc A = x1 x2 - x1 - x2 t giá tri nho nht Cho phng trình x2 - 2mx + m2 -m + 1 = 0 (1) a) Khi m = 1 thi (1) tr... 2 + 2m + 1 4m = 25 (m 1) 2 = 25 m 1= 5 Vậy với m=6 thỏa mãn điều kiện của đầu bài Bai 65 : Cho PT mx2+2mx +m2+3m-3 = 0 (1) A, Xác định m để PT (!) vô nghiệm B, Xac định m đẻ PT có 2 ngiệm x1 ,x2 thỏa mãn x1 x 2 =1 GiảI : a, Với m=o thay vào ta có -3 = 0 vô lý PT vô nghiệm Với x 0 PT vô nghiệm khi và chỉ khi = m m(m 2 + 3m 3) < 0 m(m m 2 3m + 3) < 0 m(m + 3 m 2 3m) < 0 M( (m + 3) (m . Nguy ễn văn hoan trờng thcs sơn công ứng hòa - hà nội Bài tập định lý vi- ét Bài 1 !" #$% & ' ( ) * +$,$ # /$$% & +$,$$012 3%45$6 = =+ m xx m xx 37$8.9$%78"$) ) :#) ; :# . > 0 <=> (2m - 1) 2 - 4. 2. (m - 1) > 0 Từ đó suy ra m 1,5 (1) Mặt khác, theo định lý Vi t và giả thiết ta có: = = =+ 114x3x 2 1m .xx 2 12m xx 21 21 21 = = = 11 8m-26 77m 4 7 4m-13 3 8m-26 77m x. trình x 2 - 2mx + m 2 - m + 1 = 0 vi m là tham s= với x là >n s=. a) Gii phng trình vi m = 1. b) Tìm m phng trình có hai nghi?m phân bi?t x 1 ,x 2 . c) Vi i@u ki?n cAa câu b hãy tìm m biu